Luận Văn Vật Lý, Dòng Chảy Lớp Biên, Cơ Học Chất Lỏng.pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ HUYỀN GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN DẠNG FALKNER – SKAN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 Header Page 1[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Trần Văn Trản

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS – TS Trần Văn Trản, người thầy

đã tận tình hướng dẫn, vạch ra cho em hướng đi, đưa ra những nhận xét và sửa chữa, bổ sung cho em được rất nhiều kiến thức quý báu để em từng bước hoàn thành luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị cho

em kiến thức giúp em hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 22 tháng 07 năm 2015

Học viên Trần Thị Huyền Giang

MỤC LỤC

Mở đầu ……….3

Chương 1 Dòng chảy lớp biên ……… 5

1.1 Ngắn gọn về dòng chảy lớp biên ………5

1.2 Nghiệm đồng dạng của hệ phương trình lớp biên ……….14

1.3 Thu nhận bài toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan……… 16

Chương 2 Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy Falkner – Skan ……… 21

2.1 Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ……… 21

2.2 Về ổn định tuyến tính của nghiệm ………22

2.3 Nghiệm phân nhánh của bài toán ……… 26

Chương 3 Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan………… 28

3.1 Phương pháp giải với một biên chưa xác định bằng cách đưa về bài toán hai biên xác định ……… 28

3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn giải hệ phương trình Prandtl ……….32

Kết luận……… 39

Tài liệu tham khảo……….40

Phụ lục……….41

Dòng chảy lớp biên trên bề mặt hình nón với tên dòng chảy Falkner – Skan được nghiên cứu từ khá lâu Do những ứng dụng quan trọng của các nghiên cứu về dòng chảy này trong lĩnh vực quân sự nên nó được quan tâm rất nhiều từ những năm sau chiến tranh thế giới thứ hai Hiện những nghiên cứu sâu về bài toán dòng chảy Falkner – Skan với những yếu tố mới như nhiệt độ dòng khí cao,

tốc độ bay siêu âm, … vẫn đang nhận được sự chú ý đặc biệt của các chuyên gia

Luận văn tập trung vào nội dung mô tả bài toán trên từ khía cạnh cơ học, toán học và ứng dụng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất để thu nhận lời giải của nó trong trường hợp cổ điển, nghĩa là chưa tính đến yếu tố nhiệt

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Dòng chảy Falkner – Skan Trong chương này trình bày nội dung về lý thuyết lớp biên, nghiệm đồng dạng và cách thu nhận bài toán

Chương 2: Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy Falkner – Skan Đưa ra một số tính chất chung của nghiệm bài toán dòng chảy lớp biên: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, sự ổn định tuyến tính của nghiệm và nghiệm phân nhánh của bài toán

Chương 3: Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan Thực hiện giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan bằng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất, nêu các kết quả nhận được và so sánh với nhau

Chương 1 DÒNG CHẢY FALKNER – SKAN 1.1 Ngắn gọn về lý thuyết lớp biên

Chúng ta quan tâm, khảo sát dòng chảy với độ nhớt nhỏ hoặc số Reynolds lớn Một sự đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chuyển động của chất lỏng được đưa ra bởi L.Prand vào năm 1904 trong đó ông giải thích ảnh hưởng cơ bản của độ nhớt trong dòng chảy với số Reynolds lớn và chỉ ra cách đơn giản phương trình Navier – Stokes để xấp xỉ nghiệm cho trường hợp này

Hình 1 Dòng chảy lớp biên dọc theo bức tường

Để đơn giản được phương trình, chúng ta sẽ coi dòng chảy hai chiều của một chất lỏng với độ nhớt nhỏ bao quanh vật trụ với hai biên mỏng giống như hình 1

Với sự bỏ qua của vùng lân cận trực tiếp của bề mặt vật rắn, vận tốc là bậc

của vận tốc dòng tự do, v , kiểu của đường dòng và phân bố vận tốc chỉ sai lệch

nhỏ khi dòng chảy không có ma sát

Tuy nhiên, những nghiên cứu chi tiết chỉ ra rằng, không giống như dòng chảy có thế, dòng chảy không chỉ trượt qua tường mà bám vào nó Sự chuyển từ vận tốc 0 tại mặt tường tới khi đạt giá trị đủ lớn tại một khoảng cách nào đó tính

từ bề mặt vật rắn tạo nên một lớp khá mỏng và được gọi là lớp biên

Với dòng chảy này có hai vùng cần xem xét, thậm chí sự phân chia ranh giới giữa chúng là không thật rõ ràng

