Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường Đại học Nông Lâm

Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường Đại học Nông Lâm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài t...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM

-

BỘ MÔN TOÁN LÝ

GIÁO TRÌNH NỘI BỘ TOÁN CAO CẤP Dành cho sinh viên tất cả các ngành học

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Thái Nguyên, năm 2017

Mục lục

Chương 1 Đại số tuyến tính 4

1.1 Ma trận và các phép toán cơ bản của ma trận 4

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận 4

1.1.2 Các phép toán cơ bản của ma trận 6

1.2 Định thức của ma trận vuông cấp n 9

1.2.1 Định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n 9

1.2.2 Các tính chất của định thức 10

1.2.3 Cách tính định thức 12

1.3 Ma trận nghịch đảo 13

1.3.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo 13

1.3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo 14

1.3.3 Các tính chất của ma trận nghịch đảo 15

1.3.4 Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận 16

1.4 Hạng của ma trận 17

1.4.1 Định nghĩa và ví dụ về hạng của ma trận 17

1.4.2 Cách tìm hạng của ma trận 18

1.5 Hệ phương trình tuyến tính 19

1.5.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 20

1.5.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính 20

1.5.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 21

Bài tập Chương 1 28

Chương 2 Đạo hàm và một số ứng dụng 30

2.1 Hàm một biến 30

2.1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số 30

2.1.2 Giới hạn của hàm số 32

2.1.3 Sự liên tục của hàm số 35

2.1.4 Đạo hàm của hàm số một biến số 37

2.1.5 Một số bài toán ứng dụng của đạo hàm 40

2.1.6 Đạo hàm cấp cao của hàm số một biến 43

2.1.7 Vi phân của hàm số một biến số 44

2.2 Hàm số hai biến số 47

2.2.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến 47

2.2.2 Đạo hàm của hàm số hai biến số 49

2.2.3 Vi phân toàn phần và ứng dụng để tính gần đúng 50

2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 51

Bài tập Chương 2 53

Chương 3 Tích phân và một số ứng dụng 56

3.1 Tích phân bất định 56

3.1.1 Nguyên hàm của hàm số 56

3.1.2 Tích phân bất định 56

3.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định 58

3.1.4 Tích phân một số hàm cơ bản 60

3.1.5 Một số bài toán về ứng dụng của tích phân bất định 62

3.2 Tích phân xác định 63

3.2.1 Diện tích của hình thang cong và tích phân xác định 64

3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 67

3.2.3 Một số ứng dụng của tích phân xác định 69

3.3 Tích phân suy rộng 72

3.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 72

3.3.2 Tích phân suy rộng với hàm không giới nội 74

Bài tập Chương 3 76

Chương 4 Phương trình vi phân 79

4.1 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình vi phân 79

4.2 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 81

4.3 Phương trình vi phân cấp một 82

4.3.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một 82

4.3.2 Phương trình vi phân có biến số phân ly 82

4.3.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một 85

4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính 86

4.4 Phương trình vi phân cấp hai 87

4.4.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai 87

4.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi 88Bài tập Chương 4 92Tài liệu tham khảo 94

Chương 1

Đại số tuyến tính

1.1 Ma trận và các phép toán cơ bản của ma trận

Ma trận là bảng số hình chữ nhật và được sử dụng để lưu trữ thông tin và làm việcvới chúng Ma trận có rất nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, trong đời sống, trong kinh

tế, kỹ thuật, vật lý, cơ học, công nghệ thông tin, thuyết mật mã, Chẳng hạn, mộtcông ty kinh doanh 3 mặt hàng gồm áo, quần và kính Công ty có hai cửa hàng A và

B Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là: cửa hàng A: 100 áo, 120 quần, 300kính và cửa hàng B: 125 áo, 100 quần, 250 kính Sắp xếp dữ liệu này ở dạng bảng:

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số gồm m × n phần tử được xếp thành m hàng, n cộtđược gọi là một ma trận cỡ m × n, ký hiệu

Ký hiệu rút gọn: A = (aij)m×n, trong đó aij biểu thị phần tử ở hàng i, cột j của matrận A (với i = 1, 2, m; j = 1, 2, n)

Khi m = n, ta có một ma trận vuông với n hàng, n cột gọi là ma trận vuông cấp n.

