Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn họckhông chỉ đơn thuần là giúp cho học sinh có được một số kiến thức cụ thể nào đó.Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là tro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

THÁI THỊ HỒNG LAM

BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬN NGHỊCH

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

THÁI THỊ HỒNG LAM

BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬN NGHỊCH

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS BÙI VĂN NGHỊ

2 TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Thái Thị Hồng Lam

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Đóng góp của luận án 4

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ 4

8 Cấu trúc của luận án 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Một số vấn đề chung về tư duy 6

1.1.1 Khái niệm về tư duy 6

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 6

1.1.3 Về sự phân loại tư duy 7

1.1.4 Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học 8

1.2 Tư duy toán học 9

1.2.1 Một số quan niệm về tư duy toán học 9

1.2.2 Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học 10

1.3 Tư duy thuận nghịch 13

1.3.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài 13

1.3.2 Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch và xác định các thành tố của năng lực TDTN trong toán học 16

1.3.3 Quan niệm về tư duy thuận nghịch 23

1.3.4 Các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học 25

1.3.5 Các mức độ biểu hiện của năng lực TDTN trong toán học 36

1.4 Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch với một số loại hình tư duy 36

1.4.1 Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch với tư duy phê phán 36

Trang

1.4.3 Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy lôgic 40

1.4.4 Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy sáng tạo 41

1.5 Vai trò của tư duy thuận nghịch 43

1.5.1 Vai trò của tư duy thuận nghịch trong sự phát triển của Toán học và ứng dụng toán học vào thực tiễn 43

1.5.3 Vai trò của tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán 46

1.7 Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông 51

1.7.1 Mục đích khảo sát 51

1.7.2 Đối tượng khảo sát 52

1.7.3 Nội dung khảo sát 52

1.7.4 Phương pháp khảo sát 52

1.7 5 Kết quả khảo sát thực trạng 52

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬN NGHỊCH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN 61

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 61

2.2 Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông 61

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét khái niệm, định lý mà nội dung của nó ẩn chứa yếu tố thuận nghịch 61

2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh thiết lập bài toán đảo của bài toán đã biết Đồng thời, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng bài toán ngược trong giải toán 80

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh thói quen nhìn nhận lại quá trình giải toán 90

2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khai thác sự tương hỗ giữa các hoạt động tư duy có chiều hướng ngược nhau 95

2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống bài tập hỗ trợ việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh 118

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 126

1

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 126

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm 126

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 126

3.2.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 127

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 136

3.3.1 Đánh giá định tính 136

3.3.2 Đánh giá định lượng 138

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 146

KẾT LUẬN 148

TÀI LIỆU THAM KHẢO 151

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

Viết tắt Viết đầy đủ

TDPP : Tư duy phê phán

TDST : Tư duy sáng tạo

TDTN : Tư duy thuận nghịch

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam

2011-2020, Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIIIBan chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án “Đổi mới căn bản, toàndiện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điềukiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” [4] TrongChương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự

án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinhTrung học phổ thông nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ chohọc sinh

Như vậy, đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp dạy học mônToán nói riêng đang trở thành một yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông nước ta,nhằm tạo ra nguồn lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nước nhà

Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn họckhông chỉ đơn thuần là giúp cho học sinh có được một số kiến thức cụ thể nào đó.Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó,rèn luyện cho học sinh tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khảnăng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đadạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển Nói cách khác, hệ thống giáodục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tưduy, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục

tự học suốt đời

1.2 Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “ Làm khoa học gì cũng đụngchạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm Kiến thức, tưduy, tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục” [101, tr.7] Tuy nhiên, thựctiễn dạy học cho thấy vẫn còn không ít giáo viên chưa quan tâm thích đáng đến việcphát triển tư duy cho học sinh Chẳng hạn như “ Cách dạy phổ biến hiện nay làthầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắngtiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức,các định lý để tính toán, để chứng minh ” [102, tr.4], hoặc “Dạy toán ở trường phổ

Nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ cho công cuộc công nghiệp hóa,hiện đại hóa đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượng dạy học “Việc giải quyếttriệt để các vấn đề dạy học của nhà trường hiện đại, đòi hỏi phải thay đổi kiểu tưduy, được thiết kế bằng nội dung và phương pháp dạy học các môn học” [20, tr.6].

1.3 Tính thuận nghịch của tư duy được nhắc đến trong các công trình nghiên

cứu của M N Sacđacôp [90], J Piaget [20], Trong công trình nghiên cứu “Tâm

lý năng lực toán học của học sinh” [13] của Viện sĩ V A Cruchetxki xuất hiện

cụm từ: Tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận Toán học (khả năng chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo) Những mô tả ban

đầu của V A Cruchetxki về nghĩa của cụm từ này mặc dù chưa thật cụ thể và sâusắc bởi trọng tâm nghiên cứu của ông là về cấu trúc năng lực toán học Nhưng, cách

dùng thuật ngữ đó cộng với những cảm nhận trực giác về một loại hình tư duy

không xa lạ trong Toán học và giáo dục Toán học, liên quan đến việc nhận thức,xem xét sự vật và hiện tượng theo các chiều hướng ngược nhau, mà trong đó mức

độ khó, dễ giữa chúng cũng không giống nhau, tựa hồ như những hành động phổbiến diễn ra trong cuộc sống hàng ngày: đi tiến và đi lùi, đi lên và đi xuống cầuthang, Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý: Phải chăng chúng ta có thể

nghiên cứu về một loại hình tư duy có tên gọi tư duy thuận nghịch?

Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước đề cập đến

các loại hình tư duy trong giảng dạy Toán học Chẳng hạn: tư duy lôgic [41], [98], tư duy biện chứng [43], [118], [119], tư duy sáng tạo [61], [97], tư duy phê phán [3], [63], [110], tư duy thuật toán [65], [69], tư duy hàm [51], [75], tư duy thống kê [12],

[42], Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống

về tư duy thuận nghịch Bởi vậy, nội hàm của khái niệm này xem như vẫn còn mới Chúng ta có thể đặt vấn đề nghiên cứu làm sáng tỏ nội hàm của nó cũng như minh chứng khả năng cần và có thể bồi dưỡng loại hình tư duy này trong dạy học toán ở

các lớp bậc Trung học phổ thông

1.4 Trong thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông, thường xuyên bắt gặp

những tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà ta tạm xem một chiều là thuận

và một chiều là ngược Chẳng hạn như các hoạt động tư duy phân tích và tổng hợp,khái quát hóa và đặc biệt hóa, suy ngược và suy xuôi, nhận dạng và thể hiện, lậtngược vấn đề, Tuy nhiên, những tình huống này chưa thể hiện đầy đủ mọi khíacạnh của tư duy thuận nghịch, mà chỉ thể hiện một phần nào đó của tư duy thuận

2

nghịch Những tình huống đó là phổ biến, nhưng không phải là dễ dàng thực hiệnđối với học sinh

Thực tiễn dạy học cũng cho thấy, trong quá trình dạy học, giáo viên chưaquan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này Một số giáo viên đã có tìm hiểu, khaithác mối liên hệ này trong dạy học, nhưng chưa thành hệ thống và thường xuyên.Hầu hết chỉ khi nào trong nội dung dạy học có chứa đựng tường minh mối liên hệ

đó thì giáo viên mới đặt vấn đề xem xét, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêucầu xét định lý đảo, điều kiện cần và đủ,

Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:

“Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông”

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:

3.1 Tổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và

việc phát triển tư duy toán học cho học sinh

3.2 Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh trong môn Toán ở

các lớp bậc Trung học phổ thông thông qua việc xác định các thành tố của năng lực tưduy thuận nghịch của học sinh

3.3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng tư duy thuận

nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của

các biện pháp đã đề xuất

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa học xác đáng thì có thể bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh, góp phần vào

việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài

nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài

5.2 Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra

thực trạng về việc phát triển tư duy nói chung, tư duy thuận nghịch nói riêng trongdạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để

đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

6.1 Về mặt lý luận

6.1.1 Xác định được nội hàm của khái niệm tư duy thuận nghịch của học

sinh trong môn Toán ở các lớp bậc Trung học phổ thông thông qua việc làm rõ cácthành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh

6.1.2 Làm sáng tỏ tầm quan trọng, ý nghĩa của tư duy thuận nghịch trong

dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông và trong thực tiễn

6.2 Về mặt thực tiễn

6.2.1 Đề xuất những biện pháp sư phạm có tính khả thi và hiệu quả góp

phần phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán

6.2.2 Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toánnhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổthông

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ

7.1 Thiết lập những căn cứ đưa ra một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch 7.2 Một số thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh trong

môn Toán và các mức độ biểu hiện năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học

