skkn Tiếp cận sách giáo khoa giải tích lớp 12

Việc tiếp cận chương trình và SGK một cách linh hoạt, sáng tạo, nhưng vẫn không làm mất đi tinh thần cốt lõi của nó là một việc làm cần thiết, đáp ứng được yêu cầu của phương pháp dạy họ

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

I–Phần mở đầu. I.1 Lý do chọn đề tài 2

I.2 Mục đích nghiên cứu 2

I.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

I.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

I.5 Phương pháp nghiên cứu 2

II–Nội dung đề tài. Chương 1: Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu - 3

Chương II: Thực trạng và giải pháp của đề tài nghiên cứu -6

Vấn đề 1: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số -6

Vấn đề 2: Xét dấu của Đạo hàm -7

Vấn đề 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số -7

Vấn đề 4: Tính chất của Nguyên hàm -9

Vấn đề 5: Tính nguyên hàm -10

Vấn đề 6: Bảng các nguyên hàm -11

Vấn đề 7: Tích phân bằng phương pháp đổi biến số -11

Vấn đề 8: Thực hành áp dụng công thức đổi biến số -13

Vấn đề 9: Biến đổi tương đương của phương trình -14

Vấn đề 10: Công thức nhị thức Newton -15

III–Kết luận -16

Bổ sung kiến thức -16

Đánh giá của Hội đồng các cấp -18

Danh mục tài liệu tham khảo -19

I– PHẦN MỞ DẦU

1–Lý do chọn đề tài:

Qua nhiều hơn 15 năm giảng dạy chương trình 12, tôi thấy cần có một cách nhìn sâu sắc hơn về chương trình trong sách giáo khoa (SGK) 12 để có cách dạy hiệu quả và thiết thực hơn Tôi rất mong chia xẻ kinh nghiệm với các đồng nghiệp và Thầy cô giảng dạy Toán 12.

Chúng ta ai cũng biết, chương trình và SGK 12 có nhiều sự thay đổi trong khoảng 15 năm gần đây Đầu tiên là một bộ sách, sau đó là ba bộ, và vào năm 2000 lại thống nhất thành một bộ Chúng ta đang bắt đầu chương trình cái cách mới : phân hóa, phân ban Bắt đầu cho lớp 10 và sau hai năm nữa sẽ là lớp 12 Bộ đã phát hành hai

bộ sách 12 để tham khảo v,v,….Trong hoàn cảnh đó Nhiều bộ sách khác nhau cùng đề cập tới một kiến thức toán học theo những cách khác nhau Việc tiếp cận chương trình 12 và SGK 12 như thế nào, sách nào, bộ nào là vấn

đề cần suy nghĩ.

Hơn nữa, chúng ta ai cũng biết trước kia, SGK là pháp lệnh (Chưa có luật), dạy không đúng SGK (mặc

dầu SGK sai đi nữa) thì cũng coi như là vi phạm Từ khi có ba bộ sách, quan điểm ấy không còn nữa, SGK chỉ là

dể tham khảo, giáo viên phải chịu hoàn toàn trách nhiệm về bài giảng của mình Đến khi thống nhất thành một bộ

sách năm 2000, mặc nhiên người ta cũng tiếp tục quan niệm rằng SGK không là pháp lệnh Nhà giáo ưu tú Hàn Liên Hải trong báo Thế giới trong ta, sô 8–2006 đã khẳng định rằng SGK là tham khảo chính; giờ dạy rập khuôn

SGK, kể cả các hoạt động trong đó là một giờ dạy thất bại.

Dầu có quan niệm SGK là gì đi nữa, có một thực tế không ai phủ nhận được là SGK cũng có chỗ không chính xác, hoặc là không rõ (có thể mọi phần do in ấn) Trong giờ dạy, để đáp ứng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, hầu hết các giáo viên đều biến chế SGK theo một cách riêng Ít giáo viên nào trình bày bài dạy “giống hệt” như sách Hơn nữa, đối tượng học sinh của chúng ta trong cùng một năm cũng rất khác nhau

về nhiều mặt, chưa nói là các năm khác nhau Việc tiếp cận chương trình và SGK một cách linh hoạt, sáng tạo, nhưng vẫn không làm mất đi tinh thần cốt lõi của nó là một việc làm cần thiết, đáp ứng được yêu cầu của phương pháp dạy học đổi mới : phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm.

2–Mục đích nghiên cứu

Mục đích của kinh nghiệm này là nhằm nêu lên một cách tiếp cận chương trình và SGK 12 một cách rõ ràng hơn, sáng sủa hơn, giúp cho việc giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh được nhẹ nhàng hơn nhưng kết quả đạt được lại tốt hơn là rập khuôn SGK một cách máy móc.

3– Đối tượng, phạm vi ngiên cứu.

