ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT

ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Dương Bửu Lộc, GV trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm

ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT

Dương Bửu Lộc, GV trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa

Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân là một vấn đề lý thú, chúng có nhiều ứng dụng trong thực tế và đa số học sinh đều lĩnh hội tốt các khái niệm này Trong bài viết này ta sẽ đưa ra một ứng dụng của cấp số cộng, cấp

số nhân để tìm công thức tổng quát của một vài dãy số đặc biệt

Ta xét một số bài toán cụ thể như sau:

Bài toán 1 Dãy số (u n ) có tính chất u n+1 =u n +d,∀ ∈n N* được gọi là một cấp

số cộng có công sai là d Tìm (u n ) theo u 1 và d

Giải

Ta có

n n n n n

u = u −u − + u − −u − + + u −u +u =d +d+ +d+u =u + n− d

Bài toán 2 Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u n ), công sai d

Giải

Ta có

1 n 2 n1 2 n 1 3 n 2 3 n 2 k n k 1

u +u =u − +d u − +d =u +u − =u − +d u − +d =u +u − = =u +u − + Với k = 1, 2, …, n

2

n

d

Bài toán 3 Dãy số (u n ) có tính chất u n+1=u q n ,∀ ∈n N* được gọi là một cấp số

nhân có công bội là q Tìm (u n ) theo u 1 và q

Giải

Ta có u n =u n−1q=u n−2q2 = =u q1 n−1

Bài toán 4 Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u n ), công bội q≠1 Giải

Ta có

(1−q u)( +u + +u n)=(u +u + +u n) (− u +u + +u n +u n+ ) =u −u n+

1 1 n 1(1 n)

1

n n

q

q

−

−

Bài toán 5 Cho u 1 = 1, u n+1 = 2u n + 1 Tìm u n

Giải

Trong bài toán này ta sẽ bị lúng túng ngay vì đây không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân đã biết

Như vậy có cách nào để tìm u n hay không? Làm sao để mất con số 1 bên vế phải

để được một cấp số nhân như ở bài toán 3?

Ta viết lại u n+1 + 1 = 2(u n + 1) (Tại sao làm được như vậy!) và thấy rằng nếu thay

u n + 1 bằng dãy v n thì (v n ) chính là một cấp số nhân và v 1 = u 1 + 1 = 2 Từ đó có v n =

1

1.2n 2n

v − = ⇒ u n =2n− 1

Bài toán 6 Cho u 1 = 1, u n+1 – u n = n + 1 Tìm u n

Giải

Ta viết n+ =1 (n+1)[ (a n+1)+b]−n an b( + ), đồng nhất các hệ số theo n ta tìm

2

2

n n

v =u − n n+ ⇒ v 1 = 1 – 1 = 0

Từ v n+1 = v n với mọi n ta suy ra v n = 0 hay 1 ( 1)

2

n

Hơn nữa việc viết lại u n =(u n−u n−1)+(u n−1−u n−2) (+ + u2−u1)+u1sẽ cho ta kết

quả sau : n + (n – 1) + … + 2 + 1 = 1

2n (n+1)

Từ bài toán 6 ta có thể xây dựng bài toán để tính tổng S = 12 + 22 + … + n2

Bài toán 7 Tìm dãu (u n) có tính chất u n+1−u n =(n+1) ,2 ∀ ∈n N*

Giải

(n+1) =a(n+1) −n +b(n+1) −n +c n( +1)−n Cho n lần lượt các giá trị 0, 1, 2

ta được hệ phương trình

1

+ + =









6

n n

v =u − n n+ n+ ta được v n+1=v n,∀n hay v n =v1,∀n

⇒

n

n n n n n

u = u −u − + u − −u − + + u −u +u =n2+(n−1)2+ 2+ 2+u1

6

Bài toán 8 Cho u 1 = 1, u n+1−3u n =2 ,n ∀ ∈n N* Tìm (u n)

Giải

2n = α.2n+ − α3 2n Ta được α = − 1

Và u n+1+2n+1 =3(u n+2 )n

Đặt v n =u n+2n ta được v n+1=3 ,v v n 1= 3

⇒ v n = 3n

Vậy u n =3n−2n

Bài toán 9 Cho u 1 = 1, u n+1−2u n =3n−n,∀ ∈n N* Tìm (u n)

Bài toán 10 Cho u 1 = 1, u n+1−3u n =2.5n − ∀ ∈1, n N* Tìm (u n)