7.3 Một số định hướng cơ bản và các biện pháp sư phạm đã đề xuất góp

phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trườngTrung học phổ thông

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục các Tài liệu tham khảo, nội dungLuận án được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề chung về tư duy

4

1.2 Tư duy toán học.

1.3 Tư duy thuận nghịch

1.4 Mối quan hệ của tư duy thuận nghịch với một số loại hình tư duy

1.5 Vai trò của tư duy thuận nghịch

1.6 Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông

1.7 Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trongdạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

Kết luận Chương 1

Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp

2.2 Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinhtrong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

Kết luận Chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề chung về tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu Đểlàm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết đó,phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng Quá trình

đó gọi là tư duy

Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy làquá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiệntượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra đượcnhững mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng và hiện tượng và giữa các đốitượng, hiện tượng với nhau” [37, tr.94] Hoặc: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩcủa chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệucảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [20, tr.246]

Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy, nhưng có thể

nhận thấy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan Đó là một quá trình tâm lý đặc biệt chỉ có ở người

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Trong [1], [14], [20], [29], [30], [107], [108], nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ramột số đặc điểm của tư duy là:

* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;

* Tư duy có tính gián tiếp;

* Tư duy có tính trừu tượng và tính khái quát;

* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có mối

quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất vớinhau Ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy, là phươngtiện của tư duy

* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt

đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống

có vấn đề” Dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫnchứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, )

6

X L Rubinstêin đã khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tưduy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [108].

* Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao

gồm bốn bước cơ bản sau:

+ Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy

+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết.+ Xác minh tính đúng sai của giả thuyết Nếu giả thuyết đúng thì qua bướcsau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

+ Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [29], [30], [78], [107]

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trítuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thểvới tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, kháiquát hóa,

1.1.3 Về sự phân loại tư duy

Có nhiều loại hình tư duy đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiêncứu như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận, Về bảnchất, tư duy chỉ có một, đó là sự hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa cácphần tử ghi nhớ Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu vàvận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh

Theo [89], [108], có ba loại tư duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy trực quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).

Theo A.V Pêtrôvxki và L B Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng,

tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr.126-130].

J Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức.

Trong [20], V V Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm Trong một số công trình của V A Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [15, tr.112-117].

Theo J Guilford, có hai loại tư duy phân biệt, ngược với nhau: tư duy hội tụ

và tư duy phân kỳ [61]

Tác giả Nguyễn Văn Lộc trong [59] đã trình bày 5 cách xem xét về phươngdiện tư duy: Xem xét về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy; xem

xét về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem xét về phương diện

tính chất, kết quả của quá trình tư duy; xem xét về phương diện cấu trúc khác nhau

của hiện thực; xem xét về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy

Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [96], tác giả Tiến Thành đề cập đến rất nhiều loại hình tư duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư duy chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng,

Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân loại tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm

vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [40, tr.449]

1.1.4 Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học

Theo A.V Pêtrôvxki [74, tr.130], trong tình huống sư phạm đã cho, hình

thành được kiểu tư duy nào, điều đó phụ thuộc vào bốn nhân tố: tính chất của tài liệu học tập; kiểu bài toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học.

Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định

được mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng với nhau, cũng như với kinh nghiệm

và những tri thức đã có của học sinh Từ đó, ông quan niệm: tư duy – có nghĩa là vận dụng những mối liên hệ này để giải những bài toán xác định

A.V Pêtrôvxki [74] cho rằng: nếu tư duy là chân thực, tức nó phản ánh hiệnthực một cách đúng đắn, thì nó chỉ có thể dựa trên những mối liên hệ thực sự có

trong các tri thức xuất phát của nó Vì thế, dựa theo tính chất về mối liên hệ mà tạo khả năng triển khai loại hình tư duy, không phải trên mọi tài liệu đều có thể hình thành bất kì kiểu tư duy nào Vì vậy, ở trường phổ thông, tính chất khác nhau của các môn học cũng như giữa các nội dung kiến thức trong một môn học, tạo khả năng cho sự triển khai một kiểu tư duy xác định Chẳng hạn, khi xem xét một định

lý toán học, chúng ta không chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh

đề đảo của định lý, nghĩa là xem xét định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả

năng cho kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.

Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của

kiểu tư duy Mỗi bài toán muốn giải được đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những

mối liên hệ xác định của các dữ kiện xuất phát Chẳng hạn, những bài toán về chứngminh trong toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic củacác dữ kiện tất yếu, do đó tư duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phương trình(chẳng hạn như ) thường chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tưduy thực hành là cần thiết Như vậy, bản thân bài toán buộc tư duy phải dựa trên kiểu

8

mối liên hệ này hay kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng

quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó Hơn thế nữa, bằng cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy

khác nhau

Ví dụ 1.1: a) So sánh 210 với 103 ;

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2n > n3.Với câu a) học sinh nghĩ ngay rằng: chỉ việc thực hiện phép tính 210 và so sánhkết quả với 1000 - tư duy thực hành Tuy nhiên, đối với câu b) đòi hỏi phải tìm tòi,

phải đi theo con đường ngược lại - từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm tòi lời giải,

phải nghĩ đến quy nạp toán học, nghĩ đến khảo sát hàm số, khiến cho hoạt động trítuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính tích cực trí tuệ của học sinh

Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh Khó qui định

được các giới hạn của lứa tuổi Như L S Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ vànhững kiểu tư duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một người tùy theo trithức và thực tiễn tư duy tương ứng của người đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vựckhác Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tư duy phát triển từ kiểuhình tượng – thực hành sang kiểu tư duy khoa học và tư duy lý thuyết

Ví dụ 1.2: Với ví dụ 1.1 ở trên, câu a) HS tiểu học cũng làm được, các emphải thực hành tính toán 210 bằng 1024 Với câu b) HS lớp 10 chỉ có thể nghĩ đếnquy nạp toán học, với HS lớp 12 có thể nghĩ đến khảo sát hàm số, logarit hóa,

Nhân tố thứ tư – phương thức dạy học, phương thức xác định các mối quan

hệ mà tư duy vận dụng

Như vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem xét bốn nhân tố

trên một cách linh hoạt, để lựa chọn và có phương pháp bồi dưỡng loại hình tư duy thích hợp một cách hiệu quả nhất, nhằm đạt được mục đích dạy học.

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Một số quan niệm về tư duy toán học

Theo Nguyễn Văn Lộc [59], tư duy toán học được hiểu: Thứ nhất là hình

thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa họcToán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật,

kinh tế quốc dân, Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định

bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để

nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phươngthức chung của tư duy mà nó sử dụng

Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng khônggian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực [59, tr.16-17]

Về đặc điểm của tư duy toán học, A M Phriđman viết: “Tư duy toán học là

tư duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được hình thức hóa vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng”

(dẫn theo [12, tr.13])

Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu [115]:

- Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản củaToán học

- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo Toán học

- Phát triển tư duy toán học cho HS

“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạtđộng toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách cóphương hướng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống cáckiến thức và kỹ năng toán học” (dẫn theo [98, tr.13])

Đến nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến cáckhía cạnh xung quanh vấn đề về tư duy toán học: [12], [41], [42], [43], [61], [63],[65], [68], [75], [97], [98], [113], [119],

1.2.2 Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán học

Để hỗ trợ cho việc xác định các thành tố cơ bản của tư duy thuận nghịch trongmôn Toán, chúng tôi đã tham khảo một số quan điểm về những thành phần của tưduy toán học Nhiều nhóm tác giả đưa ra các quan điểm khác nhau về vấn đề này

- Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của

nhóm tác giả: Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, V Ia Xannhixki và G L.Lucankin (cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [118] và được táibản lần thứ nhất vào năm 1980 [119]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về nhữngthành phần của tư duy toán học

Trước khi nêu ra các thành phần của tư duy toán học, tác giả lý giải: “Tư duytoán học có những nét, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những đặc điểm

10

này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và được quy địnhbởi tính đặc thù của các phương pháp nghiên cứu” [118].