Chương trình nằm trong SGK GIẢI TÍCH 12 hợp nhất 2000 và sách phân ban thí điểm bộ 1 phát hành năm 2006

4– Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm cách tiếp cận các nội dung: Mối liên quan giưa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; xét dấu đạo hàm như thế nào; tiệm cận của đồ thị một hàm số; một số tính chất của nguyên hàm; thực hành tính nguyên hàm như thế nào; về bảng các nguyên hàm; về định lý tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số; về thực hành tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số va cuối cùng là vấn đề về biến đổi phương trình.

5– Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu

II–NỘI DUNG KINH NGHIỆM CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN KINH NGHIỆM

1) Cơ sở pháp lý

a) N G H Ị Q U Y Ế T C Ủ A Q U Ố C H Ộ I N Ư Ớ C C Ộ N G H O À X Ã H Ộ I C H Ủ N G H Ĩ A V I Ệ T N A M

S Ố 4 0 / 2 0 0 0 / Q H 1 0 N G À Y 0 9 T H Á N G 1 2 N Ă M 2 0 0 0 V Ề Đ Ổ I M Ớ I C H Ư Ơ N G T R Ì N H G I Á O D Ụ C

P H Ổ T H Ô N G

” … … … Bảo đảm sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăng cường tính liên thông giữa

giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc

dân để tạo sự cân đối về cơ cấu nguồn nhân lực; bảo đảm sự thống nhất về chuẩn kiến thức và kỹ năng, có

phương án vận dụng chương trình, sách giáo khoa phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện của các địa bàn khác nhau……… ”

b) T H Ô N G T Ư C Ủ A B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠ O S Ố 1 4 / 2 0 0 2 / T T - B G D & Đ T N G À Y 1

T H Á N G 4 N Ă M 2 0 0 2 H Ư Ớ N G DẪ N U Ỷ B A N N H Â N D Â N T Ỉ N H , T H À N H P H Ố T R Ự C T H U Ộ C

T R U N G Ư Ơ N G T H ỰC H I Ệ N C H Ỉ T H Ị S Ố 1 4 / 2 0 0 1 / C T - T T G N G À Y 1 1 / 6 / 2 0 0 1 C Ủ A T H Ủ

T Ư Ớ N G C H Í N H P H Ủ V Ề V I Ệ C Đ Ổ I M Ớ I C H Ư Ơ N G T R Ì N H G I Á O D Ụ C P H Ổ T H Ô N G

c) LUẬT GIÁO DUC NĂM 2005

2 ) Cơ sở lý luận

SGK là yếu tố không thể thiếu cho việc tổ chức dạy và học Theo luật giáo dục năm 2005, yêu cầu về nội

dung kiến thức và kỹ năng quy định trong chương trình giáo dục phải được cụ thể hóa thành sách giáo khoa ở

giáo dục phổ thông, giáo trình và tài liệu giảng dạy ở giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại học, giáo dục thường xuyên

Điều 5 của luật giáo dục năm 2005 quy định “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Điều 28 của luật giáo dục năm 2005 khẳng định thêm : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát

huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Trong lúc đó, điều 6 của luật giáo dục năm 2005 quy định: “Sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu giảng

dạy phải đáp ứng yêu cầu về phương pháp giáo dục”

Như vậy, SGK có một vai trò cực kỳ quan trọng trong không những trong việc dạy học nói chung cho mọi quốc gia và thời đại mà còn đáp ứng việc cải cách phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm Ngoài ra, Tôi cho rằng SGK còn thể hiện được cả trình độ văn minh của một dân tộc trong việc trình bày và nhìn nhận các kiến thức của thế giới Do đó, Việc tiếp cận như thế nào để không quá thô thiển như sao y bản chính mà vẫn toát lên được cái ý đồ cực kỳ quan trọng đã nói bên trên của sách là một việc làm cần thiết.

3) Cơ sở thực tiễn

Một vài ý kiến của báo chí nói về SGK.

1) (VietNamNet ) -ngày 03/09/2006 , TS Đỗ Ngọc Thống, Trưởng phòng Ngữ văn, Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục :

Lâu nay, đối với nhà trường phổ thông Việt Nam, sách giáo khoa (SGK) bao giờ cũng là tài liệu dạy học quan trọng và gần như duy nhất Mọi thông tin, tri thức và kĩ năng đều được chuyển tải qua SGK, nhờ SGK

và bằng SGK Nhận xét trên đây, mặc nhiên được thừa nhận trong suốt một thời gian dài và ít ai thấy vô lí Trong khi ở Australia, SGK không còn là nơi độc tôn chân lí Học vấn phổ thông hiện nay còn được tiếp cận từ nhiều nguồn khác nhau.

