Một số vấn đề về hàm ma trận và đạo hàm ma trận

Có thể định nghĩa giá trị ma trận của một hàm số bất kì như sau:Với A ∈ MnC là một ma trận vuông phức cấp n tự liên hợp vớigiá trị riêng thuộc khoảng a; b ⊆ R và f : a; b −→ R là một hàm

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình củaPGS TS Lê Công Trình, Trường Đại học Quy Nhơn Do đó, tôi xin bày

tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, tôi cũng xinchân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại họcQuy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê, Khoa Sưphạm cùng quý thầy cô giáo giảng dạy các lớp Cao học Toán khoá 23, giađình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luậnvăn này

Bình Định, ngày 28 tháng 8 năm 2022

Học viên

Nguyễn Thị Đạo

1

MỞ ĐẦU 1

1.1 Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin của hàm số 3

1.2 Một số kiến thức cơ bản về ma trận 5

1.2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan 5

1.2.2 Ma trận chéo hoá được 7

1.2.3 Phổ và giá trị riêng 8

1.2.4 Vết và định thức 9

1.2.5 Ma trận dương 9

1.2.6 Một số bất đẳng thức ma trận cơ bản 10

1.2.7 Chuẩn ma trận 11

2 MỘT SỐ HÀM MA TRẬN 12 2.1 Hàm mũ ma trận 12

2.2 Một số hàm ma trận khác 23

3 ĐẠO HÀM MA TRẬN 28 3.1 Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit 28

3.2 Đạo hàm của hàm vết 30

3.3 Đạo hàm Fréchet 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2

Có thể định nghĩa giá trị ma trận của một hàm số bất kì như sau:

Với A ∈ Mn(C) là một ma trận vuông phức cấp n tự liên hợp vớigiá trị riêng thuộc khoảng (a; b) ⊆ R và f : (a; b) −→ R là một hàm

số, ma trận f (A) được định nghĩa thông qua sự phân tích phổ và phépchéo hoá của A, tức là, nếu A = Pk

i=1αiPi là sự phân tích phổ của A và

A = U Diag(α1, , αk)U∗ là phép chéo hoá của A, thì

Phép tính đạo hàm ma trận được sử dụng trong thống kê, đặc biệt là

để phân tích thống kê phân phối nhiều biến, phân phối chuẩn nhiều biến

và các phân phối eliptic khác ([2], [5], [4]) Phép tính đạo hàm ma trậncòn có nhiều ứng dụng trong giải tích nhiều biến ([1], 2012)

Do đó, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số vấn đề về hàm ma trận

và đạo hàm ma trận" để nghiên cứu và trình bày trong luận văn này

Mục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu một số hàm ma trận và đạo hàmcủa một số hàm ma trận đó, đặc biệt là đạo hàm Fréchet.

Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo.Nội dung của luận văn gồm ba chương, cụ thể

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trongGiải tích cổ điển và một số kiến thức cơ bản về ma trận liên quan đến cácchương sau của luận văn

Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do năng lực bản thân và thời giannghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót Rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, cô và các bạn để luậnvăn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giảitích cổ điển và một số kiến thức cơ bản về ma trận liên quan đến cácchương sau của luận văn Các kết quả liên quan đến khai triển Taylor củahàm số có thể tìm được trong các giáo trình Giải tích cổ điển Các kháiniệm và kết quả cơ bản về ma trận trong chương này có thể tham khảotrong chương 1 của tài liệu [3]

1.1 Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin của

k,

trong đó P(k)(x0) kí hiệu cho đạo hàm của P tại x = x0 Công thức nàyđược gọi là công thức Taylor với tâm x0 của đa thức P (x)

Đối với các hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ R, ta có

Định nghĩa 1.1.2 Cho f : I −→ R là một hàm khả vi cấp n tại x0 ∈ I

k

được gọi là đa thức Taylor với tâm x0 của hàm f khả vi cấp n tại x0.Đặt Rn(f ; x) = f (x) − Tn(f ; x) Khi đó công thức

f (x) = Tn(f ; x) + Rn(f ; x)

được gọi là công thức Taylor với tâm x0 của hàm f Trong trường hợp

x0 = 0 công thức này được gọi là công thức Maclaurin Đại lượng Rn(f ; x)