1 Lớp rất mỏng trong vùng lân cận trực tiếp của vật thể mà ở đó gradient

vận tốc theo chiều vuông góc với bức tường, u

y



 là rất lớn Trong miền

này độ nhớt rất nhỏ  của dòng chảy ảnh hưởng cơ bản vào việc tạo

nên ứng suất trượt u

tỷ lệ với căn bậc hai của độ nhớt động học  

Khi đơn giản hóa phương trình Navier – Stokes, ta giả sử độ dày lớp biên

là nhỏ so với chiều dài đặc trưng, L của vật thể:  L Trong miền này nghiệm

thu được từ phương trình lớp biên là gần đúng và áp dụng cho số Reynolds đủ lớn

Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu cách đơn giản phương trình Navier – Stokes, và để hoàn thành chúng, chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng Trong bài toán hai chiều chỉ ra trong hình 1, ta giả thiết bức tường là

phẳng và trùng với trục x, trục y sẽ vuông góc với nó Ta viết lại phương trình

Navier – Stokes ở dạng không thứ nguyên bằng cách lấy vận tốc dòng tự do V,

độ dài nào đó của vật L làm các đại lượng đặc trưng Khi đó thời gian đặc trưng

Với giả thiết độ dày lớp biên là không thứ nguyên

L



, là rất nhỏ so với 1 ( 1), ta sẽ giữ lại các đại lượng có cùng bậc với 

Chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng để có thể bỏ qua những

đại lượng nhỏ và đơn giản phương trình Vì u

u x



 là cùng bậc  , nên

2 2

u x



 , nghĩa là gia tốc tức thời xuất hiện trong sóng áp suất lớn bị loại trừ Để phù hợp với những đối số trước, một số đại lượng nhớt phải cùng bậc độ lớn với các đại lượng quán tính, ít nhất là trong vùng lân cận trực tiếp với mặt tường mặc dù nó

nhỏ so với đại lượng 1

R Vì thế đạo hàm cấp hai của vận tốc phải lớn khi gần

mặt tường Để phù hợp với những giả thiết trước ở đây ta chỉ áp dụng đối với 2

2

u y



 và

2 2

v

y



 Vì thế vectơ vận tốc song song với bức tường tăng từ 0 tại mặt

tường và có giá trị 1 trong dòng tự do qua lớp có độ dày  Ta có u 1

y 



 Nếu những giá trị này được đưa vào

phương trình (1.2), (1.3), thì từ phương trình thứ nhất của chuyển động suy ra

rằng lực nhớt trong lớp biên có thể trở thành cùng bậc độ lớn như lực quán tính chỉ khi số Reynolds là bậc 12

 :

21

u y



 Từ phương trình thứ ba ta có thể suy ra rằng

p y



 có cùng

bậc với  Ứng suất tăng dọc theo lớp biên ta có thể thu được bằng việc tích phân phương trình thứ 3 Nó có 2 rất nhỏ Vì thế áp suất theo hướng trực giao với lớp biên là một hằng số thích hợp Nó có thể coi bằng áp suất tại lớp biên phía ngoài mà tại đó giá trị của áp suất được xác định bằng dòng không có ma sát Do đó nó có thể được xem như là một hàm đã biết ngoài dòng chảy lớp biên

và chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t

Tại vùng ngoài lớp biên thành phần vận tốc u bằng vận tốc dòng chảy

ngoài U x t , Vì thế tại đó gradient vận tốc không lớn, thành phần vận tốc trong phương trình (1.2) giảm khi R có giá trị lớn, và tương ứng với dòng chảy phía ngoài ta thu được:

Trường hợp dòng chảy dừng phương trình được đơn giản hơn khi áp suất chỉ phụ thuộc vào x Chúng ta sẽ nhấn mạnh sự ảnh hưởng này bởi việc đạo hàm

là dp

dx, vì thế:

1

dU dp U

Nó cũng có thể được viết trong các đại lượng được dùng của phương trình Becnoulli