Các phần tử a11, a22, , ann gọi là các phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua các phần

tử chéo gọi là đường chéo chính của ma trận

Định nghĩa 1.1.5 Ma trận đường chéo là ma trận có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không

Định nghĩa 1.1.6 Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đườngchéo chính đều bằng 1

Ma trận đơn vị được ký hiệu là: I (hoặc E)

Định nghĩa 1.1.7 Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không

Ma trận không được ký hiệu là O

Định nghĩa 1.1.9 Ma trận bậc thang là ma trận thoả mãn điều kiện sau đây:(1) Nếu có hàng không (tức là tất cả các phần tử đều bằng không) thì các hàngkhác không luôn ở trên các hàng không.

(2) Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờcũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên

Ví dụ 1.1.10 Trong các ma trận sau đâu là ma trận bậc thang?

Định nghĩa 1.1.11 Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng

1.1.2 Các phép toán cơ bản của ma trận

a Phép cộng hai ma trận

Định nghĩa 1.1.13 Cho hai ma trận A = (aij); B = (bij) có cùng cỡ m × n, tổng củachúng, kí hiệu A + B là một ma trận cũng có cỡ là m × n và được xác định bởi phépcộng các phần tử tương ứng ở cùng vị trí Tức là,

thì tích hai ma trận C = A.B là một ma trận cỡ m × n và mỗi phần tử cij của ma trận

tích được tính bởi công thức

Ví dụ 1.1.22 Một cửa hàng kinh doanh 3 mặt hàng: áo, quần, kính Giả sử số lượng

hàng bán được trong một tháng là: 100 áo, 120 quần, 300 kính Ta sắp xếp số liệu trên

Giả sử tiền lãi trong tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngàn L1 =



153010



·Vậy lợi nhuận trong tháng 1 của cửa hàng là:





·Vậy lợi nhuận trong hai tháng của cửa hàng là:

T1L1+ T2L2 = 8100

7375

!+ 1013010675

!

= 1823018050

!

·

Chú ý 1.1.23 (1) Trong nhiều trường hợp ta có thể tính được AB nhưng lại khôngtính được BA Ta chỉ thực hiện được cả tích AB và BA khi số cột của ma trận nàybằng số hàng của ma trận kia và ngược lại Đặc biệt khi A và B đều là ma trận vuôngcấp n thì ta tính được cả tích AB và BA

(2) Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là AB chưa chắc bằngBA

(2) Tính chất phân phối với phép cộng:

(B + C)A = BA + CA; A(B + C) = AB + AC

Định nghĩa 1.1.26 Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij) cỡ m × n là ma trận

AT có cỡ n × m thu được từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột Tức là, cột thứ

i của ma trận AT là hàng thứ i của ma trận A với mọi i Phép toán biến ma trận Athành ma trận chuyển vị AT được gọi là phép chuyển vị ma trận

Ma trận con ứng với phần tử aij là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột

j của ma trận A và được ký hiệu là Mij Như vậy Mij là một ma trận vuông cấp n − 1

Định nghĩa 1.2.3 Định thức của ma trận vuông A cấp n, ký hiệu là det A (hoặc |A|),được định nghĩa dần dần như sau:

A là ma trận vuông cấp 1: A = (a11) thì det A = a11

A là ma trận vuông cấp 2: A = a11 a12

a21 a22 thìdet A = (−1)1+1a11det M11+ (−1)1+2a12det M12.Một cách tổng quát với A là ma trận vuông cấp n thì:

det A = (−1)1+1a11det M11+ (−1)1+2a12det M12+ · · · + (−1)1+na1ndet M1n.Chú ý rằng a11, a12, , a1n là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trận A

Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n

Ví dụ 1.2.4 Tính định thức

1 −2 1

2 1 −4

3 −4 −1

Tính chất 1.2.7 * Khai triển định thức theo hàng i

det A = (−1)i+1ai1det Mi1+ (−1)i+2ai2det Mi2+ · · · + (−1)i+naindet Min

* Khai triển định thức theo cột j

det A = (−1)1+ja1jdet M1j + (−1)2+ja2jdet M2j + · · · + (−1)n+janjdet Mnj.Tính chất 1.2.8 Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số

k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Hệ quả 1.2.9 Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung,

ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức

Tính chất 1.2.10 Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không

Hệ quả 1.2.11 - Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không

- Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằngkhông

Chú ý 1.2.12 Ký hiệu α1, α2, , αn là n hàng (n cột) của một định thức Tổ hợptuyến tính của n hàng (cột) của định thức được định nghĩa như sau:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=