được gọi là phần dư của công thức Taylor

Định lý 1.1.3 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n − 1

trong δ− lân cận Vδ(x0) của x0 và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại x0 Khi

đó f có thể biểu diễn dưới dạng

k

+ o((x − x0)n)

khi x −→ x0 Công thức trên được gọi là công thức Taylor (dạng địaphương) với phần dư P eano

Định lý 1.1.4 (Taylor) Giả sử hàm số f khả vi liên tục đến cấp n trong

(a; b) và có đạo hàm cấp n + 1 tại mọi x ∈ (a; b) có thể trừ ra điểm

x0 ∈ (a; b) Khi đó giữa x0 và x ∈ (a; b) bất kì tồn tại c sao cho

Công thức (1.1) được gọi là công thức Taylor của hàm f với phần dư Rn+1

dưới dạng Schomilch - Roche

Sau đây là công thức Maclaurin của một số hàm số sơ cấp

(1) Hàm sốf (x) = ex có đạo hàm mọi cấp trên R vàf(n)(x) = ex, ∀n nên

1(n + 1)!e

θxxn+1, θ ∈ (0; 1)

(2) Hàm số f (x) = sin x có đạo hàm mọi cấp trên R và f(n)(x) =sin

sinhθx + (2n + 1)π

2

i

x2n+1(2n + 1)!

Nếu a ̸= 0 thì det Jk(a) ̸= 0 và do đó Jk(a) khả nghịch Ta có thể tìmnghịch đảo của phương trình dạng

Định lý 1.2.2 (Dạng chuẩn tắc Jordan) Với mọi ma trận X ∈ Mn, tồntại một ma trận khả nghịch S ∈Mn sao cho

1.2.2 Ma trận chéo hoá được

Một ma trậnA ∈ Mn là chéo hoá được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch

S ∈Mn sao cho

A = S Diag(λ1, λ2, , λn)S−1,

với λ1, λ2, , λn ∈ C là các giá trị riêng của A Trong trường hợp này

f (A) = S Diag(f (λ1), f (λ2), , f (λn))S−1, (1.2)trong đó f là hàm biến phức xác định trên tập hợp chứa các giá trị riêngcủa A

Nếu các số λ1, λ2, , λn khác nhau thì ta có đa thức p(x) bậcn − 1 saocho p(λi) = f (λi) :

1.2.3 Phổ và giá trị riêng

Cho A ∈ Mn và λ ∈ C, ta nói λ là một giá trị riêng của A nếu tồn tại

v ∈ Cn\ {0} sao cho Av = λv Vectơv được gọi là vectơ riêng củaA tươngứng với giá trị riêng λ Kí hiệu σ(A) là tập tất cả các giá trị riêng của A

Do đó,

σ(A) = λ ∈ C\ det(A − λI) = 0

Cho A ∈ Mn là một ma trận Hermit Khi đó với σ(A) = {λ1, , λn}

tồn tại các giá trị riêng v1, , vn tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Cnvới Avi = λivi, ∀i Khi đó ta có phân tích

ma trận Hermit A có các giá trị riêng µ1 > µ2 > > µk, khi đó

trong đó tổng được lấy trên tất cả các chỉ số i sao cho λi = µj

Phân tích này luôn là duy nhất

Cho f : (a, b) ⊆ R → R là một hàm số, A ∈ Mn là một ma trận có giátrị riêng thuộc (a, b) Nếu A có phân tích phổ A = Pk

j=1µjPj với µi làcác giá trị riêng khác nhau của A thì ma trận f (A) được định nghĩa bởi

Ma trận A ∈ Mn được gọi là Hermit (hay tự liên hợp) nếu A = A∗.

Ma trận U ∈ Mn được gọi là unita nếu U∗U = U U∗ = I

Tập tất cả các ma trận Hermit cấp n dược kí hiệu bởi Msan

Định nghĩa 1.2.6 Ma trậnA ∈ Mn được gọi là dương (hay nửa xác địnhdương) nếu x∗Ax ≥ 0, ∀x ∈ Cn, kí hiệu A ≥ 0

Chú ý rằng A ≥ 0 thì A là Hermit Hơn nữa, nếu A1 ≥ 0, A2 ≥ 0 thì

A1 + A2 ≥ 0

Định lý 1.2.7 ChoA ∈ Mn Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

1 A là ma trận dương

2 A = A∗ và phổ của A nằm trong R+ = [0, ∞)

3 A được viết dưới dạng A = B∗B với toán tử B ∈ Mn

Chú ý rằng A ∈ Mn là dương nếu và chỉ nếu U AU∗ dương vớiU là một

ma trận unita

Định lý 1.2.8 Cho A là một ma trận dương Khi đó tồn tại duy nhấtmột ma trận dương B sao cho B2 = A.