Về cấu trúc tư duy toán học, theo [118, tr.136-151], các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực giác; Tư

duy hàm; Tư duy biện chứng; Tư duy sáng tạo; Các phong cách toán học của tư duy

Trong đó, tư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích; Tư

duy lôgic; Tư duy lược đồ không gian

Tuy nhiên, cũng là nhóm tác giả này, trong [119, tr.116] các tác giả chỉ trìnhbày các thành phần của tư duy là: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trựcgiác; Tư duy hàm

Khi đề cập đến các loại hình tư duy, các tác giả đều mô tả tương đối cụ thểbằng cách chỉ ra những đặc trưng của loại hình tư duy ấy

- Trong các bài báo của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục toán học(ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư duy toán

học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh Những yêu cầu đó là: Năng lực nhìn thấy

sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cầnthiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các ký hiệu; Phân chia rõràng tiến trình suy luận; Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic (dẫn theo [98, tr.15])

- Nhà toán học nổi tiếng A Ia Khinsin, A I Marcusêvich, cũng không nói

rõ ràng tư duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành phần nào mà cócách sử dụng khác về thuật ngữ

Theo A Ia Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: Suy luận

theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế; Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đếnmục đích; Phân chia rành mạch các bước suy luận; Sử dụng chính xác các ký hiệu(mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ); Tính có căn cứ đầy đủ củalập luận [37, tr.127]

Theo A I Marcusêvich, những kỹ năng cần phải bồi dưỡng cho học sinh

trong dạy học toán là: Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại

những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; Kỹ năng rút ra

hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho; Kỹ năng phân tích một vấn đề thành nhữngtrường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là

ví dụ chưa bao quát hết mọi khả năng; Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận

được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát; Kỹ năng xây dựng sơ đồ củahiện tượng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thíchvấn đề về mặt Toán học; Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận,biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởngcủa việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả [61].

- Theo quan điểm của V A Cruchetxki, ông chỉ ra cấu trúc NL toán học của

HS bao gồm các thành phần sau:

Thu nhận những thông tin toán học: NL tri giác hình thức hóa tài liệu toán

học, NL nắm được cấu trúc hình thức của bài toán

Chế biến thông tin toán học, đó là: NL tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan

hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩvới các kí hiệu toán học; NL khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan

hệ, các phép toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thốngcác phép toán tương ứng, NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn; Tính mềmdẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học; Khuynh hướng vươn tới sự rõràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh

chóng, dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.

Lưu trữ thông tin toán học, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái quát về

các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứngminh, về các phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán

Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ [13,

tr.167-168]; [37, tr.129-130]

- Theo A N Kôlmôgôrôv, trong thành phần của NL toán học có: NL biến đổikhéo léo những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm các con đường giải các phương trìnhkhông theo quy tắc chuẩn, NL tính toán; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giáchình học”; Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúngđắn Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học[37,tr.129]

Bên cạnh các tác giả nước ngoài, một số loại hình của tư duy toán học đãđược các tác giả Việt Nam nghiên cứu Trong [37, tr.60-61], các tác giả cho rằng:

“Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần tư duy biện chứng, để nhận thức mặthình thức của hiện thực cần tư duy lôgic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thốngnhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng”

12

Những đặc trưng của tư duy hàm và bốn tư tưởng chủ đạo để phát triển tư

duy hàm đã được tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [51, tr.122- 149] Theo đó,

tư duy hàm được đặc trưng bởi các hoạt động: Phát hiện hoặc thiết lập những sự

tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Lợi dụng những sự tương ứng

Trong [54, tr.201- 202], [65, tr.28], các tác giả đã chỉ rõ những thành phần

của tư duy thuật toán (thuật giải) Trong [65] đã đề xuất một số hướng có thể thực

hiện để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học môn Toán

Qua việc tham khảo các quan điểm của các tác giả về tư duy toán học và năng lực toán học, ta rút ra một số nhận xét sau:

* Dù phân loại theo tiêu chí nào thì các loại hình tư duy thường có sự giaothoa nhau Tuy nhiên, sự phân chia một cách tương đối vẫn rất cần thiết: “Sự phânchia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp như tư duy toán học, bằng cách xétcác thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu các biểu hiện

riêng biệt của tư duy trong quá trình giảng dạy Toán mà thôi Chỉ có như vậy người

giáo viên mới có điều kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không được toàn diện thì cũng

là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh” (dẫn theo [98, tr.20])

Chính vì lẽ đó, trong mục 1.3.4 của luận án khi đưa ra những thành tố cơbản của tư duy thuận nghịch cũng không tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tốvới nhau

* Khi so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm về các loại hình tư duy

cần có quan điểm toàn diện Có thể quan niệm này phù hợp hơn quan niệm kia nếu xét ở khía cạnh học sinh Trung học phổ thông, nhưng không phù hợp bằng nếu xét

ở khía cạnh học sinh Trung học cơ sở Tương tự như vậy nếu xét trên khía cạnh chấtliệu kiến thức (Đại số, Số học, Hình học, Giải tích)

Như vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình tư duy hay nănglực, cũng như tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn thuầndựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trước hết phải có quan niệm cụ thể vềloại hình tư duy hoặc năng lực này Hợp lý hơn cả là nên làm rõ những thành tố cơbản của nó

1.3 Tư duy thuận nghịch

1.3.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài

Việc nghiên cứu mối quan hệ hai chiều có tính thuận nghịch trong các hiệntượng tự nhiên, xã hội và tư duy đã được một số tác giả trong và ngoài nước quantâm như sau:

Ở ngoài nước:

* Theo Piaget [16], [71], [72], [78], [79], đối với trẻ em từ 7, 8 tuổi trở lên,

trong tư duy đã xuất hiện khả năng đảo ngược Đó là khả năng thực hiện các thaotác ngược nhau (thực ra hành động chỉ xảy ra một chiều, vì thời gian chỉ xảy ra mộtchiều, nhưng tính đảo ngược có thể hiểu là trật tự ngược nhau của chuỗi thao tác haihành động) Chẳng hạn, ngay từ lớp 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở

đã thành thục hành động “gộp” 3 với 5 thành 8), thì cũng thực hiện được thao tácngược lại là “tách” hay là phân tích 8 = 3 + 5 Theo J Piaget, tính thuận nghịch thểhiện khi “các thao tác và hành động có thể được triển khai về hai hướng và hiểu đượcmột trong hai hướng đó gợi ra sự hiểu biết hướng kia” [20, tr.275] Ông đã đánh giácao về vai trò của tính thuận nghịch trong hoạt động nhận thức, điều này được thểhiện trong nhận xét của Ph Lêyven: đối với Piaget, tính thuận nghịch – đó là “conngươi” của nhận thức, được hình thành trong hệ thống, một tính chất mà trong quan

hệ với nó, tất cả các tính chất còn lại chỉ là dẫn xuất [20, tr.275]

* Tác giả V A Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận nghịch của quá trình

tư duy trong lập luận toán học [13, tr.107], được hiểu là việc làm thay đổi phươnghướng của quá trình tư duy theo nghĩa chuyển từ tư duy thuận (hướng tư duy từ A

đến B) sang tư duy đảo (hướng từ B đến A) Ông xem khả năng này là một thành

phần của năng lực toán học của HS và đã tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HSlớp 6, 7, 8 và chủ yếu tập trung vào việc xem xét, đánh giá sự suy nghĩ của HStrong vấn đề nhận thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều của một côngthức và các bài toán thuận nghịch Ông đã rút ra kết luận rằng nét nổi bật của HS cónăng khiếu là khả năng chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tưduy thuận sang quá trình tư duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lậpluận Các liên hệ được hình thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch Ở các

HS trung bình và kém quá trình này hết sức khó khăn

* Tác giả Edgar Morin cho rằng: “Tư duy, trong sự vận động/sáng tạo của

nó, là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác, sử

dụng những năng lực bổ sung/đối kháng của tinh thần/bộ não, và theo nghĩa đó, tư duy là sử dụng đầy đủ đối lôgic về những năng lực suy nghĩ của tinh thần con

14

người” [66, tr.342] Ông cho rằng, trong quá trình suy nghĩ, chúng ta gặp những

thành tố đối lôgic được tư duy đưa vào vận động, chẳng hạn như: phân tích – tổnghợp; trừu tượng – cụ thể; diễn dịch – qui nạp; khách thể hóa – chủ thể hóa; vànhững thành tố này cũng đưa tư duy vào vận động

Như vậy, tư duy không ngừng liên kết trong bản thân nó, theo lối bổ sungcác quá trình đối kháng tiềm tàng có xu hướng loại bỏ nhau Nó phải từ chối vàchiến đấu chống lại mâu thuẫn, nhưng đồng thời lại chịu đựng mâu thuẫn và tự nuôi

sống bằng mâu thuẫn Theo nghĩa đó, tư duy là một vận động đối lôgic không ngừng Do đó, có những khiếm khuyết của tư duy khi xảy ra sự loại trừ một quá

trình bởi quá trình đối kháng Chẳng hạn, sự phân tích một mình nó phá vỡ tổ chứcliên kết các yếu tố được phân tích, còn sự tổng hợp một mình nó che khuất tính hiệnthực của các thành tố, Mọi quá trình tư duy, nếu không được kiểm tra theo lối đốilôgic, thì dẫn đến chỗ mù quáng hay tới hoang tưởng

Tác giả Ia I Pêtrốp (dẫn theo [90, tr.114]) cũng có quan niệm: hoạt động tư duy của HS diễn biến theo chiều thuận – nghịch

* Trong công trình nghiên cứu về tư duy của HS của M N Sacđacôp có đềcập đến tính thuận nghịch trong các mối liên hệ và quan hệ Ông cho rằng, tínhthuận nghịch là một trong những đặc điểm về chất của các mối liên hệ và quan hệgiữa các hiện tượng của hiện thực Nó biểu hiện trong ảnh hưởng lẫn nhau có tínhchất động giữa các thành phần của một hiện tượng hoàn chỉnh Ông cũng cho rằngdòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt động tư duy

* Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc

dạy HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược Các ông

đặc biệt quan tâm “đảo ngược suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trongmột lớp học của HS lớp 1 ở một trường tiểu học, với môi trường học tập dựa trênmáy tính [116]

* Tác giả G Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải toán.