1) SGK: Nhiều bộ

………Dựa trên khung chương trình (framework curriculum) của Nhà nước liên bang, mỗi bang tự soạn ra Chương trình học tập của bang mình (gọi là syllabus) nhằm chi tiết hoá các định hướng và chuẩn của liên bang cho phù

hợp với địa phương Việc soạn thảo này do cơ quan chuyên nghiên cứu về giáo dục bang (QSA - Queensland

Studies Authority).

Đến lượt mình, các nhà trường phổ thông ở các tiểu bang (quận, huyện) lại căn cứ vào chương trình của bang để

cụ thể hoá tiếp tục cho phù hợp hơn nữa với địa phương của mình Chương trình này được gọi là chương trình

làm việc (work program), có nơi gọi là chương trình nhà trường (school curriculum) Đây chính là chương trình thực

học, chi tiết và cụ thể của mỗi nhà trường………

Chương trình làm việc này được các tiểu ban của địa phương và các tổ trưởng chuyên môn các trường soạn thảo, Hiệu trưởng nhà trường phê duyệt hàng năm Như thế nội dung dạy học của mỗi trường có thể rất khác nhau, cơ quan giáo dục bang chỉ quản lý bằng chuẩn học tập của bang Các trường tổ chức phân loại học sinh theo các nhóm xếp vị trí từ cao xuống thấp để xét vào đại học (không thi đại học) Việc xếp loại học sinh được tiến hành bằng nhiều cách và từ nhiều nguồn khác nhau: báo cáo, bài tập nghiên cứu, nhận xét của giáo viên, thực hành ( bài kiểm tra, thi chỉ là một trong các hình thức đó).

Có thể thấy việc quản lý chương trình và tổ chức dạy học ở đây hết sức linh hoạt, phân cấp khá rõ cho các cơ quan giáo dục, cấp trên không làm thay, không độc quyền, cấp dưới chủ động, linh hoạt trong việc vận dụng các định hướng và yêu cầu của cấp trên.

Điều quan trọng và đáng suy nghĩ nhất là tài liệu, cách thức tổ chức dạy học ở đây khá phong phú và mới mẻ Sách giáo khoa có nhiều bộ khác nhau đã đành, nhưng điều quan trọng hơn: đó không phải là tài liệu học tập duy nhất.

SGK: Nhường bước cho học trực tuyến

Hầu như tất cả mọi người từ lãnh đạo cơ quan quản lý giáo dục bang đến các cán bộ nghiên cứu đều trả lời thống nhất rằng SGK càng ngày càng ít quan trọng đi Với họ, SGK chỉ là một trong các tài liệu học tập của giáo viên (GV) và HS.

Căn cứ vào chương trình và yêu cầu cần đạt (chuẩn) người GV cũng như HS có thể tham khảo và lấy từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau chẳng hạn đĩa CD, DVD, e-learning; internet; các sách báo ngoài nhà trường cùng với SGK để giảng dạy và học tập……….

SGK: Không còn là nơi độc tôn chân lí

Học tập theo tinh thần trên, người học luôn được tiếp xúc với rất nhiều nguồn thông tin đa dạng và phong phú khác nhau Người GV phải biết hướng dẫn HS biết cách thu thập và xử lí thông tin, tổng hợp và lựa chọn từ nhiều nguồn khác nhau để tìm ra một kết luận đúng đắn, phù hợp.

Sách giáo khoa vì thế không còn là nơi độc tôn chân lí Học vấn phổ thông hiện nay không chỉ còn nằm trong mấy cuốn SGK nữa mà được tiếp cận từ nhiều nguồn khác nhau Với khối lượng tri thức khổng lồ, ngày một tăng nhanh đến chóng mặt, SGK không thể cập nhật nhanh chóng và bao quát hết được các lĩnh vực tri thức ấy.

Lâu nay, đối với nhà trường phổ thông Việt Nam, sách giáo khoa bao giờ cũng là tài liệu dạy học quan trọng và gần như duy nhất Mọi thông tin, tri thức và kĩ năng đều được chuyển tải qua sách giáo khoa, nhờ sách giáo khoa và bằng sách giáo khoa

Nhận xét trên đây, mặc nhiên được thừa nhận trong suốt một thời gian dài và ít ai thấy vô lí Một câu hỏi đặt ra: liệu sách giáo khoa (SGK) có đáp ứng được tất cả các yêu cầu của việc cung cấp các tri thức phổ thông cho học sinh (HS) trong thời đại ngày nay? Câu trả lời là không thể, cả về lý thuyết lẫn thực tiễn.

Hơn nữa SGK suy cho cùng vẫn chỉ là quan điểm, nhận thức của một hay một nhóm người về một vấn đề hay lĩnh vực nào đó.

