Luận văn thạc sĩ toán học một số vấn đề về hàm số học

τpnq hàm đếm số các ước khác nhau của một số nguyên dương nσpnq hàm tính tổng các ước của một số nguyên dương n ϕpnq hàm Euler µpnq hàm M¨obius λpnq hàm Liouville Λpnq hàm Mangoldt vppnq

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KIỀU OANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

VỀ HÀM SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN KIỀU OANH

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.2 Tích chập Dirichlet 5

1.3 Hàm nhân 10

1.4 Công thức nghịch đảo M¨obius 15

1.5 Hàm nhân hoàn toàn 17

1.6 Đa thức trên vành các hàm số học 22

2 Một số hàm số học cơ bản 25 2.1 Hàm τ , hàm σ 25

2.2 Hàm Euler 29

2.3 Hàm Liouville λ, hàm Mangoldt Λ 34

2.4 Số mũ của số nguyên tố và công thức Legendre 37

2.5 Ước lượng các hàm số học 40

τpnq hàm đếm số các ước khác nhau của một số nguyên dương n

σpnq hàm tính tổng các ước của một số nguyên dương n

ϕpnq hàm Euler

µpnq hàm M¨obius

λpnq hàm Liouville

Λpnq hàm Mangoldt

vppnq số mũ của số nguyên tố p trong phân tích chính tắc của n

eppnq số mũ của số nguyên tố p trong phân tích chính tắc của n!

Mở đầu

Các hàm số học đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong hơn

400 năm qua Các hàm số học không chỉ đóng một vai trò quan trọng trong

lý thuyết số, chúng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau củatoán học như: tổ hợp, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã,

Mục đích của luận văn này là hệ thống một số vấn đề liên quan đến cáctính chất chung của các hàm số học và tập trung vào việc khảo sát một sốhàm số học đặc biệt Luận văn trình bày một số vấn đề liên quan đến vànhcác hàm số học đối với tích chập Dirichlet như phép biến đổi M¨obius, các côngthức liên hệ, biểu diễn các hàm số học Luận văn cũng trình bày tính chấtmột số hàm số học cơ bản như: hàm đếm số các ước, tổng các ước, hàm Euler,hàm M¨obius, hàm Liouville, hàm Mangoldt, ., và mối liên hệ giữa chúng.Luận văn “Một số vấn đề về hàm số học” bao gồm: Mở đầu, Nội dung,Kết luận và Tài liệu tham khảo Nội dung của luận văn gồm hai chương.Chương 1: Hàm số học và tích chập Dirichlet

Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến vànhcác hàm số học đối với tích chập Dirichlet: hàm nhân, công thức nghịch đảoM¨obius, hàm nhân hoàn toàn và đa thức trên vành các hàm số học Chúngtôi cũng trình bày một số kiến thức chuẩn bị về số học được dùng trong luậnvăn

Chương 2: Một số hàm số học cơ bản

Trong chương này chúng tôi khảo sát các tính chất của một số hàm số học

cơ bản như: hàm đếm số các ước, tổng các ước, hàm Euler, hàm M¨obius, hàmLiouville, hàm Mangoldt, công thức Legendre, và mối liên hệ giữa chúng.Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của

TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này chúng tôixin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Chúng tôi cũngxin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, PhòngĐào tạo sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảngdạy các lớp Cao học Toán khóa 23 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúngtôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Nhân đây chúng tôi cũng xinchân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên để tôi hoàn thành tốtluận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực và cố gắng của bản thânnhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiêncứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rấtmong nhận được những góp ý của quý thầy cô để luận văn được hoàn thiệnhơn

Quy Nhơn, ngày 29 tháng 07 năm 2022

Học viên thực hiện đề tài

Nguyễn Kiều Oanh

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Cho hai số nguyên a, bP Z, b‰0 Số nguyên a được gọi là chia hết cho sốnguyên b nếu tồn tại cP Z sao cho a “bc Thay cho việc nói a chia hết cho b

ta viết a .b, hoặc nói b chia hết a và viết b|a Nếu a chia hết cho b thì ta gọi a

là một bội của b hay b là một ước của a

Sau đây là một số tính chất cơ bản của quan hệ chia hết

(i) 1 |a với mọi aP Z

(ii) a| a với mọi aP Z, a‰ 0.