Ông quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút

gọn thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán phụ và bài

toán ban đầu là tương đương nhau” [80, tr.66]

Ở trong nước:

* Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tư

điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới Ông xem

đó là một thể hiện của tính linh hoạt của tư duy [56] Các tác giả Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý rèn luyệncho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhaunhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hìnhthành liên tưởng thuận [11], [54]

* Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J Piaget, PhanTrọng Ngọ [72] cho rằng: thao tác thực chất là hành động vật chất bên ngoài đượcchuyển vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngược của thao tác là do hai hànhđộng thực tiễn ngược nhau tạo thành Từ đó, để có thao tác trong đầu, trẻ em phảibắt đầu từ hành động ở bên ngoài và khi tiến hành hành động ở bên ngoài cần triển

khai hành động ngược ngay sau khi có hành động xuôi Đây chính là bí quyết trong

việc hình thành thao tác học cho HS

Vì vậy, trong giáo dục, nói chung cần thực hiện theo nguyên tắc: hai việc

làm (thao tác) ngược nhau phải được tiến hành liền nhau (coi như đồng thời) Chẳng

hạn, thao tác trừ đi liền thao tác cộng; thao tác chia đi liền thao tác nhân; thao tác

“tháo” vần ra thành nguyên âm và phụ âm phải đi liền thao tác “lắp” nguyên âm vào

phụ âm để được lại vần; Cho hàm số y = f(x), thao tác tìm y khi biết x đi liền với thao tác tìm x khi biết y,

* Tác giả Tôn Thân [97] quan tâm đến việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho

HS thông qua việc giải các bài toán thuận nghịch và lập bài toán đảo

Như vậy, nhìn chung đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâmnghiên cứu mối quan hệ có tính thuận nghịch trong tư duy theo những quan niệm,đối tượng cụ thể khác nhau Tuy nhiên, chưa có tác giả hay nhóm tác giả nào nghiên

cứu có hệ thống, đầy đủ về một loại hình tư duy mang tên là tư duy thuận nghịch và

đề xuất các biện pháp sư phạm để khai thác tiềm năng của môn Toán nhằm hiệnthực hóa việc bồi dưỡng loại hình tư duy này cho HS

1.3.2 Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch và xác định các thành tố của năng lực TDTN trong toán học

1.3.2.1 Căn cứ vào mối liên hệ phổ biến

Theo quan điểm triết học Mác-Lênin [28], các sự vật, các hiện tượng và cácquá trình trong thế giới đều tồn tại trong những mối liên hệ, quan hệ, trong sự tácđộng qua lại, chuyển hóa lẫn nhau với sự vật, hiện tượng khác, cũng như giữa các

16

mặt của một sự vật, của một hiện tượng Do đó, khi nhận thức về sự vật, hiện tượng

chúng ta phải có quan điểm toàn diện, xem xét theo nhiều chiều, nhiều phương

diện, theo các góc cạnh khác nhau, tránh quan điểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiệntượng ở một mối liên hệ, hay chỉ một mặt, đã vội vàng kết luận về bản chất hay tínhquy luật của chúng Chẳng hạn, mỗi bài toán cần được xem xét trong mối liên hệvới các bài toán khác như bài toán ngược, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bàitoán tương tự, Đồng thời, ngay trong mỗi bài toán cũng cần xem xét mối quan hệgiữa giả thiết và kết luận của nó

Tất cả các sự vật, hiện tượng trên thế giới đều có tính hai mặt của nó Haimặt của một vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt nàynếu không có mặt kia, sẽ không có cái toàn bộ nếu không có mối liên hệ giữa haimặt đó Chẳng hạn, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhaunhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất

Vì vậy, trong khi xem xét, đánh giá một sự vật, hiện tượng, chúng ta khôngchỉ xem xét theo lối suy nghĩ hoặc thói quen thường làm, mà hãy nhìn nhận vấn đề

theo cả chiều ngược lại Bởi vì, việc xem xét mặt kia của vấn đề sẽ tăng tính bao

quát, toàn diện, đầy đủ, có thể giúp chúng ta linh hoạt trong suy nghĩ, trong cách

giải quyết vấn đề Sự đảo ngược sẽ phá vỡ lối tư duy thông thường của chúng ta,

khắc phục sức ì tâm lý và kích thích lối tư duy mới Theo tác giả Đào Văn Trung,

nghĩ ngược có thể giúp chúng ta mở ra bầu trời mới [104] Việc tư duy theo hai chiều ngược nhau sẽ góp phần khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm của lối tư duy một chiều Chẳng hạn, trong hoạt động chứng minh, nếu chứng minh trực tiếp mệnh

đề gặp khó khăn thì người giải toán phải linh hoạt chuyển hướng suy nghĩ, có thể

nghĩ đến chứng minh gián tiếp bằng cách chứng minh mệnh đề phản đảo hoặc bác

bỏ phủ định của mệnh đề cần chứng minh

1.3.2.2 Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy

Dựa vào một số kết quả nghiên cứu của J Piaget, V A Cruchetxki, EdgarMorin, M N Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim, … về tính thuận nghịch

của tư duy trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc trưng bởi khả năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch và tư duy trong sự vận động là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác Đó là những đặc tính quan trọng của tư duy, có vai trò quan trọng

động có chiều hướng ngược nhau Vì vậy, trong dạy học GV cần quan tâm tập luyện

cho HS các hoạt động tư duy, cách suy nghĩ ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau và

vận dụng linh hoạt mối liên hệ, quan hệ đó nhằm nâng cao hiệu quả dạy học

1.3.2.3 Căn cứ vào nghĩa của các từ và cụm từ “thuận nghịch” trong tiếng Việt Trong Từ điển tiếng Việt, chưa thấy sự giải thích về nghĩa của cụm từ tư duy thuận nghịch Tuy nhiên, sự xuất hiện của mỗi từ hoặc cụm từ ít nhiều đều có cái lí

của nó Trong quan hệ đặt tên cho các đối tượng có ba khái niệm khác nhau thamgia vào đó là: “tên gọi”, “ý nghĩa của tên gọi”, “ý đồ của tên gọi” [22] Người ta nóirằng: tên gọi gợi ra ý nghĩa và phản ánh ý tưởng của việc đặt tên cho đối tượng.Cụm từ “thuận nghịch” gợi cho ta những tính chất, những mối liên hệ xuôi vàngược với mức độ khó, dễ khác nhau, nhưng tương hỗ lẫn nhau

1.3.2.4 Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của HS khi giải toán, đặc biệt là những khó khăn, sai lầm của HS trong quá trình xem xét, đánh giá, diễn đạt, vận dụng, những khái niệm, định lý, lập luận toán học liên quan đến tình huống theo chiều ngược lại

Ví dụ 1.3: Khi dạy về hàm số nghịch biến, đồng biến, có thể cho HS trả lờicâu hỏi: Giả sử là hàm đồng biến trên , có nhận xét gì về mối quan hệgiữa hai số khi biết hai số này thuộc và ?

Một số HS do không nắm vững khái niệm, không nắm vững các quy tắc suyluận nhưng vẫn đi tới kết quả Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu

nhận thức của cậu ta bằng mối quan hệ thuận nghịch với nhau

1.3.2.5 Căn cứ vào đặc điểm môn Toán, đặc trưng của phương pháp toán học, nội dung của môn Toán ở bậc THPT

* Đặc điểm của toán học được phản ánh vào đặc điểm của môn Toán trongnhà trường phổ thông

18

- Môn Toán vừa có tính cụ thể, vừa có tính trừu tượng cao độ (đây là hai mặtđối lập): Đối tượng của môn Toán ban đầu là những số đếm, sau đó là những ẩn số,

là những hàm số Bởi vậy, trong dạy học môn Toán cần chú ý cả hai hoạt động cụ thể hóa và trừu tượng hóa

- Kết quả của Toán học vừa là kết quả của quá trình mò mẫm, dự đoán, vừa

là kết quả của quá trình suy luận lôgic (hai suy luận trái ngược: quy nạp và suy diễn).