Ma trận dương khả nghịch được gọi là ma trận xác định dương Nếu A

Cij = AijBij (1 ≤ i, j ≤ n)

xác định một ma trận dương

Ma trậnC gồm các hệ tửCij của định lý trên được gọi là tích Hadamard(hoặc tích Schur) của ma trận A và B, kí hiệu C = A ◦ B

1.2.7 Chuẩn ma trận

Định nghĩa 1.2.14 Không gian Mn các ma trận trở thành không gianHilbert với tích vô hướng

⟨A, B⟩ = T rA∗B

Tích vô hướng này được gọi là tích vô hướng Hilbert -Schmidt

Định nghĩa 1.2.15 Chuẩn Hilbert -Schmidt của ma trậnA = (Aij)n×n ∈

Mn được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.16 Chuẩn toán tử của một ma trận A ∈Mn được xácđịnh bởi

∥A∥:= supn∥Ax∥: x ∈ Cn, ∥x∥= 1o

Nếu∥A∥≤ 1thì ma trậnAđược gọi là một ma trận co rút (contraction)

Ví dụ 1.2.17 Giả sử A ∈ Mn và ∥A∥< 1 Khi đó I − A là khả nghịch và

Chương 2

MỘT SỐ HÀM MA TRẬN

Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến giá trị

ma trận của các hàm số: hàm mũ,hàm luỹ thừa, hàm logarit, Các kháiniệm và kết quả trong chương này được trình bày từ cuốn sách Hiai vàPetz [3]

2.1 Hàm mũ ma trận

Định nghĩa 2.1.1 Cho A ∈ Mn(C) là một ma trận vuông phức cấp n.Hàm mũ của A, được kí hiệu là eA hoặc exp(A), là một ma trận vuôngcấp n được định nghĩa bởi chuỗi luỹ thừa sau:

P

n=1

an−1(n − 1)!J +

12

∞

P

n=2

an−2(n − 2)!J

2 + 16

∞

P

n=3

an−3(n − 3)!J

eA = lim

n→∞



I + An

n

□Tổng quát hơn ta có kết quả sau



An

An

k

giao hoán Do đó

eA − Tm,n(A) = Bn − Tn = (B − T )(Bn−1 + Bn−2T + + Tn−1)

Ta có đánh giá

∥eA− Tm,n(A)∥ ≤ ∥B − T ∥n × max{∥B∥i∥T ∥n−i−1 : 0 ≤ i ≤ n − 1}

Vì ∥T ∥ ≤ e∥A∥n và ∥B∥ ≤ e∥A∥n nên

∥eA − Tm,n(A)∥ ≤ n∥eAn − T ∥en−1n ∥A∥

Bằng cách chặn phần dư của chuỗi Taylor,

hội tụ đến 0 trong cả hai trường hợp m → ∞ và n → ∞

Định lý 2.1.6 Cho A, B ∈ Mn(C) Khi đó AB = BA khi và chỉ khi

k = eA+B

Ngoài ra, ta có thể chứng minh mệnh đề trên bằng phép lấy vi phân.Thật vậy, theo khai triển (2.1),ta có d

Thay C bởi A + B vào phương trình trên ta được eAeB = eA+B

Đạo hàm cấp 1 hai vế của phương trình et(A+B) = etAetB ta được

2 − λ 3

= 0

Ma trận A có hai giá trị riêng là λ1 = 5 và λ2 = −1.

Với λ1 = 5, xét hệ phương trình

(

−3v11+ 3v21 = 03v11− 3v21 = 0 =⇒ v11 − v21 = 0

Chọn vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ1 = 5 là v1 = [1 1]T

Với λ2 = −1, xét hệ phương trình

(

3v12 + 3v22 = 03v12 + 3v22 = 0 =⇒ v12 + v22 = 0.