(iii) Nếu a|b và b |c thì a |c với mọi a, b, c P Z, a, b‰0

(iv) Nếu a |b thì |a| ď |b| với mọi a, bP Z, a, b‰0

Định lý 1.1.1 (Định lý phép chia có dư) Với mỗi cặp số nguyên a, bP Z, b‰

0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r P Z sao cho a “ qb`r với

0ďră |b|

Cho các số nguyên a1, a2, , an P Z không đồng thời bằng 0.

(i) Số nguyên d được gọi là một ước chung của các ai nếu d | ai với mọi

(ii) Số nguyên m ‰0 được gọi là một bội chung nhỏ nhất của các ai nếu m

là bội chung của các ai và m chia hết mọi bội chung khác của các ai Ta dùng

kí hiệu ra1, a2, , ans để chỉ bội chung nhỏ nhất dương của a1, a2, , an.Một số tự nhiên p ą1 không có ước số dương nào khác ngoài 1 và chính

nó được gọi là số nguyên tố Số tự nhiên p ą 1 có ước số dương khác 1 vàchính nó được gọi là hợp số

Định lý 1.1.2 (Định lý cơ bản của số học) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đềuphân tích được thành một tích hữu hạn các thừa số nguyên tố và sự phân tíchnày là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các nhân tử

Khi phân tích số tự nhiên n ą 1 thành tích các thừa số nguyên tố, cóthể một số nguyên tố xuất hiện nhiều lần Nếu các số nguyên tố p1, p2, , prxuất hiện theo thứ tự α1, α2, , αr lần, thì ta viết

(iv) Hàm đơn vị I được xác định bởi công thức

với mọi số nguyên dương n

Kí hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số học Với f, g P A, tổng của haihàm số học f và g, kí hiệu là f `g, được định nghĩa như sau

pf `gqpnq “fpnq `gpnq

với mọi số nguyên dương n Tích thông thường của hai hàm số học f và g, kíhiệu là f g, được định nghĩa như sau

pf gqpnq “fpnqgpnqvới mọi số nguyên dương n

Định nghĩa 1.2.3 Cho hai hàm số học f và g Tích chập Dirichlet của f

và g, kí hiệu là f ˚g, được định nghĩa như sau

˙

với mọi số nguyên dương n

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của tích chập Dirichlet

˙

“ ÿ

d|n

fpdq

“ ÿ

˙

“ ÿ

d|n

d“σpnq

Mệnh đề 1.2.5 Tập hợp A các hàm số học với phép toán cộng và tích chậpDirichlet là một vành giao hoán có đơn vị

Chứng minh Rõ ràngpA,`q là một nhóm abel Hơn nữa, tích chập Dirichlet

có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng

Thật vậy, giả sử f, g và h là các hàm số học Khi đó với mọi n nguyêndương

˙

“ ÿ

d|n

g

ˆ

nd

˙

fpdq

“ ÿ

d|n

gpdqf

ˆ

nd

˙

“ pg˚fqpnq

Cho nên tích chập Dirichlet có tính chất giao hoán

Với mọi n nguyên dương ta có

˙ff

“ ÿ

d 1 d 2 “n

fpd1q“pg˚hqpd2q‰

“ ÿ

d 1 d 2 “n

fpd1q

» – ÿ

d 1 d 2 “n

» – ÿ

d 1 ab“n

fpd1qgpaqhpbq

Do đó “f ˚ pg˚hq‰pnq “ “pf ˚gq ˚h‰pnq Cho nên tích chập Dirichlet có tínhchất kết hợp

Với mọi n nguyên dương ta có

˙

`h

ˆ

nd

˙ff

“ ÿ

d|n

fpdqg

ˆnd

˙

` ÿ

d|n

fpdqh

ˆnd

˙

“ pf ˚gqpnq ` pf ˚hqpnq

Cho nên tích chập Dirichlet có tính chất phân phối đối với phép cộng

Cuối cùng, ta thấy rằng hàm I được xác định bởi công thức

Chứng minh Ta chứng minh rằng trong A không có ước của 0, nghĩa lànếu f, g P A và f, g ‰ 0 thì f ˚ g ‰ 0 Đặt M “ n PN |fpnq ‰0( và

