Đ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
Đ ườ ng trung tuy n c a tam giác ế ủ
Đo n th ng ạ ẳ AM n i đ nh ố ỉ A c a tam giác ủ ABC v i trung đi m ớ ể M c a ủ
c nh ạ BC g i là đ ng trung tuy n c a tam giác ọ ườ ế ủ ABC.
M i tam giác có ba đ ng trung tuy n.ỗ ườ ế
Tính ch t ba đ ấ ườ ng trung tuy n c a tam giác ế ủ
Ba đ ng trung tuy n c a m t tam giác cùng đi qua m t đi m Đi m đó cách m i đ nh m t ườ ế ủ ộ ộ ể ể ỗ ỉ ộ kho ng b ng ả ằ 23 đ dài đ ng trung tuy n đi qua đ nh y.ộ ườ ế ỉ ấ
G là tr ng tâm tam giác ọ ABC thì AG AD = BG BE = CG CF= 23.
II BÀI T P Ậ
Bài 1:
T các đ ng th c trên, hãy suy ra các đ ng th c khác:ừ ẳ ứ ẳ ứ
GD= 13AD= 12 AG= 23AD=
BG= 2
3BE=
CG= 23CF=
; ;
Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đ ng trung tuy n ườ ế BP,CQ c t nhau t i ắ ạ G Trên tia đ i c a tiaố ủ
PB l y đi m ấ ể E sao cho PE=PG Trên tia đ i c a tia ố ủ QG l y đi m ấ ể F sao cho QF=QG Ch ng ứ minh r ng: a) ằ GB=¿, GC=GF ; b) EF=BC và EF // BC
Bài 3: Tam giác ABC có các đ ng trung tuy n BD và CE b ng nhau Ch ng ườ ế ằ ứ minh r ngằ
Δ ABClà tam giác cân.
Bài 4: Cho Δ ABC có 3 đ ng trung tuy n ườ ế AD, BE ,CF đ ng quy t i ồ ạ G
a) N u ế Δ ABC đ u hãy ch ng minh: ề ứ GD=¿=GF
b) Đ o l i, n u có ả ạ ế GD=¿=GF khi đó hãy ch ng minh tam ứ Δ ABCđ u.ề
C M
B A
G
E F
C D
B A
Trang 2Bài 5: : Ch ng minh r ng, trong m t tam giác vuông, đ ng trung tuy n ng v i c nh huy nứ ằ ộ ườ ế ứ ớ ạ ề
b ng m t n a c nh huy n.ằ ộ ử ạ ề
Bài 6: Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đ ng trung tuy n t ng ng v i m t c nhứ ằ ế ộ ườ ế ươ ứ ớ ộ ạ
b ng m t n a c nh y thì tam giác đó là tam giác vuông.ằ ộ ử ạ ấ
Bài 7: Cho Δ ABC cân ở A , AB=34 cm,BC=32cm và 3
trung tuy n ế AM ,BN ,CP đ ng quy t i tr ng tâm ồ ạ ọ G.
a) Ch ng minh ứ AM ⊥BC
b) Tính đ dài ộ AM , BN ,CP (làm tròn k t qu đ n ch sế ả ế ữ ố th pậ phân th hai).ứ
Bài 8: Δ ABCcó đ ng cao ườ AH , trung tuy n ế AM (H n»m gi÷a M, B) Cho bi tế
^
BAH =^ HAM=^ MAC
a) Ch ng minh ứ MC=2 MH
b) V ẽMI ⊥ AC t i I Ch ng minh ạ ứ ^IMB=2.^ ABC.
c) Tính các góc c a ủ Δ ABC.
Bài 9: Cho Δ ABC vuông t i A có AD là trung tuy n.ạ ế
a) Ch ng minh ứ AD= 12BC
b) Bi t ế AC=√8cm , AD=√3 cm + Tính c nh AB.ạ
+ Trung tuy n BE c a ế ủ Δ ABCc t AD t i G Tính BE và ch ng minh ắ ạ ứ Δ AGB là tam giác vuông.
Bài 10: Cho Δ ABC có hai trung tuy n ế AM và BN vuông góc v i nhau t i G Ch ng minhớ ạ ứ
BC2+C A2=5 A B2
CÓ TH EM CH A BI T Ể Ư Ế
M i trung tuy n chia thành 2 tam giác có di n tích b ng nhau ỗ ế ệ ằ
N i 3 đ nh c a tam giác v i tr ng tâm c a nó ta đ c 3 tam giác nh có di n tích b ng nhau ố ỉ ủ ớ ọ ủ ượ ỏ ệ ằ
3 trung tuy n c a tam giác phân tam giác thành 6 tam giác nh có di n tích b ng nhau ế ủ ỏ ệ ằ
H t ế
HDG Bài 1: Hs t đi n ự ề
Bài 2:
a) Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC nên : BG=2GP ,CG=2GQ
G
C B
A
Trang 3L i có ạ PE=PG ,QF=QG nên : ¿=2GP , GF=2GQ
Do đó BG=¿,CG=GF
b) Suy ra : ΔGBC =ΔGEF(c.g.c)
T đó ta có ừ EF=BC và GEF=^^ GBC ⇒ EF // BC
Bài 3: G i G là giao đi m c a BD và CE, ta có ọ ể ủ
CG= 23CE Do BD=CE nênBG=CG,GD=¿
Δ BGE=ΔCGD(c g.c)⇒ BE=CD
Ta l i cóạ BE= 12AB,CD= 12 AC nên AB= AC V y ậ Δ ABClà tam giác cân
Bài 4: a) Vì Δ ABC đ u nên ề AD=BE=CF
mà EG= 1
3EB ; FG= 13CF ; DG= 13AD ⇒≥¿GF=GD
b) Ta có: EG= 1
3EB ; FG=13CF ; DG= 13 AD
mà ¿=GF=GD ⇒ AD=BE=CF
BE=CF ⇒ AB= AC ( đã ch ng minh ứ bài 3 )
AD=BE ⇒ CA=CB
⇒ AB=BC=CA ⇒ Δ ABC đ u.ề
Bài 5: Xét Δ ABC vuông t i A, đ ng trung tuy n AM ạ ườ ế
Ta s ch ng minh ẽ ứ AM=12BC
Trên tia đ i c a tia MA l y đi m D sao cho ố ủ ấ ể Ta có
MA= 12 AD, c n ch ng minh D th y ầ ứ ễ ấ Δ BMD= ΔCMA (c.g.c)
⇒ BD= AC , ^ B1=^C do đó BD // AC Ta l i có ạ ^BAC=90° nên^ABD=90° Do đó ΔCAB= Δ DBA (vì
c nh AB chung, ạ CAB=^^ DBA=90°, AC=BD), suy raBC= AD V y ậ AM=1
2BC
Bài 6: XétΔ ABC, đ ng trung tuy n AM có ườ ế AM=1
2BC
Ta s ch ng minhẽ ứ ^BAC=90° D th yễ ấ MA=MB=MC
G
A
E A
D
Trang 4Các tam giác MAB, MAC cân t i M nên:ạ ^B=^ A1, ^C=^ A2
Do đó ^B+^C=^A1+^A2=^BAC
Ta l i có ạ ^B+^C+^ BAC=180° nên ^BAC=90°
Bài 7:
a)
b) Vì M là trung đi m ể BC ⇒ BM= BC2 =16cm
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABM ta có:
A M2+M B2= A B2⇒ AM=√A B2−M B2=√342−162=30 cm
Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC ⇒ GM = 1
3AM=13.30=10cm Xét ΔCBP và Δ BCN có:
{ ¿^B=^C(¿)
¿BCc hung
¿CN=PB( AB= AC)
⇒ ΔCBP=Δ BCN(c.g c)⇒ CP=BN
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị GBM ta có:
G M2+M B2=M B2 ⇒ M B2=102+162=356 ⇒ BM ≈ 18,87 cm
Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC ⇒ BN= 32BG= 32.18,87=28,31cm
V y ậ AM=30cm; BN=CP=28,31 cm
Bài 8:
a) Δ ABH =Δ AMH (c.g.c)⇒ BH=HM ⇒ BM=2 HM =MC b) Ch ra ỉ Δ AHM= Δ AIM(ch−gn)⇒ ^ AMH =^ AMI
mà ^AMH=^ ABH(t heoa)⇒ ^ BMI =2.^ ABC
c) Ta có: Δ AMI= Δ AMH ⇒ ℑ=MH = CM2
Trong tam giác vuông CMI có
ℑ= CM
2 ⇒ ^C=30
0⇒ ^ CMI=600⇒ ^ IMB=1200⇒ ^B=600
⇒ ^A=90° V y tam giác ABC có: ậ ^C=30°; ^A=90°
Trang 5Ch ng minh b đ ứ ổ ề: Trong m t tam giác vuông, góc đ i di n v i c nh c nh góc vuông b ng n a ộ ố ệ ớ ạ ạ ằ ử
c nh huy n thì b ng ạ ề ằ 30°
Bài 9:
a) AD= BC2 ⇒ BC=2 AD=2√3 cm
b) Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABC ta có:
BC2= A B2+ A C2
⇒ AB=√B C2− A C2=√(2√3)2−(√8)2=2cm
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABE ta có:
B E2= A B2+ A E2⇒ BE=√22+( √8
2 )2
=√6cm
mà AG= 23 AD=2√3
3 cm ;BG= 23BE=2√6
3 cm
A G2+B G2=(2√3
3 )2 +(2√6
3 )2
=4= A B2 ⇒ Δ AGBvuông t i G ( ạ Pitago đ o) ả
Bài 10: Vì AM ⊥BN nên :
BC2+C A2=¿
¿4 (B G2+G M2+G N2+ A G2)
¿4(G B2+ A G2)+4 (G M2+G N2)
¿4 A B2+4[ (1
2 AG)2
+(1
2BG)2
]=5 A B2
Bài t p b sung: ậ ổ
1) Cho Δ ABC có hai trung tuy n ế BE và CFc t nhau t i G Đ ng th ng ắ ạ ườ ẳ AG c t ắ BC t i D Kạ ẻ
BH AD t i H và ạ CK AD t i K Ch ng minh: ạ ứ
a) BH=CK
b) S Δ AGB =S Δ AGC =S Δ CGB ( S là di n tích)ệ
2) Cho Δ MNP G i I là m t đi m n m trong tam giác Ch ng minh r ng n uọ ộ ể ằ ứ ằ ế
S Δ IGN =S Δ MIP =S Δ NIP thì I là tr ng tâm c a ọ ủ Δ MNP
Trang 6a) Δ BDH =ΔCKD(ch−gn)⇒ BH=CK
b) Xét Δ AGB và Δ AGC có cạnh AG chung mà:
{¿BH ⊥ AD
¿CK ⊥ AD
¿BH=CK
⇒ S Δ AGB =S Δ AGC Chứng minh tương tự ta được: S Δ BGC =S Δ AGC
Vậy S Δ AGB =S Δ BGC =S Δ AGC
2) Gọi MI ∩ NP={E};∋∩ MP={F}
Kẻ NH ⊥ ME tại H, PK ⊥ ME tại K
⇒ S Δ MNI =S Δ MIP ⇒ 12MI NH= 12MI PK ⇒ NH=PK ⇒ ΔNHE= Δ PKE(cgv−gn)⇒ NE=EP
⇒ E là trung điểm NP Chứng minh tương tự: F là trung điểm MP
mà ME ∩ NF={I}⇒ I là trọng tâm Δ MNP