Ứng dụng tích phân trong hình học bài toán về thể tích

Tích phân được ứng dụng phần lớn vào thực tiễn, rộng rãi trong đa dạng bài tập khác nhau, bao gồm các tính toán về diện tích mặt phẳng, thể tích khối tròn xoay, các dạng toán về vận tốc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC & BÀI TOÁN VỀ

THỂ TÍCH

Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Thị Vu

Lớp: L10 Nhóm thực hiện: 10

Danh sách thành viên nhóm:

1

LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, ứng dụng vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực Toán học Tích phân được ứng dụng phần lớn vào thực tiễn, rộng rãi trong đa dạng bài tập khác nhau, bao gồm các tính toán

về diện tích mặt phẳng, thể tích khối tròn xoay, các dạng toán về vận tốc quãng đường Tích phân còn là đối tượng nghiên cứu của Giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,…Ngoài ra phép tính tích phân còn được sử dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học,

…Hơn hết, tầm quan trọng của phép tính tích phân và ứng dụng tích phân trong hình học đã phần nào củng cố, nâng cao kiến thức , đòi hỏi học sinh, sinh viên cần nắm vững các yêu cầu cơ bản của toán học để vận dụng phù hợp trong quá trình học tập, nó còn là nền móng trang bị cho sinh viên có cơ sở trao dồi kỹ năng tính toán, bồi đắp kiến thức nâng cao.

2

Mục Lục

1 Lời nói đầu……….trang 2

2 Cơ sở lý thuyết……… trang 4

3 Bài toán thực tế về thể tích

 Huỳnh Nhật Huy……… trang 6

 Huỳnh Thu Hiền………trang 8

 Trần Huy Hoàng Anh……… trang 11

 Đinh Vũ Mỹ Uyên………trang 12

 Đặng Ngọc Phú………trang 14

4 Tài liệu tham khảo………trang 15

3

1)CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

a)Tính diện tích hình phẳng

 Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x=a ; x=b, thì diện tích S được cho bởi công thức:

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định:

 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y)

và hai đường thẳng y = c, y = d được xác định:

b)Chiều dài sợi dây:

 Chiều dài của đường cong y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] được tính bởi công thức:

c) Thể tích vật thể:

 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b)

Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

d) Thể tích khối tròn xoay:

4

 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ,y=g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:

dx

 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(y) và hai đường thẳng y = c, x = d quanh trục Ox:

 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y),x=f(y), trục hoành và hai đường thẳng y =

c, y = d quanh trục Oy:

dy

 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) và hai đường thẳng x=a, y=b quanh trục Oy:

e)Diện tích xung quanh khi quay:

 Quay quanh Ox :

 Quay quanh Oy :

2) BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH:

_Huỳnh Nhật Huy:

VD 1 : Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng)

là một đường elip có trục lớn bằng 1 m, trục bé bằng 0,8 m, chiều dài (nằm trong của thùng) bằng 3 m Được đặt sao cho trục bé nằm theo

5

phương thẳng đứng(như hình vẽ bên) Biết chiều cao của dầu trong thùng ( tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6 m Tính thể tích V của dầu

có trong thùng (kết quả được làm tròn đến phần trăm)

Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình :

Khi đó chiều cao mép dầu trong thùng trùng với đường thẳng y = 0,2 Xét phương trình:

Diện tích phần mặt chứa dầu là:

Thể tích dầu trong thùng là:

VD 2: Một khối cầu có bán kính bằng 5dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng

hai mặt phẳng vùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng bằng 4dm để làm một chiếc lu đựng nước Thể tích cái lu bằng ?

6

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích:

Vậy thể tích chiếc lu là :

_Huỳnh Thu Hiền:

Vd1: Cho một chiếc trống như hình vẽ, có

đường sinh là nữa elip được cắt bởi trục

lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài

trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình

tròn có bán kính bằng 60 cm Tính thể tích

V của trống (kết quả làm tròn đến hàng

đơn vị)

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Khi

đó chiếc trống là hình tròn xoay được sinh

bởi một nữa elip,

7

đ ườ ng sinh

60 cm

x

y

40

− 40

30

− 30 O

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

dưới của elip có phương trình là

Khi đó nửa đường elip dưới có phương trình: y=60−.