Chọn vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ2 = −1 là v2 = [−1 1]T

#

= 12

#

= 12

"

11e5t− e−t11e5t+ e−t

#

□Định lý 2.1.8 Cho A ∈ Mn với đa thức đặc trưng

Chứng minh Ta kiểm tra được hàm giá trị ma trận

F1(t) = x0(t)I + x1(t)A + + xn−1(t)An−1

và F2(t) = etA thoả mãn các điều kiện

trong biểu diễn với các ma trận Pauli Dễ dàng kiểm tra A2 = I Do đó

A2n = I, nhưng A2n+1 = A Chọn c ∈R và kết hợp kiến thức về mối liên

hệ giữa hàm mũ, sin và cos ta được

eicA = P∞

n=0

incnAnn! = P∞

n=0

(−1)nc2nA2n(2n)! + iP∞

n=0

(−1)nc2n+1A2n+1(2n+1)!

= (cos c)I + i(sin c)A

Xét ma trận tổng quát C = c0I + cA ta được

eiC = eic0(cos c)I + ieic0(sin c)A

□Định lý 2.1.10 (Công thức Lie-Trotter) Cho A, B ∈ Mn(C) Khi đó

Suy ra

∥Xn− Yn∥≤ ntn−1∥X − Y ∥

với t là hằng số sao cho ∥X∥, ∥Y ∥≤ t

Bây giờ ta chọn Xn := eA+Bn và Yn := eAneBn Từ đánh giá trên ta có

∥Xnn− Ynn∥≤ nu∥Xn − Yn∥, (2.3)nếu ta có thể tìm một hằng số u sao cho ∥Xn∥n−1, ∥Yn∥n−1≤ u Vì

ta có thể chọn u = e∥A∥+∥B∥ để có đánh giá (2.3) Định lý trên được suy

ra từ (2.3) nên ta có thể chứng minh n∥Xn− Yn∥−→ 0 Khai triển chuỗiluỹ thừa của hàm mũ suy ra

Xn = I + A + B

12



A + Bn



An



Bn

với một hằng số dương c Từ đó ta có điều phải chứng minh

Nếu Avà B là các ma trận tự liên hợp, giới hạn trên tiến tới eA+B càngnhanh vì là giới hạn của các ma trận tự liên hợp

Chú ý rằng, công thức Lie - Trotter có thể mở rộng cho nhiều ma trận:

eA1 +A2+ +Ak −eA1n eA2n eAkn

n

≤ 2n

dt2

Z tk−10

Một công thức quan trọng khác đối với hàm mũ là công thức Campbell-Hausdorff :

trong đó [A, B] := AB − BA

Định nghĩa 2.1.14 Một hàm f : R+ = [0, ∞) −→ R được gọi là đơn

điệu hoàn toàn (completely monotone) nếu đạo hàm cấp n của f có dấu

(−1)n trên R+, với mọi n ∈ N

Định lý 2.1.15 Cho A, B ∈ Msan và t ∈ R Khi đó các phát biểu sau làtương đương:

(i) Đa thức t 7→ T r (A + tB)p chỉ có hệ số dương với mọi A, B ≥ 0 và

ta có thể suy ra dấu của đạo hàm

(iii) =⇒ (i): Ta chỉ cần giả thiết trong (iii) với p ∈ N Với A khả nghịch,

ta thấy đạo hàm cấp r của T r(A0 + tB0)−p tại t = 0 tương ứng với hệ sốcủatr trongT r(A + tB)p như trong công thức (3.7), trong đóA, A0, B, B0

có mối liên hệ như trong Bổ đề 3.2.9 Vế trái của công thức (3.7 ) có dấu

(−1)r bởi vì nó là đạo hàm của một hàm đơn điệu hoàn toàn Do đó vếphải có dấu như trong phát biểu (i) Trường hợp Akhông khả nghịch đượcsuy ra bằng cách lập luận tương tự

Nhắc lại, phép biến đổi Laplace của độ đo µ trên R+ là

Trước tiên với một đa thức một biến p(x), ta định nghĩa đa thức ma trân

p(X) với X ∈Mn Xét phân tích Jordan chuẩn tắc của X như sau

Từ đó chúng ta suy ra rằng nếu ta biết dạng chuẩn tắc Jordan của X, ta

có thể tính f (X), với f là một đa thức hoặc là một hàm trơn

=

"

(R + 1)(R + z) (1 − R)(R − z)w(1 + R) −w(1 − R)