Nhiều bộ sách sẽ giúp người dạy và người học có nhiều nguồn thông tin, nhiều cách tiếp cận chân lý hơn, nhất là SGK văn học và khoa học xã hội

Và vì vậy, suy rộng ra, nếu GV và HS được tiếp cận và làm việc với nhiều phương tiện, nhất là công nghệ thông tin hiện đại, thì chắc chắn việc trang bị học vấn phổ thông; hình thành và rèn luyện kĩ năng thực hành sẽ nhanh chóng hơn nhiều.

Tất nhiên đi đôi với nhận thức phải là các điều kiện khác, trước hết là điều kiện vật chất, trang thiết bị dạy học Các trường học ở Queesland đều có cơ sở vật chất rất lý tưởng: lớp học bao giờ cũng có các loại máy chiếu, máy vi tính được nối mạng, phông màn và các thiết bị điện tử khác.

TS Đỗ Ngọc Thống (ghi chép từ Brisbane - Queenland - Australia)

2)Sách giáo khoa mới được thẩm định quá ít! (05:35' 19/11/2004 (GMT+7))

( VietNamNet) - Nhiều ý kiến cho hay như vậy tại buổi đóng góp ý kiến xây dựng chương trình và biên soạn

sách giáo khoa (SGK) phổ thông mới do Liên hiệp các hội khoa học kỹ thuật Việt Nam và Hội Khuyến học

tổ chức sáng 18/11/2006.

Viện Chiến lược và Chương trình Giáo dục (nơi chịu trách nhiệm chủ trì nội dung biên soạn SGK) cho hay, kỳ này mỗi quyển sách có một chủ biên, mỗi bộ SGK có một tổng chủ biên Mỗi chương trình, mỗi quyển sách đều được thẩm định 2 lần.

Thế nhưng, ông Nguyễn Cương, Hội hoá học VN cho rằng SGK lớp 10-11 quá dài và nặng mà không đảm bảo, sự sửa chữa qua các lần thẩm định là quá ít Các ý kiến khác tại hội thảo cho rằng, SGK mới hiện nay vẫn còn nhiều hạn chế như: sai sót trong minh hoạ chưa rõ, còn sơ sài (lý 7); số liệu không trùng với thực tế; chú thích còn nhiều ''sạn'' về hành văn, logic (ngữ văn); văn phong còn lủng củng (lý 7)

……… ''Mà việc viết sách cũng chưa thực sự là tâm huyết của các nhà chuyên môn, so với việc dạy học và viết sách thì một giáo viên tiếng Anh có thể thu 30 triệu/tháng từ dạy học trong khi viết một quyển sách thì chỉ được trả một số tiền gần bằng 1/10- không thể không đắn đo lựa chọn!'' Ông Dương Kỳ Đức (Tổng thư ký Hội ngôn ngữ học VN) bổ sung……….

3) Ho ten: Nguyễn Xuân Nam

Dia chi: Hà Nội

Email: nam_nguyenxuan@hotmail.com

Noi dung: Cháu đang là một học sinh lớp 10 Trong những năm học cấp 2, cháu cảm thấy SGK, nhất là SGK vật lý viết những ví dụ rất tối nghĩa, dường như áp đặt cho học sinh phải hiểu, nếu tự nghiên cứu thì quả khó mà hiểu

được Ví dụ ở sách chưa cải cách, thầy Vật lý luôn áp đặt cho học sinh dòng điện không có trong không khí? Cháu

đã phản biện bằng dẫn chứng sét đánh người nhưng thầy vẫn không chấp nhận với lý do SGK không ghi như

vậy Điều đó chứng tỏ sự cứng nhắc trong vấn đề làm SGK Cháu mong các bác, các nhà chuyên môn củng cố,

sửa chữa SGK sao cho phù hợp với tư duy logic của học sinh.

4) Sách phân ban: Xa lạ với đời sống 03:24' 07/05/2005 (GMT+7)

(VietNamNet) - TS Hồ Thiệu Hùng (Viện Nghiên cứu giáo dục) nhận xét: “Cách viết SGK như hiện nay khiến cho

HS thấy môn Toán trở nên xa lạ với đời sống thường ngày Các đề toán chỉ là do thầy và người viết sách nghĩ

ra chứ không có trong đời sống ……….

Sửa thế nào?

“Ông Hồ Thiệu Hùng đề xuất đề nghị chỉnh sửa sách môn Toán “nên thu lượm nhiều bài toán thực tế nhiều bài

toán thực tế từ cuộc sống hằng ngày đưa ra làm ví dụ minh hoạ, làm bài tập” và “rất cần dạy cho HS chiến lược

giải toán, các cách giải toán” ……….”

