Phat trien 16 dang toan trong tam de tham khao tn thpt 2023 mon toan compressed 1 270

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biểu diễn hình học số phức Số phức được biểu diễn bởi điểm hay bởi trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ.. Tập hợp điểm

Trang 2

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh

Biểu diễn hình học số phức

Số phức được biểu diễn bởi điểm

hay bởi trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:

• tập hơp điểm là miền bên phải trục tung

• tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành

• tập hợp điểm là miền bên trái trục tung

• tập hợp điểm là phía trên trục hoành

• tập hợp điểm là đường Parabol

• tập hợp điểm là đường Elip

• tập hợp điểm là đường Hyperbol

Câu 35 – Đề tham khảo 2023 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 1

z+ i = là một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A ( )0; 2 B (−2; 0) C (0; 2− ) D ( )2; 0

Lời giải Chọn C

Trang 3

Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz− = +1 1 2i Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

z là đường tròn ( )C Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( )C lần lượt là

A I( )0;1 ; R = 3 B I( )0;1 ; R = 3 C I(0; 1− ); R = 3 D I(0; 1− ); R = 3

Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z+ −6 2i =4 Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu

diễn các số phức z là một đường tròn Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó

A I −( 6; 2), R =16 B I(6; 2− ), R =4

C I(6; 2− ), R =16 D I −( 6; 2), R =4

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z+ −1 2i = là 3

một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A I −( 1;2) B I − −( 1; 2) C I( )1;2 D I(1; 2− )

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1 ;− ) (B −3; 4) và điểm M a b( ; ) biểu diễn số

phức z Biết số phức w=(z+2i) ( )z−4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB Tổng

S = +a b là

3

S =

Câu 5: Cho số phức w có w = 3 Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn

lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình 1 1 1

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z+ −2 3i =4 là

A I( )2;3 B I − −( 2; 3) C I −( 2;3) D I(2; 3− )

Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ( )2

z+ + i = là một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A I −( 3;4) B I − −( 3; 4) C I(3; 4− ) D I( )3;4

Câu 8: Cho Gọi ( )C là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+ − +z 4 4 z− =z 8 Diện tích

hình phẳng được giới hạn bởi ( )C là

Trang 4

Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho

2z−3z 5, và số phức z có phần thực không âm Tính diện tích hình H

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− +1 2i 3 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

Câu 13: Cho số phức w= +(1 i z) +2 với 1+iz = −z 2i Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường thẳng  Khoảng cách từ điểm A(1; 2)− đến  bằng

2

Câu 14: Cho phương trình z3−(m+1)z2+(m+ +1 mi z) − −1 mi=0 trong đó z  , m là tham số thực

Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu

diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz+ −1 2i = là 3

A I − −( 2; 1) B I −( 2;1) C I( )2;1 D I(2; 1− )

Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1+i z) + − = 5 i 2

là một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Trang 5

A 2 B 2 2 C 2 D 4

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z− +1 2i =2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

1

z w

i

=

− trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có tâm là

Câu 22: Cho z1 và z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z− − =5 3i 5, đồng thời z1−z2 =8 Tập

hợp các điểm biểu diễn của số phức w= +z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình dạng ( ) (2 )2 2( )

A B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 và z0 = i Có bao nhiêu giá trị của tham số

m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

Trang 6

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz− = +1 1 2i Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

z là đường tròn ( )C Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( )C lần lượt là

Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z+ −6 2i =4 Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu

diễn các số phức z là một đường tròn Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó

Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I −( 6; 2), bán kính R =4

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z+ −1 2i = là 3

A I −( 1;2) B I − −( 1; 2) C I( )1;2 D I(1; 2− )

Lời giải Chọn A

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I −( 1;2), bán kính R =3

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1 ;− ) (B −3; 4) và điểm M a b( ; ) biểu diễn số

phức z Biết số phức w=(z+2i) ( )z−4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB Tổng

Trang 7

Câu 5: Cho số phức w có w = 3 Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn

lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình 1 1 1

Điều kiện: 0

0

z w

Trang 8

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z+ −2 3i =4 là

A I( )2;3 B I − −( 2; 3) C I −( 2;3) D I(2; 3− )

Lời giải Chọn B

Gọi z= +x yi (với x y ; ) Suy ra z= −x yi

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I − −( 2; 3), bán kính R =4

Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ( )2

z+ + i = là một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A I −( 3;4) B I − −( 3; 4) C I(3; 4− ) D I( )3;4

