Chính vì vậy, tôi chọn đề tài "ỨNG DỤNG MAPLE VÀO BÀITOÁN MÔ TẢ BỀ MẶT ĐỒNG NHẤT TRONG R4" để nghiên cứu với hyvọng sẽ có được các kết quả mới về đề tài này, góp phần nâng cao năng lựcng
Giới thiệu sơ bộ về Maple
Các tính năng của Maple
- Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao.
Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán cụ thể, bao gồm vẽ đồ thị với gói plots, hình học giải tích qua gói geometry, đại số tuyến tính nhờ gói linalg, giải tích với gói student, phương trình vi phân thông qua gói Detools, lý thuyết số với gói numtheory, và dữ liệu rời rạc bằng gói DiscreteTransforms.
- Thiết kế các đối tượng 3 chiều.
Hình học thuận tiện được minh họa thông qua việc vẽ đồ thị tĩnh và động của các đường và mặt do các hàm tùy ý xác định trong nhiều hệ tọa độ khác nhau.
- Tính toán trên các biểu thức đại số;
- Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán đại học và sau đại học;
- Ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các ngôn ngữ lập trình khác;
- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp;
- Một công cụ hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học;
Một số hàm trong Maple
a Phép toán trên đa thức
Cộng hai đa thức trên ta được:
Trừ đa thức f cho đa thức g ta được:
Nhân hai đa thức trên ta được:
> ′ f.g ′ = f ∗g; f.g = (x 2 −3x+ 2)(4x 3 +x 2 −3x−2) Để xem kết quả khai triển ta dùng hàm >expand(f.g);
Chia đa thức f cho đa thức g ta được:
Dễ nhận thấy f và g có chung nghiệm x = 1 Bây giờ để tối giản phân thức f g ta dùng lệnh
> ′ f /g ′ = normal( f g ); f g = x−2 4x 2 + 5x+ 2. b Phân tích một đa thức thành tích của các biểu thức đơn giản nhất
- a: là một biểu thức(biểu thức hữu tỉ.)
- K: là từ khóa real hoặc complex; hoặc một số chứa căn; hoặc RootOf.
Ví dụ: Xét đa thức g(x) = 3x 3 + 5.
Nếu chỉ dùng lệnh >factor(g); ta được kết quả: >g := x∗ ∗ ∗3 + 5; g := x 3 + 5
Nhưng nếu phân tích trên trường số phức (complex) ta được kết quả:
Nếu nhập g(x) = x 3 + 5.0, thì khi dùng lệnh >factor(g); ta sẻ được kết quả khác:
5 hay 5 1/3 ta được kết quả:3
Ngoài hàm factor, bạn có thể sử dụng hàm split trong gói lệnh with(polytools) để phân tích một biểu thức đa thức thành tích của các biểu thức đơn giản.
- a: là biểu thức(đa thức);
- b: là biến được gán cho kết quả thu được. c Đạo hàm
Nếu hàm thu được còn cồng kềnh thì:
> f_diff:=diff(g(x),x); f_dif f := −2cos(x)sin(x) sin(2x) −2cos(x) 2 cos(2x) sin(2x) 2
> Int(f(x),x=a b); (hiện ra tích phân cần tính)
Những cú pháp ở trên sẽ được ứng dụng vào để giải các bài toán sau đây.
Chương 2 Ứng dụng Maple vào bài toán mô tả siêu bề mặt đồng nhất trong R 4
Chương này trình bày bài toán tích phân đại số và ứng dụng phần mềm Maple để giải quyết bài toán đó Kết quả chính trong chương được tham khảo từ tài liệu [1].
Thuật toán mô tả các siêu diện đồng nhất trong R 4
Chúng tôi đưa ra bảy kiểu con của bộ ba cơ sở, hai trong số đó được đưa ra dưới đây trong các công thức.
Bằng cách đơn giản hóa các cơ sở của loại đầu tiên trong hai loại đại số Lie, chúng tôi đã thu được một danh sách tiêu biểu của các siêu diện suy biến vô hạn đồng nhất trong không gian R^4 Danh sách này là kết quả chính của luận văn và được trình bày trong định lý 2.1, khẳng định rằng tất cả các siêu mặt đồng nhất “không cần thiết” tương ứng với loại ma trận thứ nhất Các đại số Lie thu được được mô tả (đến tương đương affine) bởi các phương trình cụ thể.
