Bài giảng phương pháp đếm

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 1 Tập hợp tập hợp con các phép toán trên tập hợp tích descartes các đẳng thức trên tập hợp biểu diễn tập hợp trên máy tính 2 Nguyên lý cộng nhân chuồn[.]

Trang 1

CHƯƠNG 2:

PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

Trang 2

1 Tập hợp - tập hợp con - các phép

toán trên tập hợp - tích descartes -

các đẳng thức trên tập hợp - biểu diễn tập hợp trên máy tính

2 Nguyên lý cộng - nhân - chuồng bồ câu

3 Hoán Vị - Tổ Hợp - Chỉnh Hợp - Nhị Thức Newton

4 Hoán vị lặp - tổ hợp lặp

Trang 3

Trang 4

• Các tập hợp thường được ký hiệu bởi những chữ cái in hoa

• Các phần tử thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in thường

Trang 5

|S| = n Tập S có n phần tử

Tập hợp

Trang 6

Định nghĩa:

• Tập A được gọi là một tập con của tập hợp B khi và chỉ khi

mỗi phần tử của A là một phần tử của B

 Ký hiệu: A B ⊆ B

• A B⊆ B nếu và chỉ nếu lượng từ ∀x (x ∈ A → x ∈ B) là

đúng.

• Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp ∅

• Mọi tập hợp là tập con của chính nó

• Nếu A B ⊆ B và B A ⊆ B thì A=B

• Nếu A B ⊆ B và A ≠ B thì ta nói A là tập con thực sự của B

Ký hiệu: A B ⊂ B

Tập hợp con

Trang 7

P( ) = { } , P({ }) = { , { }} ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

• Lượng số của tập lũy thừa: |P(S)| = 2 |S|

Trang 9

Tập hợp tích descartes

René Descartes (1596-1650)

Định nghĩa:

định nghĩa như sau:

Trang 12

• Hợp của n tập hợp là một tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong số n tập hợp

Trang 14

• Giao của n tập hợp là một tập hợp chứa các

Trang 15

• Hai tập đuợc gọi là rời nhau nếu giao của chúng là

Trang 16

• Cho A và B là hai tập hợp, hiệu

của A và B là tập hợp chứa các

phần tử thuộc A nhưng không thuộc

B Hiệu của A và B cũng đuợc gọi là

phần bù của B đối với A.

Trang 18

Các hằng đẳng thức trên Tập hợp

A ∪B ={∅ = A A∩U=A (U là tập vũ trụ)

Trang 19

Biểu diễn Tập hợp trên máy tính

chúng ta sẽ nói đến phương pháp lưu trữ các phần tử bằng cách dùng sự sắp tùy ý các phần tử của tập vũ trụ.

tập con A của U bằng một xâu bit có chiều dài n, trong

A.

Trang 21

Trước hết ta coi thứ tự các phần tử được sắp xếp theo

1- Xâu bit biểu diễn các số lẻ trong U ({1, 3, 5, 7, 9}) là xâu có độ dài n=10 trong đó các bit ở vị trí thứ 1, 3, 5, 7, 9

có giá trị là 1, các bit còn lại có giá trị là 0.

Từ đó ta có xâu bit biểu diễn tập hợp A là: 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0

2- Xâu bit biểu diễn các số chẵn trong U ({2, 4, 6, 8, 10}) là xâu có độ dài n=10 trong đó các bit ở vị trí thứ 2, 4,

6, 8, 10 có giá trị là 1, các bit còn lại có giá trị là 0.

Từ đó ta có xâu bit biểu diễn tập hợp B là: 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1

Trang 22

3- Xâu bit biểu diễn các số nhỏ hơn 5 trong U ({1, 2, 3,

4 }) là xâu có độ dài n=10 trong đó các bit ở vị trí thứ 1, 2, 3,

4 có giá trị là 1, các bit còn lại có giá trị là 0.

