Giới hạn của dãy sinh bởi phương trình HCH

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang D

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY

SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH

Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp

A Một số kiến thức bổ trợ

1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục:

Định lý: Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn ( )  a b; và f a f b( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a b; sao cho ( ) 0f c 

2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:

Định lý: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trong khoảng (a;b)

a) Nếu '( ) 0f x  với mọi x a b; thì hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng đó

b) Nếu '( ) 0f x  với mọi x a b; thì hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng đó

2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình:

Định lý: Nếu hàm số y f x   đồng biến trên  a; b và y g x   làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên  a; b thì phương trình f x   g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng  a; b

Dựa vào tính chất trên ta suy ra:

Nếu có x0 a; b sao cho f x 0 g x 0 thì phương trình f x   g x có nghiệm duy nhất trên  a; b

3) Nguyên lý kẹp:

Cho ba dãy số      u n , v n , w n sao cho: 0 , , 0 lim

lim lim

n n

 



4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass)

1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

5) Định lý LAGRANGE:

Nếu f x là hàm số liên tục trên đoạn ( )  a b; , có đạo hàm trong khoảng  a b; thì tồn tại c a b; sao cho

f c'( ) f b( ) f a( )

b a





 hay ( )f b  f a( ) f c b a'( )(  )

B Các bài toán

Bài toán 1

Xét phương trình 1 1 21 21 1

    trong đó n là số nguyên dương

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1; và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Chứng minh rằng lim n 4

 

Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn

Lời giải

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1;

 Xét phương trình 1 1 21 21 1

    với x 1;  (1)

 Biến đổi (1) ( ) 1 1 1 21 21 0

n

f x

    (2)

 Khảo sát tính đơn điệu của ( )f x trên n 1;

Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 1;

Do

'

1

n

n x

nên ( )f x nghịch biến trên n x 1;  (3)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;

Do ( )f x liên tục trên n 1; và 1

lim ( )

1 lim ( )

2

n x

n x

f x

f x







 







 





nên tồn tại x0 1;  sao cho f x n( ) 00  (4)

 Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

1;.

2)Ký hiệu nghiệm đó là x Chứng minh rằng lim n n 4

 

 So sánh ( )f x và (4) n n f n , ta có

 

2

1

0

2 2 1

n

f

n





Do ( ) 0f x n n  nên ( )f x n n  f n(4)

 Do ( )f x nghịch biến trên n 1; và ( )f x n n  f n(4)nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra x n  4

 Lại tiếp tục đánh giá x Áp dụng định lý Lagrange cho ( ) n f x trên n n x n; 4, ta suy ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại c nx n; 4 sao cho

  ' '  1 

4 ( ) ( )(4 ) ( )

2 2 1 4

n



 Mặt khác

'

9 1

n n

n

f c

n c

2

2

9 1

n

c



 ) nên

2 2n 1 4 x n 9 x n 2 2n 1

 Tóm lại ta luôn có:

n

 với mỗi số nguyên dương n (5)

 Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim n 4

  

Bài toán 2

Xét phương trình 1 1 1 21 1 2 0

2x x 1x 4 x k   x n 

    trong đó n là số nguyên dương

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;1 và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n



Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn

Lời giải

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;1

 Xét phương trình 1 1 1 21 1 2 0

2xx 1 x 4  x k   x n 

    với x 0;1 (1)

Đặt ( ) 1 1 1 21 1 2

n

f x

 Khảo sát tính đơn điệu của ( )f x trên n  0;1

Do

'

n

nên ( )f x nghịch biến trên n  0;1 (2)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên  0;1

Do ( )f x liên tục trên n  0;1 và 0

1

lim ( ) lim ( )

n x

n x

f x

f x









 



 nên tồn tại x0 0;1 sao cho f x n( ) 00  (3)

 Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;1 

2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n



 Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của  x n

Với mỗi số nguyên dương n ta có:

1 ( ) 0 (do 0 1)

1

n





  Mặt khác 1

0

lim n ( )

x  f  x

   và f n1( )x nghịch biến trên 0;x n nên suy ra phương trình f n1( ) 0x  có duy nhất nghiệm trên 0;x n, gọi nghiệm duy nhất này là x n1 Do 0;x n   0;1 nên 0x n1 x n

 Dãy  x n là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

 

Bài toán 3

Xét phương trình x nx2   trong đó n là số nguyên dương và x 1 0 n2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n2 , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Tìm lim n



Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn

Lời giải

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;

 Xét phương trình x nx2   với x 1 0 x 1; 

Đặt f x x nx2 x 1

 Khảo sát tính đơn điệu của ( )f x trên 0;

Do f x'( )nx n12x 1

nên ( )f x nghịch biến trên n x 1;  (3)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;

Do ( )f x liên tục trên n 1; và 1

lim ( )

1 lim ( )

2

n x

n x

f x

f x







 







 





nên tồn tại x0 1;  sao cho f x n( ) 00  (4)

 Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

1;.

