Luận văn thạc sĩ một phương pháp lặp song song xếp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ DINH MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: To

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DINH

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên và TS.Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình họctập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng cácthầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 15

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 18

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 21

Chương 2 Phương pháp lặp song song giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 23 2.1 Phát biểu bài toán 23

2.2 Phương pháp lặp song song giải Bài toán (2.2) 27

2.3 Một số ứng dụng 35

2.3.1 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 35

2.3.2 Điểm bất động của nửa nhóm không giãn 37

2.3.3 Không điểm của toán tử đa trị đơn điệu 41

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banachh., i tích vô hướng trên Hk.k chuẩn trên H

∪ phép hợp

∩ phép giao

R+ tập các số thực không âmG(A) đồ thị của toán tử AD(A) miền xác định của toán tử AR(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiêncứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bàitoán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966trong tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạnchiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu kháchi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and TheirApplications” của D Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biếnphân là việc xây dựng các phương pháp giải hay chính xác hơn là các phươngpháp xấp xỉ nghiệm Có nhiều phương pháp giải đã được đề xuất như phươngpháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phươngpháp đường dốc nhất

Bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ C,sao cho

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1)trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta

ký hiệu bài toán này là VI(C, F ) Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việcgiải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấpnhận lồi nổi tiếng Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric

PC từ H lên C, do đó bài toán trên có thể xem như bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ngoài ra, nó cũng đã đượcnghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm

bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn đếm được hay không đếm đượcánh xạ không giãn.

Chủ đề bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các dãyánh xạ gần không giãn đã và đang thu hút nhiều người làm toán trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu

Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạndãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H Luận văn bao gồm 2chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert,bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biếnphân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan Chương 2 trình bày lại kết quảcủa các tác giả T.M Tuyen và các cộng sự từ tài liệu [19] cho bài toán bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạgần không giãn trong không gian Hilbert thực H Ngoài ra, Chương 2 của luậnvăn cũng đề cập đến một số ứng dụng của Định lý chính (Định lý 2.2) cho cácbài toán liên quan (bài toán tìm điểm bất động của dãy ánh xạ không giãn, bàitoán tìm điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn và bài toán tìm khôngđiểm của toán tử đơn điệu)

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm năm mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng

cơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả

về bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.3 và 1.4 đề cập đếnbài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụngtrong Chương 2 của luận văn Nội dung của chương này phần lớn được thamkhảo từ các tài liệu [1], [2] và [8]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2+ 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)(kxk2− 2hx, yi + kyk2)

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có

kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, x + yivới mọi x, y ∈ H

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

với mọi n ≥ 1 Khi đó, en * 0, khi n → ∞ Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bấtđẳng thức Bessel, ta có

∞

X

n=1

|hen, yi|2 ≤ kyk2 < ∞

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và

kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn − xk2 = kxnk2− 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho

kx∗k ≤ kxk với mọi x ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

x∈Ckxk Khi đó, tồn tại {xn} ⊂ C sao cho

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PC(x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Chứng minh Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng

và khác rỗng Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại duy nhất một phần tử PC ∈ Csao cho

Mệnh đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H Cho PC : H −→ C là một ánh xạ Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;

Điều này tương đương với

kx − PCxk2 ≤ kα(y − PCx) − (x − PCx)k2

= α2ky − PCxk2+ kx − PCxk2− 2αhy − PCx, x − PCxi

Từ đó, ta nhận được

2hy − PCx, x − PCxi ≤ αky − PCxk2.Cho α −→ 0+, ta được hy − PCx, x − PCxi ≤ 0

Ngược lại, giả sử b) đúng Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có

kx − PCxk2 = kx − y + y − PCxk2

= kx − yk2+ 2hx − y, y − PCxi + ky − PCxk2

= kx − yk2+ 2hx − PCx, y − PCxi − ky − PCxk2

≤ kx − yk2

Do đó, kx − PCxk = infu∈C kx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC làphép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

a) với mọi x, y ∈ H, ta có

kPCx − PCyk2 ≤ hx − y, PCx − PCyi;

b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có

kx − yk2 ≥ kx − PCxk2+ ky − PCxk2.Chứng minh a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có

hx − PCx, PCy − PCxi ≤ 0,

hy − PCy, PCx − PCyi ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.

Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 1.9 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì

hv, y − x + x − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2,với mọi y ∈ C Do đó

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2.Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu Giả sử ngược lại rằng C không là tậpđóng yếu Khi đó, tồn tại dãy {xn} trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x /∈ C Vì

C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có

hv, zi < hv, xi − ε,

với ε = kvk2/2 và mọi z ∈ C Đặc biệt

hv, xni < hv, xi − ε,với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hv, xi ≤ hv, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.10 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

Giả sử x ∈ Fix(T ) Khi đó, ta có sin x = x Xét hàm số g(x) = x − sin x,

Chứng minh Giả sử Fix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra Fix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãnnên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn

xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ Fix(T ), nên

kT xn − xnk = 0,với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được

kT x − xk = 0, tức là x ∈ Fix(T ) Do đó, Fix(T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của Fix(T ) Giả sử x, y ∈ Fix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tínhkhông giãn của T ta có

Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi

đó, nếu T có điểm bất động thì T là nửa đóng, tức là với mọi dãy {xn} ⊂ C thỏamãn xn * x ∈ C và xn − T xn → y, thì x − T x = y Đặc biệt, nếu y = 0 thì

Tn(x) = αnx0+ (1 − αn)T (x),với mọi n ≥ 1 và mọi x ∈ C

Với mọi x, y ∈ C, ta có

kTn(x) − Tn(y)k = (1 − αn)kT (x) − T (y)k ≤ (1 − αn)kx − yk

Suy ra, Tn là ánh xạ co với hệ số co 1 − αn Theo nguyên lý ánh xạ co Banach1tồn tại duy nhất xn ∈ C sao cho Tn(xn) = xn, tức là,

xn = αnx0+ (1 − αn)T (xn)

1 Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào chính nó đều có duy nhất một điểm bất động.

i∈Iαi = 1 ta đều

có Fix(P

i∈IαiTi) = ∩i∈IFix(Ti)

Chứng minh Dễ thấy ∩i∈IFix(Ti) ⊆ Fix(P

i∈IαiTi) Bây giờ ta sẽ chỉ ra baohàm thức ngược lại Lấy y ∈ ∩i∈IFix(Ti), với mọi i ∈ I và mọi x ∈ C, từ Mệnh

đề 1.1 và tính không giãn của Ti, ta có

Bài toán Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ khônggiãn với Fix(T ) 6= ∅ Tìm phần tử x∗ ∈ Fix(T )

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, nhưphương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt

Chú ý 1.2 Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C

và xn+1 = T (xn) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T Tuy nhiên điềunày không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn

ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.4) chỉ cho sự hội

ở đây u ∈ C và {αn} ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.5) được gọi là dãy lặp Halpern Ông

đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.5) về điểm bất động của ánh xạkhông giãn T với điều kiện αn = n−α, α ∈ (0, 1)

Phương pháp lặp xấp xỉ mềm

Năm 2000, Moudafi [11] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểmbất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minhđược các kết quả sau:

x ∈ Fix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Fix(T ),

trong đó {εn} là một dãy số dương hội tụ về 0

(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn} ⊂ C bởi:

zn+1 = 1

1 + εnT zn +

εn

1 + εnf (zn), ∀n ≥ 0. (1.7)Nếu limn→∞εn = 0, P∞

n=1εn = ∞ và limn→∞

1

εn+1 − 1

εn

= 0, thì {zn} hội tụmạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ Fix(T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Fix(T ),

ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức là

kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C

Chú ý 1.3 Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm củaMoudafi trở về phương pháp lặp của Halpern

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trênkhông gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan

Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạliên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hF x∗, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.8)Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.8) được gọi là tập nghiệm của bài toán

và ký hiệu là V I(F, C)

Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (1.8) được cho bởi định lý dưới đây:

Định lý 1.1 Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn làmột ánh xạ liên tục Khi đó, Bài toán (1.8) có ít nhất một nghiệm.

Chứng minh Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC(I − γF )

là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn

và γ > 0 Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho

PC(x∗− γF (x∗)) = x∗ Theo Mệnh đề 1.8, hF x∗, x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C hay

x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8)

Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.8) có mối quan hệ mật thiết với một sốbài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toánđiểm bất động

a) Hệ phương trình

Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phươngtrình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằnggiữa cung và cầu Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệphương trình thông qua mệnh đề dưới đây:

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếmhàm lồi trên C Xét bài toán sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

f (x∗) = min{f (x)|x ∈ C} (1.9)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.9) và bất đẳng thức biếnphân cổ điển.