21

ons2

Điều kiện biên cho dòng chảy bên ngoài là gần giống như dòng chảy không ma sát Độ dày lớp biên là rất nhỏ và thành phần vận tốc ngang v là rất nhỏ trên biên Do đó dòng chảy không nhớt, có thế quanh vật thể khi thành phần vận tốc vuông góc là bé và giảm khi xa dần mặt tường sẽ là một xấp xỉ tốt cho dòng chảy phía ngoài Gradient áp suất theo phương x trong lớp biên có thể thu được bằng cách áp dụng phương trình Becnoulli (1.5a) tới đường dòng tại mặt tường trong dòng chảy có thế đã biết

Hệ phương trình lớp biên hai chiều lần đầu tiên nhận được bởi Prandtl có dạng như sau:

v0

1v

Dòng chảy có thế U(x, t) bên ngoài lớp biên coi như đã biết Nó sẽ được

sử dụng để xác định phân bố áp suất theo hướng vuông góc với dòng chảy cùng với phương trình (1.8) Hơn nữa dòng chảy lớp biên phù hợp phải duy trì trên

toàn miền x, y với điều kiện ban đầu t = 0

Trong trường hợp dòng chảy dừng hệ trên trở thành:

v0

1v

Sự đơn giản hoá về mặt toán học đưa ra ở đây là rất quan trọng, nó khác so với trường hợp chuyển động trượt, thành phần phi tuyến của phương trình Navier – Stokes được bảo toàn, nhưng ba phương trình ban đầu cho , v,u p của

bài toán dòng chảy hai chiều Phương trình chuyển động theo hướng vuông góc với tường được loại bỏ hoàn toàn

Vì thế những ẩn chưa biết giảm đi một Ta thu được một hệ đồng thời cho

hai ẩn u và v Áp suất không còn là một hàm ẩn và có thể được tính từ nghiệm

của dòng chảy có thế kết hợp với phương trình Becnoulli Hơn nữa một biểu thức nhớt trong phương trình chuyển động còn lại cũng được giảm Như vậy chúng ta đánh giá độ dày lớp biên trong (1.4) sẽ là:

Đánh giá về bậc của các đạo hàm được tiến hành đối với bản phẳng, nhưng ta có thể mở rộng ra đối với trường hợp ở trên tường cong Khi mở rộng này được thực hiện, ta thấy rằng phương trình (1.10) đến (1.12) tiếp tục được áp dụng với điều kiện độ cong không thay đổi đột ngột như trường hợp có gấp khúc với mũi nhọn

Các lập luận hiện tại dựa trên giả thiết rằng độ nhớt chỉ ảnh hưởng đến dòng chảy trong một lớp biên rất mỏng Tuy nhiên phương trình lớp biên đã được thu nhận từ phương trình Navier – Stokes theo công thức toán học thuần túy mà không sử dụng các khái niệm vật lý

Xét phương trình lớp biên ở dạng không thứ nguyên với U,L là các đại lượng đặc trưng Khi đó các đại lượng của dòng chảy được đưa về dạng không

Từ (1.14) và (1.15) ta thấy nghiệm lớp biên phụ thuộc vào số Reynolds Ta đưa

ra được chuyển động theo chiều thẳng đứng vuông góc với U x' '

Hệ phương trình này bây giờ không chứa số R, vì thế nghiệm của hệ hàm

u x y và v''x y', '' cũng độc lập với số Reynolds

Sự thay đổi số Reynolds dẫn đến sự dịch chuyển của lớp biên trong khi đó

hệ toạ độ và vận tốc theo hướng vuông góc được nhân với R1/2 Do đó, với một

vật thể vận tốc không thứ nguyên được hợp thành u

1.2 Nghiệm đồng dạng của hệ phương trình lớp biên

Một câu hỏi rất quan trọng đối với bài toán phương trình lớp biên là việc tìm ra điều kiện để lời giải của hai bài toán là đồng dạng với nhau Chúng ta nói

nghiệm của bài toán có tính chất đồng dạng khi thành phần vận tốc u của nó có tính chất như sau: Hai profile vận tốc u(x, y) của nó xác định tại hai toạ độ x khác nhau bất kì chỉ khác nhau bởi một hệ số biểu diễn kích cỡ của cả u lẫn y Vì thế trong trường hợp nghiệm đồng dạng thì tất cả các profiles vận tốc u(x, y) tại tất

cả các giá trị của x sẽ là trùng nhau nếu ta biểu diễn chúng trong các tọa độ đã

được không thứ nguyên hóa bằng các thước đo được chọn thích hợp Do vậy mà lời giải đồng dạng đôi khi còn được gọi là lời giải affine Thế vận tốc địa phương

