Luận văn tốt nghiệp phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

Trong một số ít trờng hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm đợc nhờ vào nghiệm tờng minh của bài toán dới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm.. Do nhu cầu của thự

Mục lục

Lời nói đầu ……… 3

Chơng 1 Khái niệm mở đầu về phơng pháp sai phân ……… 5

1.1 Mở đầu ……… 5

1.2 Khái niệm về bài toán biên ……… ……… 5

1.3 Bài toán vi phân ……… 5

1.4 Lới sai phân ……… 6

1.5 Hàm lới ……… ………… 6

1.6 Đạo hàm lới ……… 6

1.7 Qui ớc viết vô cùng bé ……… 7

1.8 Công thức Taylor ……… 7

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lới ……… 8

1.10 Phơng pháp sai phân ……… 9

1.11 Giải bài toán sai phân bằng phơng pháp truy đuổi … 9 1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải ……… 10

1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái ……… 11

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân ……… 12

1.13 Sự xấp xỉ ……… 12

1.14 Sự hội tụ ……… 13

1.15 Trờng hợp điều kiện biên loại ba ……… 14

Chơng 2 Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn …… 18

2.1 Bài toán vi phân ……… 18

2.2 Lới sai phân ……… 19

2.3 Hàm lới ……… 19

2.4 Đạo hàm lới ……… 19

2.5 Phơng pháp sai phân ……… 20

2.6 Cách giải bài toán sai phân ……… 27

2.6.1 Phơng pháp lặp Seidel co dãn ……… 27

2.6.2 Phơng pháp truy đuổi ……… 28

2.6.2.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải ……… 28

2.6.2.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái ……… 31

2.6.2.3 Sự ổn định ……… 34

2.7 Sự xấp xỉ ……… 37

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân ……… 37

2.9 Bài toán sai phân đối với sai số ……… 49

2.10 Sự hội tụ và sai số ……… 50

Phụ lục ……… … 58

Tài liệu tham khảo ……… 84

Lời nói đầu

Trong lĩnh vực toán ứng dụng thờng gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới phơng trình vi phân thờng Việc nghiên cứu phơng trình vi phân thờng vì vậy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học Nhiều hiện tợng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phơng trình vật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn Trong một số ít trờng hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm đợc nhờ vào nghiệm tờng minh của bài toán dới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trờng hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tờng minh của bài toán không có hoặc có nhng rất phức tạp Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phơng pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng.

Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phơng pháp để giải gần đúng các phơng trình vi phân thờng (các phơng pháp giải tích nh phơng pháp chuỗi Taylo, phơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phơng pháp số nh phơng pháp một bớc, phơng pháp Ađam, phơng pháp Runghe-Kuta, … ).

Đề tài: " Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân tuyến tính"

Trong phạm vi đồ án của mình, em xin trình bày một phơng pháp gần

đúng để giải phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát là phơng pháp sai phân.

Đây là một trong hai lớp phơng pháp gần đúng quan trọng đợc nghiên cứu nhiều là phơng pháp sai phân và phơng pháp phần tử hữu hạn Cả hai phơng pháp đều tìm cách đa bài toán đã cho về một bài toán đại số, thờng là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính Trong phơng pháp này miền trong đó ta tìm nghiệm của phơng trình thờng đợc phủ bằng một lới gồm một số hữu hạn

điểm (nút), còn các đạo hàm trong phơng trình đợc thay bằng các sai phân

t-ơng ứng của các giá trị của hàm tại các nút lới.

Em xin cám ơn thầy Lê Trọng Vinh đã tận tình hớng dẫn em trong thời gian làm đồ án vừa qua.

Hµ néi 

Sinh viªn thùc hiÖn

NguyÔn §øc Dòng

Chơng 1

Khái niệm mở đầu

về phơng pháp sai phân

Trong chơng này để trình bày những khái niệm cơ bản của phơng pháp sai phân ta

sẽ xét bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai

1.2 Khái niệm về bài toán biên

Bài toán biên có phơng trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và điều kiện bổ sung đợc cho tại nhiều hơn một điểm

Chẳng hạn bài toán biên đối với phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

;)(

)()()()()(

b y a

y

b x a x

f x y x q x y x p

Bài toán trên đợc gọi là bài toán biên loại một

Nếu điều kiện biên y(a); y(b) đợc thay thế bởi điều kiện biên:

khác nhau (chẳng hạn tại x  a ta có điều kiện biên loại 1 còn tại x  b ta có điều

kiện biên loại hai hoặc ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp

Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phơng pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một

Giả sử bài toán (1.1)−(1.2 ) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [ a ,b] .

