Phương pháp giải toán đại số bồi dưỡng tham khảo

Nguyễn Phú Khánh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ðẠI SỐ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên PTTH Tp Hồ Chí Minh, 2007... Xác ñịnh mñể hệ cho có nghiệm duy nhất... Chứng minh rằng với mọi tham số thực

Nguyễn Phú Khánh



PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ðẠI SỐ

(Tài liệu bồi dưỡng giáo viên PTTH)

Tp Hồ Chí Minh, 2007

Hãy xác ñịnh m sao cho tổng bình phương các nghiệm phương trình sau ñạt giá trị nhỏ nhất:

=+

=

≥

∆

989

26)(min10

169

)(2

)(

)

(

0

2 2

1 2 2 1 2 2 2

mfm

mmf

mx

xx

xxx

2

≥++

2,00

82

−

=

≥

0)('

;1414)

2

1(1)

122

131

2);

(06521

log

;0

2 1 2

1 2 2

−+

=

>

x

xttt

xtx

txt

x

xt

x

2

1,

3ln

1)('2

log

01

3log

)(2

2 2

2 2

1

x

xx

xfx

xxx

ft

t

ttx

)(xf

2

1)2()(

;2

xfVậy 0< x≤2∨x≥4

BBA

0BA

BBA

AB

0BA

BBA

3 A =B⇔ A=B







>

≥

∨







≥

<

⇔

>

2

0 0

0

B A

B A

B B A

















≥

=

=

=

+ +

0

2 2

1 2 1 2

AB

B A

B A

B

n n







≥

>

∨







≥

≤

⇔

0

0

B A

B A

B B A

3 3

0 B A B A

B A B

A

<

⇔

<

<

≤

⇔

<

2 2

B A B A

A B

A B B A

B A B B

A

=

⇔

=







−

<

<

⇔

>

<

<

−

⇔

<







=

−

<

=

≥

⇔

=







=

≥

⇔

=

B A A

B A A B A

B A

B B A

; 0

; 0

0

2 2

Cho hệ phương trình :









+ +

=

+ +

=

m y x y

m x y x 2

2

3

3

; m: tham số

1 Giải hệ khi m= 2

2 Xác ñịnh mñể hệ cho có nghiệm duy nhất

2

3

3

= + + +

−

⇔

−

=

−

⇒









+ +

=

+ +

=

y yx x y x x y y x m y x

y

m x y

x

y

x =

⇔ vì x2 +yx+y2 +1=0vô nghiệm (do∆x =3y2 −4<0)

3 3

∗







=

=

−

⇔







=

+ +

=

⇔

y x

m x x y

x

m x y x

1 Khi m= 2 hệ cho







=

=

∨







−

=

−

=

⇔







=

=

−

⇔

2

2 1

1 2

3 3

y

x y

x y

x

x x

2 ðể hệ có nghiệm duy nhất ⇔ pt : x3 − 3x=m

có nghiệm duy nhất x

x x

f( )= 3 −3

⇔ có f'(x)= x3 2 −3 ; f'(x)=0⇔x=±1

x ∞− -1 1 +∞

f’(x) + 0 - 0 +

f(x) 2 +∞

∞− -2

2

2∨ >

−

<

=+

−

=+

−

025

025

025

xxz

zzy

yyx

25

)(

25

)(

25

xfxz

zfzy

yfyx

5

25

1 ða thức bậc n có nhiều hơn n nghiệm ⇔ mọi hệ số ñều bằng 0

2 f(x,m)=0ñúng , ∀x ∈D (với D là tập vô hạn) ⇔ mọi hệ số ñều bằng 0

3 f(x)=g(m) có nghiệm x∈D⇔ g(m)∈MGTf(x);∀x∈D

4 f(x)=g(m) vô nghiệm x∈D⇔ g(m)∉MGTf(x);∀x∈D

5 f(x)=g(m)có ñúng n nghiệm ∀x∈D⇔ñường thẳng y = g(m) cắt ñồ thị

Dxxf

y = ( ),∀ ∈ tại ñúng n ñiểm

6 f(x)=0 có nghiệm x∈(a;b)⇔ f(a).f(b)<0

7

ab

afbfx

b]

[a,treântuïclieân)()

1

1 Giải phương trình khi a=1

2 ðịnh a ñể phương trình cho có nghiệm

Cho phương trình : 2x4 −17x3 +51x2 −(36+k)x+k =0 (1) , k: tham số

1 Chứng minh rằng phương trình (1) có 1 nghiệm thực không phụ thuộc k

2 Biện luận tham số k số nghiệm phương trình (1)

1) Dễ thấy ∀ xk, =1 luôn thỏa phương trình (1) Do ñó (1) có một nghiệm không phụ thuộc tham số k