U(x) theo x tất nhiên sẽ là thước đo cho u(x) vì vận tốc không thứ nguyên thay đổi theo y từ 0 đến 1 Còn thước đo cho biến y mà ta kí hiệu là g(x) phải tỷ lệ với

độ dày lớp biên

Yêu cầu về đồng dạng được đưa về yêu cầu với hai điểm bất kì, thành

phần u(x,y) phải thoả mãn phương trình sau:

Trong trường hợp lớp biên trên bản phẳng nằm ngang thì vận tốc dòng ở

vô hạn U là thước đo quy mô đối với u, trong khi đại lượng tương tự cho y

vi phân thường, tạo nên sự đơn giản đáng kể cho bài toán Lớp biên dọc theo bản phẳng là một ví dụ diển hình trong trường hợp này

Hình 2 Lớp biên dọc theo bản phẳng

1.3 Thu nhận bài toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan

Khi ta thực hiện phép biến đổi tương tự y U

vx

  , chúng ta có thể thu được một phương trình vi phân thường đối với hàm dòng f   , thay cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng ban đầu Chúng ta quan tâm tới dòng chảy

có thế khi nghiệm đồng dạng tồn tại Bài toán được nghiên cứu đầu tiên bởi S.Goldstein, sau đó là W.Mangler

Xét phương trình lớp biên cho dòng chảy dừng hai chiều (1.10) và (1.11)

có thể viết thành:

2 2

v0v

Điều kiện biên là: u = v = 0 với y = 0 và u = U với y 

Tích phân phương trình liên tục bởi hàm dòng  x y, :

Độ dài được thay bằng đại lượng không thứ nguyên theo chiều dài đặc

trưng L, và tất cả các vận tốc được đưa về không thứ nguyên nhờ vận tốc đặc

trưng U Số R xuất hiện trong phương trình R U L.

Trong đó f ' kí hiệu đạo hàm tương ứng với , và g' ứng với x

Ta có thể thấy trực tiếp trong (1.24) rằng profiles vận tốc u(x, y) là tương

tự với các biểu thức được định nghĩa từ trước, khi dòng f chỉ phụ thuộc vào biến

, phương trình (1.22) phụ thuộc vào f và  Hơn nữa trong trường hợp này phương trình vi phân riêng đối với hàm dòng (1.21) sẽ trở thành một phương trình vi phân thường đối với f  

Ta đưa vào các biến không thứ nguyên từ (1.22) và (1.23) vào (1.21), ta thu được phương trình vi phân với f  , :

(1.25) phải độc lập với x, chúng phải là hằng số Điều kiện sau kết hợp với

phương trình (1.26) đưa ra hai phương trình cho thế vận tốc U x  và g(x) Vì

thế điều kiện tồn tại nghiệm đồng dạng của dòng chảy lớp biên, hàm dòng f  

phải thoả mãn phương trình vi phân sau:

Khi  0, không mất tính tổng quát ta đặt  1 Khi đó ta đưa vào một hằng số

mới m thay thế cho, với

Ta có: 2

1

m m

x U g

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHUNG CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN VỀ DÒNG CHẢY

FALKNER - SKAN 2.1 Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Chúng ta viết lại phương trình và các điều kiện biên của bài toán như sau:

- Để cho các giá trị  1 thì bài toán trên có nghiệm duy nhất khi có thêm điều kiện 0 f ' 1  0 (2.5) Tuy nhiên các nghiệm nhận được bằng phương pháp số cho  1 chỉ ra rằng điều kiện (2.5) hình như là không cần thiết

- Với  0 vấn đề phức tạp hơn Cụ thể là tồn tại giá trị tới hạn

* 0,1988

   với các tính chất như sau:

 Để cho *  0 thì nghiệm duy nhất của (2.1), (2.2), (2.3) và (2.5) với f '1 là tồn tại và tăng theo hàm luỹ thừa Đồng thời nghiệm giảm theo hàm mũ cũng tồn tại

 Để cho *  0, bài toán (2.1), (2.2), (2.3) có thêm một nghiệm (duy nhất) nữa giảm theo hàm luỹ thừa thoả mãn điều kiện f '(0)0