1.4 Lới sai phân

Ta chia đoạn [ a ,b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

h= ( b−a ) / N bởi các điểm xi= a+ih , i=0,1, ,N Mỗi điểm xi gọi là một

nút lới, h gọi là bớc lới.

 Tập Ωh={x i , 1≤i≤N −1} gọi là tập các nút trong.

Đó là những hàm số xác định tại các nút của lới ¯Ωh

Giá trị của hàm lới v tại nút xi viết là vi .

Một hàm số y( x) xác định tại mọi x∈ [ a,b ] sẽ tạo ra hàm lới y có giá trị tại

Do đó có đạo hàm lới cấp hai v¯x x :

Giả sử đại lợng ρ(h ) là một vô cùng bé khi h→0 Nếu tồn tại số α>0 và

hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lới

Giả sử hàm y( x ) đủ trơn Theo công thức Taylor (1.4) ta có:

)+ 1

2! ( h 2 )2 y' '( xi+1

2)+ Ο(h3)

)+Ο(h3

)

Do đó

(1.1)−(1.2) bëi bµi to¸n sai ph©n:

ViÕt cô thÓ bµi to¸n (1 9 )−(1.10 ) ta cã:

a i v i−1−(a i+a i+1+h2q i)v i+a i+1 v i+1=−h2f i , i=1,2, , N −1(1 11)

1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải

Ta tìm nghiệm của hệ (1 13)−(1 14 ) ở dạng:

y i=α i + 1 y i+ 1+ β i + 1(1 17 )Khi đã biết các αi và βi thì (1.17 ) cho phép tính các yi lùi từ phải sang

trái Vì lẽ đó phơng pháp mang tên phơng pháp truy đuổi từ phải

Để tính các αi,βi ta viết (1.17 ) trong đó thay i bởi i−1 :

Điều kiện này đợc thỏa mãn nhờ giả thiết (1 15)−(1 16 ) Vì ta có:

Theo giả thiết (1 16 ) , ta có 0≤m1≤1 nên 0≤α1≤1 Do đó:

C1−A1α1≥A1+B1−A1α1=B1+(1−α1)A1≥B1>0

⇒0<α2=B1

C1−A1α1≤1

Một cách tơng tự, giả sử 0< αi≤1, i=2, , k Ta chứng minh đúng với

i=k +1 Điều này rõ ràng vì

Đối chiếu với (1.17 ) , ta suy ra:

Sau đó từ (1.20) cho phép tính tất cả các αi,βi .

Bây giờ công thức (1 17 ) tại i=N−1 viết:

y i=α i+1 y i+1+β i+1 , i=N−1 , N−2, , 2,1,0

1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái

Ta tìm nghiệm ở dạng:

yi+1= ξi+1yi+ ηi+1

Ta có thuật toán sau:

ξN= m2, ηN= n2

y i+1=ξ i+1 y i+η i+1 ,i=0,1,2, , N−1

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân

Trớc hết để đo độ lớn của hàm lới v =( v0,v1, ,v N)∈R N +1 và hàm lới

f =( f1,f2, , f N −1)∈R N −1 , ta sử dụng các chuẩn:

0≤i≤ N {|v i|} , ‖f ‖∞= max

1≤i≤ N −1{|f i|}(1 24 )

Định nghĩa Nói bài toán sai phân (1 9 )−(1.10 ) là bài toán ổn định nếu nó có

nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thỏa mãn:

ý nghĩa của bài toán ổn định là:

Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào

vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít

Bất đẳng thức (1 25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của

Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp Ο(h2) .