Muốn như thế, HS và GV phải tiếp cận được vấn đề (kiến thức lý thuyết, bài tập) theo nhiều cách thức và phương hướng khác nhau nhằm có cái nhìn tổng thể và sâu sắc về vấn đề được đặt ra Không chỉ đơn giản một chiều là bài giải trong Sách bài tập hay là chứng minh của SGK

Dẫu nói gìđi nữa, SGK 12 nói riêng và cả chương trình THPT nói chung đã có nhiều lần cải cách Mỗi lần cải cách đều có những thay đổi tương đối lớn, không những về cấu trúc chương trình mà kể cả quan điểm về cách

tiếp cận các kiến thức toán học Giải tích 12 Người giáo viên phải có cách thức tiếp cận kiến thức trong SGK

cho đúng đắn và phù hợp với điều kiện dạy học cho từng tiết học, lớp học mà vẫn giữ được nội dung cơ bản của kiến thức Không nên cứng nhắc tiếp cận một chiều, một hướng như SGK đã trình bày Đó là đã đáp ứng được phương pháp dạy học tích cực rồi vậy.

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU.

1 Khái quát phạm vi nhiên cứu

Chương trình và sách giáo khoa Giải tích 12 hợp nhất 2000 và sách thí điểm phân ban bộ 1, phát hành năm 2006.

2 Thực trạng và giải pháp của đề tài nghiên cứu.

Vấn đề 1: Mối liên quan giữa đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Sách cải cách hợp nhất 2000: Nguyên văn (Trang 49)

Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Nếu '( ) f x ³ 0( hoặc '( ) f x £ ), và đẳng 0

thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.

Sách giáo khoa thí điểm phân ban bộ 1: Nguyên văn (Trang 9):

Nhận xét:… Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu '( ) f x ³ 0 với mọi x Î I ( hoặc '( ) f x £ 0

với mọi x Î I ) và '( ) f x = chỉ tại một só hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến 0

trên I.

Nhận xét:

Ở đây, ta phải hiểu, “hữu hạn” từ đâu mà ra ? Định lý Lagrăng nói rất rõ:

f x = "x ÎÞa b f x =C "x Î a b , chẳng dính dáng gì tới “hữu hạn” cả Thực ra thông

thường, '( )f x = chỉ có vài nghiệm, hoặc nếu có nhiều nghiệm như hàm số lượng giác thì các nghiệm 0

đó chia trục số thành những đoạn bằng nhau, cho nên trong một khoảng I cụ thể, số nghiệm này là hữu

hạn Và kết quả này chỉ đúng với những hàm số thông thường, không đúng cho trường hợp tổng quát Yêu cầu hữu hạn là hơi nhiều, không cần thiết Hơn nữa, vì ¥ chỉ là một khái niệm, lâu nay ta phát biểu định

lý cho khoảng ( ; )a b nhưng lại được áp dụng cho những khoảng có chứa ¥ , ví như ( ;a + ¥ hay )

= - ¥ + ¥

¡ , do ta quan niệm ( ;a + ¥ thực ra là khoảng ( ; )) a b với b> a và b lớn tùy ý mà thôi Với

quan niệm đó, hàm số f x( )=cos 2x - 2x + 3 (bài tập 7 trang 10–sách giáo khoa thí điểm bộ 1) có vô

số điểm huộc x Î I = ¡ mà tại '( )f x = , nhưng hàm số nghịch biến trên ¡ Ở đây có điều gì đó mâu 0 thuẫn ? Hơn nữa, chúng ta có thể chứng minh (Ở phần bổ sung kiến thức) rằng nếu '( )f x = trên một 0

tập hợp các điểm x “rời rạc” (Có độ đo bằng không), mà không cần hữu hạn, ví như tập hợp { 1 *}

/ n

n Î ¥ thì hàm số vẫn đơn điệu như thường Hữu hạn hay vô hạn là những khái niệm mà khi đi sâu vào sẽ là phạm trù lớn, mà ở đây không sử dụng tới nó sẽ tốt hơn

Kiến nghị phát biểu lại:

Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Nếu '( ) f x ³ 0( hoặc '( ) f x £ ), và đẳng 0

thức không xảy ra trên khoảng (c;d) ⊂ (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.

Việc f’(x)=0 không xảy ra trên (c;d) ⊂ (a;b) là thường thấy đối với hầu hết các hàm số trong trường THPT Nên chúng ta có thể phát biểu lại định lý 2 như sau:

Định lý 2’: Đối với hầu hết các hàm số y=f(x) trong trường THPT có đạo hàm trên khoảng (a;b)

1) "x γÛ( ; ), '( )a b f x 0 hàm số y=f(x) tăng trên (a;b)

2) "x ΣÛ( ; ), '( )a b f x 0 hàm số y=f(x) giảm trên (a;b)

Riêng định lý 2’, nếu yêu cầu chính xác tuyệt đối như sách Đại học, thì cũng không nên ghi là định

lý làm gì, mà ghi là ghi nhớ chẳng hạn.

