Tên sáng kiến: “Một số kĩ năng giải bài toán trắc nghiệm về hình nón, khối nón"... Tên sáng kiến : " Một số kĩ năng giải bài toán trắc nghiệm về hình nón, khối nón".. Giải pháp cũthường
KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾNTẬP TRUNG GIẢI QUYẾT
1 1 Lí do chọn đề tài
Kỳ thi quốc gia 2018 nhằm xét tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học, cao đẳng, với môn Toán có 50 câu trắc nghiệm trong thời gian 90 phút Để học sinh đạt kết quả tốt, giáo viên cần đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá, tập trung vào phát triển năng lực học sinh Học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản và kỹ năng làm trắc nghiệm, trong khi giáo viên phải dạy kỹ và sâu từng bài học, đồng thời rèn luyện các kỹ năng cần thiết Ngoài ra, giáo viên cũng cần giáo dục học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và hệ thống hóa kiến thức.
Trong kì thi tốt nghiệp, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là về khối nón, mặc dù đề thi không quá khó Qua việc tìm hiểu thực trạng, tôi nhận thấy có một số nguyên nhân chính khiến học sinh chưa thể giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình nón.
Thứ nhất : Học sinh chưa nắm được các kiến thức hình học lớp 10,11
Thứ hai : Học sinh chưa nắm chắc kiên thức về hình nón và khối nón.
Thứ ba : Học sinh chưa rèn luyện tốt phương pháp làm trắc nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng đa số học sinh đều ngoan ngoãn và chăm chỉ, đồng thời có sự hỗ trợ tận tình từ đồng nghiệp Tuy nhiên, vẫn còn một số học sinh lười biếng và kinh nghiệm trong việc sáng kiến chưa phong phú Do đó, tôi quyết định viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục tiêu giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là những câu liên quan đến hình nón và khối nón.
Chương 2: MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM
VỀ HÌNH NÓN KHỐI NÓN THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM 2.1 Một số kĩ năng khi làm bài toán trắc nghiệm nói chung và bài tập về hình nón, khối nón nói riêng
- Nắm vững kiến thức, đọc kĩ đề bài.
- Đọc kĩ xem đề bài yêu cầu chọn đáp án đúng hay chọn đáp án sai, hay có mấy đáp án đúng, hoặc có mấy đáp án sai.
Khi làm bài, hãy bắt đầu với những câu dễ trước, sau đó mới chuyển sang những câu khó Sau khi hoàn thành các câu dễ, bạn nên dành thời gian để kiểm tra nhanh lại trước khi tiếp tục với các câu ở mức độ vận dụng.
Ngoài việc sử dụng phương pháp tự luận để tìm ra đáp án, trong một số trường hợp, chúng ta có thể loại trừ các đáp án dựa trên điều kiện của đề bài hoặc dựa vào các đáp án đã được đưa ra.
- Trong một số trường hợp cho sẵn các giá trị ta có thể thử giá trị Lưu ý chọn giá trị thử sao cho loại được nhiều đáp án nhất.
- Qua hệ thống bài tập này giáo viên cũng phân tích một số sai lầm khi làm bài thông qua ví dụ cụ thể.
MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ HÌNH NÓN KHỐI NÓN THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 2.1 Một số kĩ năng khi làm bài toán trắc nghiệm nói chung và bài tập về hình nón ,khối nón nói riêng
Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm
2.2.1 Lí thuyết và công thức cần nhớ
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành một góc Khi mặt phẳng quay quanh đường thẳng Δ, đường thẳng này sẽ sinh ra một mặt tròn xoay với đỉnh O, được gọi là mặt nón tròn xoay.
Cho vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay.
Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón.
2.2.2 Ôn tập các kiến thức bổ trợ
1 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
2 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
3 Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý hàm số Côsin:
Định lý hàm số Sin:
4 Các công thức tính diện tích a Công thức tính diện tích tam giác
với (Công thức Hê-rông) Đặc biệt:
Đường chéo hình vuông cạnh a là (H.5)
Đường cao tam giác đều cạnh a là (H.6)
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì (H.7)
5 Tính chất bán kính và dây cung trong đường tròn M đi qua trung điểm của MN
6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(với d' là hình chiếu của d lên (P)).