Lời giải Chọn C

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; 4− , bán kính ) R =4

Câu 8: Cho Gọi ( )C là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+ − +z 4 4 z− =z 8 Diện tích

hình phẳng được giới hạn bởi ( )C là

Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng (2.8) : 2 = 8

Trang 9

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z= +x yi (x y , ) thỏa mãn

Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho

2z−3z 5, và số phức z có phần thực không âm Tính diện tích hình H

Trang 10

Câu 13: Cho số phức w= +(1 i z) +2 với 1+iz = −z 2i Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường thẳng  Khoảng cách từ điểm A(1; 2)− đến  bằng

( )2 2

Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu

diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là

Trang 11

m m m

Kết hợp với điều kiện m 2 ta được m 0; 1− 

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz+ −1 2i = là 3

A I − −( 2; 1) B I −( 2;1) C I( )2;1 D I(2; 1− )

Lời giải Chọn C

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I( )2;1 , bán kính R =3

Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1+i z) + − = 5 i 2

là một đường tròn Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A I( )2;3 B I(2; 3− ) C I − −( 2; 3) D I −( 2;3)

Lời giải Chọn D

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I −( 2;3), bán kính R = 2

Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1 2

Trang 12

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I −( 7;1), bán kính R =10

Câu 18: Cho số phức z có z − =1 2 và w= +(1 3i z) +2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

22

Trang 13

Đây là đường tròn có tâm I(2; 1 ,− ) R=2 2.

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z− +1 2i =2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

1

z w

i

=

− trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có tâm là::

x− + y− = với tâm I( )5; 4 bán kính 2 5

Câu 22: Cho z1 và z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z− − =5 3i 5, đồng thời z1−z2 =8 Tập

hợp các điểm biểu diễn của số phức w= +z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình dạng ( ) (2 )2 2( )

0

x a− + y b− =r r Tính giá trị của biểu thức T = +(a b r)

A T =96 B T =64 C T = 6 D T =12

Lời giải

Trang 14

Gọi A B; lần lượt là điểm biểu diễn của z z1; 2 Từ giả thiết z− − =5 3i 5 suy ra A B; thuộc đường tròn tâm I( )5;3 , bán kính 5 và z1−z2 =8 suy ra AB = 8

Gọi M là trung điểm của đoạn AB Khi đó ta tính được IM = 3

Mặt khác, M là điểm biểu diễn của số phức 1 2

2

z +z

, I là điểm biểu diễn của số phức 5 3i+ ,

thay vào ta có biểu thức 1 2 ( )

A B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 và z0 = i Có bao nhiêu giá trị của tham số

m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

Trang 15

Trường hợp 2: 2

2 63

m m

Trang 16

Để viết một phương trình đường thẳng thì ta cần một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương của nó

▪ Đường thẳng d đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và nhận u=(a b c; ; ) là một vectơ chỉ phương thì đường thẳng d có phương trình là: 00 ( )

▪ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B thì nó nhận AB là một vectơ chỉ phương

Câu 46 – Đề tham khảo 2023 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M(1; 1; 1− − ) và N(5; 5; 1) Đường thẳng MN có phương trình là:

A

5 2

5 31

Trang 17

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M(1; 1; 1− − ) và N(5; 5; 1) Đường thẳng MN có

phương trình là:

A

5 2

5 31

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm điểm A(4; 3;2− ), B(6;1; 7− , ) C(2;8; 1− Đường thẳng )

qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là

Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0; 2− ), B(2;−2; 1) và C(0; 0; 1)

Đường trung tuyến AM có phương trình là

A

1

1 31

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(5; 3; 2− ) và mặt phẳng

( )P :x−2y + − = Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm z 1 0 M và vuông góc ( )P

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1; 5− , hai mặt phẳng ) ( )P :x− + − = và y z 4 0

( )Q : 2x+ + + = Viết phương trình đường thẳng y z 4 0  đi qua A đồng thời  song song với hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Trang 18

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;0 , (2; 1;3),− ) B − C(0; 1;1− ) Đường trung tuyến

AM của tam giác ABC có phương trình tham số là

A

122

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P :z − = và 1 0 ( )Q :x + + − = Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng y z 3 0 ( )P , cắt đường thẳng ' : 1 2 3

y t z

− Gọi  là đường thẳng nằm trong ( )P , cắt và vuông góc với d Phương

trình nào sau đây là phương trình tham số của ?