Hơn nữa, vì v0− y0= α−α=0 và vN− yN= β−β=0 nên ta cũng nói: bài toán

sai phân (1 9 )−(1 10 ) xấp xỉ bài toán vi phân (1.1)−(1.2 )

1.14 Sự hội tụ

Định nghĩa Gọi y( x) là nghiệm của bài toán vi phân (1 1)−(1 2 ) và

vi là nghiệm của bài toán sai phân (1 9 )−(1 10 )

Nói phơng pháp sai phân (1 9 )−(1 10 ) hội tụ nếu:

‖ v−y‖∞→0 khi h→0

tức là:

 

 ( ) ( ) ( )2

)()(

)27.1()

()()()()(2)()(

)()(2)()()(2)(

)()(2)(2

)()(2)()()(

2

2

2 2

1 1

2 1

2 1

h a

y a p

h a y a p

h a

y a p a y a p

h a y a p

h a

y

h a y h a

p

h a p y

a

h a

p

h a p

h a p

a

h a

y

h a y h

a y h a y y

x x

Nh vậy, ta thấy nếu thay p(a) y '(a)≈a1y ¯x 1 thì sai số địa phơng tại biên chỉ đạt

cấp Ο(h) do đó sẽ ảnh hởng đến sai số trên toàn lới Để đạt đợc sai số tại biên

cấp Ο(h2) , ta sử dụng thêm chính phơng trình (1.1) tại x=a

( p(a) y'( a) )′= q(a) y(a)−f (a)

Thay đẳng thức này vào (2.17 ) :

(av¯x)N+[σ2+h

2q(b )]v N=β + h

2f (b )Vậy ta có hệ phơng trình sau đối với bài toán biên loại ba:

{ ( av ¯x ) xi − q i v i =− f i ,i=1,N−1 ¿ { − ( av ¯x ) 1 + [ σ 1 + h

2 q(a) ] v 0 = α+ h

2 f(a) ¿¿¿¿

Đây là hệ đại số tuyến tính có ma trận hệ số dạng ba đờng chéo, giải đợc bằng công thức truy đuổi.

Thí dụ : Xét bài toán

( 1−x2) y' '− x y'=2 ,− 1

2 < x<

1 2

Nghiệm gần đúng vi, i=1,2,3 là nghiệm của hệ phơng trình sau:

{ v 0 = 0,i=0 ¿ { p i v i−1 −( p i + p i+1 ) v i + p i+1 v i+1 =−h 2 f i ,i=1,2,3 ¿¿¿¿

pháp Chơng này sẽ đi vào nội dung chính của đồ án là dùng phơng pháp sai phân

để giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết

y a , y b , y a ' , y b ' là những hàm số liên tục cho trớc.

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

∂ y'( x, y , y

', y'', y' ' ') , ∂ F

∂ y''( x , y, y

', y' ', y' '') và

∂ F

∂ y' ' '( x , y, y

', y' ', y' ''

)

liên tục trong một miền D nào đó trong R5 và nếu (x0, y0, y0' , y0'' , y0'' '

) là một điểmthuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x=x0 , tồn tại một nghiệm duy

nhất y  y (x) của phơng trình (2.3 ) thỏa mãn các điều kiện:

y| x=x

0=y0, y '|x=x0=y0' , y ''|x= x0=y0'' , y '' '|x=x0=y0' ' '

Xem [5] phần tài liệu tham khảo.

2.2 Lới sai phân

Ta chia đoạn [ a ,b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

h= ( b−a ) / N bởi các điểm x i=a+ih (i=0,1, ,N ) Mỗi điểm xi gọi

là một nút lới, h gọi là bớc lới

Một hàm số y( x) xác định tại mọi x∈[a,b] sẽ tạo ra hàm lới

y có giá trị tại nút xi là y i=y(x i)

Ta suy ra

y ( x i+1)−y ( x i)=h y '

(x i+1 2

Giả sử bài toán vi phân (2 1)−(2 2 ) thỏa mãn định lý về sự tồn tại và duy

nhất nghiệm, ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y ( x i) tại các nút xi∈¯ Ωh

Gọi các giá trị gần đúng đó là vi Muốn có vi ta thay bài toán vi phân

(2.1)−(2.2) bởi bài toán sai phân tơng ứng

i−12=q i−1

2

y i−1 2

1)()(3

122

)()()()(2)()(1

2

1

h i

x y i x q i x y i x q i x y i x q h

i x y i x q i x y i x q

h i x y i x q h

i y i

1)()(2

1)()(3

122

)()()()(2)()(12

1

h i

x y i x q i x y i x q i x y i x q h

i x y i x q i x y i x q

h i x y i x q h

i y

y y q h

h i

x y x q h

i x y x q h h i x

i i i i i

1

2)

()()3()

()(

1)(

Bằng cách khai triển các yi tới đạo hàm cấp 5 theo công thức Taylor, với giả

i i

i i

i i i

i i

i

f h v p v q h p p

v g h q

q h p p p

v q h p p v

p

4 2 1 1

2 1

4 2

1 1

1

2 1 2

1

2

2 2 2

22

42

q

i−12=q( x i)+q (x i−1)