Từ đây, chúng ta sẽ giải bài toán tích phân để xác định phương trình bề mặt thuộc 7 họ đại số đã nêu Định nghĩa 2.2 trình bày về siêu bề mặt đồng nhất affine.
Một siêu bề mặt thực M ⊂ R n được coi là đồng nhất affine nếu tồn tại một nhóm con G ⊂ Aff(n, R) có khả năng tác động lên M Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm nào trên M đều có thể được chuyển đổi đến bất kỳ điểm nào khác trên siêu bề mặt thông qua một phép biến đổi thích hợp từ nhóm G.
Tính đồng nhất affine được thảo luận dưới đây theo nghĩa cục bộ, tức là trong vùng lân cận của một số điểm cố định trên bề mặt Chúng tôi chuyển từ nhóm Lie G sang đại số của các phép biến đổi vô cùng nhỏ, cụ thể là đại số g(M) của các trường vectơ affine tiếp tuyến với siêu diện.
Trường vectơ affine trong R 4 có dạng:
Ký hiệu ma trận của các trường (2.1)
Với cách biểu diễn ma trận như vậy, giao hoán của trường vectơ affineZ 1 , Z 2 tương ứng với giao hoán của ma trận:
Chúng tôi nghiên cứu các siêu diện trong không gian R^4 với các đại số ma trận liên quan đến các trường vectơ tiếp xúc của các siêu diện đồng nhất có chiều ba Phương trình của bất kỳ mặt M nào như vậy được xác định gần gốc tọa độ với điều kiện x^4 = F(x^1, x^2, x^3), trong đó F(0,0,0) = 0 và dF(0) = 0 Do đó, ma trận cơ sở của các đại số này có thể được biểu diễn dưới dạng e_1.
Chúng tôi đưa ra một mô tả ngắn gọn về thuật toán để thu được các siêu diện đồng nhất.
Phương trình (2.3) của siêu diện giải tích đồng nhất affine trong không gian
R 4 sẽ được viết dưới dạng khai triển x 4 ∞
Với F k (x 1 , x 2 , x 3 ) là đa thức bậc k.
Mỗi trường vector affine e k tiếp xúc với bề mặt đồng nhất (2.5) của không gian R 4 , sự tiếp xúc này được viết dưới dạng đồng nhất thức: e k (Φ)| M ≡0 (2.6)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đồng nhất thức dạng \$\Phi = -x^4 + F_2 + F_3 + \ldots\$, với \$F_k = F_k(x_1, x_2, x_3)\$ Bằng cách viết các số hạng bậc 1, 2, của đồng nhất thức này với ma trận cơ sở, chúng ta sẽ thu được các phương trình liên hệ giữa các hệ số của đa thức.
Bằng cách sử dụng công thức từ (2.5) và các phần tử của ma trận (2.4), chúng tôi đã biểu thị một số hệ số theo các hệ số khác, từ đó giảm thiểu số lượng tham số tự do của ma trận (2.4).
Với cặp bất kỳ \( e_i, e_k \) trong \( e_1, e_2, e_3 \), ta có điều kiện đóng sau: \( e_k \cdot e_j - e_j \cdot e_k = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 \) Đẳng thức này ở dạng khai triển là một hệ bậc hai, từ đó ta có thể tìm được tất cả các ma trận tương ứng với các trường cơ sở của đại số Lie đang nghiên cứu Các hành động ở bước 1 giúp đơn giản hóa hệ thống ở bước 2, nhưng ngay cả sau khi đơn giản hóa, việc giải hệ thống kết quả mà không sử dụng các gói tính toán tượng trưng vẫn khá khó khăn Do đó, việc liên quan đến các chương trình tính toán tượng trưng như gói Maple với các thư viện cho phép tính toán các cơ sở Gr\"obner là rất hữu ích.
Bước 3 Đạo hàm trực tiếp của các phương trình siêu bề mặt được thực hiện ở bước cuối cùng của thuật toán Đối với mỗi ma trận cơ sở có dạng (2.2) thu được ở bước thứ hai, một phương trình trong đạo hàm riêng sẽ được thiết lập.
