Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số i Nếu * có k nghiệm thực phân biệt λ λ1, ,...,2 λ k thì nghiệm của 1 là phức

1 D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè.D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè

1

2

1 1 0

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

(i) Nếu ( )* có k nghiệm thực phân biệt λ λ1, , ,2 λ k thì nghiệm của (1) là

phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1)

VD: Giải lại các bài tập trong phần trước

1.2.2 Loại không thuần nhất: 1 2

x = +x x

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm theo hướng: Làm theo hướng: Làm nháp bằng phương pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

sin 2

kx x

Bài toán được giải xong

Giải lại các bài phần trước

1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn

Định nghĩa. Dãy số { }x n n+∞=1 được gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số k∈N sao cho

x n k+ =x n,∀ =n 1,2, (1)

Số k bé nhất thỏa mãn (1) được gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn { }x n n+∞=1

Sử dụng phương trình sai phân ta sẽ xác định được các dãy số tuần hoàn

Bài toán 1 (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)

Tìm dãy số { }x n n+∞1

= biết 1 2

2

, , 1,2,

trong đó các hằng số A, B, C sẽ được xác định khi biết x x x1, ,2 3

Bài toán 3 (dãy số tuần hoàn chu kỳ k∈ ℕ bất kỳ)

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

trong đó các hằng số β β0, , ,1 β k−1 sẽ đ−ợc xác định khi biết x x1, , ,2 x k

2.Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số

+ , nếu nó tồn tại Khi đó dãy số (x n n)+∞=1 gọi là dãy phân tuyến tính

Chú ý rằng nếu cho ( )x n n+∞=1 là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, … luôn tồn tại x n

2.2 Số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính

a) Xét dãy phân tuyến tính { }x n xác định bởi

y x z

y x z

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy sốSau đây ta xét thêm một số tính chất của dãy này

b) Giả thiết x1≠ α, đặt *

n n n

α λ

β+

= >

+ thì limn→∞x n = α Nếu λ = ư 1 và x1= β thì lim n

n→∞x = β Nếu λ = ư 1 và x1≠ β thì dãy { }x n phân kỳ với các giá trị x1 và x n xen kẽ

Trường hợp λ = 1 không thể xảy ra

a) Ta chỉ cần chứng minh nếu x1= α thì x n = ∀ = α , n 1, 2, vì chiều ngược lại là hiển nhiên

Ta dùng phương pháp quy nạp Giả sử x1= α Khi đó

1 2 1

x X x

β α

x X x

β α

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Nếu λ = ư 1 và x1≠ β thì X1≠ 0 và 1 ( 1)n 1, 1, 2,

n

X + = ư X ∀ =n Ta sẽ chứng minh dãy số ( )y n

với y n = ư ( 1)n, với mọi n=1, 2,…, không hội tụ

Ta có lim 2n 1 lim( 1) 1 1 lim 2n

x

β α

β α

→∞

ư

=

ư , nghĩa

là dãy { }X n hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn)

Trường hợp λ = 1 không thể xảy ra bởi vì nếu λ = 1 thì c d 1

α

β + = + Suy ra

cα + =d cβ +d⇒cα =cβ ⇒ α β = Mà điều này không thể xảy ra được do 2

ư

= Khi đó a) x1=g khi và chỉ khi x n = ∀ =g, n 1, 2,

nghiệm kép là

2

g c

ư

= b) Với mọi n = 1, 2, , ta có

1

1 1:

c) Nếu x1=g thì theo định lý (5a) suy ra x n = ∀ =g, n 1, 2, do đó lim n

→∞ = Nếu x1 ≠g thì theo định lý (5b) ta có

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy sốCho số thực α ≠ 0 và dãy số thực { }x n ,n= 1, 2, 3, , xác định bởi:

x = x + x + α α = + ∀ =n

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

b) Chứng minh dãy số ( )x n có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ Hãy tìm

+ (1)

Vậy x n+1 có dạng 1 n

n n

+ +

y+ = α + z + = α + y + αz = α + y + α α + z = α + y + αy + Vậy phương trình đặc trưng của dãy số { }y n là

λ αλ α ư ư + = có nghiệm kép λ λ1= 2 = ư 1 Suy ra y n =(C+Dn)( )ư 1 ,n ∀ =n 1, 2, ( với C và D là các hằng số sẽ tìm sau )

Vì y2 =(α + 1)z1 = + α 1 nên ( )2

A+B α + = + α

A B

α α α

Bài tập 5 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng A, năm 2004)

Xét dãy số { }x n n+∞=1 nh− sau: x1 = 1 và với mọi n = 1, 2 ,…, thì ( )

2 1

n n

n

x x

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

2 1

n n

n

x x

Bài tập 7 ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 )

Cho dãy { }x n nh− sau: 0 1982, 1 1 ( 0,1, )

Bài tập 8 ( Đề thi vô địch Tiệp )

Cho dãy số ( )a n đ−ợc xác định nh− sau:

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn của dãy số đó

Ta hy vọng rằng sẽ đ−a đ−ợc về dãy tuyến tính:

Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán

;:

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Lưu ý: Một số phép đổi biến

+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai 2

4 1

6 3

*)u n =bv n →v n+ =2v n −1

Và ta cũng biết rằng mọi tam thức bậc hai bất kỳ ta đều có thể đổi biến về đỉnh của nó để ta

đ−ợc hàm chẵn, tức là mất đi bậc nhất: 2

ax +b Tuy nhiên, nó có thỏa tính chất trên hay không thì ta cần phải kiểm tra cụ thể

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số1

π π

2 1

2 2

1

2 1

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

lnv n+ =klnv n Gọi u n= lnv n Khi đó

u+ =ku ∀ =n

n n

1

n n

1 1

x −x + =x +a (1) T−¬ng tù ta còng cã

2

x − x =x − +a (2) Trõ (1) cho (2) theo vÕ ta ®−îc

2

n n

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

HD: Đặt n

n

n

u x

2 1

, 2 trong đó:

n n

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

6 6

1 1 3

n n n

u u u u

3 2

3 3 2

0 1

Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân Xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định số hạng tổng quát của dãy số

1

1

2

n n n