Luận văn thạc sĩ khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

▲í✐ ❝↔♠ ì♥

❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ❧✉æ♥ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü õ♥❣ ❤ë✱ ❤÷î♥❣

❞➝♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍↔✐✳ ❚❤➛② ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ t❤❡♦ ❞ã✐s→t s❛♦✱ ❞➔♥❤ ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤✱ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ✈➔ ❣✐↔✐ ✤→♣ ❝→❝ t❤➢❝

♠➢❝ ❝õ❛ tæ✐✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❚❤➛②✳

❚æ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ ❚↕♦

❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❈æt❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✼ ✕ ✷✵✶✾ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦ tr✉②➲♥

✤↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tæ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ tî✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣ ✤➣ ❧✉æ♥

✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✈➲ ✈➟t ❝❤➜t ✈➔ t✐♥❤ t❤➛♥ ❝❤♦ tæ✐tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤➔♥❤ ❈æ♥❣

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ①✉②➯♥ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤t♦→♥ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t❤➔♥❤ ♥➯♥ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝

❤✐➸✉ r➡♥❣ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ❦❤æ♥❣ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣trñ q✉❛ ❧↕✐✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣➢♥ ❦➳t ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔② tr♦♥❣ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛

❚❍❈❙✲ ❚❍P❚ ❧➔ ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ✤➲ ❝➟♣ rã r➔♥❣ ✤➛② ✤õ✳

❚❤ü❝ t➳ q✉→ tr➻♥❤ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ✈➲

♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❦❤→ ♠ì ❤ç ✈➔ ❣➛♥ ♥❤÷ ❤✐➸✉ ✤➙② ❧➔ ✷ ♣❤➙♥

♠æ♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ t↕♦ ♥➯♥ ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❈→❝ ❡♠ ❤å❝ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔♦t❤➻ ❤å❝ ✈➔ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ✤â✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❞↕② ❤å❝ t❤❡♦ t✐➳t

♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲

✣↕✐ sè✱ ➼t ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❝❤ó trå♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❍➻♥❤

❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣✳

❚❤æ♥❣ q✉❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t❤ü❝ t➳✱ tæ✐ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛

❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤✐➸✉

❜✐➳t ❤ì♥ ✈➲ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ trñ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ æ♥ t❤✐ ✈➔ t❤✐ ❤å❝s✐♥❤ ❤ä✐ ❝➜♣ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❝â ❝→✐ ♥❤➻♥ ♠î✐✱ ❤÷î♥❣ ✤✐ ♠î✐✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❧í✐

❣✐↔✐ ♠î✐✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❤ì♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ æ♥ ❧✉②➺♥ ✈➔ t❤✐ ♠æ♥ ❚♦→♥✳

❱➻ ♥❤ú♥❣ ❧þ ❞♦ tr➯♥✱ tæ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧❑❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺

❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✧✳ ❚❤æ♥❣q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥➔②✱ tæ✐ ♠♦♥❣ r➡♥❣ ♠➻♥❤ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ♠è✐q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trñ ❧➝♥

≥ 9

c +

c

b − 2

+c

b + c + 1

+

b

c + a + 1

+

c

⇔ S1 = S2 = S3 = S

3,

❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, OBC, OAC, OAB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, S1, S2, S3 t❤➻

S = S1+ S2 + S3

▲↕✐ ❝â

d(M ; BC)d(A; BC) =

≥ 2

√BD.EC.2√

❍➻♥❤ ✻

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ❝↕♥❤ a✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â tr➯♥

❝↕♥❤ AB✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ MA, MB ✈➲ ❜➯♥ tr♦♥❣ ABCD✳ ❳→❝

✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤

❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ t♦→♥ t❤÷í♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣

❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ð ♣❤ê t❤æ♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ t❤÷í♥❣ ❣ç♠ ❝→❝ ❜÷î❝✿ ❞ü ✤♦→♥q✉ÿ t➼❝❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉ÿ t➼❝❤✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝â ♠ët sè ❜➔✐t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧↕✐ ✤÷ñ❝ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè✳