∂x j = 0 (2.8) một hệ thống ba phương trình như vậy được giải quyết bằng các phương pháp tiêu chuẩn.
Cần loại bỏ các đa thức tương đương từ tập hợp các bề mặt thu được, cũng như những bề mặt có đại số đối xứng vượt quá 3 chiều.
Xét các siêu bề mặt suy biến không xác định, trong phương trình (2.5),
F 2 = x 1 x 2 Do đó, siêu diện được cho bởi phương trình: x4 = x1x2 + F3(x1, x2, x3) +F4(x1, x2, x3) + (2.9)
Sự hiện diện của số hạng F 2 trong phương trình siêu diện cho phép tinh chỉnh dạng của đa thức F 3
Mệnh đề 2.1.Nếu bề mặt (2.8) là thuần nhất thì bằng phép biến đổi affine ta có thể rút gọn đa thức F 3 từ phương trình này về dạng
F3 = a1x 3 1 +a2x 3 2 + a3x 2 1 +a4x1x2 +a5x 2 2 x3 (2.10) với một số hệ số thực a 1 , , a 5
Chứng minh: Một đa thức thuần nhất tùy ý bậc 3 chứa 10 số hạng:
Ta thu được phương trình: x 4 = (x 1 +Ax 4 ) (x 2 +Bx 4 ) +F 3 (x 1 +Ax 4 , x 2 +Bx 4 , x 3 ) + .
Suy ra rằng sau khi thay thế (2.12), các hệ số A 210 và A 120 trong (2.11) có thể bằng 0, do đó đa thức F 3 sẽ chứa không quá 8 số hạng.
Các trường vectơ affine (2.4) tiếp tuyến với siêu diện phẳng (2.9) ở dạng sau: e 1 = (1 +l 11 +a 14 x 4 ) ∂
Với l jk = l jk (x 1 , x 2 , x 3 ), j, k = 1, ,4. Áp dụng đồng nhất thức (2.6) vào e1
Ta có các đa thức bậc 1 và 2: deg = 1 :x 2 −l 14 = 0 deg = 2 :∂F 3
Tương tự, chúng ta thu được các thành phần bậc 1 và bậc 2 cho e 2 : deg = 1 :x 1 −l 24 = 0 deg = 2 :∂F 3
Và cho cả e 3 deg = 1 : −l 34 = 0 deg = 2 : ∂F3
Từ kí hiệu (2.16) suy ra đa thức F 3 không chứa các số hạng x 2 3 , nghĩa là,
Dựa vào các đẳng thức bằng 0 của các hệ số A 210 và A 120 đã được nêu, chúng tôi kết luận rằng đa thức F 3 chỉ có tối đa năm hệ số, tức là nó có thể được biểu diễn theo dạng (2.10) Điều này cần được chứng minh.
Bất kỳ phần tử nào từ bộ ba \((a_3, a_4, a_4)\) đều có thể trở thành phần tử đơn vị thông qua phép kéo dài \(x_3 \rightarrow r x_3\) với \(r \in \mathbb{R}\) Đồng thời, bất kỳ phần tử khác 0 nào từ cặp \((a_1, a_2)\) cũng có thể được chuyển đổi thành phần tử đơn vị bằng cách thay thế \(x_1 \rightarrow t x_1\) và \(x_2 \rightarrow \frac{1}{t} x_2\) với \(t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Sử dụng đa thức F3 đơn giản hóa giúp giảm thiểu đáng kể các hạn chế liên quan đến trường vectơ tiếp tuyến trên bề mặt đồng nhất đang được thảo luận.
Chúng tôi sẽ phân tích một trường hợp cụ thể của phương trình chính tắc (2.11) liên quan đến các bề mặt suy biến, với giả định rằng
Đa thức \( F_3 = x_1^2 x_2 \) chỉ chứa một số hạng, thay vì có thể có đến năm số hạng Khi thay \( F_3 \) vào các phương trình (2.15)-(2.17), ta dễ dàng nhận được mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2 Nếu điều kiện (2.17) được thỏa mãn, các ma trận cơ sở của đại số Lie tương ứng với mặt đồng nhất với phương trình (2.9) có dạng sau:
Các đại số ma trận Lie và ứng dụng Maple vào bài toán tích phân đại số ma trận trong R 4
bài toán tích phân đại số ma trận trong R 4
Mỗi loại cơ sở trong hai loại đã nêu đều có một số tham số lớn Nhiều bộ tham số, tương ứng với các đại số Lie, có thể được thu được từ nhau thông qua ma trận đồng dạng Khẳng định này được xác nhận nhờ vào việc làm việc chăm chỉ với các tham số trong các đại số từ Ví dụ 2.1.