2)

A i v i −2−B i v i−1+C i v i−D i v i+1+E i v i +2=F i , 2≤i≤N −2 ( 2 14 )

Kết hợp với các điều kiện biên (2 2) , ta có:

0 2

3 0

2 0 0 1

0 0

2

22

)2(

2)

(

)(

h y

h y h y h a y y

h y

h y h y h a y y

y a y y

 h y

h

y y y

2 1

0 2

mà

)(

2

1 0

1 1 2

0 1 1 2 2

2 1 0

h y

y

y h

y y h

h

y y h

y y h

y y y

x

x x x

trong đó:

2 2 1 0 1 0 1 1

2

;

h

y y y y h

y y

h y

y y h h

y y y

1 0

2 2

1 0 0

1 0

2

122

31

22

y v v v h

3

2

122

31

2 1 0

2 1 0

Tơng tự với điều kiện biên y(b)y b

N N

N N

N N

N N

y b y y

h y

h y h y h b y y

h y

h y

h y h b y y

2)

(

2

)2(2

)2(

3 2

1

3 2

2

Nhân cả hai vế của đẳng thức ứng với y N 1

với (-2) sau đó cộng với hai đẳng thức

h

y y y

N N N

2 1

2 2

mà

 h y

y

y h

y y h

h

y y h

y y h

y y y

xN x N

xN x N x N x

N N N N N N N

2 1 1

x

y   1  2   1 2  

22

trong đó:

2 1 2

y h

y y

xN x N

N N

N N

N

N N N

N N N

y h y

y y

h

h y

y y

h h

y y

2

2 1

2 1

2

32

2

11

22

1

Cũng thay y bởi v và bỏ qua sai số địa phơng cấp 2  h2 , ta đợc:

b N

N N

b N N

N

y h v

v v

y v v

v h

4

2

32

2

11

1 2

1 2

Nh vậy ta có hệ phơng trình sau:

( I ) ¿ { v 0 = y a ¿ { −3v 0 +4v 1 − v 2 =2hy a ' ¿ { A i v i−2 − B i v i−1 + C i v i − D i v i+1 + E i v i+2 = F i ( i=2,N−2 ) ¿ { − v N−2 +4v N−1 −3v N =−2hy b ' ¿¿¿

Hệ ( I ) cũng đợc gọi là lợc đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho.

Thay cho bài toán vi phân (2 1)−(2 2 ) đối với ẩn hàm y= y ( x ) ta có bài toán sai phân ( I ) đối với ẩn hàm v

(I ) là hệ phơng trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đờng chéo.

2.6 Cách giải bài toán sai phân (I)

2.6.2 Phơng pháp truy đuổi

Bài toán sai phân có dạng:

¿ { v 0 = y a ¿ { −3v 0 +4v 1 − v 2 =2hy a ' ¿ { A i v i−2 − B i v i−1 + C i v i − D i v i+1 + E i v i+2 = F i ( i=2,N−2 ) ¿ { − v N−2 +4v N−1 −3v N =−2hy ' b ¿¿¿

Đó là một hệ đại số tuyến tính năm đờng chéo Bây giờ ta sẽ xét phơng pháp truy

đuổi giải hệ năm đờng chéo tổng quát sau:

{ c 0 y 0 − d 0 y 1 + e 0 y 2 = f 0 ,i=0(2.17) ¿ { − b 1 y 0 + c 1 y 1 − d 1 y 2 + e 1 y 3 = f 1 ,i=1(2.18) ¿ { a i y i−2 − b i y i−1 + c i y i − d i y i+1 + e i y i+2 = f i ,2≤i≤N−2(2.19) ¿ { a N−1 y N−3 − b N−1 y N−2 + c N−1 y N−1 − d N−1 y N = f N−1 ,i=N−1(2.20) ¿¿¿¿

Ta tìm nghiệm của hệ (2 17 )−(2 21) ở dạng:

y i=α i +1 y i+1−β i +1 y i +2+γ i +1 , 0≤i ≤N −2 (2 22)

y N −1=α N y N+γ N ,i=N −1 (2 23 )

