[Nguyen Song Ha] Tom Tat Luan An Tieng Viet.31828.Pdf

��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M NGUY�N SONG H� X�P X� NGHI�M CHO B�T ��NG THÙC BI�N PH�N VÎI HÅ VÆ H�N C�C �NH X� KHÆNG GI�N Ng nh To¡n Gi£i t½ch M¢ sè 9460102 TÂM T�T LU�N �N TI�N S� TO�N[.]

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

NGUY™N SONG H€

X‡P XŸ NGHI›M CHO B‡T NG THÙC BI˜N PH…NVÎI HÅ VÆ H„N CC NH X„ KHÆNG GI‚N

Ng nh: To¡n Gi£i t½chM¢ sè: 9460102

TÂM TT LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2018

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS Nguy¹n B÷íng

Ph£n bi»n 1:

Ph£n bi»n 2:

Ph£n bi»n 3:

Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p Tr÷íng håp t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

V o hçi gií ng y th¡ng n«m 2018

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n:

- Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam

- Trung t¥m håc li»u ¤i håc Th¡i Nguy¶n

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Mð ¦u

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n

60 th¸ k¿ XX, g­n li·n vîi nhúng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia v  cëng sü (Lions

v  Stampacchia, 1965, 1967; Hartman v  Stampacchia, 1966) Tø â ¸n nay, b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n luæn l  mët chõ · nghi¶n cùu mang t½nh thíi sü v  thu hót ÷ñc sü quant¥m cõa nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc Nhi·u b i to¡n nh÷: b i to¡n cüc trà;

b i to¡n iºm b§t ëng; b i to¡n c¥n b¬ng; b i to¡n bò; ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn

i»u; b i to¡n bi¶n câ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng câ thº quy v· mæ h¼nh

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp V¼ th¸ b i to¡n n y l mët cæng cö m¤nh v  thèng nh§t trong nghi¶n cùu nhi·u mæ h¼nh b i to¡n l½ thuy¸t v ùng döng thüc t¸

Ð Vi»t Nam, theo nhi·u con ÷íng ti¸p cªn kh¡c nhau, c¡c nh  khoa håc câ nhúng

âng gâp quan trång cho b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷ c¡c nhâm nghi¶n cùu cõaGS.TSKH Ph¤m Ký Anh (P.K Anh v  tg, 2015, 2017); GS.TSKH Phan Quèc Kh¡nh(P.Q Kh¡nh v  tg, 2005, 2006); GS.TSKH inh Th¸ Löc (.T Löc v  tg, 2008,2014); GS.TSKH L¶ Dông M÷u (L.D M÷u v  tg, 2005, 2012); GS.TSKH Ph¤m HúuS¡ch (P.H S¡ch v  tg, 2004, 2008); GS.TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n (N.X T§n v  tg,

2012, 2013); GS.TSKH Nguy¹n æng Y¶n (N. Y¶n v  tg, 2005, 2008); GS.TS Nguy¹nB÷íng (N B÷íng v  tg, 2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS Ph¤m Ngåc Anh (P.N Anh

v  tg, 2004, 2005, 2010); PGS.TS Nguy¹n Quang Huy (N.Q Huy v  tg, 2011) v PGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy (N.T.T Thõy v  tg, 2013, 2016) B¶n c¤nh â, b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n v  mët sè b i to¡n li¶n quan công ¢ v  ang l  · t i nghi¶n cùucõa nhi·u t¡c gi£ l  ti¸n s¾ v  nghi¶n cùu sinh trong n÷îc

Mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn câ d¤ng:

T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1)trong â C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v  F : H → H l 

¡nh x¤ x¡c ành tr¶n H

Trong tr÷íng hñp tªp C cõa b i to¡n (0.1) ÷ñc cho d÷îi d¤ng ©n l  tªp iºm b§t

ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n th¼ b i to¡n (0.1) câli¶n h» vîi nhi·u b i to¡n thüc ti¹n nh÷ b i to¡n khæi phöc t½n hi»u, b i to¡n ph¥n phèib«ng thæng, kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA v  k¾ thuªt xûl½ t½n hi»u b«ng t¦n