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có A(0; 0; 2),B(3; 0;5), C(1;1;1), D(4;1; 2) Phương trình đường cao kẻ

từ D của tứ diện là

Trang 19

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác với

Đường phân giác trong của góc có một véctơ chỉ phương Tính

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Phương trình đường

phân giác trong của góc của tam giác là

Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3 ,) (B 3; 4;5) và mặt phẳng

( )P :x+2y+3z−14=0 Gọi Δ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( )P Gọi ,

H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B, trên Δ Biết rằng khi AH =BK thì trung

điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

A

4

5 21

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2, 2,3 ;− ) (B 1,3,4 ;) (C 3, 1,4 − ) Phương trình đường

phân giác góc BAC là

Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A −( 1; 2; 0), B(1;1;1), C(2; 3;2− ) Tập hợp tất cả các

điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d Phương trình tham số của đường thẳng d là

Trang 20

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), (0; 2;1)B và mặt phẳng

( ) : x+ + − =y z 7 0. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho mọi điểm của d cách

đều hai điểm A B, có phương trình là

Trang 21

Đường thẳng EF có một vectơ chỉ phương là EF =( 3;1; 7)−

Đường thẳng PQ có một vectơ chỉ phương là PQ =(1;2;3)

Ta có MN =(4; 6; 2)=2 2;3;1( )

Đường thẳng MN qua M(1; 1; 1− − ) nhận MN =(2;3;1) làm vectơ chỉ phương có phương trình

1 2

1 31

Trang 22

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm điểm A(4; 3;2− ), B(6;1; 7− , ) C(2;8; 1− Đường thẳng )

qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G(4;2; 2− )

Đường thẳng OG có một véc tơ chỉ phương là OG =(4;2; 2− )

(2;1; 1)

u

 = − cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng OG

Vậy phương trình đường thẳng OG là:

= =

−

Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0; 2− ), B(2;−2; 1) và C(0; 0; 1)

Đường trung tuyến AM có phương trình là

A

1

1 31

Do M là trung điểm của BC nên M(1; 1;1− )

Trang 23

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng

( ) đi qua M(2;1; 0) và có VTPT u n;  = (4; 4; 0− ) nên chọn n =(1; 1; 0− )

Phương trình ( ) : (x− −2) (y− =  − − = 1) 0 x y 1 0

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) ;  Ta có:

D đi qua N(0; 1; 0− ) và có VTCP n n;  = (2; 2; 2− ) nên chọn u =(1;1; 1− )

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(5; 3; 2− ) và mặt phẳng

( )P :x−2y + − = Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm z 1 0 M và vuông góc ( )P

d qua điểm M(5; 3; 2− ) và vuông góc ( )P nhận u =(1; 2;1− ) là vtcp có dạng

5

3 22

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1; 5− , hai mặt phẳng ) ( )P :x− + − = và y z 4 0

( )Q : 2x+ + + = Viết phương trình đường thẳng y z 4 0  đi qua A đồng thời  song song với hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

Trang 24

Chọn A

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là n =1 (1; 1;1− )

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )Q là n =2 (2;1;1)

Đường thẳng  đi qua A(3;1; 5− và nhận vectơ ) n = −( 2;1;3) làm vectơ chỉ phương

Phương trình chính tắc của đường thẳng  là: 3 1 5

x− = y− = z+

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;0 , (2; 1;3),− ) B − C(0; 1;1− ) Đường trung tuyến

AM của tam giác ABC có phương trình tham số là

A

122

Có M là trung điểm của BC  M(1; 1;2− )

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P :z − = và 1 0 ( )Q :x + + − = Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng y z 3 0 ( )P , cắt đường thẳng ' : 1 2 3

y t z

Chọn C

Trang 25

Đặt n = P (0; 0;1) và n = Q (1;1;1) lần lượt là véctơ pháp tuyến của ( )P và ( )Q

Do  =( ) ( )P  Q nên  có một véctơ chỉ phương u =n n P, Q= −( 1;1; 0)

Đường thẳng d nằm trong ( )P và d ⊥  nên d có một vectơ chỉ phương là

z y x

+) VTCP của  ,  lần lượt là u =(3; 2;1) và v =(1;3; 2− ; )  u v = −, ( 7; 7; 7)

+) Vì d vuông góc với  và  nên u = − d ( 1;1;1)

+) d đi qua M −( 1;1;3) nên

− Gọi  là đường thẳng nằm trong ( )P , cắt và vuông góc với d Phương

trình nào sau đây là phương trình tham số của ?

d'

d Q

P I

Trang 26

Do  nằm trong nằm trong ( )P và vuông góc với d nên  có véctơ chỉ phương là

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có A(0; 0; 2),B(3; 0;5), C(1;1;1), D(4;1; 2) Phương trình đường cao kẻ

từ D của tứ diện là

Cách 1:

Gọi B là giao điểm của hai đường thẳng d và 

Vì B   nên tọa độ B(1+t ; −t ; 1− +t) Khi đó BA= − + −( t t; 3; t)