2) Do x=1 là 1 nghiệm (1) nên (1) ⇔ ( x − 1 ) ( 2 x3 − 15 x2 + 36 x − k ) = 0







= +

−

=

=

⇔

) 2 ( ) ( 36 15

2

1

2

3 x x f x

x

k

x

∗ x=1 là nghiệm (2)⇔k =2.13 −15.12 +36.1⇔k =23

Với k =23 thì (2) ⇔(x−1) (2x3 −15x2 +36x−k)=0⇔ x=1

Vậy k =23 thì (1) có nghiệm duy nhất

∗ k ≠23 thì x=1 không là nghiệm của (1) Khi ñó f'(x)=6(x2 −5x+6)

3 2

0

)

(

x ∞− 2 3 +∞

f’(x) + 0 - 0 +

f(x) 28 +∞

∞− 27

o k >28∨23≠k <27 thì (2) có nghiệm duy nhất ⇒ (1) có 2 nghiệm phân biệt o k =28∨k =27 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm (2 ñơn,1 kép) o 27< k <28 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt Phương trình cho ⇔(x x+ x+12)( 5−x− 4−x)=m X ét ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



 



  x h x g x x x x x x f + +12 5− − 4− ; D∈[ ]0,4 ( )x =(x x+ x+12) g : ñồng biến trong D ( ) 0 ( ) ( ) ( ): 4 2 1 5 2 1 ' x D f x g x h x x x x h > ∀ ∈ ⇒ = − + − − = ñồng biến mọi x∈D ⇒ phương trình có nghiệm f( )0 ≤ f( )x ≤ f( )4 ⇔2 3( 5− 4)≤m≤12 Tìm m ñể phương trình log log 2 3 (log4 2 3) 2 2 2 x+ x − =m x − có nghiệm thuộc khoảng [32,+∞) Phương trình cho ⇔ log22 x−2log2 x−3 =m(log2 x−3) [ ) [ ) ( ) 3 ( ); 5 3 2 3 3 2 , 5 , 32 ; log 2 2 2 ≥ = − − − = ⇔     − = − − +∞ ∈ ⇒ +∞ ∈ − ⇔ f t t t t t m t m t t t x x t ( ) ( ) < ∈[ +∞) − − − − = 0 ; 5,

3 2 3

2 6 '

2

t t t

t x

f

Tìm các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm:

x x+ x+12 =m( 5−x+ 4−x)

1sin

2

1cos

kx

kx

2

;6

; 4sin2cos

21221

+

2

13

;1221

2

13

Cho : 6sin2x−sin22x=mcos22x (1)

1 Giải phương trình (1) khi m=3

2 Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm

ðặt t=cos2x t∈[−1;1] Khi ñó (1)⇔t2 −3t+2=mt2 (2)

1 2

2

10

232(2) thì

12cos

2

1

ππ

0

;1

;1

;)(23)

2( thì

2

tfMGTm

tt

tft

ttmt

Có

3

40

)('

;43)(

t − -1 0 1 ∞

3

4 +∞

)(' t

f + - +∞ +∞

)(tf

6 0

00

1cos

xx

xx

xx

x

xx

sincos

.sin

cossin

cossin

1cos

.sin

cossin

cos

xxx

x

xx

2)

tt

tt

1

2(3)

thì1 và2

2

xft

ttat

t

f

t − 2 1− 2 1 2 1+ 2

f’(t) + 0 - - - 0

1−2 2 +∞

f(t) 2−3 2 ∞− 2+3 2 ðể (1) có nghiệm thì (3) có nghiệm t∈[− 2; 2]; t ≠±1 2 3 2 2 2 1− ∨ ≥ + ≤ ⇔a a Cho 2 hàm số : ( )( ) x x x x x x x x x g x x x x x f sin cos 2 cos sin 2 cos sin 2 sin cos 2 ) ( sin cos 2 cos sin 2 ) ( − − + + + = − + = 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) 2) Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm (m−3)g(x)=3[f(x)−m] 1 ( )( ) sin2 2cos2 (*)

2 3 sin cos 2 cos sin 2 ) (x x x x x x x f = + − = + ðể (*) có nghiệm [ ] 2 5 ) ( ) ( 2 2 3 2 2 2 ≤ ⇒ ≥ +       ⇔ f x f x       − = + ⇔ − = = + ⇔ = ⇔ 2 5 2 cos 2 sin2x 2 3 2 5 ) ( min 2 5 2cos2x sin2x 2 3 2 5 ) ( max x x f x f Hàm số có thể dùng bất ñẳng thức Bunnhiacopsky 2