2.2.3 Câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn kĩ năng làm
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU
Câu 1: Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được
A khối nón tròn xoay B mặt trụ tròn xoay.
C mặt nón tròn xoay D hình nón tròn xoay.
Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được mặt nón tròn xoay.
Nếu không nắm kĩ lí thuyết thì dễ nhầm với đáp án A hoặc đáp án D.
Mặt nón tròn xoay được hình thành khi một đường thẳng quay quanh một đường thẳng khác, khác với hình nón, là khối được tạo ra khi tam giác vuông quay quanh cạnh góc vuông Giáo viên cần nhấn mạnh sự khác biệt này cho học sinh để tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm.
Câu 2: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vuông tại I.
Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy và đường sinh
Kết luận nào sau đây sai ?
Chọn D ( học kĩ công thức, nón 1 đáy )
Chú ý: Đề yêu cầu chọn đáp án sai Bằng kĩ năng loại trừ ta loại A (thể tích) và
B là diện tích toàn phần, D là diện tích xung quanh nón,(nón 1 đáy) C là công thức tính diện tích xung quanh hình trụ ( 2 đáy, có số 2 ở công thức).
Câu 4: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
Câu 5: Cho hình nón có diện tích xung quanh là và bán kính r Công thức nào sau đây dùng để tính đường sinh của hình nón đã cho.
Câu 6: Cho khối nón có bán kính đáy và chiều cao Tính thể tích của khối nón đã cho.
Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Câu 8: Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích bằng 2?
Tam giác OAB vuông cân diện tích bằng 2
Câu 9: Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.
Diện tích toàn phần của hình nón là
Lưu ý: nếu chọn A là nhầm cạnh tam giác bằng bán kính, chọn B, D là nhầm công thức.
Câu 10: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích đáy của hình nón bằng Độ dài đường cao của hình nón bằng
Gọi lần lượt là bán kính đường tròn đáy, đường sinh, chiều cao của hình nón đã cho.
Theo giả thiết ta có nên
Câu 11: Trong không gian cho vuông tại , và Tính chiều cao nhận được khi quay xung quanh trục
Khi quay xung quanh trục ta được hình nón tròn xoay có chiều cao
Lưu ý : Xoay quanh cạnh nào thì cạnh đó là trục và đó là đường cao của hình nón (lưu ý vẽ trục thẳng đứng)
Phương án nhiễu B: HS nhầm khi áp dụng
Phương án nhiễu C: HS nhầm khi xác định
Phương án nhiễu D: HS nhầm khi xác định
Câu 12: Trong không gian cho vuông tại , và Tính bán kính đáy nhận được khi quay xung quanh trục
Khi quay xung quanh trục ta được hình nón tròn xoay có bán kính đáy
Phân tích : Quay quanh AC thì AC là trục, cạnh góc vuông còn lại là bán kính.
Câu 13: Trong không gian cho tam giác vuông tại và
Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB.
Hướng dẫn giải: vuông tại A có:
Câu 14: Khi cắt khối nón bằng một mặt phẳng qua trục, ta tạo ra một tam giác đều ABC với cạnh bằng a Điểm B và C nằm trên đường tròn đáy của khối nón Thể tích của khối nón được tính dựa trên các thông số này.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh a, và SA vuông góc với đáy Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA, nó tạo thành một hình nón tròn xoay Thể tích của hình nón tròn xoay này được tính theo công thức phù hợp.
Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng , góc
Thể tích của hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là
Câu 17: Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và cạnh đáy bằng Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
Gọi là giao điểm của và
Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón,
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
Xét tam giác vuông vuông tại có
Vậy diện tích toàn phần là
Câu 18 yêu cầu tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (P) cắt hình nón đỉnh S, với chiều cao và bán kính đáy đã cho Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S và cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B.
Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón, I là trung điểm của đoạn thẳng AB,
H là hình chiếu vuông góc của O lên SI.
