ĐỘ CẢM TỪ CỦA TẬP HỢP VÒNG LƯỢNG TỬ BÁN DẪN ĐỐI XỨNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ

Chính sự giam cầm lượng tử làm ảnh hưởng tới chuyển độngcủa các điện tử và lỗ trống từ đó làm thay đổi một số tính chất của vật liệu cả về phổ năng lượng cũng như mật độ trạng thái.. Nhữ

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Minh Thư,người đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này Trong suốt một thờigian dài, mặc dù công việc giảng dạy và nghiên cứu của thầy rất bận rộnnhưng thầy vẫn dành cho tôi những khoảng thời gian quý giá để chỉ bảo tậntình giúp tôi hoàn thành được khóa luận Sự giúp đỡ, động viên kịp thời vànhững tình cảm thầy dành cho tôi đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăntrong quá trình thực hiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lí – Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho tôi vốn kiến thức quý báu để tôi có thểthực hiện khóa luận, cũng như làm giàu thêm hành trang kiến thức để tôi tiếptục sự nghiệp sau này

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Tác giả: Nguyễn Thanh Thủy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU 3

1.1 Các hệ thấp chiều 3

1.1.1 Các độ dài đặc trưng cho hệ Mesoscopic 3

1.1.1.1 Bước sóng Fermi (F) 3

1.1.1.2 Quãng đường tự do trung bình (l) 4

1.1.1.3 Độ dài kết hợp pha ( L) 4

1.1.2 Khái niệm chiều 5

1.1.3 Mối liên hệ giữa mật độ trạng thái với năng lượng 7

1.1.4 Kết luận 11

1.2 Vòng lượng tử bán dẫn 11

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN 14

2.1 Phương pháp khối lượng hiệu dụng 14

2.2 Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng 19

2.3 Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn 21

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN 25

3.1 Sự phụ thuộc của các hệ số B C , C 0 và C 1 vào R 25

3.2 Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng 29 KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

Thành tựu của khoa học Vật lý cuối những năm 80 của thế kỷ 20 đượcđặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bándẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều [1-5] Các hệthấp chiều có kích thước lượng tử được tạo ra bởi các vật liệu bán dẫn như:các giếng lượng tử (Quantum Wells), các siêu mạng (Superlatices), các dâylượng tử (Quantum Wires), các chấm lượng tử (Quantum Dots) và các vònglượng tử (Quantum Rings) [6-14] Các cấu trúc này được kì vọng sẽ đóng vaitrò quan trọng trong sự phát triển của vật lí mới cũng như rất nhiều các ứngdụng trong điện tử học, quang học, quang tử học và máy tính lượng tử [4, 7,15-20] Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của cáchạt tải (điện tử, lỗ trống, …) bị giới hạn theo một, hai, hoặc cả ba chiều trongkhông gian mạng tinh thể Với giếng lượng tử, hạt tải chỉ có thể chuyển động

tự do theo hai chiều (2D) và bị giam cầm theo một chiều Với dây lượng tử,hạt tải chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều (1D) và bị giam cầm theohai chiều Với chấm lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo cả

3 chiều (0D) Chính sự giam cầm lượng tử làm ảnh hưởng tới chuyển độngcủa các điện tử và lỗ trống từ đó làm thay đổi một số tính chất của vật liệu cả

về phổ năng lượng cũng như mật độ trạng thái Đồng thời, các tính chấtquang, tính chất điện, tính chất từ của các cấu trúc thấp chiều cũng xuất hiệnnhiều đặc tính mới hoàn toàn khác so với bán dẫn khối thông thường [1-4,7]

Những nghiên cứu về sự mở rộng của cường độ trung bình của phổphát quang của các chấm lượng tử do sự không đồng nhất về kích thước củacác chấm đã thu hút được sự quan tâm từ các nhà khoa học trong nhiều nămqua Bên cạnh đó, các kết quả thực nghiệm gần đây cũng đã chỉ ra sự phụthuộc ổn định vào nhiệt độ của độ cảm từ của vòng lượng tử bán dẫn [9] Cáctác giả cũng đã cho rằng nguyên nhân của điều này là do sự không đồng nhất