Vậy thể tích của chiếc trống là:

V = π

 344.964

Vd2: Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π(cm2), chiều dài của trống là 1m Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung

quanh của trống là các đường

Parabol Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

8

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn có bán kính r có diện tích là 1600π (), nên π = 1600π  r = 40cm

Ta có: Parabol có đỉnh I(0;40) và qua A (50;30) nên có phương trình y = Vậy thể tích của trống là:

V = π.

= π  425,2 (lít).

Vd3: Cho một vật thể dạng hình xoay giống 1 cái ly như hình vẽ Người

ta đo được đường kính miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol Tính vật thể chiếc ly?

Lời giải:

Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol (P), Vì (P) đi qua các điểm A(-2;6) , B(2:6) và I(0:0) nên parabol (P) có phương trình: y =  Khi đó thể tích của chiếc ly đã cho là:

9

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

V = π

_Trần Huy Hoàng Anh:

Ví dụ 1: Cho bồn nước được thiết kế với các kích thước cho sẵn và mặt cắt parabol của bồn nước trong hình vẽ dưới đây:

BÀI LÀM Parabol đi qua các điểm A(-4,8), B(4,8), C(0,0) ta tìm được phương trình Diện tích phần mặt cắt:

Thể tích bồn nước:

10

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

Ví dụ 2: Tính thể tích bình rượu biết bình rượt có 2 đáy là hình tròn bằng nhau, chiều cao của bình 14 cm Đường cong bình là đường cong bán kính 10 cm

BÀI LÀM Xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ Ta được phương trình đường cong của bình rượu

Thể tích của bình được tính bằng thể tích khi xoay đường cong của bình

bị giới hạn bởi đường thẳng y =0, x = -7, x = 7

_Đinh Vũ Mỹ Uyên:

Ví dụ 1: Tính thể tích bên trong chiếc lều có thiết diện mặt trước như hình vẽ:

Biết rằng cạnh trái và cạnh phải của mặt

lều lần lượt là nhánh phải của parabol và

nhánh trái của parabol ; và chiều dài bên

hông của chiếc lều là 5 mét (mỗi đơn vị

trên mỗi trục ứng với 1 mét)

Bài giải:

Diện tích của mặt lều là:

Thể tích bên trong của chiếc lều là:

11

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

Ví dụ 2: Tính thể tích bên trong của 1 chiếc lồng bàn được tạo ra khi quay đường cong

quanh trục Oy như hình sau:

(mỗi

đơn

vị

trên

trục

tọa độ

ứng

với 1

đề-xi-mét):

Bài giải:

Đường cong (C) có tính đối xứng qua trục Oy nên ta chỉ cần lấy nửa nhánh bên trái hoặc bên phải của đường cong quay quanh trục Oy để tính phần thể tích cần tìm

Cách1: Thể tích bên trong của chiếc lồng bàn cần tính là:

Cách2:

Biến đổi x theo y:

Thể tích bên trong của chiếc lồng bàn cần tính là:

12

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

_Đặng Ngọc Phú:

Ví dụ 1: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12 A dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại

Lời giải Hình dạng khung trại là parabol giả sử có phương trình , vì đỉnh trại cao

3 m và bề ngang trại rộng 3 m nên khi đó parabol qua điểm A(0; 3) và B(1.5; 0) suy ra

Cách 1: Thiết diện vuông góc với trục của trại là một hình phẳng giới hạn bởi đường parabol như hình vẽ giả sử có diện tích S(x) Khi đó

Do trại dài 6 m nên thể tích phần không gian

trong trại là

Cách 2: Thiết diện dọc theo trại và vuông góc

với mặt đất là hình chữ nhật có diện tích S(x)=6|

f(x)| với Vậy thể tích không gian trong trại là

Ví dụ 2: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính

trong lòng đáy cốc là 4 cm, chiều cao trong lòng

cốc là 12 cm đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong

13

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc, mực nước trùng với đường kính đáy

Lời Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Cắt khối nước

trong cốc khi nằm nghiêng theo mặt phẳng

vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam

giác ABC vuông tại B

Ta có: AB=BC

= >

= > V=

14

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

TÀI LIỆU KHAM THẢO

[1] ‘’Giáo trình giải tích 1’’, Trường ĐH Bách Khoa – ĐH Quốc gia

TP.HCM

[2] Wikipedia.org

https://toanmath.com/2021/07/bai-giang-ung-dung-cua-tich-phan.html

[4]

https://tuhoc365.vn/learn/cong-thuc-ung-dung-tich-phan-tinh-the-tich-ly-thuyet-va-cac-dang-bai-tap/

15

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)

Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)