Từ (1) và (2) vuông cân tại O là trung điểm của đoạn SI.
Câu 19: Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông với cạnh góc vuông dài 1 Mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm M và N Tính diện tích của tam giác SMN, với góc giữa cạnh SM và đáy hình nón đã cho.
Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm của MN.
Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và mặt phẳng , lại có
Do đó góc giữa và đáy hình nón là
Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 1
Vậy diện tích tam giác SMN là
Câu 20: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng bằng và
, Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
Gọi I là trung điểm của AB, dựng
Do nên tam giác SAB đều
Xét tam giác SOI ta có
Hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn tâm O với bán kính 2a Độ dài đường sinh của hình nón được xác định Mặt phẳng đi qua đỉnh S cắt hình nón tạo thành một tam giác có chu vi nhất định Khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng này cần được tính toán.
Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có
Gọi E là trung điểm AB, ta có , mặt khác nên
Vậy khoảng cách từ S đến là OH (hay ).
Câu 22 : Cho tam giác ABC có Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Đồng hồ cát được cấu tạo từ hai hình nón chung đỉnh, với đường sinh của mỗi hình nón tạo một góc nhất định với đáy Chiều cao của đồng hồ cát là 30 cm, và tổng thể tích của đồng hồ cần được tính toán dựa trên các thông số đã cho.
Khi cho đầy cát vào phần trên, cần xác định tỉ lệ thể tích của cát so với thể tích phần dưới sau khi cát chảy xuống Tỉ lệ này sẽ giúp hiểu rõ hơn về sự phân bố thể tích trong hệ thống.
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là
Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là
Theo giả thiết, ta có
Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng
Hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, với thiết diện qua trục là một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và diện tích xác định Khi A và B là hai điểm bất kỳ trên đường tròn, thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất.
Tam giác cân SCD, có
Khối chóp S.OAB có chiều cao không đổi nên để thể tích lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác OAB lớn nhất.
Mà (với r là bán kính đường tròn mặt đáy hình nón) Do đó để lớn nhất khi Khi đó
Hình nón có góc ở đỉnh bằng một giá trị nhất định, và mặt phẳng cắt qua trục của nó tạo ra một thiết diện hình tam giác với bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 Để tính thể tích của khối nón này, cần áp dụng công thức phù hợp với các thông số đã cho.
Tam giác SAB đều vì có và Tâm đường tròn ngoại tiếp của là trọng tâm tam giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là
Vậy bán kính đường tròn của khối nón là
Vậy thể tích khối nón là
Cho mặt cầu (S) với tâm O và bán kính r Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng 1, cắt mặt cầu (S) tạo thành giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H Gọi T là giao điểm của đoạn thẳng HO với mặt cầu (S) Cần tính thể tích V của khối nón có đỉnh tại T và đáy là hình tròn (C).
Gọi lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao hình nón.
Để tối đa hóa thể tích của khối nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu tâm O với bán kính R, và đáy là đường tròn (C) cắt bởi mặt phẳng (P), ta cần xác định chiều cao h của nón Khi mặt phẳng (P) thay đổi, giao tuyến với mặt cầu tạo thành đường tròn (C) Việc tính toán h sao cho thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất là một bài toán quan trọng trong hình học không gian.
Khi cho một đường tròn bất kỳ trên mặt cầu, hình nón có đáy sẽ đạt giá trị lớn nhất khi điểm thỏa mãn điều kiện vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn Do đó, trong bài toán này, chúng ta chỉ xem xét các hình nón đỉnh với điểm thỏa mãn điều kiện vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến.
Thể tích khối nón được tạo nên bởi là
Xét hàm , có hoặc Lập bảng biến thiên ta tìm được , tại Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi có giá trị lớn nhất là khi
Do đó lớn nhất khi
2.2.4 Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập
Câu 1 Khối nón có chiều cao h = 3cm và bán kính đáy r = 2cm thì có thể tích bằng
Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại A Khi quay tam giác ABC quanh cạnh
BC thì hình tròn xoay được tạo thành là
A Hai hình nón có chung đáy B Hình cầu.