Đây chính là cơ sở để giải quyết các bài tập dạng : Định m để hàm số tăng(giảm) trên một khoảng nào đó (bài tập 4–trang 104, bài tập 2 trang 105,…Sách hợp nhất 2000)

Vấn đề 2: Xét dấu của đạo hàm Sách hợp nhất 2000: Nguyên văn (Trang 51)

Đối với các hàm số f(x) thường gặp, f’(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó Khi đó giữa hai điểm tới

hạn kề nhau x 1 và x 2 , f’(x) giữ nguyên một dấu.

Sách thí diểm bộ 1 thì lại không nói gì tới vấn đề này

Nhận xét:

Sách hợp nhất 2000 thì nói quá kỹ (Đưa ra khái niệm điểm tới hạn,…Có 2 trang trình bày về vấn

đề này) Vấn đề nảy sinh là nếu hàm số có it hơn hai điểm tới hạn thì xét dấu như thế nào ? Liệu ¥ có phải là một điểm tới hạn ?

Trong lúc đó, sách thí điểm bộ 1 thì bỏ hẳn, không nói gì tới việc xét dấu như thế nào, coi như học sinh đã biết ! Như vậy là khi xét dấu '( )f x có chứa hàm số lượng giác, mũ, căn,v,v… (những bài tập loại

này rất nhiều trong SBT), học sinh buộc phải nhớ không những kiến thức xét dấu tam thức bậc nhất, bậc hai mà còn phải nhớ tới kiến thức về sự đơn điệu của hàm số lượng giác, mũ, căn,v,v,… trong khoảng xét Điều này thì cực khó đối với học sinh Hơn nữa, nếu f x'( )=2x - x2 + 1 chẳng hạn thì xét dấu của

nó dựa vào nguyên tắc nào ?

Kỹ năng xét dấu các hàm số liên tục dựa vào tính chất của nó, cũng nên rèn luyện Cơ bản để xét dấu trên một khoảng, học sinh chỉ tính các giá trị của hàm số trên khoảng đó Điều này thì dễ hơn việc nhớ dấu của hàm số trên khoảng đó, và có thể sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ !

Ta biết một tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Nếu f a f b <( ) ( ) 0 thì

phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) Do đó, nếu f(x)=0 không có nghiệm nào trong (a;b) thì f(x) giữ nguyên một dấu trên khoảng đó Thực vậy, nếu f(x) đạt giá trị âm và dương tại x 1 và

x 2 thì f(x)=0 sẽ có nghiệm trên ( ; )x x1 2 Ì ( ; )a b ( hay ( ; )x x2 1 Ì ( ; )a b ) Trái với giả thiết

Kiến nghị trình bày:

Đối với các hàm số f(x) mà f’(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó Khi đó nếu f’(x) không có

nghiệm trong (a;b) thì f’(x) giữ nguyên một dấu trong khoảng đó.

Vấn đề 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số

Sách hợp nhất 2000: Nguyên văn: (trang 71)

1.Định nghĩa

a) Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và M(x;y) là một điểm thay đổi trên (C).

Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai tọa độ x, y của điểm M(x,y) dần tới ∞.

Khi đó ta cũng nói điểm M(x;y) dần tới ¥ (Vì OM = x2 + y2 ®+ ¥ ) Kí hiệu M →¥

b) Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực Cho đường thẳng d Kí hiệu MH là khoảng cách từ điểm

( ; ) ( )

d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của (C) nếu MH dần đến 0 khi M dần đến ∞ trên (C) Nói cách khác, d là tiệm cận của (C)

M

M C

MH

¥

® Î

= Û

……….

Định lý: Nếu xlim ( )®x0f x = ¥ thì đường thẳng d có phương trình x =x0 là một tiệm cận của đồ thị

( ) :C y = f x( )

Định lý: Nếu lim ( ) 0

x f x y

¥

® = thì đường thẳng d có phương trình y =y0 là một tiệm cận của đồ thị ( ) :C y = f x( )

Định lý: điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng : d y =ax + b là một tiệm cận của đồ thị ( ) :C y = f x( )

là

x f x ax b

- ¥

x f x ax b

+ ¥

x f x ax b

¥

Sách thí điểm bộ 1: Nguyên văn: (Trang 26, 27, 29)

Định nghĩa 1: Đường thẳng y =y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f x( ) nếu lim ( ) 0

x f x y

+ ¥

x f x y

- ¥

Định nghĩa 2: Đường thẳng x =x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f x( ) nếu

0

lim ( )

x x- f x

® = + ¥ hoặc lim ( )0

x x+ f x

® = + ¥ hoặc lim ( )0

x x- f x

® = - ¥ hoặc lim ( )0

x x+ f x

Định nghĩa 3: đường thẳng y =ax + b a, ¹ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f x( ) nếu lim [ ( ) ( )] 0

x f x ax b

+ ¥

x f x ax b

- ¥

Nhận xét:

Đối với sách hợp nhất 2000, Thực chất MH là hàm số hai biến số x và y và chúng ta chưa có định

nghĩa giới hạn cho các hàm số loại này Chúng ta chỉ có khái niệm giới hạn của dãy số (Khi n → ¥ ) và

giới hạn của hàm số khi x → a (±¥ ) Do đó, không nên ghi là định nghĩa , mà chỉ là khái niệm.