Sự thống nhất giữa quy nạp và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học

[56, tr 38] Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn HS học toán, mớikhai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện

* Về mặt phương pháp, môn Toán được đặc trưng bởi sự kết hợp chặt chẽgiữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suydiễn và điều này được thể hiện ở tất cả các bậc học với yêu cầu tăng dần

Xuất phát từ đặc điểm của môn Toán, trong quá trình dạy học toán phải lưu ý:

- Mỗi khái niệm toán học đều xuất phát từ việc khái quát hóa, trừu tượng hóanhiều thực tiễn trong thế giới khách quan (và cả trong toán học), cho nên để đi đếnkhái niệm toán học, cần nêu rõ những thí dụ trong thực tiễn (hoặc trong toán học),đồng thời sau khi đã có khái niệm trừu tượng của toán học rồi, cần vận dụng vàonhiều tình huống cụ thể khác nhau Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện cho

học sinh thường xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhưng liên hệ mật thiết với nhau, đó là trừu tượng hóa và cụ thể hóa.

- Trước lúc đi vào suy diễn để chứng minh một định lý, cần cho HS quan sát, dựđoán, mò mẫm, quy nạp (không hoàn toàn) những tính chất có thể có của thực tế kháchquan, để từ đó hình thành một phán đoán, sử dụng suy diễn để kiểm tra tính đúng đắncủa nó Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện để HS được tiến hành hai kiểu suy

luận ngược nhau nhưng tương hỗ lẫn nhau, đó là quy nạp và suy diễn

* Trong môn Toán có nhiều đối tượng toán học chứa đựng tường minh hay

ẩn tàng mối quan hệ hai chiều Chẳng hạn:

- Tính có thể đảo ngược của định nghĩa là một đặc tính quan trọng của định nghĩa [104, tr.28] Dù được phát biểu ở dạng nào, định nghĩa luôn là một điều kiện cần và đủ Nếu khi dạy định lý ta thường xuyên phải lưu ý để học sinh không nhầm

lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ, thì khi dạy định nghĩa, lại cần làm cho họ hiểurằng, cách phát biểu của định nghĩa có cấu trúc lôgic theo kiểu điều kiện cần và đủ

- Mỗi đẳng thức toán học đều gồm hai vế được liên hệ với nhau bởi dấubằng: A = B Nếu thay A bằng B ta gọi là chiều thuận thì thay B bằng A gọi là chiềunghịch Bởi vậy, trong dạy học môn Toán, GV cần phải lưu ý cho HS sử dụng theo

cả hai chiều Hơn nữa, với mỗi chiều, có thể phải kèm theo một điều kiện nhất định.Chẳng hạn, chỉ có thể thay bằng khi mà

tồn tại và tồn tại Xét thêm ví dụ:

Ví dụ 1.5: Khi tìm giới hạn , có một số HS đã làm như sau:

Lời giải này sai, vì khi thay A bằng phải có điều kiện Ở đây, vì: x

 -  nên x < 0 và lời giải đúng phải như sau:

Trong dạy học môn Toán, các đẳng thức thường được vận dụng theo mộtchiều nhất định, còn chiều ngược lại ít gặp hơn và việc sử dụng nó thường phải

“tinh tường”hơn

Ví dụ 1.6: Ta có công thức nhị thức Niu- tơn:

Với các dạng toán: Viết khai triển một nhị thức cho trước; tìm hệ số củamột số hạng thứ i trong khai triển, chỉ cần vận dụng công thức theo chiều từ tráisang phải (chiều thuận), HS thường làm một cách thuận lợi Tuy nhiên, với bài

toán cần sử dụng công thức theo chiều ngược, chẳng hạn bài toán: “Cho n là số

nguyên dương, tính tổng S = ”, HS sẽ gặp khókhăn hơn HS phải biến đổi:

Như vậy, việc dạy hoàn thành một công thức và ứng dụng nó theo chiềuthuận và chiều ngược lại sẽ làm cho sự hiểu biết của HS về công thức đó sâu sắc

20

hơn, toàn diện hơn, tránh được những khó khăn sai lầm trong khi vận dụng côngthức vào giải toán.

- Khi học định lý toán học, cấu trúc thông thường của định lý có dạng: A B.Trong cấu trúc đó thì A là giả thiết của định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng củađịnh lý Người ta còn nói A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A Tuynhiên, nhiều HS đã nhầm giả thiết A của định lý cũng là điều kiện cần để có B nên

mắc sai lầm Một trong những nguyên nhân của sai lầm trên là học sinh đã chịu ảnh hưởng của ngôn ngữ tự nhiên Bởi vì, trong ngôn ngữ tự nhiên, loại câu nhân quả

“Nếu A thì B”, “Vì A nên B”, có thể được hiểu: A là điều kiện đủ của B và đồng thời là điều kiện cần của B Chẳng hạn, với câu nói rất thường ngày “Nếu con thi đậu vào trường chuyên thì mẹ sẽ thưởng chiếc xe đạp điện”, được hiểu là: nếu đỗ

thì thưởng, nếu không đỗ thì thôi, và nếu được thưởng tức là đỗ Từ việc hiểu saitrên, đã dẫn đến lập luận sai và vận dụng định lý sai Chẳng hạn:

Ví dụ 1.7: HS đã suy luận sai như sau: “Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì

có giới hạn, mà dãy số có giới hạn nên dãy số phải tăng và bị chặn trên”, hoặc “Nếudãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn, nhưng dãy số không tăng và cũng không

bị chặn trên nên dãy số không có giới hạn”

Bất kì định lý nào cũng có mệnh đề đảo Tuy nhiên, không phải mệnh đề đảonào cũng đúng Nói cách khác, không phải định lý nào cũng có định lý đảo Các tácgiả trong [9, tr.35-52], [97, tr.57-58] đã đưa ra một số cách lập mệnh đề đảo thườnggặp trong dạy học toán ở trường phổ thông Việc tập luyện cho HS thiết lập mệnh

đề đảo, cũng như chứng minh mệnh đề đảo dựa vào phương pháp chứng minh mệnh

đề thuận hoặc sử dụng kết quả của mệnh đề thuận là một cách hiệu quả để bồidưỡng cách nghĩ theo hai chiều cho HS

Mối quan hệ của mệnh đề thuận: với các mệnh đề đảo: , mệnh đềphản: và mệnh đề phản đảo: là những nội dung rất phong phú để GVkhai thác Chẳng hạn, dựa vào quan hệ tương đương lôgic: , chúng ta

có phương pháp chứng minh phản chứng thường được dùng trong chứng minh, đặc

biệt có hiệu quả khi việc chứng minh trực tiếp là khó khăn Chứng minh bằng phản chứng là một cách nghĩ theo kiểu thuận nghịch: “Nếu ngược lại thì sao?”.

- Trong môn Toán, HS thường xuyên sử dụng các phép toán lôgic, điều kiệncần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ của một mệnh đề Phép toán kéo theo của lôgic

luận của lời giải Sự thiếu hiểu biết về lôgic, mà trước hết là phép toán kéo theo lại

là “nguyên nhân của nguyên nhân” [67, tr.81] Thực tiễn dạy học cho thấy, nhiều

HS không hiểu đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ và thậm chí thế nào là điều kiệncần, thế nào là điều kiện đủ Từ đó, dẫn đến việc HS sử dụng các từ “nếu”, “thì”,

“vì”, “do đó”, “từ”, “dẫn đến”, “suy ra”, chưa được đúng Hiện tượng trong bàigiải của HS tràn ngập ký hiệu một cách tùy tiện Nhiều trường hợp HS viết A

B nhưng A không phải là điều kiện đủ để có B Thậm chí khi tìm điều kiện cần

và đủ, HS vẫn diễn đạt một từ “để” thật phi lôgic, chẳng hạn: “Để hai mặt phẳngvuông góc với nhau khi và chỉ khi ”, mà đáng lẽ phải bỏ từ này Bên cạnh đó, còn

có một số HS “sáng kiến” cho việc không dùng các phép kéo theo hoặc tươngđương khi biến đổi các mệnh đề là HS cứ viết xong mỗi mệnh đề lại xuống dòng màgiữa hai dòng không hề có ký hiệu lôgic nào cả Điều đó chứng tỏ HS này hoặckhông hề có “ý niệm” về ý nghĩa của các phép toán lôgic trong lập luận, hoặc khôngnắm vững nên sợ sai, dẫn đến đã “lờ đi” không viết Bên cạnh đó, khi giải xong mộtbài toán, ít em có suy nghĩ cần phải kiểm tra lại kết quả, các bước lập luận Chính vìvậy, việc GV thường xuyên nhắc nhở HS xem xét lại các bước lập luận của mình,việc sử dụng các phép toán lôgic, kiểm tra kết quả đã đạt được, ngoài mục đích để

HS có lời giải đúng, còn rèn luyện tư duy phê phán cho các em.