) ( 3 sin cos 2 cos sin 2 cos sin 2 sin cos 2 ) ( x f x x x x x x x x x g = − − + + + = Khi ñó : ( ) [ ] ( ) [f x m] x f m m x f x g m− = − ⇔ − =3 ( )− ) ( 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ðặt 2 5 : ) ( ≤ = f x t t Ta có : ( ) (t m) t m−3 3 =3 − ( )2 2 2 1 3 2 ) ( ' ; 0 ; 1 ; ) ( 1 3 + − + = ≠ − ≠ = + + = ⇔ t t t t f t t t f t t m t -3

2 5 − -1 0 1

2 5 f’(t) + 0 - - - - 0 +

− 376 +∞

f(t) 3

∞− 2

6 37

2∨ ≤−

≥

Cho phương trình : (1)

2 1 2 sin cos sin4 x+ 4 x=m x− 1 Giải phương trình (1) khi m=1 2 Chứng minh rằng với mọi tham số thực m thỏa ñiều kiện m ≥1 thì phương trình (1) luôn có nghiệm 1 Khi sin 2 2sin2 3 0 2 1 2 sin cos sin (1) thì 1 ⇔ 4 + 4 = − ⇔ 2 + − = = x x x x x m Ζ ∉ + = ⇔ = ⇔ x x k ,k 4 1 2 sin π π 2 Phương trình (1)⇔sin22x+2msin2x−3=0      = − + ≠ ≤ = − = ⇔ ≤ = ⇔ 0 3 2 0 , 1 ; ) ( 3 2 1 ; 2 sin 2 2 t t t t t f t t m t x t 0 , 1 ; 0 3 ) ( ' 2 2 ≠ ≤ < − − = t t t t t f t -1 0 1

f’(t) - -

f(t) -2 +∞

∞− 2

1 2 2 2 2 ≥ ⇔    − ≤ ≥ ⇒ m m m thỏa yêu cầu bài toán Cho phương trình : sin42x+(1−sìnx)4 =m (1)

1 Giải phương trình khi 8 1 = m và các nghiệm của nó thỏa mãn lg5 +5lgx ≤10 x 2 ðịnh m ñể phương trình có nghiệm ∈−  2 ; 6 π π x ðặt 2 1 2 sin − = x t ;    − ∈ 2 1 ; 2 35 t Phương trình (1) (2)

8 1 3 2 2 1 2 1 4 4 4 2 m t t m t t  = ⇔ + + =      − +       + ⇔ 1 Khi 8 1 = m thì 0 0 3 2 ) 2 ( ⇔ t4 + t2 = ⇔t = ∈Ζ       + = + = ⇔ = ⇔ k b k x a k x x

) ( 12 5

) ( 12 2

1 2 sin

π π

π π

5 5

0 10

5

lg lg

5







≤

>

⇔

≤

x

x x

13,123

,2,1,

xk

17,12

53

,2,

xk

29,12

25,12

17,12

13,12

5,12

πππππππ

132

2

1

;2

132

,6

;2

12sin)

2

(

2 4

tft

tm

tx

x

00

)('

; 68)

− 0

2

1 f’(t) - 0 +

f(t)

2 3 7 8

53 + 1

8

1

2

378

538

Cho phương trình : acosx=1+2cos2x+cos4x (1)

1 Giải phương trình khi a=4

2 ðịnh a ñể phương trình cho không ít hơn 2 nghiệm ∈− 

3

;3

2π π

x

(1) ⇔acosx=2cos2x+2cos22x=4cos2x.cos2 x

⇔4cos2 x(2cos2 x−1)−acosx=0⇔cosx(8cos3x−4cosx−a)=0

4cos

8

0cos

2

axx

2

21

cos

0cos0

4cos4cos

8

0cos

3

kx

kx

x

xx

xx

1,2

13

;3

2

;cos)

2

(

3

atttf

tx

)('

;424)

8

4

1

6 3

8

−

46

3)

(

1,04

,0

;

nhân 41

2

mt

ttf

tx

tgxt

xtgx

π π

34

t ∞− 0 1 3 +∞

f’(t) +

f(t) 2

2 3 Phương trình cho luôn có 1 nghiệm x= ,∀m 4 π , nên ñể phương trình cho có ñúng 1 nghiệm     ∈ 4 , 0 π x thì (1) thỏa : • Hoặc có ñúng 1 nghiệm tgx=1 (t =1)⇔m=1 Ngược lại m=1⇒tg2x−2tgx+1=0⇔tgx=1 (thỏa) • Hoặc vô nghiệm    > < ⇔     > < ⇔ 1 4 3 2 2 2 3 2 m m m m Vậy 4 3 1∨ < ≥ m m Cho phương trình : 2cos2x+sin2 x.cosx+sinx.cos2 x=m(sinx+cosx) (1)