Mệnh đề 1.16 Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R

là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán(1.9) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8), với F x = 5f (x)

Chứng minh Giả sử x∗là nghiệm của Bài toán (1.9) Đặt ϕ(t) = f (x∗+t(x−x∗))với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ0(0) = h5f (x∗), x−x∗i,hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8), với F x = 5f (x)

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8), với F x = 5f (x) Vì f là hàmlồi, nên

f (x) ≥ f (x∗) + h5f (x∗), x − x∗i,với mọi x ∈ C Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm củaBài toán (1.9)

b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.10) được gọi là bài toán bù tuyến tính

Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởimệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.17 Bài toán V I(F, Rn+) và Bài toán (1.10) có cùng tập nghiệm.Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+), tức là

hF x∗, x − x∗i ≥ 0, (1.11)với mọi x ∈ Rn+

Trong (1.11), thay x bởi x∗+ ei, với i = 1, 2, , n và {e1, e2, , en} là cơ sở chính

tắc của Rn, ta được Fix∗ ≥ 0 với Fi(x∗) là tọa độ thứ i của F x∗ Do đó, F x∗ ≥ 0.Trong (1.11), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được

hF x∗, x∗i ≥ 0, hF x∗, −x∗i ≥ 0 (1.12)Suy ra hF x∗, x∗i = 0 Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.10)

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.10) Vì x ∈ Rn+ nên

hF x∗, x − x∗i = hF x∗, xi − hF x∗, x∗i ≥ 0,hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+)

d) Bài toán điểm bất động

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bấtđẳng thức biến phân cổ điển

Mệnh đề 1.18 Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.8) khi và chỉ khi x∗

là điểm bất động của ánh xạ PC(I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồngnhất trên Rn

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8

1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu nhưsau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hAx∗, x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C (1.13)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.13) được gọi là tập nghiệm của bàitoán và ký hiệu là V I(A, C).

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H

a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ 0

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAy, x − yi ≥ 0 suy ra hAx, x − yi ≥ 0

c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ αkx − yk2.d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng

số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ αkAx − Ayk2.e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) * A(x) khi t −→ 0+với mọi x, y ∈ C mà x + ty ∈ C với t đủ nhỏ

f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kAx − Ayk ≥ Lkx − yk

Nhận xét 1.1 Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnhthì ánh xạ A là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz

L = 1

α.

Mệnh đề dưới đây cho ta biết về một trường hợp tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Mệnh đề 1.19 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của khônggian Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó,

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ V I(C, A), tức là hAx∗, y − x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ C Khi

đó, từ tính đơn điệu của A, ta có

hAy, y − x∗i = hAy − Ax∗, y − x∗i + hAx∗, y − x∗i ≥ 0với mọi y ∈ C

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C thỏa mãn

x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ = PC(x∗− λAx∗) với mọi λ > 0

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8

1.5 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.1 (xem [3]) Cho V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz và F : C −→

H là một ánh xạ k-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh Khi đó, với 0 ≤ γL < µη, tacó

hx − y, (µF − γV )x − (µF − γV )yi ≥ (µη − γL)kx − yk2, ∀x, y ∈ C, (1.14)tức là, µF − γV là đơn điệu mạnh với hệ số µη − γL

Bổ đề 1.2 (xem [20]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbertthực H Giả sử λ ∈ (0, 1) và µ > 0 Cho F : C −→ H là một ánh xạ k-Lipschitzian và η-đơn điệu mạnh trên C Xác định ánh xạ G : C −→ H bởi

Gx = (I − λµF )x, ∀x ∈ C

Khi đó, G là một ánh xạ co nếu µ < 2η/k2 Chính xác hơn, với µ ∈ (0, 2η/k2),thì

kGx − Gyk ≤ (1 − λτ )kx − yk, ∀x, y ∈ C,trong đó τ = 1 −p1 − µ(2η − µk2)

Bổ đề 1.3 [9] Cho {sn} là một dãy số thực không giảm theo nghĩa tồn tại mộtdãy con {snk} sao cho

Khi đó {an} hội tụ đến 0 khi n → ∞.

Chứng minh Với ε > 0 bất kỳ (cho trước), lấy số tự nhiên N đủ lớn sao cho

Từ các điều kiện i)-iii) và đánh giá trên, ta nhận được lim supn→∞an ≤ 2ε Vì

ε > 0 là bất kỳ nên lim supn→∞an ≤ 0 Do đó limn→∞an = 0