Ma trận X/2 là một ma trận mật độ và có ứng dụng trong lí thuyết lượng

Định lý 2.2.3 Nếu fk và gk là các hàm số (α, β) −→ R sao cho với

Thay f bởi hàm số −η(t) = t log t ta có

T rA log A ≥ T rB log B + T r(A − B) + T r(A − B) log B

hoặc tương đương

T r(log A − log B) − T r(A − B) ≥ 0

Vế trái là lượng tử entopy tương đối S(A∥B) của các ma trận xác địnhdương A, B

Nếu T rA = T rB thì S(A∥B) được gọi là entropy tương đối Umegaki :

S(A∥B) = T r(log A − log B) Điều này cho ta một đánh giá tốt hơn Nếu

T rA = T rB = 1 thì tất cả các giá trị riêng nằm trong đoạn [0; 1] Tức là,với ξ ∈ (x, y)

−η(x) + η(y) + (x − y)η′(y) = −1

Bất đẳng thức Streater (2.4) có hệ quả là A = B nếu entropy tương đối là

0 Tốt hơn, bất đẳng thức mạnh được gọi là bất đẳng thức Pinsker : Nếu

Chương 3

ĐẠO HÀM MA TRẬN

Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đạohàm ma trận của một số hàm thường gặp như: hàm mũ, hàm logarit, Bêncạnh đó, chúng tôi trình bày đạo hàm của hàm vết và đạo hàm Fréchet.Các kết quả trong chương này được chúng tôi tổng hợp và trình bày lại từcuốn sách của Hiai và Petz [3]

3.1 Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit

Mệnh đề 3.1.2 ChoA ∈ Mn là ma trận khả nghịch dương Khi đóA+tT

cũng khả nghịch dương với T ∈Msan và số thực nhỏ t Khi đó

dt2 log(A + tT ) = −2

0

(xI + A)−1T (xI + A)−1T (xI + A)−1dx

Hơn nữa, ta có khai triển Taylor

Nói cách khác, đạo hàm của hàm (A + tT )−1 tại t = 0 được tính bằng

−AT−1A−1 Với t ̸= 0 nhỏ, nếu A + tT khả nghịch thì

d

dt(A + tT )

−1 = −(A + tT )−1T (A + tT )−1

Cho f : (α, β) −→ R là hàm khả vi liên tục và giả sử rằng các giá trị riêng

của A + tB thuộc (α, β) với t − t0 nhỏ Khi đó

d

dtT rf (A + tB)

t=t0 = T r(Bf′(A + t0B)) (3.2)Chứng minh Nếuf là một đa thức, dễ dàng kiểm tra trực tiếp rằngT r(A+tB)n là một đa thức theo biến t Ta quan tâm đến hệ số của t được tínhbằng

T r(An−1B + An−2BA + + ABAn−2+ BAn−1) = nT rAn−1B

Do đó định lý đúng cho trường hợp f là một đa thức Do mỗi hàm khả viliên tục có thể xấp xỉ bằng một dãy đa thức nên ta có kết quả của địnhlý

Ví dụ 3.2.2 Cho f : (α, β) −→ R là một hàm tăng liên tục và phổ của

các ma trận tự liên hợp A và C nằm trong (α, β) Ta sử dụng Định lý3.2.1 để chứng minh

A ≤ C =⇒ T rf (A) ≤ T rf (C) (3.3)Giả sử f là hàm trơn Vì A ≤ C nên B ≥ 0 với B = C − A Đạo hàmcủa T rf (A + tB) là T r(Bf′(A + tB)) và T r(Bf′(A + tB)) là dương (vìđây là vết của tích hai toán tử dương)

Ngoài ra, ta có thể chứng minh công thức (3.3) bằng cách sử dụng Định

lý 1.2.11: Cho các giá trị riêng củaA, C sao choλk(A) ≤ λk(C)(1 ≤ k ≤ n)

và do đó T rf (A) = P

kf (λk(A)) ≤ P

kf (λk(C)) = T rf (C) □Định lý 3.2.3 Chof : (α, β) −→ R là một hàm thuộc lớpC1 vàA =Diag

(t1, t2, , tn) với α < ti < β(1 ≤ i ≤ n) Nếu B = B∗ thì đạo hàm củahàm t 7→ f (A + tB) là một tích Schur:

d

dtf (A + tB)

X := d

dtf (A + tB)