1 Giải (1) khi m=2 2 Tìm m ñể phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;2 π Ta có : 2cos2x+sin2 x.cosx+sinx.cos2 x=(sinx+cosx) ( [2 cosx−sinx)+sinxcosx] Khi ñó (1) ⇔(sinx+cosx) ( [2cosx−sinx)+sinx.cosx−m]=0 (*)

1 Khi m=2 phương trình (1)⇔2cos2x+sin2 x.cosx+sinx.cos2 x=2(sinx+cosx)    − = = ⇔        = +      = + − ≤       + = − = ⇔ 1 1 0 cos sin 0 3 4 2 t ; 4 cos 2 sin cos 2 tgx t x x t t x x x t π       + − = + − = ∨ = ⇔       + − = =       + ⇔ π π π π π π π π k x k x k x k x x 4 2 2 2 4 1 4 cos 2 2 Tìm m ñể (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;2 π Ta có : [ 1;1] 2 , 0 ⇒ ∈ −   ∈ t x π với t=cos −x sinx 









 +

=

4 cos

x

















−

∈

=

− +

−

= +

⇔

1

; 1

(3)

0 1 2 2 (2)

0 cos sin 2 t m t t x x Nhận xét (2) có nghiệm x=−π +kπ 4 ; không thuộc 0;2 π Do ñó ñể (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc     2 ; 0 π khi phương trình (3) có nghiệm t thuộc [−1;1] Khi ñó (3) ⇔t2 −4t=1−2m Xét f(t)=t2 −4t; t∈[−1;1] 0 4 2 ) ( ' t = t− < f ; ∀t∈[−1;1]⇒ f(t)giảm trên [ ]−1;1 t -1 1

f’(t) -

f(t) 5

-3

5 2 1 3≤ − ≤ − ⇒ m [−2;2] ∈ ⇔ m Cho : sin3 x−cos3x=m (1)

1 Giải phương trình (1) khi m=−1 2 Tìm m ñể phương trình (1) có ñúng 2 nghiệm ∈−  4 ; 4 π π x ðặt       + = − = 4 cos 2 sin cos π x x x t ; 2 1 cos sin và 2 | | 2 t x x t ≤ = − Pt ⇔(cosx−sinx)(1+cosx.sinx)=m⇔ f(t)=−t3 +3t =2m 1 Khi m=−1 thì f(t)=−t3 +3t−2=0⇔t =−1∨t =2 π π π π π 2 2 2 1 4 cos 2 1 x x k x k t =− ⇔ = + ∨ =− +      + ⇔ − = 2 Với [ ]0; 2 4 ; 4 ⇒ ∈    − ∈ t x π π ðể (1) có ñúng 2 nghiệm    − ∈ 4 ; 4 π π x thì f(t) có ñúng 2 nghiệm t∈[ ]0; 2 Có f'(t)=−3t2 +3⇒ f'(t)=0⇔t =±1 t − -1 0 1 ∞ 2 +∞

f’(t) - 0 + + 0 - -

f(t) 2

0 2

1

2

2

≤

≤

Cho phương trình : 2cosx.cos2x.cos3x=7cos2x−m (1)

1 Giải phương trình khi m=−7

2 ðịnh m ñể phương trình có nhiều hơn một nghiệm ∈− 

8

;8

txt

≤

=

0782

1

|

|

;2cos2 3

1-t

(3) )(82

; 2cos8

;83

2 3

tftttmx

t

3

41

0)('826)

−

2

1 1 f’(t) - - 0

f(t)

2

1 2

2 2 7

t thì phương trình t=cos2x có ñúng 2 nghiệm x

Vậy, ñể (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thì (3) có nghiệm  ;1

21

2

1272

271

x x

có 4 nghiệm phân biệt

Vì m4 −m2 +1> ∀m, nên phương trình cho ⇔ x2 −4x+3 = f(x)=a

;42

3,1,42)('

xx

xxxx

f

x ∞− 1 2 3 +∞

f’(x) - + 0 - +

f(x) +∞

1 +∞

0 0

1 0< < ⇒ a phương trình có 4 nghiệm phân biệt ( ) 1 1 5 1 1 1 log 0< 4 − 2 + < ⇔ < 4 − 2 + < ⇔ m m m m 1 | | 0 0 0 1 0 2 2 4 ⇔ < <    ≠ < − ⇔ < − ⇔ m m m m m Cho phương trình : log 2 2 log 2 6 log 2 4 2 3 2 4 x x x m − = (1)