N “ n PN |gpnq ‰0( Rõ ràng khi đó M ‰ H và N ‰ H

Gọi m, n lần lượt là các phần tử nhỏ nhất của M, N Khi đó ta có

˙

“ ÿ

d|mn dăm

0.g

ˆmnd

˙

`fpmqgpnq `

ÿ

d|mn dăn

fpdq.0

“ fpmqfpnq ‰0

Vì vậy f ˚g ‰0, và ta có điều phải chứng minh

Nếu một hàm số học khả nghịch với tích chập Dirichlet thì ta kí hiệu f´1

là nghịch đảo Dirichlet của f Kết quả sau đây cho chúng ta điều kiện cần và

đủ để một hàm số học có nghịch đảo Dirichlet

Mệnh đề 1.2.7 Cho f là một hàm số học Khi đó f khả nghịch đối với tíchchập Dirichlet khi và chỉ khi fp1q ‰ 0 Hơn nữa, f´1 được cho bởi công thứctruy hồi sau

Từ đó suy ra

f´1p1q “ 1

fp1q.Giả sử f´1

˙

f´1pdq

Vậy ta có điều phải chứng minh

Rõ ràng tập hợp tất cả các hàm số học khả nghịch đối với tích chậpDirichlet tạo thành một nhóm

Mệnh đề 1.3.3 Nếu f là một hàm nhân thì fp1q “1

Chứng minh Vì f ‰ 0 nên có số nguyên dương n sao cho fpnq ‰ 0 Khi đó

số nguyên tố phân biệt và α1, α2, , αr là các số nguyên dương Khi đó

Từ Mệnh đề 1.3.4 ta có ngay kết quả sau

Hệ quả 1.3.5 Cho f và g là hai hàm nhân Khi đó f “ g khi và chỉ khi

fppαq “ gppαq với mọi số nguyên tố p và α nguyên dương

Từ định nghĩa của hàm nhân ta có tính chất mở rộng sau

Mệnh đề 1.3.6 Cho f là một hàm nhân Khi đó, ta có

Do maxpki, liq, minpki, liq( “ tki, liu, và vì f là hàm nhân cho nên ta có

¯ r

ź

i“1

f ´pminpki ,liq i

¯

f

´

pminpki ,liq i

Sau đây là một số tính chất của hàm nhân liên quan đến tích chập Dirichlet.Mệnh đề 1.3.7 Cho f và g là hai hàm nhân Khi đó tích chập Dirichlet

f ˚g cũng là một hàm nhân

Chứng minh Giả sử m, n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Trướctiên ta có nhận xét rằng với d là một số nguyên dương, nếu d|mn thì d“d1d2trong đó d1 |m và d2 |n Do đó

˙

“ ÿ

» – ÿ

“ pf ˚gqpmqpf ˚gqpnq.Vậy f ˚g là một hàm nhân

Mệnh đề 1.3.8 Nếu f là một hàm nhân thì f có nghịch đảo Dirichlet, và

f´1 cũng là một hàm nhân

Chứng minh Vì f là một hàm nhân cho nên, theo Mệnh đề 1.2.7, f có nghịchđảo Dirichlet Ta chứng minh phần còn lại bằng phương pháp phản chứng

Giả sử trái lại rằng f´1 không là hàm nhân, nghĩa là tồn tại hai số nguyêndương m, n nguyên tố cùng nhau sao cho f´1

pmqf´1

pnq ‰f´1

pmnq Ta chọnhai số nguyên dương m, n thỏa mãn hai điều kiện trên có tích mn bé nhất.Nếu mn “ 1 thì f´1

p1q ‰ 1, nhưng Ip1q “ f´1

p1qfp1q “ f´1

p1q ‰ 1,mâu thuẫn với điều I là hàm nhân Nếu mn ‰ 1 thì với d1d2 ă mn ta có

˙

“ ÿ

Sau đây là một tính chất của hàm nhân liên quan đến điều kiện để một

số là số nguyên tố

Mệnh đề 1.3.9 Nếu f và g là các hàm nhân và nhận giá trị dương Khi đó

n là một số nguyên tố khi và chỉ khi

fpdqg

ˆ

nd

fpdqg

ˆ

nd

˙

`fp1qgpnq `fpnqgp1q “0

Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì theo giả thiết f và g nhận giá trị dương Vậy

ta có điều phải chứng minh

1.4 Công thức nghịch đảo M¨ obius

Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm M¨obius vàcông thức nghịch đảo M¨obius

Hàm số học M¨obius được định nghĩa như sau

p´1qk nếu n là tích của k số nguyên tố phân biệt,

0 nếu n chia hết cho p2 với p là một số nguyên tố Mệnh đề 1.4.1 Hàm M¨obius là một hàm nhân