của kích thước của các vòng lượng tử InAs/GaAs trong tập hợp vòng nhưng

không có tính toán lí thuyết hay mô phỏng nào chứng minh Trong khóa luậnnày, chúng tôi mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử

bán dẫn InAs/GaAs đối xứng khi tính đến sự không đồng nhất về kích thước

của các vòng trong tập hợp Chúng tôi sử dụng lí thuyết gần đúng khối lượnghiệu dụng để tìm trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của điện tử giam cầmtrong vòng lượng tử bán dẫn Thế giam cầm trong biểu thức của Hamiltoniancủa điện tử có dạng thế liên tục (smooth confinement potential) [21-25] Từ

trường ngoài áp đặt lên hệ hướng theo trục Oz, cũng là hướng mọc của vòng

lượng tử Sử dụng phương pháp “2D-mapping”, chúng tôi giải phương trìnhSchrodinger để tìm trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của điện tử bằngphần mềm mô phỏng Comsol Multiphysic [26] Sử dụng kết quả tính toán nàychúng tôi sẽ mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bándẫn vào từ trường và nhiệt độ khi tính đến sự không đồng nhất của bán kínhcủa các vòng trong tập hợp Các kết quả mô phỏng sẽ được so sánh với kếtquả thực nghiệm và những tính toán, mô phỏng của các tác giả khác

Bố cục của khóa luận: ngoài phần mở đầu, kết luận, cùng danh mục

tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày thành ba chương:

Chương 1 Tổng quan về hệ thấp chiều

1.1 Các hệ thấp chiều

1.2 Vòng lượng tử bán dẫn

Chương 2 Phương pháp tính toán

2.1 Phương pháp khối lượng hiệu dụng

2.2 Phương trình Schrodinger trong gần đúng một vùng

2.3 Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn

Chương 3 Kết quả và thảo luận

3.1 Sự phụ thuộc của các hệ số B C , và vào R.

3.2 Độ từ hóa và độ cảm từ của tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU 1.1 Các hệ thấp chiều

Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu các khái niệm cơ bản về hệthấp chiều Trước tiên, ta đi tìm hiểu về các độ dài đặc trưng cho hệ thấpchiều trong phần 1.1.1 Trong mục 1.1.2, chúng ta đi tìm hiểu khái niệmchiều, sau đó là mối quan hệ giữa mật độ trạng thái và cấu trúc vùng nănglượng của các hệ khác nhau (1.1.3) [1-3]

1.1.1 Các độ dài đặc trưng cho hệ Mesoscopic

Vật lí hệ thấp chiều nghiên cứu về các hệ vật lí có kích thướcmicromet, nanomet Việc nghiên cứu và tạo ra các cấu trúc thấp chiều từ cácchất bán dẫn, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính Hàng loạtcác linh kiện, thiết bị điện tử được ứng dụng công nghệ bán dẫn thấp chiều đã

và đang được tạo ra, chẳng hạn như: các lase bán dẫn chấm lượng tử, các điôthuỳnh quang điện, pin mặt trời, các vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều,….Vìvậy, vật liệu hệ thấp chiều đang trở thành mục tiêu nghiên cứu của các nhà vật

lí Khi nghiên cứu về hệ thấp chiều, người ta đưa ra các độ dài đặc trưng nhưsau [1-3]

Vì ở nhiệt độ 0K, các điện tử chỉ chiếm các trạng thái với k  k F nên

hệ thức giữa k F và mật độ điện tử n khi tính đến spin:

2 2

2 ,

) 2 ( 2

3 ,

3 ) 2 ( 2

2 2

3 3

d k

d k

d k

n

F

F F

Như vậy F phụ thuộc vào n Ví dụ với kim loại điển hình (Ag,Cu): n

cao nên F chỉ chừng vài Angstrom A0 Với bán dẫn 2 chiều (trong cấu trúc

dị thể GaAs-AlGaAs) n=5.1011cm-2 thì Fcỡ 35 nm

Ở nhiệt độ thấp, dòng chủ yếu mang bởi điện tử với k gần k F

1.1.1.2.Quãng đường tự do trung bình (l).