Đường thẳng  có một vec tơ chỉ phương là u =(1; 1;1− )

d ⊥  BA⊥ u BA u=  = − t

Trang 27

d vuông góc với đường thẳng  u u d = Chỉ có đáp án C thỏa mãn 0

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho OE= +5i 4j−2 ,k OF= −j 3k Đường thẳng đi qua hai điểm E

và F có phương trình là

A

5

1 33

Ta có: OE = +5i 4j−2k E(5;4; 2− ); OF = −j 3k F(0;1; 3− )

Đường thẳng đi qua hai điểm E và F có một vectơ chỉ phương là FE =(5;3;1)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm E và F là:

5

1 33

Đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương là MN =( 2;2; 2)−

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác với

Đường phân giác trong của góc có một véctơ chỉ phương Tính

Trang 28

Ta có:

Một VTCPcủa đường phân giác trong của góc là:

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Phương trình đường

phân giác trong của góc của tam giác là

Lời giải

Chọn C

Đường phân giác trong của góc của tam giác có một véctơ chỉ phương:

Dễ thấy cũng là một VTCP của đường phân giác trong của góc

Vậy phương trình đường phân giác trong góc

Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3 ,) (B 3; 4;5) và mặt phẳng

( )P :x+ 2y+ 3z− 14 = 0 Gọi Δ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( )P Gọi

Trang 29

đoạn AB Do đó I =d ( ) ( )P  Q

Mặt phẳng ( )Q đi qua trung điểm J ( 2;3; 4 ) của AB và nhận 1 ( )

1;1;1

2AB = làm véc-tơ pháp tuyến nên ( )Q : x+ + − =y z 9 0

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2, 2,3 ; − ) (B 1,3, 4 ;) (C 3, 1, 4 − ) Phương trình đường

phân giác góc BAC là

DC = AC = = DB=3DCDB= −3DC

Ta có: DB = − ( 2 , 4 ,0 t t ); DC = ( 2 2 , 4 − t − + 4 ,0 t )

Trang 30

Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A −( 1; 2; 0), B(1;1;1), C(2; 3; 2 − ) Tập hợp tất cả các

điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d Phương trình tham số của đường thẳng d là

Ta thấy AB và AC không cùng phương nên ba điểm A , B , C không thẳng hàng

M cách đều hai điểm A , B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB

M cách đều hai điểm B , C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AC

Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là giao tuyến của hai mặt trung trực

của AB và AC

Gọi ( )P , ( )Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và AC

3 10; ;

  Nên d có véctơ chỉ phương u = − ( 3;1;7 )

Cho y =0 ta sẽ tìm được x = −8, z =15 nên điểm I(− 8; 0;15)d

Trang 31

Vậy

8 3:

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), (0; 2;1)B và mặt phẳng

( ) : x y z+ + − =7 0 Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A B, có phương trình là

Vì mọi điểm của d cách đều hai điểm A B, nên d nằm trong ( )P với ( )P là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

( )P đi qua trung điểm 3 5

Trang 32

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :ax+by+cz+ =d 0, khi đó:

• Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng ( )P

Điểm H là hình chiếu của điểm M trên ( )

• Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng ( )P

Điểm M  đối xứng với điểm M qua MM =2MH

Câu 37 – Đề tham khảo 2023 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxz có tọa độ là )

A (1; 2;3− ) B (1; 2; 3− C ) (− − −1; 2; 3) D (−1; 2;3)

Lời giải Chọn A

Tọa độ hình chiếu của điểm A(1; 2;3) trên mặt phẳng (Oxz là ) (1; 0;3 Điểm đối xứng với )

A qua mặt phẳng (Oxz có tọa độ là ) (1; 2;3− )

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 5;7− ) Điểm M  đối xứng với điểm M

qua mặt phẳng Oxy có tọa độ là:

Trang 33

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) Phương trình hình chiếu

của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC) là

y z

81;1; 9

H − 

31; ;1 2

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A − −( 4; 1; 2 ,) B(3;5; 10− ) và C a b c( ; ; )

Trung điểm cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng (Oxz) Tổng

a+ +b c bằng

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1;1 ,− ) (B 3; 2; 2 ,− ) (C −3;1;5) Tìm

tọa độ điểm M x y z( ; ; ) thỏa mãn MA−2AB=4CM Khi đó tổng S 9 3 27

= + − bằng

Câu 11: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A −( 1;2;4), B(3;0; 2− ) và C(1;3;7)

Gọi D chân đường phân giác trong hạ từ A Tính OD

Trang 34

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A − −( 1; 2;0 ,) B(3;1; 2 ,) C(1;0;1) và

mặt phẳng ( )P :x−2y+ + =z 5 0 Biết D a b c( ; ; ) nằm trên ( )P sao cho hai đường thẳng ,