Từ đó ta có xâu bit biểu diễn tập hợp C là: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

4- Xâu bit biểu diễn tập hợp A B: ∪B ={

Trang 23

Trang 24

Nguyên Lý Cộng

• Phát biểu: Nếu một công việc có thể thực hiện bằng 2

hay nhiều( 2,3, ,n ) phương án khác nhau Mỗi phương án lại có nhiều cách cách thực hiện( m2, m3, ,mn) Khi đó công việc có:

m 2 +m 3 + +m n

cách thực hiện

Trang 25

Ví dụ:

• Chọn 1 sinh viên trong lớp làm lớp trưởng Biết lớp có 3 dãy sinh viên(sv), mỗi dãy lần lượt có số sv là 15, 32, 17.

Giải:

 Số cách chọn 1 sv thuộc dãy 1 làm lớp trưởng: 15

Như vậy:

 Số cách chọn 1 sv trong lớp làm lớp trưởng:

15+32+17= 64

Nguyên Lý Cộng

Trang 26

• Phát biểu: Nếu một công việc phải thực hiện qua 2 hay

nhiều( 2,3, ,n ) giai đoạn Mỗi giai đoạn lại có nhiều cách cách thực hiện( m2, m3, ,mn) Khi đó công việc có:

• m 2 .m 3 m n

cách thực hiện

Nguyên Lý Nhân

Trang 27

Ví dụ:

• Một công ty game muốn cho ra mắt một sản phẩm game mới Họ muốn lập ra một nhóm để sản xuất game đó bao gồm 3 nhân viên(1 designer,1 artist, 1 programer).

• Biết số designer, artist, programer của công ty có thể tham gia vào dự án lần lượt là 5,6,7.

• Hỏi có bao nhiêu cách để lập ra một nhóm như trên?Nguyên Lý Nhân

Trang 28

• Với mỗi Designer ta có 6 cách chọn 1 Artist.

• Vậy với 5 Designer ta có:

Trang 29

• Mở đầu:

Giả sử có một đàn chim

bay vào chuồng Nếu số chim

nhiều hơn số ngăn chuồng thì

có ít nhất trong một ngăn có

nhiều hơn một con chim

Nguyên Lý Chuồng Bồ Câu

Trang 30

• Mệnh đề:

Nếu có k+n (n>0) đồ vật được đặt trong k hộp thì tồn tại

ít nhất một hộp có nhiều hơn 1 đồ vật (hay tồn tại ít nhất một hộp có ít nhất hai đồ vật).

Trang 31

• Nguyên lý Dirichlet

• tổng quát:

Nếu m vật thể được đặt vào n chuồng chim bồ câu và m

> n, thì (ít nhất) một chuồng chim bồ câu sẽ bao hàm ít nhất vật thể nếu m là bội của n, và ít nhất vật thể nếu m không phải là bội của n

Với: là phần nguyên sàn của phép tính m chia cho n, có giá trị bằng số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hay bằng kết quả của phép tính m/n

• Ví dụ:

Trang 32

Ví dụ :

Có 5 loại học bổng khác nhau Hỏi rằng cần ít nhất bao

nhiêu sinh viên để luôn luôn có ít nhất 6 người cùng loại học bổng.

Giải:

• Gọi n là số sinh viên.

• Áp dụng định lý Dirichlet.

• Vì đề bài yêu cầu cần ít nhất bao nhiêu sv.

 N không phải là bội của 5

và:

Vậy: cần ít nhất 26 sv để thỏa các yêu cầu của bài toán

. n =5.5+1=26

Trang 33

Trang 34

Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung

Hoán vị

Trang 36

Bài toán: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá.

Có bao nhiêu cách sắp xếp danh sách

thứ tự 5 cầu thủ????

Chỉnh hợp

Trang 37

Trả lời:

Định nghĩa chỉnh hợp :

Cho A là tập hợp gồm n phần tử (khác nhau) Mỗi bộ phận gồm k phần tử ( 0 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Trang 38

Nhận xét: Hai Chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần

tử của Chỉnh hợp này không là phần

tử của Chỉnh hợp kia hoặc các phần tử

của Chỉnh hợp giống nhau nhưng

được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

n



Trang 39

Ví dụ 1: Cho X ={abc}.

Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là:

chữ số được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6 Kết quả:

ab, ba, ac, ca, bc, cb

.

Chỉnh hợp

Trang 41

Định nghĩa:

Cho A có n phần tử và số nguyên k với 0 k n Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử(gọi tắt là tổ hợp chập k của A)

Trang 42

Tính chất:

=

= = 1

= = n

= + (k 1)

Khác nhau của chỉnh hợp và tổ hợp??

Chỉnh hợp : quan tâm đến thứ tự của các phần tử, còn tổ hợp thì không

Tổ hợp

Ck n

1



Cn n k



C k n

Cn

0

Cn n

Cn

1

Cn n

1



Trang 44

Tổng các số mũ của x và y trong mỗi số

hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: k= n

Trang 47

Ví dụ:

1) Khai triển

=> - + - + -

SỐ HẠNG thứ 3 theo luỹ thừa giảm dần của x :

Hệ SỐ của số hạng thứ 4 theo luỹ thừa giảm dần của x :

-

2) Xét

SỐ HẠNG thứ 46 theo luỹ thừa giảm dần của x :

Hệ SỐ của số hạng thứ 37 theo luỹ thửa giảm dần của x :

Nhị thức Newton

Trang 48

Một số khai triển hay sử dụng:

… Nhị thức Newton

Trang 49

Trang 50

• Định nghiã 1 : giả sử có n vật hay đối tượng trong đó có đối tượng loại 1 (giống nhau), đối tượng thuộc loại 2,…., và đối tượng thuộc loại thứ r, với n=++……… Khi ấy số cách sắp xếp n đối tượng trên thành dãy có thứ tự, hay số hoán vị của

n đối tượng là

•

Hoán vị lặp

Trang 51

Ví dụ 1:

lại các chữ cái của từ SUCCESS.

Trang 53

Ví dụ 2: với các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập được bao

nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 2 có mặt đúng 3 lần, chữ số 4 có mặt 2 lần và các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

Giải

nhau

Trang 54

• Lưu ý: số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng

Ví dụ 1 : từ bảng chữ cái tiếng anh có thể tạo ra bao nhiêu

chuỗi có độ dài n?

Ví du 2 : biển đăng kí ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu

tiên trong 26 chữ cái (không dùng O và I) Hỏi số ô tô được

đăng kí nhiều nhất là bao nhiêu?

•

chuỗi

Gọi X là tập hợp các chữ cái dùng trong bảng đăng kí suy

ra có 24 phần tử có cách chọn cho 2 chữ cái đầu tiên Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng trong bảng đăng kí suy ra có 10 phần tửcó cách chọn 6 chữ số còn lại

Vậy số ô tô được đăng kí nhiều nhất là:

biển số

Trang 55

• Định nghĩa : mỗi cách chọn ra K vật từ n loại vật khác nhau(trong đó mỗi loại vật có thể được chọn lại nhiều lần)

được gọi là tổ hợp lặp chập K của n Số các tổ hợp lặp chập

K của n được ký hiệu là

=

•

Tổ hợp lặp

Trang 56

Vd1: Trình bày số cách bày mâm ngũ quả nếu chỉ chọn xoài, dừa, chuối.

•

âm.

Mỗi nghiệm tương ứng với 1 cách chọn 11 phần tử của 1 tập

có 3 loại sao cho có phần tử loại 1,phần tử loại 2,phần tử loại 3.

=> số nghiệm của tổ hợp lặp chập 11 phần tử từ 3 phần tử là:

Tổ hợp lặp

Trang 57

CẢM ƠN THẦY VÀ

CÁC BẠN ĐÃ THEO DÕI

Tiêu đề	Bài giảng phương pháp đếm
Trường học	Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Phương pháp đếm
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	1,31 MB