Trong tinh thể hoàn hảo, các điện tử chuyển động như trong chânkhông với khối lượng hiệu dụng Lệch khỏi mạng hoàn hảo (tạp chất, daođộng mạng…) dẫn đến các va chạm làm cho điện tử bị tán xạ, chuyển từ trạngthái này sang trạng thái khác Khi lệch khỏi mạng tinh thể hoàn hảo, chúng ta

có khái niệm quãng đường tự do trung bình: quãng đường tự do trung bình là khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển được trước khi momentum ban đầu của nó bị phá hủy Khái niệm quãng đường tự do trung bình đóng

một vai trò quan trọng trong lý thuyết dịch chuyển Boltzman

Ở nhiệt độ thấp, tính chất chuyển được xác định bởi các điện tử có

F

k

k , có thể viết:

m F

Trong hệ thực, điện tử tán xạ bởi tạp chất, dao động mạng (phonon)

hay bởi các điện tử khác khiến năng lượng thay đổi từ E đến E+Enên phacủa hàm sóng bị phá hủy Thời gian kết hợp pha  , là khoảng thời gian lưu giữ kí ức về pha Thời gian  có thể xác định:



Việc tính  cần thực hiện cho từng cơ chế tán xạ và thường khôngđơn giản,

với T là nhiệt độ của hệ,

p=2 cho tán xạ điện tử - điện tử,

p>2 cho tán xạ điện tử - phonon,

Biết  ta định nghĩa độ dài kết hợp pha:



 D

L 2

(1.7)Với D là hệ số khuếch tán

Từ (1.5), (1.6) và (1.7) rút ra: L TP/ 2



Ta thấy có 3 độ dài đặc trưng cho các hệ thấp chiều Điều kiện để một

hệ là hệ thấp chiều khi kích thước của nó nhỏ hơn hoặc bằng một hoặc cả 3 độdài đặc trưng Tỷ đối giữa F , l, Llà tùy thuộc vật liệu, với vật dẫn thườngthì F l L Nói chung, các kích thước này cỡ nm nằm giữa kích thước

microscopic cỡ 0

A

1.1.2 Khái niệm chiều

Xét một hạt chuyển động trong mẫu hình hộp có các cạnh L 1 , L 2 ,L 3 : L 1

L 2L 3.

Giả sử, bên trong thế năng bằng 0, bên ngoài thế năng bằng vô hạn Khi

đó, giải phương trình Schrodinger, ta có năng lượng của hạt:

2 2 2

1 1 2 3 2 1

2 ) , , (

L

n L

n L

n m n

n n

lượng tử hóa mức năng lượng là không quan trọng Giảm L đến giá trị gần với

bước sóng Fecmi hiệu ứng lượng tử hóa đóng vai trò quan trọng Công nghệ

nano hiện đại cho phép chế tạo vật liệu với L cỡ (F,l,L) Một cách tươngđối có thể phân lớp các mẫu đo bằng cách so sánh các kích thước của nó vớimột trong (ví dụ F) hoặc cả ba độ dài đặc trưng (F,l,L)

So sánh kích thước mẫu với bước sóng Fermi, ta có phân dạng như sau:

a Hệ ba chiều (vật liệu khối thông thường)

d Hệ không chiều (chấm lượng tử)

hệ giả 3 chiều, giả 2 chiều, giả 1 chiều và giả 0 chiều

1.1.3 Mối liên hệ giữa mật độ trạng thái với năng lượng

a.Hệ ba chiều

Giả sử khối 3 chiều L x ,L y ,L z , dùng điều kiện biên tuần hoàn Born –

Karman:

x x

y y y

L n

z z

Phần thể tích trong không gian chiếm bởi một trạng thái riêng rẽ:

V L

L

3

) 2 ( 2 2

2

2 2 0

2 / 3 0 3

2 / 3 3

3

) (

3

) 2 ( ) / 8 (

) 3 / 4 ( 2 )

V

k E

2 / 1 0 3

2 / 3

) (

2

) 2 ( ) (

1 )

dE

d V E



(a) (b)

Hình 1.2 : Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ ba chiều.

Phổ năng lượng liên tục, các hạt tải chuyển động gần như tự do

b.Hệ hai chiều

Giả sử, hệ hai chiều có kích thước L x , L y Dùng điều kiện biên tuầnhoàn Born-Karman ta có:

y y y

x x x

L n k

L n k

L x y

2

) 2 ( 2

2   

trong đó S là diện tích của hệ.