 Để cho   * không tồn tại nghiệm của (2.1), (2.2), (2.3) mà lại thoả mãn điều kiện (2.5) Nhưng nếu đặt điều kiện

' 1,

f     nào đó thì tồn tại nghiệm giảm theo hàm luỹ thừa

2.2 Về tính ổn định tuyến tính của nghiệm

- Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2), (2.3) với 0  1 ổn định tuyến tính

Hình 4 Đường cong trung gian của nghiệm Falkner – Skan trường

 Ở giá trị  1,5 có 5 nghiệm, 1 nghiệm chuẩn, không có điểm uốn, các nghiệm còn lại lần lượt có 2, 4, 6, 8 điểm uốn

Bài toán ổn định tuyến tính đã được xem xét cho 7 nghiệm nói trên: 2 cho trường hợp   0,18 và 5 cho trường hợp  1,5 Kết quả tính toán cho thấy:

ổn định

Mất ổn định Đường cong trung gian

 Để cho các nghiệm ứng với   0,18, đường cong trung gian cho trên hình 5 [6] Để cho lời giải chuẩn (không có điểm uốn) thì Re*50,3, còn cho nghiệm có điểm uốn thì Re* 16,5 Điểm này phù hợp với một kết luận chung của lý thuyết ổn định tuyến tính là dòng chảy với mặt cắt vận tốc có điểm uốn bao giờ cũng dễ mất ổn định hơn so với dòng chảy không có điểm uốn.

Hình 5 Đường cong trung gian của hai nghiệm Falkner – Skan

trường hợp   0.18

 Để cho các nghiệm ứng với  1,5 Kết quả tính toán cho thấy trong khi nghiệm chuẩn có Re* 26,6.103thì các nghiệm với 2 điểm uốn trở lên chỉ có Re trong khoảng 1,6 đến 2,4 [6] Kết *quả tính toán chỉ ra: nghiệm càng nhiều điểm uốn thì số Re tới *hạn càng giảm

Hình 6 Đường cong trung gian của nghiệm tiêu chuẩn trong trường

hợp  1.5

Hình 7 Đường cong trung gian cho bốn nghiệm dòng chảy ngược

đầu tiên của phương trình Falkner – Skan

2.3 Nghiệm phân nhánh của bài toán [4]

Xét bài toán (2.1), (2.2) và (2.3) với  0 Để trình bày ngôn ngữ lời giải phân nhánh, ta coi biến độc lập  như là biến thời gian t và gọi lời giải của bài toán là chấp nhận được nếu nó thoả mãn điều kiện: y’ bị chặn với t, kể cả các nghiệm tuần hoàn (ta kí hiệu là P - quĩ đạo) Ngoài ra ta kí hiệu Y và Y là các nghiệm tương ứng với tính chấty' 1; y'' y'''0

Có thể chỉ ra rằng tại mọi điểm ở đó có max y’ ( y''0; y'''0) đều nằm trên khoảng y' 1 và mỗi điểm ở đó có min 'y đều thuộc khoảng y' 1

Hình 8 Một số nghiệm có thể chấp nhận được với 10 Các quỹ đạo đều được

thể hiện trên cùng một mô hình

(a) Quỹ đạo P3, (b) Quỹ đạo P21, (c) Quỹ đạo Q2, (d) Quỹ đạo Q11

Trên hình 8 biểu diễn trong mặt phẳng (y, y’) bốn nghiệm tính toán bằng

số, trong đó hình (a) là P – quĩ đạo với ba lần vòng qua Y- nên ta kí hiệu là P3 Người ta chỉ ra rằng P3 xuất hiện khi  tăng qua giá trị  3 Hình (b) cũng là

P quĩ đạo nhưng với 2 lần đi qua miền y'0 và trong hai lần đó có lần lượt 1 và

2 lần vòng qua Y- Ta kí hiệu đó là P12 Loại quĩ đạo này được tạo ra khi  tăng qua giá trị  2 Với P3 và P12 thì số lần vòng qua Y- là 3 và là giá trị không đổi của nghiệm tuần hoàn Nó không đổi ngay cả khi  thay đổi

Lời giải tuần hoàn là quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình (2.1) Nhưng vị trị trung tâm lại là Q – quĩ đạo Trên hình (c) và (d) biểu diễn hai loại