Chứng minh Thật vậy, cho m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, ta phảichứng minh rằng µpmnq “ µpmqµpnq Nếu m“n “1 thì đẳng thức trên hiểnnhiên đúng

Bây giờ, giả sử rằng m và n chia hết cho bình phương của một số nguyên

tố Rõ ràng khi đó µpmnq “ 0 “ µpmqµpnq Trong trường hợp còn lại giả sử

m “ p1p2 pk và n “ q1q2 qt Vì pm, nq “ 1 nên không có ước nguyên tốchung trong phân tích chính tắc của m và n Do đó

µpmq “ p´1qs, µpnq “ p´1qt, µpmnq “ p´1qs`t.Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.4.2 Nghịch đảo Drichlet của hàm M¨obius µ là hàm hằng u.Chứng minh Ta chứng minh µ˚u “ I Vì u và µ là các hàm nhân cho nên

µ˚u là một hàm nhân theo Mệnh đề 1.3.7 Vì I cũng là một hàm nhân chonên, theo Hệ quả 1.3.5, ta chỉ cần chứng minh

pµ˚uqppαq “Ippαq

với p là một số nguyên tố, α là một số nguyên không âm bất kì

Thật vậy, nếu α “ 0 thì ta có pu˚µqpp0q “ pu˚µqp1q “ 1 “ Ip1q Giả sử

Vậy ta có điều phải chứng minh

Từ Mệnh đề 1.4.2 ta có ngay kết quả sau

Hệ quả 1.4.3 Với n là một số nguyên dương bất kì

ta có điều phải chứng minh

Đối với hàm M¨obius chúng ta có tính chất sau

Mệnh đề 1.4.5 Cho f là một hàm nhân Nếu n “ pα1

Chứng minh Vế trái của đẳng thức trên có thể viết lại làpµf˚uqpnq Vì µ và

f là các hàm nhân cho nên µf là một hàm nhân Do đó µf ˚u cũng là mộthàm nhân theo Mệnh đề 1.3.7 Với p là một số nguyên tố bất kì, α là một sốnguyên dương tùy ý, ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.5 Hàm nhân hoàn toàn

Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm nhân hoàntoàn; đặc biệt là các kết quả về điều kiện cần và đủ để một hàm số học hoặcmột hàm nhân là một hàm nhân hoàn toàn

Định nghĩa 1.5.1 Hàm số học f ‰0 được gọi là một hàm nhân hoàn toànnếu

fpmnq “fpmqfpnqvới mọi số nguyên dương m, n

Ví dụ 1.5.2 Với sP C bất kì, hàm Ns được xác định bởi công thức

Nspnq “ns

với mọi số nguyên dương n là một hàm nhân hoàn toàn Chú ý rằng với s“0hàm N0 là hàm hằng u, và với s “1 hàm N1 là hàm đồng nhất N

Rõ ràng một hàm nhân hoàn toàn là một hàm nhân Tuy nhiên, điềungược lại là không đúng Chẳng hạn, hàm M¨obius là một hàm nhân theoMệnh đề 1.4.1, nhưng không phải là một hàm nhân hoàn toàn vì

˙

“ ÿ

d|n

fpnqgpdqh

ˆ

nd

˙

“ ÿ

˙ff «

gpdqh

ˆ

nd

˙ff

(vì f là hàm nhân hoàn toànq

“ ÿ

˙

h

ˆnd

˙ff

“ pf gq ˚ pf hqpnq

Vậy ta có điều phải chứng minh

Kết quả sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ để một hàm số học làmột hàm nhân hoàn toàn

Mệnh đề 1.5.4 Hàm số học f là một hàm nhân hoàn toàn khi và chỉ khi

f ˚f “f τ trong đó τ là hàm đếm số các ước của một số nguyên dương

Chứng minh Giả sử f là một hàm nhân hoàn toàn Khi đó với mọi ně1 tacó

fpd1qfpd2q

Từ giả thiết quy nạp, ta có

τpnqfpnq “2fp1qfpnq ` pτpnq ´2qfp1q2fpp1qα1¨ ¨ ¨fppkqαk

Vì n không phải là số nguyên tố nên rõ ràng τpnq ą2 Vì vậy với cả fp1q “1

và fp1q “ 0, chúng ta đều nhận được kết quả như mong muốn

Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ để một hàm nhân là mộthàm nhân hoàn toàn