Giải phương trình khi m=1 Tìm m ñể phương trình cho có nghiệm 2 2 2 2 2 log 6 log 4 log 3 2 4 x x x m − = ; x>0 Ta có : log 2 2x 1 log 2x log 2x 4 4 4 4 = + = ; xlog 2 6 log 2x 6 = log 2 4x2 2 2 log 2x log 2x 9 9 3 3 = + = Khi ñó (1) m log 2x log 2x log 2x 9 18 6 4 4 − = ⇔

     = − >       = ⇔       =       − ⇔ (2)

18 4 0 ; 2 3 4 9 18 2 3 4 2 log log log 2 2 2 t t m t t m x x x 1 = m thì 9 4 2 3 9 4 18 4 ) 2 ( 2 log 2  =      ⇔ = ⇔ = − ⇔ x t t t

4 1 2 log2 =− ⇔ = ⇔ x x 0 ; ) ( 18 4 ) 2 ( ⇔ m= t2 +t = f t f > 0 1 36 ) ( ' t = t+ > ∀t> f ⇒ f(t)ñôngbiên ∀t>0 t 0 +∞

f’(t) + ⇒4m>0⇒m>0 f(t)

0 +∞

Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình :

log

2 5 2

2

5+ x +mx+m+ + − x= có nghiệm duy nhất

2 5 2 5

1 2

+

=

−

2 5 2

2

+

>

⇔

)(1

1

01

0

2 2

xfx

xxm

xxm

195

40

;15

t

m

txx

|

|

;sin

sin2sin

2

2 2

=

tz

zzt

zxz

xx

t

)(222

2

2sin

2

sin

2 2

tmt

xx

x

xx

mx

+

−+

++

−++

sin1

sin1sin31sin

3sin

3

1 Giải phương trình khi m=2

2 ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm

Cho phương trình : − x+ 2 x+ + x+ 2 x =m

cossin

1sin

sin2

1 Giải phương trình khi m=2 2

2 ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm ∈− 

2

;2

π π

=

4

9

;02

1'1

|

|

;sin

sinsin

tzt

zxz

xx

t

222

14

f

t

Cho phương trình : x+ − 2 x+ x − 2 x =m

cos2coscos

2cos

1 Giải phương trình khi m= 2

Cho phương trình : x+ x + + x+ 2 x =m

cos2sin32cossin

1 Giải phương trình khi m=2

Cho phương trình : cosa x= +1 2 cos 2x+cos 4x

1 Giải phương trình khi a = 4

4m sin x+cos x =3.sin 6x+4m

1 Giải phương trình khi m = − 4

2 Biện luận theo m số nghiệm ;

4 4

x∈ − π π

  của phương trình

Cho phương trình : sin6x+cos6x=asin 2x

1 Giải phương trình khi a = 1

2 sinx−1 2 cos x+2 sinx+m = −3 4 cos x

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm x∈[0;π ]

Cho phương trình : 2 cos cos 2 cos 3x x x=3.cos 2x m−

1 Giải phương trình khi m = 5

2 ðịnh m ñể phương trình có nghiệm duy nhất 0;

Cho phương trình : sin3x+cos3x= +1 msin cosx xsin

1 Giải phương trình khi m = 1

2 ðịnh m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm ;3

2

π π

4 sin x+cos x −4 sin x+cos x −sin 4x=m

1 Giải phương trình khi 1

Cho phương trình : cos3x−sin3x= m

1 Giải phương trình khi m = 1

Cho phương trình : ( 2 ) 3 ( 2 ) 3

8a +1 sin x− 4a +1 sinx+2 cosa x= 0

1 Giải phương trình khi 1

cos 4x=cos 3x+asin x

1 Giải phương trình khi a = 1

cos 2x=m 1 tan cos+ x x

1 Giải phương trình khi m = 1

sin x+cos x=m sin x+cos x

1 Giải phương trình khi 3

4

m =

Cho phương trình : 4x−m2x+1+2m= ; m : tham số 0

1 Giải phương trình khi m =2

2 Tìm m ñể phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x1+x2 = 1

Cho phương trình : 2.4 x−1−5.2 x−1+ = m 0

1 Giải phương trình khi m =2

2 Giải m ñể phương trình cho có nghiệm

1 Giải phương trình khi m =4

2 Tìm m ñể phương trình có 2 nghiệm x phân biệt trên ñoạn 0;

2 cos 2x+sin x.cosx+sin cosx x=m sinx+cosx (1)

1 Giải phương trình (1) khi m =2

2 Tìm m ñể phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;