Bạn đọc tự giải xem như bài tập

Bài toán 11.Cho u 1 = 1, u 2 = 2, u n+2 – 2u n+1 + u n = 1,∀ ∈n N* Tìm u n

Giải

Viết lại (u n+2 – u n+ 1 ) – (u n+1 – u n) = 1

Đặt v n = u n+1 – u n ta được v n+1 – v n = 1 và v 1 = u 2 – u 1 = 1

Suy ra (v n) là một cấp số cộng có công sai 1

Vậy v n = v 1 + (n – 1)1 = n ⇒ u n+1 – u n = n

⇒ u n =(u n−u n−1)+(u n−1−u n−2) (+ + u2−u1)+u1

= (n – 1) + (n – 2)+ … + 2 + 1 + 1 = 1

2n (n – 1) + 1

2

2

n n n

= ,∀ ∈n N* Tìm u n

Giải

2 1

2

n n

n n

+ +

−

Đặt v n = u n+1 – u n ta được 1 1

2

v + = − v , v 1 = u 2 – u 1 = 1

2

n n

2

n

n n

⇒

n n n n n

u = u −u − + u − −u − + + u −u +u

=

n− n−

⇒

1

2

1 1

2

1

1 2

n

n

u

−

−

− − 

−

+

Bài toán 13 Cho u 1 = 1, 1

1 2

n n

n

u u

u

+ = + ,∀ ∈n N* Tính u n

Giải

Từ giả thiết suy ra

1

2

n n

u + =u +

n

v

u

= ta được v n+1 = v n + 2, v 1 = 1

Suy ra v n = 1 + (n – 1) 2 = 2n – 1 ⇒ 1

n

u n

=

−

Bài toán 14 Cho u 1 = 2, u 2 = 5, u n+2 – 5 u n+1 + 6u n = 0,∀ ∈n N* Tính u n

Giải

Viết lại (u n+2 – 3u n+1 ) – 2(u n+1 – 3u n) = 0

Đặt v n = u n+1 – 3u n ta được v n+1 = 2v n , v 1 = u 2 – 3u 1 = – 1

Suy ra v n =−2n−1 ⇒ u n+1 – 3u n = −2n−1= 1.2 1 3 .21

n+ − n

1

2

n

n n

w =u − ⋅ ta được w n+1=3w n , w1 =u1− = 1 1

3n

n

w = − ⇒ u n =2n−1+3n−1

Ta cũng có thể tìm u n bằng cách sau đây :

= −2n−2+3( 2− n−3) 3 ( 2+ 2 − n−4) 3+ + n−2+2.3n−1

= 2n−1−3n−1+2.3n−1=2n−1+3n−1

Bài toán 15 Tìm công thức tổng quát của dãy Fibonacci: u 1 = 1, u 2 = 1, u n+ 2 =

u n+1 + u n,∀ ∈n N*

Giải

Gọi α, β là 2 số sao cho α + β = 1, αβ = – 1 (điều này có nghĩa α, β là 2 nghiệm

của phương trình x2 – x – 1 = 0)

Từ giả thiết ta suy ra u n + 2 – αu n+1 = β(u n+1 – αu n)

Đặt v n = u n+1 – αu n ta được v n+1 = βv n , v 1 = u 2 – αu 1 = 1 – α = β ⇒ v n = βn

Hay u n+1– αu n = βn

⇒ u n = (u n− αu n−1)+ α(u n−1− αu n−2)+ α2(u n−2− αu n−3) + + αn−2(u2− αu1)+ αn−1u1

5

n n

n

−

β − α

Bài toán 16.Cho u 1 = 1, u 2 = 2, u n+2 – 3u n+1 + 2u n = 2n – 1,∀ ∈n N* Tìm u n Giải.

Viết lại (u n+2−u n+1) 2(− u n+1−u n) =2n− 1

Đặt v n =u n+1−u n, ta được v n+1−2v n =2n− = −1 [ 2(n+1) 1− ]−2( 2− n− 1)

⇒ v n+1+2n+ =3 2(v n+2n+1),v1= 1

Đặt w n =v n+2n+ ta được 1 w n+1=2w w n, 1=v1+ = ⇒ 3 4 1

2n

n

n

1 2n 2 1

n n

u + −u = + − n− ⇒ u n−u n−1 =2n−(2n−1)

n n n n n

u = u −u − + u − −u − + + u −u +u =

2n+2n− + 2+ − (2n−1)+(2n−3) 3+ + +1 1 2

Trong trường hợp đã biết số phức ta sẽ giải bài toán sau:

Bài toán 17 Cho u 1 = 2, u 2 =1, u n+2−u n+1+u n =0,∀ ∈n N* Tìm u n

Giải

Phương pháp giải cũng giống như bài toán 15

Gọi α, β là 2 số sao cho α + β = 1, αβ = 1 (điều này có nghĩa α, β là 2 nghiệm

của phương trình x2 – x – 1 = 0)

Từ giả thiết ta suy ra u n + 2 – αu n+1 = β(u n+1 – αu n)

Đặt v n = u n+1 – αu n ta được v n+1 = βv n , v 1 = u 2 – αu 1 = 1 – 2α = β – α

⇒ v n = v 1 βn-1 hay u n+1– αu n = v 1βn-1

⇒ u n = (u n− αu n−1)+ α(u n−1− αu n−2)+ α2(u n−2− αu n−3) + + αn−2(u2− αu1)+ αn−1u1

1 1

n n

n

− −

β − α

Từ đó

1 1

n n

3

n

Các bài toán luyện tập

Bài toán 18 Cho u 1 = 1,u 2 = 2, u n+2−u n+1−2u n =2n− + ∀ ∈n 1, n N* Tìm u n

Bài toán 19 Cho u 1 = 1,u 2 = 2, u n+2−2u n+1+u n =3n+n2− + ∀ ∈n 1, n N* Tìm u n

Bài toán 20 Cho u 1 = 1,u 2 = 2, u n+2−u n+1−2u n =2n− + ∀ ∈n 1, n N* Tìm u n

Bài toán 21 Cho dãy (u n):

1 3 5

1

3 5 7

9 11 13 15 17

u u u

=

= + +

2 4 6

6 8 10 12

u u u

= +

Tìm u20;u n