Q – quĩ đạo Với Q2 ta có hai lần vòng qua Y- , trong khi Q11 có hai lượt đi qua miền y'0 và mỗi lượt như vậy có một lượt vòng qua Y- Q11 tạo ra khi  tăng qua giá trị  1 còn Q2 khi  vượt qua  2 Kí hiệu Qn là Q – quĩ đạo với n lần vòng qua Y- trong một lượt đi qua miền y'0 Khi đó người ta chứng minh được rằng Qn xuất hiện khi  vượt qua giá trị  n

Như vậy kết quả nghiên cứu bài toán phân nhánh lời giải của phương trình

mô tả chuyển động Falkner – Skan trong lớp biên chỉ ra rằng lời giải phân nhánh dạng P và Q – quĩ đạo được hình ra khi  vượt qua các giá trị  n Tuy nhiên người ta cũng chỉ ra rằng khi  đủ lớn ( ) thì cả P – quĩ đạo và Q – quĩ đạo sẽ biến mất

Chương 3 GIẢI SỐ BÀI TOÁN DÒNG CHẢY LỚP BIÊN

FALKNER – SKAN

Trong chương này các phương pháp số dùng để tính toán dòng chảy Falkner – Skan sẽ được đề cập Nhìn chung có hai nhóm phương pháp chính như sau:

Nhóm thứ nhất là nhóm các phương pháp tích phân phương trình vi phân (2.1), với các điều kiện (2.2), (2.3) Nhờ sự tồn tại nghiệm đồng dạng đối với hệ phương trình lớp biên cho dòng chảy Falkner – Skan nên ta thu nhận được một phương trình vi phân thường thay vì ba phương trình đạo hàm riêng Do vậy việc giải số (2.1), (2.2), (2.3) nhìn chung sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Nhóm thứ hai là nhóm các phương pháp giải trực tiếp hệ phương trình Prandlt bằng phương pháp sai phân hoặc phần tử thể tích hữu hạn hoặc phần tử hữu hạn

Chương này trình bày hai phương pháp khác nhau cơ bản về bản chất mỗi phương pháp đại diện cho mỗi nhóm nói trên

3.1 Phương pháp giải với một biên chưa xác định bằng cách đưa về bài toán hai biên xác định

Xét bài toán đặt ra trong 2.1 Điều kiện (2.3) được đặt trên biên chưa xác định   mà    ta có thể coi f ' 1 với sai số bé tuỳ ý

Thuật toán giải bài toán (2.1), (2.2), (2.3) với một biên chưa xác định như sau: đưa (2.1) về hệ 3 phương trình vi phân thường cấp một Trên biên  0 ta lấy f '' 0  tuỳ ý rồi tích phân từng phần từ  0 đến  đủ lớn Tham số f '' 0 

sẽ được điều chỉnh bằng phương pháp lặp sao cho tại  ta được f '  1 Thuật toán này có một nhược điểm là ta không biết chắc chắn phải lấy  bằng bao nhiêu thì hợp lý Do vậy ta phải điều chỉnh  để sao cho nó bé nhất có thể

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đưa bài toán một biên chưa xác định về bài toán với hai biên xác định Phương pháp này trình bày chi tiết trong [2] Áp dụng cho bài toán (2.1), (2.2), (2.3) ta làm các bước như sau:

Đặt f  y1; f ' y2; f '' y3, từ (2.1), (2.2), (2.3) ta nhận được bài toán tương đương:

Như vậy (3.4), (3.5), (3.6) là bài toán biên hai điểm ở dạng chuẩn

Thuật toán giải bài toán này như sau:

Ta gán cho y3 0 c y1; 4 0 c2; c c tuỳ ý 1, 2 (3.7) Sau đó ta tích phân (3.4), (3.5), (3.7) từ z0 đến z1 Sau đó ta sử dụng (3.6)

để hiệu chỉnh c và 1 c cho phù hợp với bài toán (3.4), (3.5), (3.6) 2

Chương trình Fortran cho phương pháp này dẫn ra trong phụ lục 1 Kết quả tính toán cho một số giá trị  được dẫn ra trên các hình 9

ß=0

ß=0.5

η

η

Hình 9 Các đại lượng u, v, f cho một số giá trị 

Trên hình 9 là đồ thị của f, u và v cho một số giá trị của  Từ hình 9 có thể thấy ở cùng một giá trị Re,  càng lớn thì độ dày lớp biên càng mỏng

ß=1.6 ß=1.0

η

η