Câu 3 Cho khối nón có chiều cao bằng và độ dài đường sinh bằng
.Tính thể tích của khối nón đó
Câu 4 Cho khối nón tròn xoay có chiều cao , đường sinh và bán kính đường tròn đáy bằng Tính diện tích toàn phần của khối nón đó.
Câu 5 Cho hình nón có bán kính đáy là , chiều cao là Tính diện tích toàn phần hình nón đó.
Câu 6 Gọi lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối nón Tính thể tích của khối nón
Câu 7 Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng 10 và diện tích xung quanh bằng Chiều cao h của khối nón là
Trong không gian, cho tam giác vuông cân tại điểm A Gọi B là trung điểm của cạnh AC Khi quay tam giác quanh trục AB, ta tạo ra một hình nón Câu hỏi đặt ra là tính bán kính đáy của hình nón này.
Câu 9 Cho hình nón có bán kính đáy là , chiều cao là Diện tích toàn phần hình nón bằng.
Câu 10 Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng Chiều cao của hình nón bằng.
Câu 11 Trong không gian, cho tam giác vuông tại , và
Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác xung quanh trục
Câu 12 Một hình nón có góc ở đỉnh bằng , đường sinh bằng , tính diện tích xung quanh của hình nón đó
Câu 13 Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a Tính thể tích khói nón đó.
Câu 14 Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nón đó
KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI CỦA SÁNG KIẾN
Thực nghiệm
Việc tổ chức thực nghiệm phương pháp “kĩ năng làm trắc nghiệm bài tập về hình nón, khối nón” tại lớp 12A8 Trường THPT Tiên Du số 1 nhằm kiểm chứng các kết luận trong nghiên cứu lí luận Mục tiêu là tìm hiểu tính khả thi và đánh giá hiệu quả của các giải pháp đề xuất, đồng thời nhận diện những hạn chế khi áp dụng vào thực tiễn Qua đó, tạo cơ sở để hoàn thiện các giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học giờ đọc toán tại Trường THPT Tiên Du số 1.
3.1.2 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm
- Đối tượng thực nghiệm: Lớp 12a8.
- Địa bàn thực nghiệm: Trường THPT Tiên Du số 1.
3.1.3 Nội dung và phương pháp thực nghiệm
- Nội dung thực nghiệm sư phạm là đánh giá năng lực thông qua kết quả thực hiện bài kiểm tra thường xuyên tại lớp 12a8 và lớp đối chứng là 12a15
+ Xây dựng thiết kế lên lớp theo tinh thần ứng dụng những nghiên cứu lý luận + Trao đổi thống nhất với GV kế hoạch thực nghiệm
+ Tổ chức cho làm bài tập và bài kiểm tra song song hai loại giáo án thực nghiệm và đối chứng
Sau khi hoàn thành bài học về mặt tròn xoay, chúng tôi đã tiến hành kiểm tra học sinh bằng cách đưa ra các câu hỏi giống nhau cho cả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng Kết quả của quá trình này sẽ được phân tích và đánh giá để rút ra những kết luận quan trọng về hiệu quả của phương pháp giảng dạy thực nghiệm.
3.1.4 Quy trình tiến hành thực nghiệm
Quy trình tiến hành thực nghiệm được thực hiện lần lượt theo các bước sau:
- Bước 1: Xây dựng phiếu và kiểm tra kiến thức thông qua khả năng tiếp thu của HS
- Bước 2: Xây dựng thiết kế giáo án thực nghiệm
- Bước 3: Kiểm tra và đánh giá mức độ tiếp nhận của HS (cả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng).
- Bước 4: Xử lý và đánh giá kết quả thực nghiệm để rút ra những kết luận bước đầu về thực nghiệm
Tôi tiến hành tổ chức cho làm bài tập thực nghiệm làm bài kiểm tra thường xuyên ở lớp 12a8 và đối chứng với lớp 12a15
Kết quả kiểm tra năm học 2021-2022:
Sĩ số Trên trung bình Dưới trung bình