º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi ph£i

câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y V¼ l³ â, mët trong nhúng

h÷îng nghi¶n cùu quan trång hi»n nay d nh ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håctrong v  ngo i n÷îc â l  vi»c · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p mîi t¼m nghi»m cõa b i to¡n(0.1) ho°c c£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ câ Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢thi¸t lªp ÷ñc nhi·u k¾ thuªt gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi¸ucõa Goldstein (1964), Polyak (1966, 1967, 1969), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cõa Martinet(1970), Rokaffellar (1976), nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen (1980), ph÷ìng ph¡p hi»uch¿nh d¤ng Browder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), ph÷ìng ph¡p iºm g¦nk· hi»u ch¿nh cõa Lehdili v  Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v  ph÷ìng ph¡p iºmg¦n k· qu¡n t½nh do Alvarez v  Attouch (2001) · xu§t ho°c düa tr¶n mët sè k¾ thuªt t¼m

iºm b§t ëng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii,1955), ph÷ìng ph¡p l°p Halpern (1967) v  ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m (Moudafi, 2000).Ph÷ìng ph¡p l°p iºn h¼nh º gi£i b i to¡n (0.1) l  ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient(Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:

tg, 1998, 1999) · xu§t nh÷ l  mët bi¸n thº cõa ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t º t¼mcüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n °c

iºm ch½nh cõa ph÷ìng ph¡p n y l  dòng d¤ng âng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n b§t k¼ m tªp iºm b§t ëng chung cõa nâ l  tªp r ng buëc cõa b i to¡n M°t kh¡c, trong nhi·u

b i to¡n thüc t¸, ch¯ng h¤n b i to¡n xû l½ t½n hi»u (Iiduka, 2010), kiºm so¡t n«ng l÷ñngcho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA (Iiduka, 2012) ho°c ph¥n phèi b«ng thæng (Iiduka

v  Uchida, 2011) câ thº ÷a v· b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥ntr¶n tªp iºm b§t ëng cõa mët ho°c mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Hìn núa, chóng tabi¸t r¬ng, måi tªp con lçi âng ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng giao ¸m ÷ñc cõa c¡cnûa khæng gian, do â l  giao ¸m ÷ñc cõa tªp iºm b§t ëng c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n

l  c¡c to¡n tû chi¸u l¶n nhúng nûa khæng gian n y V¼ th¸ b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) tr¶n mët tªp con lçi âng câ thº quy v· vi»c t¼m nghi»m b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n.Khi â, mët v§n · °t ra l  x¡c ành ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) nh÷ th¸ n o n¸u chóng ta câ d¤ng hi»n cõa c¡c ¡nh x¤ khæng

gi¢n Ti? (i ∈ I vîi I l  tªp ch¿ sè n o â) Xu§t ph¡t tø þ t÷ðng n y, n«m 2001, Yamada

¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t m  ph÷ìng ph¡p n y hëi tö m¤nh v·mët th nh ph¦n n¬m trong tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n çng thíi thäa m¢n l  nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1)

Cö thº, khi C := Fix(T ) l  tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, Yamada

¢ thi¸t lªp ÷ñc ành l½ hëi tö m¤nh sau

ành l½ 0.2

Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η-ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho

T : H → H l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi Fix(T ) 6= ∅ Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2) v  d¢y

λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

xk+1 = T (xk) − λk+1ρF (T (xk)), k = 0, 1, 2, (0.3)hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1)

Trong tr÷íng hñp C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n Ti : H → H (i = 1, 2, 3, , N ), d¢y l°p xoay váng x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1)

÷ñc Yamada x¥y düng câ d¤ng

xk+1 = T[k+1](xk) − λk+1ρF (T[k+1](xk)), k = 0, 1, 2, (0.4)

ð ¥y, [k] := k mod N l  h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, 3, , N}

ành l½ 0.3

Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η-ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho

Ti : H → H l  hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C :=

N

\

i=1

Fix(Ti) 6= ∅ v 

C =Fix(T1T2 TN) =Fix(T2T3 TNT1) = · · · = Fix(TNT1 TN −1)

Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2) v  d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H, d¢y l°p (0.4) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t

x∗ cõa b i to¡n (0.1)