- Các dạng bài toán như phương trình, hệ phương trình tương đương; tínhtoán các biểu thức số; phép biến hình; hàm số; thống kê; tổ hợp; đạo hàm – nguyênhàm, là những chất liệu đầy tiềm năng để GV khai thác trong quá trình dạy họcnhằm bồi dưỡng kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhaucho HS

Ví dụ 1.8: Tìm để phương trình (1) có hai nghiệmphân biệt

Một số HS thường giải như sau:

Phương trình (1) không nhận làm nghiệm nên:

(1) Đặt ẩn phụ thì phương trình trở thành (2)

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệmphân biệt, suy ra

22

Cái được của HS ở đây chính là các em đã phát hiện có sự tương ứng giữa ẩn

ban đầu và ẩn mới , và lợi dụng sự tương ứng đó để đưa bài toán từ chỗ xa lạ,phức tạp về dạng quen thuộc đã có thuật giải Tuy nhiên, kết quả của bài toán là sai

Sai lầm ở đây là HS đã không ý thức được sự tương ứng giữa số lượng (ẩn ban đầu) và số lượng t (ẩn sau) Có lẽ HS đã nghĩ rằng: từ một giá trị của thì cho một giá

trị tương ứng của và ngược lại Thực chất trong trường hợp này điều ngược lại khôngđúng, bởi vì (3) Phương trình (3) có nên

luôn có hai nghiệm phân biệt Từ đó, với mỗi giá trị của t sẽ có hai giá trị của Do đó,

phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm , suy

ra

- Trong quá trình tìm phương pháp giải bài toán, nhiều khi việc xem xét bài toántrong mối liên hệ hai chiều với các bài toán khác có liên quan như bài toán tổng quát,bài toán đặc biệt, bài toán tương tự, hoặc việc vận dụng các hoạt động có chiềuhướng ngược nhau như phân tích – tổng hợp, KQH – ĐBH, quy nạp – suy diễn, cũng như cách suy nghĩ khác biệt có thể đưa đến những cách giải quyết độc đáo, hiệuquả

1.3.2.6 Căn cứ vào mối quan hệ, sự giao thoa giữa các loại hình tư duy

Trong bản thân Toán học cũng có khá nhiều quan điểm phân chia các loạihình tư duy, mỗi quan điểm đều có cách tiếp cận riêng và cũng không thể khẳngđịnh quan điểm nào là hoàn toàn hợp lý, quan điểm nào là chưa Các loại hình tưduy đều diễn ra trong trí óc của HS và việc nghiên cứu chúng đều hướng đến mụcđích cuối cùng là làm cho HS tiếp thu, vận dụng và giải quyết tốt các nội dung toánhọc Vì vậy, giữa các loại hình tư duy không thể có sự độc lập tuyệt đối mà luôn có

sự giao thoa, tương hỗ lẫn nhau

1.3.3 Quan niệm về tư duy thuận nghịch

Từ việc phân tích các căn cứ ở trên, chúng tôi quan niệm: Tư duy thuận nghịch

là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau giúp con người nhận thức và giải quyết vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ hơn.

Đây không phải là một định nghĩa theo cấu trúc lôgic mà chỉ là một cách phátbiểu giúp ta hình dung về khái niệm này Cách phát biểu trên chứa đựng một số thuậtngữ chưa được chính xác hóa, chẳng hạn: hai chiều ngược nhau Không phải lúc nào

theo chiều này được thể hiện rõ ràng, còn chiều kia ở dạng ẩn tàng Chẳng hạn, khithực hiện thao tác tổng hợp thì đã ẩn chứa trong đó thao tác phân tích.

Chúng ta xét bài toán sau: “Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC nhọn và cóbán kính đường tròn ngoại tiếp thì (*)”

Nhận xét: Từ giả thiết bài toán, ta suy ra , do đó

(1) Tuy nhiên, nếu tiếp tục biến đổi thì từ dữ kiện liên quan đến trong tam giác, cần thiết lập mối liên hệ với các cạnh để gần gũivới (*), có thể liên tưởng đến định lý côsin trong tam giác Khi đó (1) trở thành:

(vì (*) chứa yếu tố các cạnh của tam giác và giả thiết cho bán kính đường

tròn ngoại tiếp R = 1, (1) chứa yếu tố liên quan đến góc, nên liên tưởng đến định lý

sin trong tam giác)

24

trường hợp đều có bước ngoặt “hẳn lại” của tư duy từ chuyển động theo hướng nàyđến chuyển động theo hướng khác ngược lại, và chính bước ngoặt đó gây nênnhững thuận lợi, những khó khăn nhất định đối với nhiều học sinh trong nhận thứcvẫn còn giữ khuynh hướng tiến tới đích, mà lại phải thực hiện ngay sau đó mộtbước ngoặt đột ngột là chuyển từ đích quay lại Vì vậy, có thể coi việc suy nghĩ theokiểu TDTN là một biểu hiện của sự linh hoạt của tư duy

Trong luận án, chúng tôi đã dùng kí hiệu (A B) để mô tả cho hai tiến trìnhngược nhau, nhưng ở đây chúng ta không nên hiểu một cách cứng nhắc như là mệnh

đề thuận với mệnh đề đảo Bởi vì, chẳng hạn trong trường hợp khi

mệnh đề P là hội hoặc tuyển của nhiều mệnh đề thì chúng ta còn có các hình thức

khác để lập mệnh đề đảo (đảo bộ phận) của một mệnh đề cho trước

1.3.4 Các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học

Từ việc nghiên cứu một số quan điểm về thành phần của tư duy toán học,năng lực toán học và dựa trên việc phân tích các căn cứ và cách quan niệm vềTDTN nói trên, chúng tôi cho rằng năng lực TDTN trong toán học được thể hiện quacác thành tố cơ bản sau:

1.3.4.1 Thành tố 1: Khả năng xác lập và sử dụng mối liên hệ hai chiều giữa

các đối tượng trong một quan hệ có tính chất đối xứng (A có quan hệ R với B và B cóquan hệ R với A)

Trong môn Toán ở trường phổ thông có một số quan hệ có tính chất đối xứngnhư sau: quan hệ bằng nhau giữa các số hay giữa các biểu thức; quan hệ tươngđương giữa các phương trình hay giữa các hệ phương trình; quan hệ bằng nhau hoặcquan hệ đồng dạng giữa các hình;

Thành tố này biểu hiện ở các khía cạnh sau:

- Khi quan hệ được xét là quan hệ bằng nhau giữa các số hay các biểu thứcthì thành tố này có các biểu hiện cụ thể sau: khả năng sử dụng các công thức theohai chiều; khả năng thiết lập đẳng thức thể hiện việc phân tích một số (hay biểuthức) thành tổng của hai hay nhiều số (hay biểu thức) và ngược lại, phân tích một số(hay biểu thức) thành tích hai số (hay biểu thức), tính toán một đại lượng theo haicách khác nhau và đồng nhất kết quả, phương pháp hệ số bất định,

- Khi quan hệ được xét đến là quan hệ tương đương giữa các phương trình,

hệ phương trình thì thành tố này có các dạng biểu hiện cụ thể như sau: khả năng

tương đương, đặc biệt là biến đổi lượng giác; nếu là quan hệ tương đương giữa cácmệnh đề thì đó là khả năng chứng minh hai mệnh đề tương đương.

- Khả năng xem xét, sử dụng mối liên hệ giữa các hình trong một số phépbiến hình như đối xứng trục, đối xứng tâm, vị tự, đồng dạng, tịnh tiến,

Để bồi dưỡng thành tố này có thể thông qua dạy học các nội dung hàm số;phương trình, hệ phương trình tương đương; tính toán các biểu thức số; phép biếnhình; các định lý, bài toán được phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ; vận dụngcác định nghĩa tương đương của một khái niệm;

Ví dụ 1.9: Sau khi học công thức , việc biếtvận dụng công thức theo chiều thuận “từ trái sang phải” để tính

= = , đồng thời tính được

thể hiện khả năng nhận thấy

và vận dụng được chiều “từ phải sang trái” của công thức

Ví dụ 1.10: Chứng minh rằng:

Nếu HS giải bài toán này bằng cách sử dụng công thức tổ hợp để chứngminh một đẳng thức theo con đường truyền thống là không thể làm được Xu hướngtổng quát là nhìn cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh dưới góc độ là hai cáchthể hiện của cùng một đối tượng (trong bài này là sử dụng phương pháp đồng nhất

hệ số) Ở đây có thể nhìn là hệ số của lũy thừa trong khai triển nhị thức tơn , còn với thì chỉ số dưới gắn với lũy thừa bậc n, cho nên

Niu-chúng ta lại nhìn nó là các hệ số trong khai triển Đây là cách làm ngược vớicách thường làm là tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển của một nhị thứcNiu-tơn Với cách phân tích ở trên và kết hợp với nhận xét ,