BD AC song song với nhau Giá trị a+ +b c bằng:

Câu 13: Cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 4 0 và hai điểm A(1;1;1 ,) (B 1;1;0) Gọi M a b c( ; ; ) ( ) P sao

cho MB−MA lớn nhất Tính 2a− +b c

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;3;1) và mặt phẳng ( ) : 2P x− + − =y z 4 0 Điểm A đối

xứng với A qua mặt phẳng ( )P có tổng hoành độ và tung độ bằng

từ M đến A(4; 12;1− ) nhỏ nhất có tung độ bằng

Trang 35

Câu 21: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( ) (2 ) (2 )2

( ) :S x−1 + y−1 + z−1 =12 và mặt phẳng ( ) :P x−2y+2z+11=0 Xét điểm M di động trên ( )P , các điểm A B C, , phân biệt di động trên ( )S sao cho MA MB MC, , là các tiếp tuyến của ( )S Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm

cố định nào dưới đây?

Trang 36

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 5;7− ) Điểm M  đối xứng với điểm M

qua mặt phẳng Oxy có tọa độ là:

A (2; 5; 7− − ) B (2;5;7) C (− −2; 5;7) D (−2;5;7)

Do điểm M   (x y z; ; ) đối xứng điểm M x y z( ; ; ) qua mặt phẳng Oxy nên

257

Gọi ( ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d

Khi đó: n =u d =(3; 2;1− )

( ) ( : 3 x 2) (2 y 6) (z 3) 0 ( ) : 3x 2y z 21 0

Vì H hình chiếu vuông góc của M lên dnên H =( ) d

Do đó tọa độ H là nghiệm của hệ:

Trang 37

Nhận xét: ta có n a = P d 0 Lấy M(7; 7;6− )d thay vào mặt phẳng ( )P thấy không thỏa mãn nên đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )P

Gọi M(7; 7;6− )d Gọi N x y z( ; ; ) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( )P và I là trung điểm MN

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) Phương trình hình chiếu

của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC) là

y z

Dễ thấy O ABC là hình chóp đều nên hình chiếu của điểm Otrên mp ABC( )là trọng tâm H

của tam giác ABC: H(1;1;1) Vậy hình chiếu của của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC)

là đường thẳng AH

AHđi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là AH −( 2;1;1)

Vậy phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC) là:

Trang 38

Ox Oy Oz

Dễ dàng tìm được tọa độ hình chiếu vuông góc của A −( 3;1; 2) trên trục Oy là H(0;1;0 ) Vì A

đối xứng với M qua trục Oy nên H là trung điểm của AA, suy ra A(3;1; 2 − )

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho sáu điểm A(1; 2;3 ,) B(2; 1;1 ,− ) C(3;3; 3− ) và

Gọi H x y z( ; ; ) Ta có AH =(x y z; ; −1 ,) BC =(3;3; 1 ,− ) BH =(x+1;y+2;z)

Yêu cầu bài toán

( ) ( ).3 3 1 1 0

Trang 39

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A − −( 4; 1; 2 ,) B(3;5; 10− ) và C a b c( ; ; ).

Trung điểm cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng (Oxz) Tổng

a+ +b c bằng

Gọi M(0; ;0y )Oy là trung điểm AC Suy ra C(4; 2y + −1; 2 )

Gọi N là trung điểm của BC, suy ra 7; 3; 6

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1;1 ,− ) (B 3; 2; 2 ,− ) (C −3;1;5) Tìm

tọa độ điểm M x y z( ; ; ) thỏa mãn MA−2AB=4CM Khi đó tổng S 9 3 27

= + − bằng

Câu 11: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A −( 1;2;4), B(3;0; 2− ) và C(1;3;7)

Gọi D chân đường phân giác trong hạ từ A Tính OD

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A − −( 1; 2;0 ,) B(3;1; 2 ,) C(1;0;1) và

mặt phẳng ( )P :x−2y+ + =z 5 0 Biết D a b c( ; ; ) nằm trên ( )P sao cho hai đường thẳng ,

BD AC song song với nhau Giá trị a+ +b c bằng:

Lời giải

Trang 40

a b c

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;3;1) và mặt phẳng ( ) : 2P x− + − =y z 4 0 Điểm A đối

xứng với A qua mặt phẳng ( )P có tổng hoành độ và tung độ bằng

Tiêu đề	Phát triển 16 dạng toán toàn trong tâm đề tham khảo tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán
Tác giả	Phan Nhật Linh
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu ôn tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	270
Dung lượng	6,04 MB