Các định lý trong sách hợp nhất 2000 chuyển thành các định nghĩa của sách sách thí điểm bộ 1

Và đã có sự thay đổi về nội dung Đó là sự phân chia triệt để x x x0 +; x x0 - ; ;x

Không còn có x ®x0 hay x ®¥ .

Sự phân chia này là rõ ràng và chính xác về mặt lý thuyết Tuy nhiên, những giới hạn kiểu

0

x ®x hay x ®¥ chẳng lẽ không có tác dụng gì trong việc tìm các tiệm cận ?

Vì giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy, nên ở đây ta nói về giới hạn của dãy số

Dù muốn dù không, chúng ta cũng phải xét tới các giới hạn của dãy x n ®x0, ví như dãy

*

( 1)

,

n

n

n

−

= ∈¥ , hoặc là giới hạn x n ®¥ ,ví như dãy ( 1) ,n

n

x = − n n∈¥ , mà không thể bỏ đi các khái niệm đó được Thế thì nó có tác dụng gì trong việc tìm tiệm cận của đồ thị hàm số?

Trước hết, có thể khẳng định là nếu ( )f x liên tục trên ¡ \ x{ }0 và

0

lim ( )

x x- f x

® = ¥ thì ta có thể khẳng định được xlim ( )®x0- f x = - ¥ hoặc là lim ( )0

x x- f x

® = + ¥ , nghĩa là đường thẳng x =x0 là một tiệm cận của đồ thị hàm số

Thứ hai, nếu xlim ( )®x0f x = ¥ thì chúng ta có thể chứng minh

x x- f x x x+ f x x x f x

Lúc đó, x =x0 là tiệm cận đứng Còn có trường hợp x không lớn hơn x 0 mà cũng không nhỏ hơn

x 0 ( Ví như x nhận các giá trị của dãy ( 1) , *

n n

n

−

= ∈¥ ) thì theo khái niệm tiệm cận, chúng ta có thể thấy được đường thẳng x =x0 là một tiệm cận (hai phía) của đồ thị hàm số Như vậy, nếu có

lim ( )

x x f x

® = ¥ thì ta đã khẳng định được đường thẳng x =x0 là tiệm cận đứng, không nhất thiết lúc nào cũng phải chia ra hai trường hợp cho phức tạp và dài dòng trong trình bày bài giải

Kiến nghị: Bổ sung “Chú ý” (Các hàm số yêu cầu khảo sát trong chương trình THPT đều thỏa và

ta chủ yếu sử dụng nó trong thực hành khảo sát hàm số )

1) Nếu xlim ( )®x0f x = ¥ thì đường thẳng d có phương trình x =x0 là một tiệm cận của ( ) :C y =f x( ) 2) Nếu lim ( ) 0

x f x y

¥

® = thì đường thẳng d có phương trình y =y0 là một tiệm cận của ( ) :C y =f x( ) 3) Nếu lim ( )[ ( )] 0

x f x ax b

¥

® - + = thì đường thẳng :d y =ax + b là một tiệm cận của ( ) :C y = f x( )

Vấn đề 4: Tính chất của nguyên hàm

Trang 114–sách hợp nhất 2000 và trang 139-sách thí điểm bộ 1 có ghi:

Giáo trình các yếu tố giải tích toán học trong chương trình toán phổ thông (Tài liệu BDTX

chu kỳ 1993–1996) trang 81 thì ghi òaf x dx( ) =aòf x dx( ) với a là hằng số bất kỳ.

Nhận xét: Nếu dựa vào tính chất (aòf x dx( ) )/ =af x( )(tính chất 1, cùng trang 114) thì ta có :

Vậy : Công thức nào đúng đây ?

Sách thí điểm bộ 1 thì không chứng minh phần này, và có nói thêm trong Sách giáo viên rằng

0

a ¹ là cần thiết vì nếu a = thì theo công thức (1) 0 ò0dx =0 là không đúng Cách làm này không khoa học và gượng ép Không phải tới kết quả rồi thấy mâu thuẫn lại thêm bớt giả thiết !