Mệnh đề 1.5.5 Cho f là một hàm nhân Khi đó f là một hàm nhân hoàntoàn khi và chỉ khi

fppαq “fppqα

với mọi số nguyên tố p và số nguyên dương α

Chứng minh Nếu f là một hàm nhân hoàn toàn thì rõ ràng, theo Địnhnghĩa 1.5.1, fppαq “fppqα với mọi số nguyên tố p và số nguyên dương α.Đảo lại, lấy m và n là hai số nguyên dương tùy ý Giả sử

Vậy ta có điều phải chứng minh

Kết quả sau cho ta công thức tính nghịch đảo Dirichlet của một hàm nhânhoàn toàn

Mệnh đề 1.5.6 Cho f là một hàm nhân Khi đó f là một hàm nhân hoàntoàn khi và chỉ khi f´1

“µf , nghĩa là

f´1pnq “µpnqfpnq

với mọi số nguyên dương n

Chứng minh Giả sử f là một hàm nhân hoàn toàn Khi đó với mọi ně1 tacó

˙

“ ÿ

Đảo lại, giả sử f´1

“µf Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.7, với mọi ną1 ta có

fpnq “ ´

ÿ

d|n dăn

f´1pdqf

ˆ

nd

˙

“ ´ ÿ

d|n dăn

µpdqfpdqf

ˆ

nd

µpdqfpdqf

˜

pkd

¸

“ ´µppqfppqfppk´1q “ fppqfppk´1q

Bằng phép quy nạp ta có được fppαq “ fppqα với mọi α ě 1 Vì f là hàmnhân cho nên, theo Mệnh đề 1.5.5, ta suy ra được f là một hàm nhân hoàntoàn

Từ Mệnh đề 1.5.6 ta có công thức tường minh tính nghịch đảo của mộthàm nhân hoàn toàn như sau

p´1qkfpnq nếu n “p1p2¨ ¨ ¨pk là tích của k số nguyên tố phân biệt,

0 nếu n chia hết cho p2 với p nguyên tố

1 Rõ ràng khi đó Fpgq “ 0 Ngoài ra, nghiệm này

là duy nhất vì bất kỳ nghiệm g nào của F phải thỏa mãn ´f0˚f´1

1 “ g, vànghịch đảo của f1 là duy nhất bởi Mệnh đề 1.2.7

Ta cần kết quả chuẩn bị sau để xét trường hợp đa thức bậc hai

Bổ đề 1.6.2 Cho f P A là khả nghịch Khi đó tồn tại đúng hai hàm số học

g1, g2 P A sao cho g1˚g1 “g2˚g2 “f

Chứng minh Với mỗi số nguyên dương n, gọi Lpnq là tổng của tất cả các số

mũ trong phép phân tích chính tắc của n Ta chứng minh rằng có thể xácđịnh duy nhất g1pnq và g2pnq bằng phép quy nạp trên Lpnq Cho Lpnq “ 0,khi đó n “1 Nếu ta định nghĩa g1p1q là căn bậc hai dương của fp1qvà g2p1q

là căn bậc hai âm của fp1q thì ta có

pg1˚g1qp1q “ fp1q “ pg2˚g2qp1q.Hơn nữa bất kì hàm h nào thỏa mãn ph˚hqp1q “fp1q phải thõa mãn hp1q2 “

fp1q Vì vậy g1, g2 là được xác định duy nhất thỏa mãn tính chất yêu cầu nếu

Lpnq “0

Giả sử rằng với n P N nào đó, chúng ta giả sử rằng nếu Lpsq ď n thì

g1psq, g2psq là được xác định duy nhất Cố định mPN sao cho Lpmq “n`1,

g1pdqg1

ˆ

md

g2 pdqg2

ˆmd

˙

“ pgi˚giqpmq

Do đó f “ g1˚g1 “ g2˚g2 Hơn nữa, bất kì hàm h nào thỏa mãn h˚h “ fphải thỏa mãn hai công thức trên Do đó g1 và g2 là được xác định duy nhất.Vậy ta có điều phải chứng minh

Đối với đa thức bậc hai ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.6.3 Cho f, g, h P A sao cho f và g˚g´4f ˚h là khả nghịch.Khi đó tồn tại đúng hai nghiệm f1, f2 P A của đa thức