Tø â ¸n nay, ¢ câ nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu nh¬m mð rëng ho°c c£i ti¸n ph÷ìngph¡p cõa Yamada theo nhi·u h÷îng kh¡c nhau Ch¯ng h¤n, theo h÷îng l m gi£m nhµ

i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p (Xu v  tg, 2003; Zeng v  tg, 2007) hay lo¤i bägi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti (Nguy¹nB÷íng v  tg, 2011) Ho°c, x²t b i to¡n (0.1) trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn vîi C

l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Theoh÷îng n y, mët sè ph÷ìng ph¡p l°p ÷ñc thi¸t lªp x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) thængqua vi»c dòng ¡nh x¤ Wk (Iemoto v  tg 2008; Yao v  tg, 2010; Wang, 2011) Tuy vªy,

¡nh x¤ Wk câ c§u tróc phùc t¤p Ngo i ra, c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n ·u ÷ñc thi¸t lªp trongkhæng gian Hilbert H v  ð méi b÷îc l°p ·u ÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n

â l  c¡c ph÷ìng ph¡p tu¦n tü Mët h÷îng kh¡c l  nghi¶n cùu mð rëng tø khæng gianHilbert H tîi c¡c lîp khæng gian Banach E (Ceng v  tg, 2008; Chidume v  tg, 2011;Nguy¹n B÷íng v  tg, 2013, 2015) Nêi bªt trong â l  hai ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»nx§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banachcõa Nguy¹n B÷íng v  cëng sü (2015) C¡c ph÷ìng ph¡p n y sû döng ¡nh x¤ Sk câ c§utróc ìn gi£n v  câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc

Câ thº kh¯ng ành r¬ng, vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥ntrong khæng gian Banach l  mët v§n · ÷ñc n£y sinh mët c¡ch tü nhi¶n v  c¦n thi¸t º

l m phong phó v  ho n thi»n th¶m cho lþ thuy¸t v· b i to¡n quan trång n y V¼ nhúngl½ do ¢ ph¥n t½ch ð tr¶n, chóng tæi lüa chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n l  "X§p x¿nghi»m cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n"

Möc ½ch ch½nh cõa luªn ¡n n y l  nghi¶n cùu · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»nx§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Cö thº, lîp b i to¡n â

l  "B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n

¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v  câchu©n kh£ vi G¥teaux ·u" Luªn ¡n gi£i quy¸t c¡c v§n · sau:

1 X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho lîp b i to¡n nghi¶ncùu thæng qua vi»c · xu§t v  sû döng c¡c ¡nh x¤ mîi ˜Sk, ˆSk v  Sk çng thíi, thi¸t lªpc¡c v½ dö minh håa cö thº v  t÷ìng quan vîi mët sè ph÷ìng ph¡p ¢ câ

2 p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët

ba k¸t qu£ nghi¶n cùu mîi cõa chóng tæi v· c¡c v§n · n¶u tr¶n Ch÷ìng 3 · cªp ¸nmët b i to¡n thüc t¸ li¶n quan còng c¡c v½ dö cö thº minh håa

(F, C), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), j(x − x∗)i ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.2)trong â j l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E iºm x∗ ∈ C thäa m¢n (1.2) ÷ñc gåi l nghi»m cõa b i to¡n VIP∗(F, C).

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t

Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y chi ti¸t mët sè nghi¶n cùu mð rëng ho°c c£ibi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n câ d¤ng (0.1) ho°c (1.2)

Khi C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trongkhæng gian Hilbert thüc, n«m 2003, Xu v  Kim ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü

ành l½ 0.2 v  ành l½ 0.3 khi thay th¸ (L3) v  (L3)∗ t÷ìng ùng bði c¡c i·u ki»n

(L4) lim

k→∞λk/λk+1 = 1 v  (L4)∗ lim

k→∞λk/λk+N = 1

Câ thº th§y r¬ng, i·u ki»n (L4) y¸u hìn thüc sü (L3), hìn núa i·u ki»n (L4) cho ph²p ta

câ thº lüa chån vîi d¢y tham sè ch½nh t­c {1/k} trong khi â (L3) khæng thäa m¢n M°tkh¡c, khæng khâ kh«n º ch¿ ra r¬ng i·u ki»n (L3)∗ suy ra i·u ki»n (L4)∗ n¸u giîi h¤nlim

k→∞λk/λk+N tçn t¤i N«m 2007, Zeng v  cëng sü ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xoay váng

xk+1 = T[k+1](xk) − λk+1ρk+1F (T[k+1](xk)), k = 0, 1, 2, (1.3)vîi tham sè ρk+1 khæng ph£i l  h¬ng sè cè ành nh÷ trong (0.4) v  i·u ki»n °t l¶n c¡cd¢y tham sè l°p công ÷ñc c£i bi¶n º £m b£o sü hëi tö