2)Ký hiệu nghiệm đó là x Chứng minh rằng lim n n 1

 

 Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên : n 2 1 0 n 2 1

x x x    x  x x 

 Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2

2

1 sô 1

1 1 1

n

n

n



    

 

(Trong (5) không có dấu bằng bởi vì x n  nên 1 x n2x n  ) 1 1

 Kết hợp với 2x n  , với mọi 1, 2 n ta được: x n2x n  (6) 6

 Từ (5) và (6) suy ra: 1 x n 1 6

n

  

 Do lim 1 6 1

n n

  

  và theo nguyên lý kẹp suy ra limn x n 1

 

Bài toán 4

Xét phương trình x2n 1  trong đó n là số nguyên dương x 1

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký

hiệu nghiệm đó là x n

2) Tìm lim n



Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn

Lời giải

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất

 Xét phương trình x2n 1   với x 1 x  (1)

Ta có: x2n 1  x 1 x x 2n  (2) 1 1

+ Với x 1 thì x2n  nên 1 VT(2) 0 , suy ra (2) vô nghiệm trên  ; 1

+ Với 0 x 1 thì x2n  nên 1 VT(2) 0 , suy ra (2) vô nghiệm trên  0;1

+ Với   1 x 0 thì x2n1   nên 0 x 1 VT(2) 1 , suy ra (2) vô nghiệm trên 1;0 Suy ra: (2) vô nghiệm trên ;1 nên (1) vô nghiệm trên ;1 (3)

 Khảo sát tính đơn điệu của f x x2n 1 x 1 trên 1;

Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 1;

Ta lại có: f x'( )2n1x2n    1 0, x 1; 

nên ( )f x đồng biến trên x 1;  (4)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;

Do ( )f x liên tục trên 1; và (1) 1 02 1

(2) 2 n 3 0, 1, 2,

f

  



nên tồn tại x0 1;  sao cho f x( ) 00  (5)

 Từ (3), (4), (5) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm 

2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là xn Tìm lim n



 Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên : x n  và 1 2n 1 1 2n 1 1

x  x  x   x 

 Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2n sô 1

2 1

2 sô 1

1 1 1 1 1

2 1

1 1.1 1

2 1

2 1

2 1 2

n

n n

n

n n

n

x

x

n n x

n



     







 Kết hợp với 1x n  , với mọi 1, 2 n ta được: 1 2 1

2

n

n x

n



 

 Do lim 2 1 1

2

n

n n



  và theo nguyên lý kẹp suy ra lim

1

n

 

 Vậy lim n 1

 

Bài toán 5

Xét phương trình x nx n 1    trong đó n là số nguyên dương và x 1 0 n2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Tìm lim n



Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn

Lời giải

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất

 Xét phương trình: x nx n 1    (1) x 1 0

 Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n n 1 1

n

f x x x     trên x 0;

Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên 0;

Do '( ) n 1  1 n 2 1 0

n

f x nx   n x     với mọi x0; và  n 2

nên ( )f x là hàm số đồng biến trên n 0; (2)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;

Do ( )f x liên tục trên n 0; và (0) 1 0

(1) 1 0

n

n

f

  



 nên tồn tại x00; sao cho f x n( ) 00  (3)

 Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

0;.

2) Ký hiệu nghiệm đó là x Tìm lim n n



 Do x là nghiệm của phương trình (1) nên: n x n  và 0 2 n 1

x x  x  (4)

 Vì 0x n  nên từ (4) suy ra (x ) là dãy giảm , mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu n

hạn lim n

  (5)

1

n

n

x

x



 và lim 0

n n

  nên kết hợp với (4), (5) suy ra

1 1 1

a



 Vậy lim 1

2

n

 

Bài toán 6

Xét phương trình x n   trong đó n là số nguyên dương x n n2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký

hiệu nghiệm đó là x n

2) Tìm lim n



Hướng dẫn tư duy:

+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn

Lời giải

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất

 Xét phương trình: x n   (1) x n

 Khảo sát tính đơn điệu của ( )f x x n  trên x n 1;

 Do '( ) n 1 1 0

n

f x nx    với mọi x 1; 

nên ( )f x là hàm số đồng biến trên n 1; (2)

 Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;

Do ( )f x liên tục trên n 0; và (1) 0

n

n n

  





 nên tồn tại x00; sao cho f x n( ) 00  (3)

 Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n2, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

0;.

2) Ký hiệu nghiệm đó là x Tìm lim n n



 Do x là nghiệm của phương trình (1) nên n n 1 1 n n 2

x x   x  x  n n

 Vì lim 2n 1

  , theo nguyên lý kẹp ta được lim n 1

 

 Vậy lim n 1

 

Bài toỏn 7

Cho số thực a > 2 Đặt f xn( )  a x10 n10 xn   x 1 (n = 1,2, ) Chứng minh rằng với mỗi n phương

trình f xn( )  a có đúng một nghiệm xn (0;  ) Chứng minh dãy số ( ) xn có giới hạn hữu hạn khi

n  

Lời giải

Với mỗi n, đặt g x n( ) f x n( ) ; khi đó ( )a g x lμ hμm liên tục, tăng trên [0;+  ) Ta có n g n(0) 1  <0; a

10

n

g a     nên ( ) 0n a g x n  có nghiệm duy nhất x trên (0;+  ) n

Để chứng minh tồn tại giới hạn lim n

 , ta chứng minh dãy  x n tăng vμ bị chặn

Ta có

1 10

10

1

1 1

1

n n

n

a

a



   

         

              

Suy ra x < n 1 1

a

 n

Mặt khác, từ ( ) 10 n 10 n 1 0

g x a x  x     , suy ra a

10 11 1

x g x a x  x   x ax 

=>g n1( )x n x g x n n( ) 1n  ax n a ax n   do 1 a 0 x n 1 1

a

 

Do gn1lμ hμm tăng vμ 0  gn1( xn1)  gn1( ) xn nên x n x n1 Vậy dãy  x n tăng vμ bị chặn nên tồn tại lim n



Chú ý: Có thể chứng minh 1

lim n 1

a

   bằng cách đánh giá

n

n



Thật vậy, ta có



Suy ra

n

n

n



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải Các bài toán về dãy số NXBGD 2007

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002

[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến

Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009

[4] Phạm Văn Nhâm Một số lớp bài toán về dãy số Luận văn thạc sĩ khoa học 2011

[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009

[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010