❚❛ ①➨t minx(m),♠❛①x(m) ✤➸ ❝❤➾ r❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❝❤➾ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣t❤➥♥❣ (d1) ✈➩ tr♦♥❣ (α1)✳

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✳ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M(x; y) ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ t❤❛♠ sè m✳

❇÷î❝ ✶✳ ❈❤✉②➸♥ tø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ q✉ÿ t➼❝❤ T ✤è✐ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❝❤↕② M(x; y) ✈➲ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ❝õ❛ ♥â✳

❇÷î❝ ✷✳ ●✐↔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ➜② ✤➸ t➻♠ r❛ ❤➺ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤➺trü❝ t✐➳♣ ❣✐ú❛ x, y✳

❈❤ó þ✳ ◗✉ÿ t➼❝❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠✐➲♥✳

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔

❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ y = f(x) = x − 2 + mx (4)✳ ❚➻♠q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè✳

y = x − 2 + x

2

x = 2x − 2

❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α1✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x < 0

y = x − 2 + x

2

x = 2x − 2

❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α2✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x > 0

t❤➯♠ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö ♠î✐ ❝❤♦ ✈❡❝tì✳ ❈❤♦ ♣❤➨♣ ①â❛ ✤✐ r❛♥❤ ❣✐î✐ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝

✈➔ ✣↕✐ sè✳

◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❞ü❛ tr➯♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ✈❡❝tì ✈➔tå❛ ✤ë ✈❡❝tì t❤ü❝ sü ❞➵ ❤✐➸✉ ✈➔ tr♦♥❣ s→♥❣✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟② ❞÷î✐ ✤➙②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥s➩ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ tå❛ ✤ë ✈❡❝tìt↕♦ r❛ ♠ët ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ ♠î✐✱ ✤ç♥❣ t❤í✐ t➠♥❣ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t÷ ❞✉② s→♥❣ t↕♦ ✈➔

✈➟♥ ❞ö♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤✳

❚r÷î❝ t✐➯♥✱ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ①✐♥ ♥➯✉ ❧↕✐ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝➠♥ ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì ♥❤÷s❛✉

cos A + cos B + cos C ≤ 2 sinC2 − 2 sin2 C2 + 1

⇔ cos A + cos B + cos C ≤ −2

sinC

A = ˆBˆ

❚ø ✤â ❞➝♥ ✤➳♥ (1) ⇔ 0 ≤ 3 − 2(cos A + cos B + cos C).

⇔ cos A + cos B + cos C ≤ 3

2.

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ⇔ (~v1+ ~v2+ ~v3)2

= 0 ⇒ ~v1+ ~v2+ ~v3 = ~0

⇒ ~v1+ ~v2 = −~v3

− 2x(cos C + cos B) − 2 cos A + 2.

⇔x2+ 2 ≥ 2 cos A + 2x(cos B + cos C)

❱➟② n = 12; S12 = 145 t❤ä❛ ♠➣♥ ✤➲ ❜➔✐✳

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦ ❜→t ❣✐→❝ A1A2 A8 ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝âtå❛ ✤ë ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ✤ë ❞➔✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤r➡♥❣ ❝❤✉ ✈✐ ✤❛ ❣✐→❝ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥✳

2 +√3

n + (1 − a1)2

≥ n

√2

2 .

▲í✐ ❣✐↔✐

❚❤❡♦ ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ tr➯♥ t❤➻ Bi+1Ai+1 = |1 − ai+1| ♥➯♥

BiBi+1 =

q

BiA2 i+1+ Bi+1A2

2 .

❚ø ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❣➜♣ ❦❤ó❝ ♥è✐ B1, Bn+1✱ ❦❤æ♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✤ë ❞➔✐ B1Bn+1✱t❛s✉② r❛ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✳ ◆➳✉ ♥ ❧➫

b − c)2.

q(√

a − c).(√c)2 =√

b.a = V P

❉➜✉ ✧❂✧ ①↔② r❛ ⇔

√c

❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❇✉♥②❛❦♦✈s❦② t❛ ❝â✿

V T = 1.p4 cos2α + 1 + 1.p4 cos2β + 1 + 1.p4 cos2γ + 1

≤ p12+ 12+ 12.p4 cos2α + 1 + 4 cos2β + 1 + 4 cos2γ + 1

= 3.p4(cos2α + cos2β + cos2γ) + 3 = 3√

1p4 cos2γ + 1

⇒ cos α = cos β = cos γ ⇒ α = β = γ

~u❂✭√4 cos2α + 1❀p4 cos2β + 1❀p4 cos2γ + 1✮ ✈➔ ~u= (1; 1; 1) t❛ ❝â

⑤~u⑤ ❂ p4 cos2α + 1 + 4 cos2β + 1 + 4 cos2γ + 1 ❂ √7 ✈➔ ⑤~v⑤ ❂ √3✳

⇔ p4 cos2α + 1 = p4 cos2β + 1 =p4 cos2γ + 1

⇔ cos α = cos β = cos γ = √1

3.

1 − tan α tan β =

1tan γ ⇒ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1

❳➨t ❝→❝ ✈❡❝tì

~u = (p1 + tan α tan β;p1 + tan β tan γ; p1 + tan γ tan α)

✈➔

~v = (1; 1; 1),t❛ ❝â

|~u| = 2; |~v| =√3

❚r♦♥❣ ❤➺ tå❛ ✤ë ❉❡s❝❛rt❡s t❛ ❝â

~u.~v = |~u|.|~v| cos(~u, ~v) ≤ |~u|.|~v| ✭❞♦ cos(~u, ~v) ≤ 1) ✭✯✮

⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✯✮ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ t❛ ❝â

g =p1 + tan α tan β + p1 + tan β tan γ + p1 + tan γ tan α ≤ 2√3

❉➜✉ ” = ” ①↔② r❛ ⇔ tan α = tan β = tan γ ⇔ α = β = γ = π6

⇔ sin π2 − B + C2

+ sin π

2 − A + C2

+ sin π

= ~v3 2

+y2

~2 2

= ~v3 2

− 2(xy cos C + xz cos B + yz cos A)

⇔ x2 + y2+ z2 ≥ 2xy cos C + 2xz cos B + 2yz cos A

 np

m2 + mp

mnp

 (1′)

✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â

t❤❛♠ sè

❚r♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤à♥❤ t➼♥❤ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ❝â t❤❛♠ sè✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈î✐ r➜t ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤÷

❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② ❝â ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦➫ tø A✿ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = 2s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ trö❝ ❤♦➔♥❤ ✈➔ t✐➳♣ t✉②➳♥ AD ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳

❍➻♥❤ ✶✷

●å✐ B(−2; 0) ✈➔ C(2; 0) ❧➔ ❤❛✐ ✤➛✉ ♠ót ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ BOC✳

●✐↔ sû m1; m2; m3; m4 t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣AC; AD; AB; AE t❤➻ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤➜② m1 = − tan [ACO = −2 ❀m2 = − tan \DCO =

− tan \EAD = − tan(2 [OAE) = −4

3 ✭✈➻ tan [OAE = −2✮❀ m3 = tan [ABO = 2

q✉↔ t÷ì♥❣ tü✱ ❝á♥ ❦❤✐ a = 0 t❤➻ (2) ⇔ x = 0 ✈➔ ❧ó❝ ✤â ❤➺ ❝â 2 ♥❣❤✐➺♠✮✳

❚❛ ①➨t ①❡♠ ❦❤✐ ♥➔♦ x = a√3✱ y = −1

ax ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ç♥❣ q✉②✳ ●å✐(x0; y0) ❧➔ ✤✐➸♠ ✤ç♥❣ q✉② t❤➻ t❛ ❝â x2

2 ✳

●å✐ h1, h2, h3 ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❜❛ ❝↕♥❤ BC; AB; AC ❝õ❛t❛♠ ❣✐→❝ ABC✳

❚❛ ❝â SABC = SOBC + SOAB + SOAC

2 a ⇒ h1 + h2+ h3 ❂ a

√3

2 = AH ✭✤✐➲✉

♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✮

⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤ BC ✈➔ ❝→❝❤ ♥â ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❜➡♥❣√a✱ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤ AB ❝→❝❤ ♥â ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❜➡♥❣ √b ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ M ✭①❡♠ ❤➻♥❤

− 2a + 1.

✭❈❤ó þ✿ ❦❤✐ a = b = c = 1

3✱ t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝✳✮ ▼ët ♣❤→❝ ❤å❛ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ f(x)tr➯♥ [0; 1] ✱ ❝❤➾ r❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ♥➡♠ ❞÷î✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ x = 1

3 ✱ ♠➔ ❝â ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ y = 12x + 4

3 ✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ a

2

+ 2a + 13a2

− 15a2

− 2a + 1 =(3a − 1)2

1 + x2 2

1 + x2 3

▲í✐ ❣✐↔✐

●✐↔ sû r➡♥❣ S = a + b + c ✈➔ f(x) = √x2+ 1 ✈î✐ x ∈ (0, S) ❚❛ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = S

✣➦t f(x) = x

2

S − x ✈î✐ x ∈ (0; S)✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = S

≥ 0✱ ♥â ❧➔ ✤ó♥❣ ✈î✐ x ∈ (0,√3) ❜➜t ❦ý ✭ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳

❍➻♥❤ ✶✽

❉♦ ✤â✱

❍➻♥❤ ✷✶

◆❤÷ ✈➟② ✤➸ t➻♠ ymax ❤♦➦❝ ymin tr➯♥ G✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ❝õ❛ ✤çt❤à tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ✤ç t❤à ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠✐➲♥ G ♠➔ tø ✤ât❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❣✐→ trà ❧î♥ ♥❤➜t ❤♦➦❝ ♥❤ä ♥❤➜t ❝➛♥ t➻♠✳

❉♦ (−ymax) ≤ −y ≤ (−ymin) ✈î✐ y = x1− x2, (x1, x2) ∈ G✱ ♥➯♥ ymin t÷ì♥❣ù♥❣ ✈î✐ ✈à tr➼ ✤ç t❤à ❝❛♦ ♥❤➜t ✈➔ ymax t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✈à tr➼ ✤ç t❤à t❤➜♣ ♥❤➜ttr♦♥❣ ❝→❝ ✤ç t❤à ❧➔ tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ♠➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ✤ç t❤à ❝õ❛ ♠✐➲♥ G✳

x + y = 4(x − 1)y = 1 ✈î✐ ❝❤ó þ ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ B ❜➨ ❤ì♥

❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ M t❛ ❝â B 5 −

√5

3 +√52

!

√5

3 +√52

!

✳ ●å✐

O1 ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ✤♦↕♥ CQ✱ tå❛ ✤ë ❝õ❛ C ✈➔ Q ❧➔ (0; 4) ✈➔ (4; 0) ♥➯♥

O1 ❝â tå❛ ✤ë ❧➔ (2, 2)✳ ❉♦ 5 −

√5

✣ç t❤à x2 = x2

1− 2x1− y t➻♠ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ 2x1+ 3x2 = 6 t↕✐ ✤✐➸♠

A✳ ✣➸ t➻♠ ❣✐→ trà ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ A t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣✿

❍➻♥❤ ✷✺

9 ✳ ✣➸ t➻♠ ymax t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼

✤ç t❤à t❤➜♣ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝→❝ ✤ç t❤à tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ♠✐➲♥

❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ ❉➵ t❤➜② ✈à tr➼ ✤ç t❤à ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ O(0; 0) ❤♦➦❝ B(2; 0)

✈➔ ❝â ymax = 0

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❚✐➳♥❣ ❱✐➺t

❬✶❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✭✷✵✶✵✮ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ✹✺ ♥➠♠ t↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐tr➫✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳

❬✷❪ ❱ô ❉÷ì♥❣ ❚❤ö②✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ◆❤♦ ✭✷✵✵✷✮✱ ✹✵ ♥➠♠ ❖❧②♠♣✐❝ ❚♦→♥ ❤å❝q✉è❝ t➳ ✭✶✾✺✾✲✷✵✵✵✮✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