, bằng việc phân tích , HS sẽ giải đượcbài toán trên

1.3.4.2 Thành tố 2: Khả năng đặt và khảo sát vấn đề ngược khi xem xét một

vấn đề cho trước

Thành tố này có các biểu hiện cụ thể sau:

- Khả năng xét sự tồn tại phép biến đổi biến đối tượng thứ hai thành đốitượng thứ nhất khi cho trước một phép biến đổi biến một đối tượng cho trước thànhđối tượng khác cho trước;

26

- Giải bài toán chứng minh một kết luận đã cho và xét phát biểu ngược lại cóđúng không kèm theo các lập luận chứng minh hay bác bỏ;

Thường gặp nhất là các tình huống liên quan đến các phép biến hình; thiếtlập và xem xét sự tương ứng của một khái niệm với các thuộc tính của nó; thiết lập

và xem xét các dạng mệnh đề đảo, mệnh đề phản của một kết luận toán học chodưới dạng mệnh đề có điều kiện; đề xuất bài toán mới từ bài toán đã giải bằng cáchxét bài toán đảo, bài toán phủ nhận (hay loại bỏ) một phần giả thiết;

Ví dụ 1.11: Với bài toán ban đầu: “Cho đường tròn (C): vàđường thẳng d: Gọi A, B là các giao điểm của (C) và d Hãy tính độ dài đoạnthẳng AB”

Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách, có thể tìm tọa độ các giao điểm A,

B của đường thẳng d với đường tròn (C), hoặc sử dụng mối quan hệ của bán kính R,d(I, d) – khoảng cách từ I đến đường thẳng d,

trong đó I là tâm đường tròn (C) và AH trong

tam giác vuông IAH, với H là trung điểm của

AB, và tính được độ dài AB =

Phân tích giả thiết, ta nhận được thông

tin: Cho (C) nghĩa là cho 2 yếu tố: tâm I và bán

kính R; cho d nghĩa là thường cho 1 điểm và

vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương Kết

luận của bài toán là tính độ dài AB Bằng việc đặt vấn đề đổi vai trò kết luận của bài

toán với một yếu tố trong giả thiết, xây dựng được một số bài toán đảo như sau:

Bài 1: Cho đường tròn (C): và đường thẳng d:

Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =

Bài 2: Cho đường tròn (C): và điểm M(3; 3) Viết phươngtrình đường thẳng d đi qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =

Bài 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và cắt đường thẳngd: tại hai điểm A, B sao cho AB =

Để xác định tâm I cần hai dữ kiện Từ đó, ta có bài toán:

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 3, tâm I thuộcđường thẳng : và cắt đường thẳng d: tại hai điểm A, B saocho AB =

(C)

IHA

R

Hình 1.1

Các bài toán đảo này sẽ được giải một cách thuận lợi nếu biết khai thác cáchgiải của bài toán ban đầu bằng việc sử dụng mối quan hệ của bán kính R, d(I, d),trong đó I là tâm đường tròn (C) và AH = AB trong tam giác vuông IAH

1.3.4.3 Thành tố 3: Khả năng thực hiện các thao tác hay các hoạt động tạo

thành cặp có xu hướng ngược nhau

Trong quá trình học tập môn Toán, trong tư duy của HS thường xuyên diễn racác thao tác, các hoạt động có chiều hướng ngược nhau Chẳng hạn, các cặp thao tác

tư duy: phân tích – tổng hợp, khái quát hóa – đặc biệt hóa, trừu tượng hóa – cụ thểhóa, ; các hoạt động tư duy phức hợp: Quy nạp – suy diễn, chứng minh trực tiếp –chứng minh gián tiếp, ; các con đường xây dựng hệ thống khái niệm: tích hợp –phân lập; các hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức; các hoạt động vẽ đồ thị vàđọc đồ thị; lập biểu bảng biểu thị số liệu thống kê và đọc thông tin thống kê từ biểubảng; xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình và xác định phép biến hìnhkhi biết ảnh và tạo ảnh; giải bài toán có nội dung thực tiễn và xây dựng các bài toángần với thực tiễn dựa trên kiến thức toán; chứng minh phần thuận và phần đảo trongcác bài toán quỹ tích (tìm tập hợp điểm); đọc thông tin và lập phương trình cácđường, các hình đơn giản trong Hình học giải tích; chứng minh điều kiện cần, chứngminh điều kiện đủ trong các bài toán có dạng chứng minh cần và đủ, Điều quantrọng là nếu các em nhận thức và khai thác được mối quan hệ nói trên thì sẽ tạo ranhững thuận lợi trong nhận thức và giải quyết vấn đề khi học tập môn Toán

Ví dụ 1.12: Xét hai tình huống sau:

Tình huống 1: Sau khi giải bài toán: “Tổng các khoảng cách từ một điểm bất

kì trong một hình vuông cho trước đến các cạnh của hình vuông đó là một số khôngthay đổi”, việc đưa ra một hay một số mệnh đề sau: Tổng các khoảng cách từ mộtđiểm bất kì trong một hình chữ nhật cho trước đến các cạnh của hình chữ nhật đó làmột số không thay đổi; Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một hìnhbình hành cho trước đến các cạnh của hình bình hành đó là một số không thay đổi,

là hoạt động KQH (KQH kết quả của một bài toán đã biết)

Tình huống 2: Khi gặp bài toán chứng minh “Tổng các khoảng cách từ một

điểm bất kì trong một hình bình hành cho trước đến các cạnh của hình bình hành đó

là một số không thay đổi” (kết luận có tính khái quát), việc đưa ra kết luận cho mộthình bình hành ABCD cụ thể hay đưa ra kết luận cho hình chữ nhật hay cho hình

28

vuông là hoạt động ĐBH (áp dụng kết luận mang tính khái quát cho những trườnghợp cụ thể)

Hai hoạt động trong tình huống 1 và 2 có tính ngược nhau Thông qua khảnăng thực hiện hai hoạt động này có thể đánh giá được mức độ TDTN của HS

và từ đó xem bài toán đã cho là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát: “Giải phương trình: ( là tham số)”, đã dẫn HS đếnsuy nghĩ tìm phương pháp giải bài toán tổng quát, khi đó giải bài toán đã cho chỉ là

cụ thể hóa cách làm của bài toán tổng quát mà thôi Như vậy, HS đã giải được bài

toán trên bằng việc thực hiện hoạt động KQH và ĐBH

1.3.4.4 Thành tố 4: Khả năng nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải quyết

vấn đề

Nhìn nhận lại quá trình là xem xét về những việc đã làm, lý do bạn làm việc

đó và ảnh hưởng của việc làm đó [10] Nhìn nhận lại chính là tự phản biện, tự bản

thân xem xét, đánh giá lại quá trình nhận thức và giải quyết vấn đề mà mình đã thựchiện, mặc dù trước đó mình đã có niềm tin về các kết quả thu nhận được cũng nhưcác phương pháp đã sử dụng

Thành tố này được biểu hiện ở khả năng biết tự đặt và trả lời một số câu hỏi,chẳng hạn như: kết quả nhận được đúng hay không đúng; đã xem xét đầy đủ haychưa đầy đủ các trường hợp; cách giải quyết vấn đề tối ưu hay chưa tối ưu, có thểgiải quyết vấn đề theo cách nào nữa không; việc lật ngược, mở rộng hay thu hẹp vấn

đề thì sao;

Thực hiện Bước 4 (Nghiên cứu sâu lời giải) trong bản gợi ý về phương phápchung để giải bài toán của Polya [56], [80] là một biểu hiện cụ thể của thành tố nàytrong trường hợp vấn đề cần giải quyết là bài toán

Việc nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải quyết vấn đề sẽ giúp HS nhận ra

kín kẽ chưa, có bỏ sót trường hợp không, có tối ưu không, Đồng thời qua đó HSthấy được những điểm mạnh, điểm yếu, năng lực, trình độ kiến thức, kỹ năng của bảnthân để có được sự điều chỉnh và định hướng cho phù hợp Như vậy, việc nhìn nhậnlại quá trình sẽ giúp HS có kiến thức vững vàng hơn, sâu sắc và mở rộng hơn, đồngthời góp phần phát triển TDPP, khả năng tự điều chỉnh và tự định hướng cho HS.

Để mô tả cho thành tố này, có thể xem xét ví dụ sau đây:

Vậy phương trình có nghiệm

Kết quả đúng của bài toán này là Vậy nguyên nhân sai lầm của

HS là ở đâu? Tại sao thiếu nghiệm, thừa nghiệm?