ành l½ 1.3

Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η-ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho

Ti : H → H l  hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := TN

i=1

Fix(Ti) 6= ∅ v 

C =Fix(T1T2 TN) =Fix(T2T3 TNT1) = · · · = Fix(TNT1 TN −1)

Gi£ sû ρk ∈ (0, 2η/L2) vîi måi k ∈ N v  c¡c i·u ki»n sau b£o £m:

i) λk ∈ (0, 1) thäa m¢n i·u ki»n (L2),

th¼ d¢y l°p (1.3) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1)

Rã r ng, n¸u ρk = ρ vîi måi k ≥ 1 v  ρ ∈ (0, 2η/L2) th¼ ta câ ii) N¸u th¶m gi£ thi¸t(L4)∗ thäa m¢n th¼ i·u ki»n iii) trong ành l½ tr¶n ÷ñc b£o £m Hìn núa, Zeng v  cëng

sü công ¢ ch¿ ra r¬ng c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v  (L4)∗ l  i·u ki»n õ º {xk} bà ch°n

çng thíi, i·u ki»n d÷îi ¥y ÷ñc thäa m¢n:

lim sup

k→∞

hT[k+N ] T[k+1](xk) − xk+N, T[k+N ] T[k+1](xk) − xki ≤ 0

V¼ th¸, ành l½ 1.3 l  sü c£i bi¶n v  hñp nh§t c¡c i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p

so vîi k¸t qu£ m  Yamada, Xu v  Kim ¢ nhªn ÷ñc

N«m 2010, Liu v  Cui (Liu v  tg, 2010) ¢ chùng minh r¬ng n¸u C 6= ∅ th¼

xk+1 = (1 − βk0)xk + βk0(I − λkρF ) ˜Vk(xk), k = 0, 1, 2, (1.5)trong â, ˜Vk = TNkTN −1k · · · Tk

1 v  Tk

i = (1 − βki)I + βkiTi vîi i = 1, 2, , N C¡c t¡c gi£

¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau

ành l½ 1.4

Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η-ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho

Ti : H → H l  hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := TN

Câ thº th§y mët trong nhúng i·u ki»n t÷ìng tü £m b£o sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìngph¡p (0.3), (0.4), (1.3) v  (1.5) l  gi£ thi¸t tham sè ρ phö thuëc v o h» sè ìn i»u m¤nh

η v  h¬ng sè Lipschitz L Tr¶n thüc t¸, ta bi¸t r¬ng vi»c x¡c ành η ho°c L khæng ph£i

l  mët cæng vi»c d¹ d ng çng thíi, ta nhªn th§y r¬ng (0.4), (1.3) v  (1.5) ÷ñc thüchi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p n y l  tu¦n tü

Nghi¶n cùu mð rëng cho tr÷íng hñp C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n

¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : H → H, b¬ng vi»c sû döng ¡nh x¤ Wk, n«m 2008,Iemoto v  Takahashi ¢ x¥y düng d¢y l°p hi»n câ d¤ng

i) ρ ∈ (0, 2η/L2),

ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v  (L2),

th¼ d¢y l°p (1.7) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1)

Ph÷ìng ph¡p (1.7) sû döng ¡nh x¤ Wk k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t

¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Yamada cho hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trongkhæng gian Hilbert thüc C¡c t¡c gi£ ¢ lo¤i bä c¡c i·u ki»n (L3) ho°c (L3)∗ Tuy vªy,ngo i khâ kh«n º x¡c ành ρ, ¡nh x¤ Wk câ c§u tróc phùc t¤p v  ph÷ìng ph¡p (1.7)công l  tu¦n tü

N«m 2010, k¸t hñp ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t, ph÷ìng ph¡p l°p Mann v  sûdöng ¡nh x¤ Wk, vîi x1 tòy þ thuëc H, Yao v  c¡c cëng sü ¢ thi¸t lªp mët l÷ñc ç l°pnh÷ sau

Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû {αk} l  d¢y c¡c

sè thüc thäa m¢n 0 < αk ≤ b < 1, k = 1, 2, 3, Khi â, n¸u c¡c i·u ki»n sau b£o £m

i) γk ∈ [γ, 1/2] vîi γ > 0,

ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v  (L2),

th¼ d¢y l°p (1.8) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1)

Gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p (1.7), ta th§y r¬ng ph÷ìng ph¡p (1.8) công câ c§u tróc phùct¤p v  â l  ph÷ìng ph¡p tu¦n tü

Mët n«m sau, Wang (2011) công ¢ nhªn ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ cõa Yao v  cëng

sü d÷îi c¡c gi£ thi¸t mîi °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p K¸t qu£ cõa Wang thay th¸ (L1)bði i·u ki»n 0 < λk ≤ η/L2 − ε, ∀k ≥ k0, vîi ½t nh§t mët sè nguy¶n k0 > 1 l  nhµ hìnthüc sü i·u ki»n (L1) Ngo i ra, i·u ki»n °t l¶n cho γk ch¿ ái häi t½nh giîi nëi cõad¢y tham sè n y trong (0,1) Tuy nhi¶n i·u ki»n λk v¨n y¶u c¦u phö thuëc v o h» sè

ìn i»u m¤nh η v  h¬ng sè Lipschitz L M°t kh¡c, i·u ki»n bê sung λkF (xk) → 0 khi

k → ∞ £m b£o sü hëi tö phö thuëc v o gi¡ trà F (xk) t¤i méi b÷îc l°p V¼ th¸, vi»cchån ti¶n nghi»m {λk} thäa m¢n i·u ki»n n y s³ khâ kh«n

N«m 2008, Ceng v  cëng sü ¢ nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp C l  tªp iºm b§t ëng cõamët ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc Mët i·u ki»n quan trång

£m b£o sü hëi tö èi vîi ph÷ìng ph¡p mîi cõa c¡c t¡c gi£ l  gi£ thi¸t v· t½nh li¶n töc y¸utheo d¢y cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c Tuy nhi¶n, i·u â ¢ l m giîi h¤n ph¤m vi ùngdöng cõa ph÷ìng ph¡p èi vîi nhi·u b i to¡n ÷ñc thi¸t lªp trong c¡c khæng gian Banachquan trång m  khæng câ t½nh ch§t n y, ch¯ng h¤n khæng gian Lp[a, b] (1 < p < ∞).N«m 2011, Chidume v  cëng sü ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Xu v  Kim tîi lîp khænggian Banach q-trìn ·u vîi h¬ng sè dq, q > 1 Ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p döng tr¶n c¡ckhæng gian Lp[a, b], (1 < p < ∞) Tuy nhi¶n, gi£ thi¸t °t l¶n λk l  t÷ìng tü cõa Xu v Kim çng thíi tham sè ρ v¨n ái häi phö thuëc v o h» sè η, L v  h¬ng sè dq Th¶m v o

â, c¡c t¡c gi£ v¨n c¦n sû döng gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõac¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti

Khi C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Banach thüc E, thay cho vi»c sû döng ¡nh x¤ phùc t¤p Wk, ta câthº sû döng ¡nh x¤ Vk ìn gi£n hìn ÷ñc x¡c ành bði

Vk = Vk1, Vki = TiTi+1 Tk, Ti = (1 − αi)I + αiTi, i = 1, , k (1.11)trong â αi ∈ (0, 1) v 

∞

X

i=1

αi < ∞ Nguy¹n B÷íng v  c¡c cëng sü (2013) ¢ · xu§t v chùng minh hai ph÷ìng ph¡p l°p ©n mîi hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b ito¡n (1.2) l 

xk = Vk(I − λkF )(xk), (1.13)

xk = γk(I − λkF )(xk) + (1 − γk)Vk(xk), (1.14)

ð ¥y {λk} v  {γk} l  d¢y c¡c tham sè l°p d÷ìng Tuy nhi¶n, vi»c x¥y düng c¡c k¾ thuªtl°p ©n cho b i to¡n (1.2), mët khâ kh«n câ thº g°p ph£i cõa c¡c ph÷ìng ph¡p â trongthüc h nh t½nh to¡n t¤i méi b÷îc l°p, ta ·u ph£i thüc hi»n c¡c b÷îc gi£i mët ph÷ìngtr¼nh d¤ng ©n º t¼m nghi»m x§p x¿ v  sau mët sè húu h¤n b÷îc l°p ta s³ thu ÷ñcnghi»m x§p x¿ g¦n vîi nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, kh­c phöc nh÷ñc iºm khæng t½nh to¡n song song ÷ñctr¶n m¡y t½nh v  khâ kh«n n£y sinh tø vi»c ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p ©n, n«m 2015,Nguy¹n B÷íng v  c¡c cëng sü ¢ x¥y düng ¡nh x¤ Sk tr¶n E nh÷ sau