Bất kỳ đại số Lie nào có cơ sở từ Ví dụ 2.1 đều có thể được rút gọn bởi ma trận đồng dạng đến một trong các đại số trong danh sách sau g1.
Để có được một danh sách các mặt đồng nhất có phương trình dạng (1)
Việc còn lại là tích phân các đại số Lie của các trường vectơ affine theo cấu trúc từ Mệnh đề 2.4 Điều này có thể thực hiện thông qua các quy trình chuẩn để tích phân từng bước các phương trình tương ứng với các trường cơ sở của các đại số Chúng tôi sẽ chỉ mô tả một số trường hợp bài toán tích phân đại số ma trận nhờ ứng dụng của Maple.
Cơ sở đơn giản của đại số Lie g 12 (m) có dạng sau: e1
Tương ứng với e 1 , e 2 , e 3 của đại số ma trận 1) ta thu được hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc:
Chúng ta sẽ giải hệ trên theo thứ tự, từng bước sẽ giảm số lượng các phương trình và số lượng các biến trong hệ.
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là
∂x 3 = t 1 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình làG(t 1 , t 2 ) =−t 2 1 t 2 +H(s), trong đó H là một hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào biến s = t 1 Khi đó:
Với C là hằng số. Điều này có nghĩa là nghiệm bất kì của hệ phương trình trên thu được bằng cách thay thế đưa về các biến ban đầu.
Sau các phép tính liên quan đến các phép biến đổi ta thu được phương trình bề mặt là:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình liên quan đến đại số ma trận Cụ thể, từ các biểu thức \( x^* 1 = x_1 \), \( x^* 2 = x_3 \), và \( x^* 3 = -x_2 \), ta có thể xác định rằng \( F = x^* 1 x^* 2 + x^* 2 1 x^* 3 + x^* 3 1 \) Điều này dẫn đến phương trình bề mặt tương ứng với đại số ma trận đã cho là \( x^4 = x_1 x_2 + x_2^1 x_3 + x_3^1 \) Đây là họ đại số (2) trong 7 họ ma trận Lie đã được đề cập, với \( A = 3 \).
Trong Maple, để kiểm tra lại ta thực hiện như sau:
Tiếp tục đi tính đạo hàm của F theo từng biến:
Sau khi thay vào phương trình (2):
Tiến hành thay các kết quả ở trên vào phương trình (1) và rút gọn, ta được:
Có thể thấy kết quả hoàn toàn tương tự như bài giải ở trên.
Cách làm hoàn toàn tương tự cho trường hợp tổng quát đại số Lie g ( 12 m) e1
Tương ứng với e 1 , e 2 , e 3 của đại số ma trận 2) ta thu được hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc:
Chúng ta sẽ giải hệ trên theo thứ tự, từng bước sẽ giảm số lượng các phương trình và số lượng các biến trong hệ.
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là
∂t 3 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 1 t 1 + ∂G
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình làG(t 1 , t 3 ) =−t 2 1 t 3 +H(s), trong đó H là một hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào biến s = t 1 Khi đó:
H = Ct^{m+2} 1, với C là hằng số Điều này có nghĩa là mọi nghiệm của hệ phương trình trên có thể được tìm ra bằng cách thay thế và đưa về các biến ban đầu.
Sau các phép tính liên quan đến các phép biến đổi ta thu được phương trình bề mặt là:
( x ∗ 1 = x 1 x ∗ 2 = x 2 x ∗ 3 = −x 3 Từ (a) ta được F = x ∗ 1 x ∗ 2 + x ∗2 1 x ∗ 3 + x ∗(m+2) 1 hay nói cách khác phương trình bề mặt tương ứng với đại số ma trận là: x4 = x1x2 + x 2 1 x3 +x m+2 1 Đây là phương trình(2) trong Định lý 2.1 với A = m + 2.