Mặt khác, ta có năng lượng điện tử xác định bởi:

m

k E E

2

2 2 0

nên số trạng thái với năng lượng nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong đường tròn bán kính k là:

) (

/ 4 2 )

2

E E

m S S

k E

) (

) (

1 )

dE

d S E

với  (E  E0)là hàm bậc thang

k 2E

k 0

N(E)

E 0

Hình 1.3: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ hai chiều.

Các hạt tải bị giới hạn theo một chiều trong khi chúng tự do theo haichiều còn lại, phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn

L n

k E E

2

2 2 0

2 / 1

) (

) 2 ( /

2 2 )

L

k E

2 ( ) 2

1 ) ( 1

Hình 1.4: Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ một chiều.

Phổ năng lượng bị gián đoạn theo hai chiều trong không gian

d.Hệ không chiều

Vì điện tử bị giam cầm theo cả ba chiều, các hạt không thể chuyểnđộng tự do nên các mức năng lượng gián đoạn và khoảng cách giữa các mứcrất lớn, đặc biệt nếu ta có thể chế tạo hệ càng lý tưởng thì khoảng cách giữacác mức càng lớn Do tính chất gián đoạn của năng lượng và không phụ thuộcvào vec-tơ sóng k nên mật độ trạng thái có dạng hàm Dirac:

i

i

E E E

Hình 1 5 : Đồ thị năng lượng (a) và mật độ trạng thái (b) của hệ không chiều.

1.1.4 Kết luận

Các hệ bán dẫn thấp chiều là các hệ bán dẫn có kích thước theo một,hai hay ba chiều có thể so sánh được với các bước sóng De Broglie Trongcác hệ này, các hạt chịu sự giam cầm dọc theo các trục giam giữ Khi kíchthước của hệ so sánh được với các độ dài đặc trưng của hệ thấp chiều thìnghiệm của phương trình Schrodinger cho thấy số chiều đóng một vai tròquan trọng trong phổ năng lượng của hệ Sự phụ thuộc khác nhau của nănglượng vào vectơ sóng và cũng như của mật độ trạng thái vào năng lượng Vàcũng tùy theo sự phụ thuộc đó mà hệ có những hiệu ứng khác nhau, mà cáchiệu ứng này rất quan trọng đối với việc nghiên cứu các hệ thấp chiều

Trong các hệ thấp chiều chúng ta xét đến ở trên, ta đặc biệt chú ý đến

hệ không chiều vì nó liên quan trực tiếp đến nội dung chính của khóa luậnnày, đó là liên quan đến vòng lượng tử

1.2.Vòng lượng tử bán dẫn

Chúng ta giả sử rằng vòng lượng tử bán dẫn InAs/GaAs được mọc lên trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng nằm ngang xy và chúng tôi có thể dùng hàm h(x, y) mô phỏng chiều cao của vòng (theo hướng z) tại vị trí thực tế trên mặt phẳng xy Sử dụng các kết quả thu được từ thực nghiệm [11]

và khớp hàm [21- 25], chúng tôi tìm được hàm h(x,y) như sau:

N(E)

r r

r r

r

R y x

R y x R R

h y x

y x h

2 2 2 2 2

2 0 0 2 2

2 2

) (

) (

] ) 1

( [

R y x

h y x

y x h

2 2 2

2 2

2

2 2

, ) (

] ) 1

( [

- h 0 , h M , h ∞ là các thông số cho phép điều chỉnh độ cao của vòng lượng tử

- γ0, γ∞ lần lượt thể hiện độ dốc bên trong và bên ngoài tại vị trí vànhcủa vòng lượng tử;

- ξ là thông số đặc trưng cho sự bất đối xứng của độ cao tại vành của vòng lượng tử bán dẫn, nếu ξ càng lớn thì sự chênh lệch độ cao của vành theo trục Ox và Oy càng lớn Khi ξ = 0 thì độ cao của vòng là như nhau tại mọi

điểm trên vành của nó, lúc đó chúng ta có vòng lượng tử đối xứng quanh trục

Oz Độ cao của vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng được mọc lên từ mặt phẳng xy ứng với ξ=0,2 và ξ=0,1 được biểu diễn trên hình 1.6.