Việc hiểu cho tường tận hai công thức trên là điều không dễ, ngay cả đối với giáo viên chứ đừng nói tới học sinh !

Hiểu cách 1: (sách thí điểm bộ 1) Xem òf x dx( ) chỉ một tập hợp các hàm số Nghĩa là

f x dx = F x +C C Î

ò ¡ Khi đó aòf x dx( ) ={aF x( )+ aC C/ Î ¡ Chứng minh }

( ) ( ) ( 0)

ò ò là chứng minh hai tập hợp bằng nhau (Gọi F x/( )= f x( )) Lấy ( )H x Î aòf x dx( ) Þ H x( ) =aF x( )+C Þ H x'( )=af x( )Þ H x( )Î òaf x dx( )

Ngược lại lấy ( )H x Î òaf x dx( ) Gọi ( )T x là một nguyên hàm của ( ) af x thì

( )

H x T x C a

a a

ç

= + = ççè + ÷÷ø Đặt

H x =aF x nên ( )H x Î aòf x dx( ) Như vậy là chứng minh xong hai tập hợp bằng nhau

Việc chứng minh này vẫn phải có điều kiện a ¹ 0 Xin trình bày một cách hiểu khác

Hiểu cách 2:

Công thức òaf x dx( ) =aòf x dx( ) nên hiểu là sự bằng nhau của hai lớp tương đương

Gọi F là tập hợp các hàm số F(x) khả vi, F(x) và G(x) được gọi là quan hệ Q với nhau nếu

'( ) '( )

F x =G x Rõ ràng quan hệ Q là một quan hệ tương đương Và quan hệ Q này sẽ chia tập F thành các lớp tương đương F x( ) và G x( ),v,v…các lớp được xác định bỡi một phần tử bất kỳ của nó

làm đại diện Hai lớp bằng nhau khi phần tử đại diện của lớp này rơi vào lớp kia Với tinh thần đó, C

và 0 là bằng nhau vì phần tử chúng có cùng đạo hàm là 0 Vậy ta hiểu òf x dx( ) = F x( ) Do đó, tính chất òaf x dx( ) =aòf x dx( ) nên hiểu là aF x( )=a F x ( ) (không cần a≠0, Chỉ cần a là hằng

số)

Việc hiểu theo cách nào trong các cách trên là quá sức đối với học sinh phổ thông, nên tôi đề nghị:

khi dạy, phát biểu tính chất không dùng ký hiệu òf x dx( ) như sau:

1) Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì af(x) (a là hằng số, không cần khác 0) sẽ có một nguyên hàm là aF(x)

2) Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm là F(x) và G(x) thì hàm số f(x)+g(x) có một nguyên hàm là F(x) +G(x)

(Cách phát biểu này là của sách trước hợp nhất, miền nam đã làm)

Nếu phát biểu như trên thì việc chứng minh cực kỳ dễ dàng, và không cần a ¹ 0 Tuy nhiên nếu phát biểu bằng lời thì khi làm bài cũng như ra bài tập rất dài dòng Ví dụ

Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x ⇔ tính òf x dx( ) , cho nên chúng ta cũng đưa vào lý hiệu

( )

f x dx

ò (sau phát biểu bằng lời nói trên) chỉ với ý nghĩa là rút gọn lại định lý bằng lời mà thôi, ngoài ra nó chẳng có một ý nghĩa nào hết

Vấn đề 5: Tính nguyên hàm

Trang 117–sách hợp nhất 2000

Ví dụ 4: Tính.ò(5x + 3)5dx

Sách giải là (5 3)5 1(5 3) (55 3)

5

5

x + dx = x + d x +

Trang 142–sách thí điểm bộ 1 :

Tìm ò(2x + 1)4dx Ta có (2 1)4 (2 1)4 1 (2 1)

2

Nhận xét:

Trong ký hiệuò(5x + 3)5dx thì chữ “dx” là thêm vào để nói rằng tích phân lấy theo biến x chứ

không phải là nhân vào Trong ký hiệu ò(5x + 3)5dx thì giữa(5x +3)5 và dx không có phép toán

nào Như vậy, để tính ò(5x + 3)5dx , ta phân tích : (5 3)5 1(5 3) (55 3)

5

2

x + dx = x + d x + là không có sơ sở Ở đây có hai mâu thuẫn:

1) Nếu hiểu là nhân nào thì học sinh viết òdx x +(5 3)5 được không?

2) Nếu chỉ tích phân lấy biến x bằng cách thêm vào bx chẳng hạn (Lấy theo tiếng việt b=biến) thì

không có (5 3)5 1(5 3) (55 3)

5

x + bx = x + b x + Vậy giải thích cách làm trên như thế nào đây ?

Kiến nghị:

Ta phân tích (5 3)5 1 (5 3) (55 3)/

5

x + dx = x + x + dx