Trong Maple, để kiểm tra lại ta thực hiện như sau:
Tiếp tục đi tính đạo hàm của F theo từng biến:
∂x3G(x1, x3) Sau khi thay vào phương trình (2):
Tiến hành thay các kết quả ở trên vào phương trình (1) và rút gọn, ta được:
Có thể thấy kết quả hoàn toàn tương tự như bài giải ở trên.
Cơ sở của đại số Lie g 10 e 1
. Ở bài này tác giả sẽ giải bài toán tích phân ma trận kết hợp với sự hỗ trợ của Maple.
Tương ứng với e 1 , e 2 , e 3 của đại số ma trận 3) ta thu được hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc:
∂x 3 −x2 = 0 Chúng ta sẽ giải hệ trên theo thứ tự, từng bước sẽ giảm số lượng các phương trình và số lượng các biến trong hệ.
Sử dụng Maple ta được kết quả như sau:
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là:
3m +G(x 1 , x 2 ) Đặt x 1 = t 1 , x 2 = t 2 Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sử dụng Maple để tính các đạo hàm riêng theo từng biến:
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là G(t1, t2) = −t 1 t 2 2
9m 2 + H(s), trong đó H là một hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào biến s = t 1
Trước khi sử dụng Maple để tính đạo hàm riêng theo từng biến, cần nhập phương trình (2) để xác minh kết quả đã tính của G.
∂t 2 Thay vào phương trình (1), tính toán đơn giản và dùng Maple ta có: mt 1 ∂G
Với C là hằng số. Điều này có nghĩa là nghiệm bất kì của hệ phương trình trên thu được bằng cách thay thế đưa về các biến ban đầu.
Sau các phép tính liên quan đến các phép biến đổi ta thu được phương trình bề mặt là:
9m 3 hay nói cách khác phương trình bề mặt tương ứng với đại số ma trận là: x 4 = x 1 x 2 +x 2 1 x 3 + x 3 1 ln(x 1 )
9m 3 Đây là phương trình (7) trong Định lý 2.1.
Sau một thời gian nghiên cứu ứng dụng Maple trong việc mô tả bề mặt đồng nhất trong không gian R^4, luận văn đã đạt được những kết quả quan trọng.
Bài viết này hệ thống hóa các khái niệm và định lý liên quan đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và đại số Lie, nhằm hỗ trợ việc giải quyết các bài toán tích phân đại số một cách hiệu quả.
2 Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Maple và các hàm trong đó.
Nghiên cứu và tích phân đại số Lie 3 chiều liên quan đến các bề mặt đồng nhất trong không gian R^4 Mục tiêu chính của luận văn này là xác định các siêu diện đồng nhất trong R^4.
Sử dụng gói tượng trưng Maple và ứng dụng gói tính toán này giúp đạt được những kết quả chính xác và rõ ràng trong các siêu diện thực đồng nhất Affine trong không gian R^4.
Trong quá trình thực hiện luận văn, do kiến thức còn hạn chế và thời gian không đủ, tôi nhận thấy còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý và hỗ trợ từ quý thầy cô cùng các bạn học viên để hoàn thiện luận văn này Xin chân thành cảm ơn!
[1] Phạm Minh Hoàng (2005), Maple và các bài toán ứng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[2] Lê Văn Hạp (2003), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục tại Đà Nẵng.
[3] Phan Thị Hồng Thắm (2018), Ứng dụng phần mềm Maple cho bài toán tích phân đại số ma trận, Luận văn thạc sĩ khoa học.
[4] Loboda A.V (2020), On the Orbits of Nilpotent 7-dimensional Lie Al- gebras in 4-dimensional Complex Space, Journal of Siberian Federal University Mathematics and Physics 2020, 13(3), 360–372.
[5] Loboda A.V (2009), Affine-homogeneous real hypersurrfaces of 3- dimendsional compex space Loboda, Bulletin of VSU Ser Physics. Mathematics, vol 2 71-90.
[6] Loboda A V., Nguyễn T T D (2012), On the affine homogeneity of tubular type surfaces in C 3 , Proceedings of the Steklov Institute of Math-ematics, 93–109.
[7] Cartan E (1932), Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann Math PuraAppl, 17-90.