Hình 1.6: Vòng lượng tử bán dẫn bất đối xứng: (a) ξ = 0,2 và (b) ξ = 0,1.

Trong trường hợp vòng lượng tử đặt trong từ trường ngoài hướng theo

trục Oz, các tác giả trong bài báo [25] mô phỏng độ từ hóa và độ cảm từ trung

bình của tập hợp các vòng lượng tử bất đối xứng khi tính đến sự không đồng

nhất của bán kính vòng và thông số ξ (thông số mô tả sự bất đối xứng của

vòng) Tuy nhiên, các tác giả cũng đã chỉ ra rằng sự thay đổi của bán kínhvành của vòng lượng tử cho đóng góp chủ yếu trong sự phụ thuộc vào nhiệt

độ của độ từ hóa và độ cảm từ trung bình của tập hợp vòng lượng tử Điềunày gợi ý chúng tôi chỉ cần quan tâm tới độ từ hóa và độ cảm từ trung bìnhcủa tập hợp vòng lượng tử bán dẫn đối xứng Đối với vòng lượng tử đối xứng,

với ξ = 0, biểu thức độ cao của vòng lượng tử trở thành:

r r

r r

r

R y x

R y x R R

h h h y

2 2 2 2 2

2 0 0

) (

) (

) (

R y x

h h h

2 2 2

2

, ) (

) (

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN 2.1.Phương pháp khối lượng hiệu dụng

Vị trí của điện tử ở vành ngoài nguyên tử với tâm hạt nhân đặt ở nút mạng

3 3 2 2 1

1a n a n a n

2 2

r k E r r

1 )

n

R k i

 * (r Rm)  (r Rn)d r m,n (2.4)Thực hiện phép biến đổi ngược ta có:

) ( 1

)

N R

k

R k i

Xét điện tử chuyển động trong vật rắn, ngoài thế tuần hoàn U (r) cònchịu tác dụng của thế V (r) biến đổi chậm trong không gian Trạng thái củađiện tử được mô tả bằng hàm sóng (r)thỏa mãn phương trình Schrodinger:

) ( )

( ) ( ) ( 2

2 2

r E r r

V r U m

Trong đó E là năng lượng của điện tử khi có thêm thế V (r) tácdụng Ta hãy trình bày phương pháp gần đúng xác định E,(r) Ta khaitriển hàm theo hệ (r) hàm Wannier.

) (

) (

1 )

n

R f N

) ( ) ( 2

) (

r R

n

m n

f E

I

n

n m

) (

)

1        

r d R r r V R r R

) ( ) (

)

2      

r d R r r U m

h R

r R

f

n

m n

) ( 2

) (

f E I

n

n m

) (

)

1        

) ( )

Để tính I2, khai triển V (r) tại điểm xác định Rn

) ( ) (

) ( ) (r V R n  r  R n V R n 

Ở đây,

n

R r

) ( ) (

)

) ( ) ( )

( )

2 n m n m m n

R f

Đặt các hàm:

) (

1 )

N R

k

R k i

k

R k i

n k k

R k R k

e N

n E k e m n R

f N

l k

m R E k e R

f N

p e p R

C k

Trong đó C(Rp)là hệ số khai triển Đặt biểu thức của E (k)vào (2.11),

ta được:

) (

3 1 ( ) ( ) i k R l R p

p n m

l p k

e R C R R f N

Chú ý rằng:

lP k

R R k

m R C R R

! 2

1 ) ( ) ( ) ( )

) ( 2

1 ) ( 1 )

z

z y

y x x R

z z y y x x R

m m

Z

k Y

j X

i

Sử dụng hệ thức này, ta viết lại tích phân I3như sau:

) ( ) (

3 E i m f R m

Từ hệ thức I1I2I3 0 nhận được:

E( im) V(Rm)f(Rm) E f(Rm) (2.18)Phương trình (2.18) là định lí Wannier

Thay R mbằng rvà mbằng k z

y

j x

 đã được giải quyết

Đối với trường hợp năng lượng E (k)của điện tử đạt cực trị tại k 0 và

có đối xứng cầu và đối xứng parabol, ta có:

*

2 2

2 ) (

m

k k

2 ) (

m k

Phương trình (2.19) trong trường hợp này có dạng:

) ( )

( ) (

2 *

2 2

r f E r f r V m