Cho E l  khæng gian Banach ph£n x¤ thüc lçi ch°t, câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u Cho

F : E → E l  ¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v  γ-gi£ co ch°t vîi η + γ > 1 Cho{Ti} l  hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C :=

∞

\

i=1

Fix(Ti) 6= ∅ N¸uc¡c i·u ki»n sau b£o £m

i) λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v  (L2),

ii) γk ∈ (0, 1) thäa m¢n 0 < lim inf

k→∞ γk ≤ lim sup

k→∞

γk < 1,th¼ c¡c d¢y l°p (1.17) v  (1.18) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2)

Ph÷ìng ph¡p thù nh§t ÷ñc thi¸t lªp düa tr¶n vi»c sû döng ¡nh x¤ ˜Sk Xu§t ph¡t tø

iºm x1 tòy þ thuëc E, chóng tæi x¥y düng d¢y {xk} theo l÷ñc ç l°p hi»n nh÷ sau:

xk+1 = (I − λkF ) ˜Sk(xk), k = 1, 2, 3, (2.1)trong â ˜Sk ÷ñc x¡c ành bði

ð ¥y αi ∈ (0, 1), Ti l  c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n v  I l  ¡nh x¤ ìn và tr¶n E C¡c d¢y tham

sè λk ∈ (0, 1) v  {si} t÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v 

Cho E l  khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u Cho

F : E → E l  ¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v  γ-gi£ co ch°t vîi η + γ > 1.Cho {Ti} l  hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C :=

˜

Vk, Wk hay Vk v  câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc Hìn núa, tø k¸t luªn cõa ành l½ 2.1,

rã r ng ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p döng cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chungcõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E

1 Buong, Ng., Ha, Ng S., Thuy Ng T T (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities", Numer Algorithms,

72, pp 467-481.

2.1.3 Mët sè h» qu£

N«m 2008, Ceng v  cëng sü c£i bi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t cõa Yamada

º thi¸t lªp d¢y l°p hi»n

xk+1 = (I − λkF )(αkxk + (1 − αk)JrAk(xk)), k ≥ 0, (2.15)x¡c ành khæng iºm x∗ cõa ¡nh x¤ A v  çng thíi x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n (1.2) vîi

x0 ∈ E tòy þ v  i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p λk, αk ∈ (0, 1) v  rk > 0 l 

∞

X

k=0

| rk+1− rk |< ∞,iii) 0 < a ≤ αk ≤ b < 1 vîi måi k ∈ N v 

hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i tr¶n E vîi C :=

∞

\

i=1

Zer(Ai) 6= ∅ Khi §y, vîi

iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E, d¢y {xk} x¡c ành bði

(xk), k ≥ 1, (2.16)

hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung x∗ ∈ C v  x∗ l  nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n (1.2)khi k → ∞

Nhªn x²t 2.4 Ph÷ìng ph¡p (2.15) v  ph÷ìng ph¡p (2.16) ·u sû döng ba tham sè l°p

Rã r ng, i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè {λk} v  {αk} £m b£o sü hëi tö cõa ph÷ìngph¡p (2.16) l  nhµ hìn so vîi c¡c gi£ thi¸t i) v  iii) Tuy nhi¶n, c¡c tham sè rk v  si t÷ìngùng trong (2.15) v  (2.16) l  kh¡c bi»t, âng vai trá kh¡c nhau v  khæng so s¡nh ÷ñc.V¼ th¸, (2.15) v  (2.16) cho ta c¡c quy t­c t¼m khæng iºm kh¡c nhau

Nhªn x²t 2.5 Ta °t f := aI vîi a ∈ (0, 1) l  sè thüc cè ành Khi â, F := I − f l 

¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v  γ-gi£ co ch°t tr¶n E thäa m¢n η + γ > 1 V¼ th¸,vîi x1 tòy þ thuëc E, n¸u thay F bði I − f trong cæng thùc (2.1) th¼ ta câ l÷ñc ç l°p

º t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E,trong â λ0

k := (1 − a)λk v  ξk

i := si/˜sk M»nh · sau l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ 2.1