Khi đã biết các hệ số αi,βi,γi thì (2 22)−(2 23 ) cho phép tính các yi lùi từ

phải sang trái Vì lẽ đó phơng pháp mang tên phơng pháp truy đuổi từ phải

Từ các công thức (2 22)−(2 23 ) yN và các hệ số αi,βi,γi là cha biết Để

tính các hệ số αi,βi,γi Từ (2 22) ta thay i bởi i−1 và i−2 ta đợc:

y i−1=α i y i−β i y i+ 1+γ i , 1≤i≤ N −1 (2 24 )

y i−2=α i−1 y i−1−β i−1 y i+γ i−1=α i−1(α i y i−β i y i+1+γ i)−β i−1 y i+γ i−1

y i−2=(α i α i−1−β i−1)y i−β i α i−1 y i+1+α i−1 γ i+γ i−1 , 2≤i≤N (2 25 )Thay (2.24 ) và (2 25 ) vào phơng trình (2 19) , ta đợc:

)(

)(

1 1

2 1

1 1

1

2

1 1

1 1

1 1 1

a a

f

y e y b a

d y b a

a

c

f y e

y d y c y

y b y

y a

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i

i

i

i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

Đối chiếu với (2 22) ta suy ra:

1

i

i i

trong đó: Δx i=c i−a i β i−1+α i(a i α i−1−b i)

Từ (2 26 ) ta thấy để xác định đợc αi+1, βi+1 và γi+1 ta phải biết đợc α ,αi−1,

βi,βi−1, γi và γi−1 Nh vậy, trớc hết ta cần xác định các αi,βi và γi với

i=1,2 Sau đó từ (2 26 ) ta tính đợc các αi,βi và γi với 3≤i≤N −1 .

Nh vậy, từ (2 26 )−(2 28) ta tính đợc các hệ số αi,βi và γi với 1≤i≤N −1

Tiếp theo, ta cần xác định αN,γN và yN theo công thức (2 23 )

Bây giờ, ta cần sử dụng các phơng trình (2 20 )−(2 21) trong hệ Từ (2.24 ) và(2.25) với i=N−1 kết hợp với phơng trình (2 20 ) và sử dụng công thức

Ta thấy rằng αN,γN ở trên chính là giá trị αN,γN đợc tính theo công thức

(2.26) ứng với i=N−1 , trong đó mẫu số chính là ΔxN −1

Nh vậy, ta có thể tóm tắt lại qui trình giải hệ năm đờng chéo (2 17 )−(2 21) theo phơng pháp truy đuổi từ phải nh sau:

1 Tính các hệ số α , βi,γi

0

0 1 0

0 1 0

0

c

f c

e c

1,

1,

yi= αi+1yi+1− βi+1yi+2+ γi+1,i=N−2, N−3, ,0.

Từ (2 34 ) thay i=i+2 , ta đợc:

y i+2=ξ i+2 y i+1−η i+2 y i+τ i+2=ξ i+2(ξ i+1 y i−η i+1 y i−1+τ i+1)−η i+2 y i+τ i+2

y i+2=(ξ i+2 ξ i+1−η i+2)y i−ξ i+2 η i+1 y i−1+ξ i+2 τ i+1+τ i+2 , 0≤i≤N −2 (2 37 )Thay (2 36 )−(2 37) vào (2 19) :

a i y i −2−b i y i−1+c i y i−d i(ξ i+1 y i−η i +1 y i−1+τ i +1)+

+e i[(ξ i +2 ξ i+1−η i +2)y i−ξ i+2 η i +1 y i−1+ξ i +2 τ i +1+τ i +2]=f i

[c i−d i ξ i+1+e i(ξ i+2 ξ i+1−η i+2)]y i=(b i−d i η i+1+e i ξ i+2 η i+1)y i−1−a i y i−2++[f i+d i τ i+1−e i(ξ i+2 τ i+1+τ i+2)]

[c i−e i η i+2+ξ i+1(e i ξ i+2−d i)]y i=[b i+η i+1(e i ξ i+2−d i)]y i−1−a i y i−2+

+[f i−e i τ i+2−τ i+1(e i ξ i+2−d i)] , 2≤i≤N−2

Đối chiếu với (2 34 ) ta suy ra:

Δx i+1=c i−e i η i+2+ξ i+1(e i ξ i+2−d i),2≤i≤N−2

Từ (2 38) ta thấy, để xác định đợc các hệ số ξi,ηi,τi ta phải biết đợc

ξi+1,ξi+2, ηi+1, ηi+2,τi+1,τi+2 Nh vậy, trớc hết ta cần xác định ξi,ηi và τi

với i=N−1, N Sau đó từ (2 38 ) ta tính đợc các hệ số ξi,ηi,τi với

§Ó tÝnh y0 , ta sö dông (2 34 ) t¹i i=2 vµ (2 35) råi thay vµo ph¬ng tr×nh

(2.17) ta cã:

c0y0−d0(ξ1y0+τ1)+e0[ξ2(ξ1y0+τ1)−η2y0+τ2]=f0

⇒[c0−e0η2+ξ1(e0ξ2−d0)]y1=[f0−e0τ2−τ1(e0ξ2−d0)]

Để đảm bảo rằng việc giải hệ (2 17 )−(2 21) theo các công thức (2 29 )−(2 33 )

là ổn định thì các hệ số của hệ phơng trình phải thỏa mãn các điều kiện của định lýsau:

Định lý Khi tìm nghiệm hệ (2 17 )−(2 21) theo công thức truy đuổi

(2.29)−(2.33) ta sẽ gặp phải sai số quy tròn, vì vậy có thể dẫn đến sự mất ổn

định của công thức tính Quá trình tính sẽ ổn định nếu các điều kiện sau đây đợc thỏa mãn:

| ai|>0 , 2≤i≤N ,|bi|>0 , 1≤i≤N

| di|> 0 , 0≤i≤N −1 ,|ei|> 0 , 0≤i≤N −2

đồng thời có ít nhất một bất đẳng thức mạnh trong các bất đẳng thức dới đây:

N N

¿ | cN|−| aN|−| bN|+ ( 1−|αN| )( 1−|βN−1| ) | aN|+| bN| ( 1−|αN| )

Nh vậy, với giả thiết | cN|≥| aN|+| bN|

đã cho cùng với các điều kiện | αN|≤1

và

1−|βN−1|≥| αN −1|≥0

đã đợc chứng minh ở trên ta cần giả thiết thêm là các bất

đẳng thức thứ này không đồng thời xảy ra dấu bằng Khi đó, ta có ΔxN≠0 Định

lý đợc chứng minh đầy đủ

Với cách đánh giá hoàn toàn tơng tự nh định lý trên, nếu các giả thiết của định lý

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân

Chứng minh ở trên, bài toán sai phân đã đa về dạng ( I ) với các hệ số thỏa mãn

định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo Để đánh giá v ta đặt v =V +Z ,

trong đó:

V thỏa mãn

( II) ¿ { V 0 =0 ¿ { −3V 0 +4V 1 − V 2 =0 ¿ { A i V i−2 − B i V i−1 + C i V i − D i V i+1 + E i V i+2 = F i ,i=2,N−2 ¿ { − V N−2 +4V N−1 −3V N =−2hy b ' ¿¿¿

Z thỏa mãn

( III) ¿ { Z 0 = y a ¿ { −3Z 0 +4Z 1 − Z 2 =2hy a ' ¿ { A i Z i−2 − B i Z i−1 + C i Z i − D i Z i+1 + E i Z i+2 =0,i=2,N−2 ¿ { − Z N−1 +4Z N−2 −3Z N =0 ¿¿¿

| Vi|=| αi+1Vi+1− βi+1Vi+2+ γi+1|≤| αi+1|| Vi+1|+| βi+1|| Vi+2|+| γi+1|≤

¿ Vi+1|+| Vi+2|+| γi+1|

Do định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo, ta có | αi|+| βi|≤1 , (i=1,N−1) ;

h k−i|γ k|≤

(định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo).

Bây giờ ta đánh giá | Δxi| ,i=2 ,N −2

| Δxi|=| Ci− Aiβi−1+ αi( Aiαi−1− Bi) |=| Ci− ( βi−1− αi−1αi) Ai− αiBi|≥

| γi+1|≤ σ ( i ) | γi|+ δ ( i ) | γi−1|+ θ ( i )

| γi|≤ σ (i−1)|γi−1|+ δ (i−1)|γi−2|+ θ(i−1)

| γi−1|≤ σ (i−2)|γi−2|+ δ (i−2)|γi−3|+ θ(i−2)

| γi−2|≤ σ (i−3)|γi−3|+ δ (i−3)|γi−4|+ θ(i−3)

⋮

| γ4|≤ σ (3)|γ3|+ δ (3)|γ2|+ θ (3)

| γ3|≤ σ (2)|γ2|+ δ (2)|γ1|+ θ (2)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đợc: