Hh cđ 1 2 tia phân giác của một góc

TÍNH CH T TIA PHÂN GIÁC C A M T GÓC Ấ Ủ Ộ

I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả

Đ nh lí thu n: ị ậ Đi m n m trên tia phân giác c a m t góc thì cáchể ằ ủ ộ

đ u hai c nh c a góc đó.ề ạ ủ

Đ nh lí đ o: ị ả Đi m n m bên trong m t góc và cách đ u hai c nh c aể ằ ộ ề ạ ủ

góc thì n m trên tia phân giác c a góc đó.ằ ủ

II BÀI T P Ậ

Bài 1: Cho ^xOy L y các đi m ấ ể A ,B thu c tia ộ Ox sao cho OA>OB L y các đi m ấ ể C , D thu c ộ Oy

sao cho OC=OA ,OD=OB G i ọ E là giao đi m c a ể ủ AD và BC Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) AD=BC ; b) Δ ABE= ΔCDE ; c) OE là tia phân giác c a góc ủ xOy

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông t i ạ A có ^B=60° Trên c nh ạ BC l y đi m ấ ể H sao cho HB= AB

Đ ng th ng vuông góc v i ườ ẳ ớ BC t i ạ H c t ắ AC t i ạ D

a) Ch ng minh r ng ứ ằ BD là tia phân giác c a ủ ^ABC;

b) Ch ng minh ứ Δ BDC cân

Bài 3: Cho ^xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot l y đi m ấ ể C b t kì L y ấ ấ A ∈Ox ,B ∈Oy sao cho OA=OB G i ọ H là giao đi m c a ể ủ AB và Ot

a) Ch ng minh ứ CA=CB và CO là phân giác c a ủ ^ACB;

b) Ch ng minh ứ OC vuông góc v i ớ AB t i trung đi m c a ạ ể ủ AB;

c) Bi t ế AB=6cm, OA=5cm Tính OH

Bài 4: Cho Δ ABC vuông t i ạ A, ( AB< AC) G i ọ M là trung đi m c a ể ủ BC Trên n a m t ph ngử ặ ẳ

b ờBC không ch a ứ A d ng tia ự Mx ⊥BC Trên tia Mx l y ấ E sao cho ME=MB

a) Tam giác BEC là tam giác gì ?

b) G i ọ H và K là chân các đ ng vuông góc k t ườ ẻ ừ E đ n các đ ng th ng ế ườ ẳ AB , AC Ch ngứ minh r ng ằ ^BEH =^ CEK ;

c) Ch ng minh r ng ứ ẳ AE là tia phân giác c a góc ủ A

Bài 5: Cho vuông cân A Trên n a m t ph ng có b BC không ch a A, v ở ử ặ ẳ ờ ứ ẽ Δ BDC

vuông D Ch ng minh r ng DA là tia phân giác c a ở ứ ằ ủ ^BDC

H t ế

HDG Bài 1: a) ΔOAD=ΔOCB (c g c)⇒ AD=CB

b) Do OA=OC ,OB=OD ⇒ AB=CD

L i có ạ ΔOAD=ΔOCB (c g.c)⇒ ^ OBC =^ ODA ⇒ ^ ABE=^ CDE

Và cũng có OAD=^^ OCB.

V y ậ Δ ABE= ΔCDE(g.c g)

y

z x

B M A

O

y

x

E D

C

A

c) Vì Δ ABE= ΔCDE(g.c g)⇒ ^BOE=^ DOE ⇒ OE là tia phân giác c a góc ủ xOy

Bài 2: a) Xét Δ ABD và Δ HBDcó:

^

DAB=^ DHB=90° , DB chung,BA=BH

⇒ Δ ABD= Δ HBD ⇒ ^ ABD=^ HBD

⇒ BD là tia phân giác c a ủ ^

b) ^DBH =12^ABC=30°

^

DCB=90°−^ ABC=90°−60 °=30°

⇒ ^ DBH =^ DCB ⇒ Δ DBC cân t i ạ D

Bài 3:

a) Vì Ot là phân giác ^xOy nên ^AOC=^ BOC

⇒ Δ AOC =Δ BOC (c g.c)⇒ CA=CB ,^ OCA=^ OCB

⇒CO là phân giác ^ACB.

b) Do OA=OB,^AOH =^ BOH ,OHchung

nên ΔOAH =ΔOBH (c g.c),

suy ra OHA=^^ OHB=90°

và AH=BH

V y ậ OC vuông góc v i ớ AB t i trung đi m c a ạ ể ủ AB

c) Vì H là trung đi m c a ể ủ AB ⇒ AH= 12AB=3cm.

Áp d ng đ nh lí Pitago trong tam giác vuông ụ ị OHA, tính đ c ượ OH=4cm.

Bài 4: a) Δ BEC có đ ng trung tuy n ườ ế ME= 1

2BC.

⇒ ΔBEC vuông t i ạ E

M t khác ặ Δ BME vuông cân t i ạ M nên ^MBE=45°

⇒ ΔBEC vuông cân t i ạ E

b) T câu (a) suy ra ừ BE=CE.(1)

L i có:ạ

AB⊥ AC ,EK ⊥ AC ⇒ AB ∥ EK

Mà EH ⊥ AB nên EH ⊥ EK ⇒ ^ HEK =90 °

⇒ ^ HEB=^ KEC (cùng ph ụ^HEC) (2)

c) T (1) và (2) suy ra ừ Δ BHE=ΔCKE (c nh huy n – góc nh n) ạ ề ọ ⇒ EH =EK

Xét Δ AHE và Δ AKE có: ^AHE=^ AKE=90° , EH=EK và AE chung

⇒ Δ AHE= Δ AKE ⇒ ^ HAE=^ KAE

V y ậ AE là tia phân giác c a góc ủ A

K

H

E

M B

A

C

D

H C

B A

H

t C B

A

y

x O

Bài 5:

K ẻ AE⊥BD ; AF ⊥DC

Ta có AE//CD (cùng vuông góc v i BD) mà ớ DC ⊥ AF

nên

Ta có ^BAE=^ FAC ( cùng ph v i ụ ớ ^EAC )

Ch ng minh đ c ứ ượ Δ ABE= Δ ACF (g-c-g)

Suy ra AE= AF mà AE⊥BD ; AF ⊥DC nên DA là tia

phân giác c a ủ ^BDC

F

E

C B

A

D