Nếu HS có khả năng nhìn nhận lại, đánh giá quá trình giải bài toán, thì các

em phải vận dụng các kiến thức về hàm mũ, phương pháp khử căn thức đã biết đểkiểm tra các phép biến đổi, từ đó lập được mối liên hệ giữa các phương trình trongquá trình biến đổi như sau: (1) (2) (3) (4) (5) Vì vậy, nếu thay phươngtrình (1) bởi phương trình (5) thì có khả năng vừa thừa nghiệm lại thiếu nghiệm Từ

đó, HS biết cần thử các nghiệm của (5) vào (1) để loại bỏ những giá trị khôngnghiệm đúng (1) nếu có Thử lại các giá trị 3 và 4 ta thấy 3 là nghiệm của (1), còn 4không nghiệm đúng phương trình Mặt khác, HS phải xét khi biếnđổi từ (1) sang (2) Do đó, phải thử các giá trị của làm cho hay Thử lại giá trị này thỏa mãn phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là và

1.3.4.5 Thành tố 5: Khả năng xem xét mỗi tri thức theo các vai trò khác

nhau: tri thức vừa là kết quả của hoạt động, vừa là phương tiện để tiến hành nhữnghoạt động khác

Thành tố này được biểu hiện ở khả năng biết vận dụng tri thức vào việc thựchiện các hoạt động trong những tình huống thích hợp

30

Ví dụ 1.15: Khi dạy Phép quay trong mặt phẳng, xét hai tình huống:

Tình huống 1: Chứng minh phép quay trong mặt phẳng Q(O, là một phép dờihình Từ đó, hãy nêu tính chất của phép quay

Tình huống 2: Xác định ảnh của một hình (đường thẳng, đoạn thẳng, tia, góc,

tam giác, đường tròn, ) qua một phép quay Chẳng hạn, xác định ảnh của đườngthẳng a qua phép quay Q(O,

Ở tình huống 1, cần thực hiện hoạt động chứng minh Q(O, là một phép dờihình Từ đó, bằng hoạt động ĐBH suy ra Q(O, có mọi tính chất của một phép dờihình (vì Q(O, là một trường hợp riêng của phép dời hình) Đây là tri thức thu nhậnđược sau việc thực hiện các hoạt động trên

Ở tình huống 2, tri thức về tính chất của Q(O, trở thành phương tiện để thựchiện hoạt động xác định ảnh của một hình qua phép quay Cụ thể, nhờ tính chất củaphép dời hình: tính bất biến của đường thẳng và của góc giữa hai đường thẳng, đểxác định ảnh của đường thẳng a qua phép quay Q(O, chỉ cần xác định ảnh H’ củađiểm H – hình chiếu của tâm quay O trên a Khi đó, đường thẳng a’ qua H’ và vuônggóc với OH’ là ảnh của a

Hơn thế nữa, thông qua hoạt động dựng đường thẳng a’ là ảnh của đườngthẳng a qua một phép quay Q(O, theo cách như trên, HS có được tri thức góc giữa đường thẳng a và a ’ bằng góc quay Đây là một tính chất chỉ có ở phép quay

trong các phép dời hình HS được học ở phổ thông Từ tính chất này, giúp HS biếtlựa chọn phép quay vào giải những bài toán có dấu hiệu của hai hình bằng nhau màtrong giả thiết hoặc kết luận có liên quan đến yếu tố góc Chẳng hạn, xét bài toánsau: “Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổitrên đường tròn đó Điểm M chuyển động trên tia CA sao cho CM = AB Tìm tậphợp các điểm M”

Giả thiết bài toán liên quan đến hai

hình bằng nhau (CM = AB), từ đó có thể nghĩ

đến sử dụng phép dời hình để giải bài toán

Tuy nhiên, HS sẽ gặp khó khăn vì không biết

chọn phép dời hình cụ thể nào đã được học

trong chương trình để giải bài toán

OI

C B

A

M α

Dựa vào dấu hiệu A, M thay đổi nhưng (AB, MC) =  không đổi (do B, C cốđịnh), gợi cho HS nghĩ đến sử dụng quay góc  để giải bài toán Từ đó, HS đi tìmphép quay góc α biến B thành C, A thành M Đó là phép quay tâm I, góc quay  (I

là giao của đường trung trực đoạn BC với đường tròn (O;R) biến A thành M, suy ra

M  (O’; R) là ảnh của (O; R) qua Q(I,)

Ví dụ 1.16: Sau khi HS học về hàm số bậc hai và định lý về dấu của tam thứcbậc hai, yêu cầu HS giải bài toán: “Cho thỏa mãn

Nếu HS xem là một tam thức bậc hai có hệ số của là 1 lớn hơn 0,thì để chứng minh , , cần chứng minh Vì

nên Từ đó cần chứng minh Đến đây đường lối giải đã rõ ràng

Nếu HS dựa vào tri thức về tính chất của hàm số bậc hai với hệ số dương, đó

là: hoành độ của đỉnh parabol cũng chính là điểm cực tiểu và tại đó hàm số đạtgiá trị nhỏ nhất, hay Từ đó, để chứng minh

cần chứng minh Đến đây GV gợi ý để HS đi đến lời giải như sau:

Ta có

Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm nên

Như vậy, bằng cách dựa theo các tri thức khác nhau về tam thức bậc hai, HS

có những cách giải khác nhau về bài toán

1.3.4.6 Thành tố 6: Khả năng khảo sát phương hướng tiếp cận vấn đề, định

hướng và thực hiện cách giải quyết vấn đề, đặc biệt là những cách tiếp cận và giảiquyết vấn đề có tính khác biệt, độc đáo, mang lại hiệu quả cao hay kết quả bất ngờ(khác với cách tiếp cận thường được số đông sử dụng)

Liên quan đến thành tố này có thể kể đến khả năng vận dụng tri thức về các cặpphạm trù trong triết học, các thuộc tính tâm lý cá nhân như tính nhạy cảm vấn đề, khảnăng tư duy phân kỳ, sự nhuần nhuyễn trong việc hiểu và vận dụng các tri thức,

Thành tố này có các biểu hiện sau:

- Biết thay đổi vai trò của đối tượng nhận thức nhằm hỗ trợ cho cách thứcgiải quyết vấn đề

Ví dụ 1.17: Giải phương trình: (m là tham số)

Để giải phương trình này, nếu theo cách nghĩ thông thường (tính theo m)

thì gặp khó khăn vì đây là phương trình bậc 4 ẩn không có dạng đặc biệt, cũng

32

không nhẩm được nghiệm Như vậy, chính việc “bó buộc” vai trò của đối tượngnhận thức như vốn nó phải có, phải tìm đã tạo thành sự khó khăn, đôi khi không thểvượt qua để giải bài toán Quan sát phương trình nhận thấy bậc của khá lớn mà

bậc của m chỉ là 2, nếu linh hoạt đổi vai trò của đối tượng nhận thức, tạm xem phương trình đã cho như là phương trình bậc 2 đối với ẩn m đã có cách giải, x là tham

số Từ đó, ta tính được , hoặc Đây là những phương trình bậc hai

ẩn chứa tham số m mà HS đã có phương pháp giải Tuy nhiên, việc làm này có

thể làm cho HS khó chấp nhận, HS vẫn phân vân với kiểu trao đổi vai trò của ẩn vàtham số cho nhau, nhưng GV cũng cần quan tâm để rèn luyện tính linh hoạt, tínhsáng tạo cho HS

- Có khả năng làm xuất hiện và ứng dụng mối liên tưởng ngược hỗ trợ giảiquyết vấn đề

Theo tác giả Đào Tam [92], đối tượng trong hoạt động nhận thức lúc đầu tồntại độc lập với chủ thể HS, HS cần dùng các hành động trí tuệ, các thao tác tư duydựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có để thâm nhập vào đối tượng nghiên cứu,thông qua phân tích mối quan hệ, liên hệ chứa trong đối tượng và kể cả hình thứccủa đối tượng, để từ đó thuận lợi cho liên tưởng, huy động kiến thức cho việc giảibài toán

Ví dụ 1.18: Khi cho một tam thức bậc hai gần như trong suy nghĩ của HS làtính biệt thức ∆, rồi từ đó căn cứ vào ∆ mà giải quyết các yêu cầu của bài toán Ngược

lại, trong quá trình giải một bài toán, việc xuất hiện biểu thức có dạng A 2 – 4BC hoặc A 2 – BC gợi cho sự liên tưởng đến tam thức bậc hai nhận các biểu thức đó

làm biệt thức Delta ∆ Chính việc liên tưởng ngược đó có thể giúp giải được bàitoán Chẳng hạn, với bài toán sau:

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Việc khai triển hai vế của bất đẳng thức thật cồng kềnh và không dễ dàng đểthực hiện

Đối với bài toán này, nếu biết xem như là ,

như là , như là , thì bất đẳng thức cần chứng minh tươngđương với hay Khi đó nhìn vào biểu thức A 2 – BC gợi cho

HS liên tưởng đến một cái rất quen thuộc ở phần tam thức bậc hai, đó là biệt