NGHIÊN CỨU RỐI LƯỢNG TỬ TRONG ĐỒNG VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀ CHỮ KÍ LƯỢNG TỬ

Thứ nhất, lí thuyết thông tin cổ điển do Shannon phát minh ranăm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện, ngay từ những ngàyđầu nó đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều h

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầygiáo Nguyễn Văn Hợp, người đã luôn ủng hộ, động viên và cho em những lờikhuyên sâu sắc, quý báu trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin cảm ơn các thầy, các cô trong khoa Vật Lí trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật Lí Lí Thuyết đã tận tình giảng dạy, chỉbảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa

Em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong khoa đã luôn giúp đỡ và cho emnhiều lời khuyên, lời động viên chân thành, bổ ích, đã cho em được sống, học tập vàlàm việc trong một môi trường thân thiện

Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo trường, khoa đã tạo điều kiện tốt chochúng em học tập

Cuối cùng, con xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và là chỗ dựa vững chắccho con trong suốt thời gian học tập

Hà Nội, tháng 4, năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Hương Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.Lí do chọn đề tài 1

2 Phương pháp nghiên cứu: 7

3 Ý nghĩa thực tiễn: 8

4.Bố cục 8

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 9

1.1 Nguyên lí chồng chất trạng thái 9

1.2 Bit lượng tử 9

1.3 Rối lượng tử 12

1.4 Các cổng logic lượng tử 16

1.4.1.Cổng đơn qubit 17

1.4.2.Cổng hai qubit 19

1.5 Tạo rối lượng tử 22

1.6 Định lí không thể nhân bản trạng thái lượng tử 23

1.7 Phép đo lượng tử 24

1.7.1 Phép đo Bell 25

1.7.2 Phép đo von Neumann 26

Chương 2 SỰ PHỤ THUỘC CỦA XÁC XUẤT THÀNH CÔNG TRONG ĐỒNG VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀO SỰ LỰA CHỌN NGUỒN RỐI 28

2.1 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử 28

2.2 Sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối 28

2.2.1 Sự phụ thuộc của xác suất thành công vào nguồn rối lượng tử khi đồng viễn tạo trạng thái lượng tử dạng một 29

2.2.2 Sự phụ thuộc của xác suất thành công vào nguồn rối lượng tử khi đồng viễn tạo trạng thái lượng tử dạng hai 35

Chương 3 VIỄN CHUYỂN CHỮ KÍ LƯỢNG TỬ 42

3.1.Viễn chuyển trạng thái lượng tử 42

3.2 Chữ kí số 43

3.3 Chữ kí số lượng tử 45

3.3.1 Yêu cầu chung về chữ kí lượng tử 45

3.3.2 Mô tả thuật toán phân xử chữ kí lượng tử 47

3.3.3 Phân tích sự an toàn của quá trình phân xử chữ kí lượng tử .54 3.4 Viễn chuyển chữ kí lượng tử 56

3.4.1 Cơ sở lí thuyết: 56

3.4.2 Mô tả giao thức viễn chuyển chữ kí: 60

3.4.3 Phân tích về sự an toàn của viễn chuyển chữ kí lượng tử 61

3.5 Hạt rối tấn công phụ trợ 63

3.6 Giao thức mới đảm bảo sự an toàn trước sự tấn công bằng hat rối phụ trợ 65

KẾT LUẬN 69

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Thế kỉ 20, cơ học lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ của thời kì này.Các tính chất của cơ học lượng tử đã giải thích được sự vận hành của laze,transistor, kính hiển vi điện tử hay đi-ốt… (các thiết bị điện tử không thể thiếutrong xã hội hiện nay) Cơ học lượng tử đã tiên đoán về các tính chất của hạt cơ bảnphù hợp với các phép đo thực nghiệm

Dù vậy, ngay từ đầu, cơ học lượng tử đã không được công nhận là một líthuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lí Einstein-nhà vật lí lỗi lạc của mọi thời đại đãphủ nhận tính đầy đủ của lí thuyết này Đối với ông luôn luôn tồn tại một hiện thựckhách quan độc lập với nhận thức của chúng ta dù ở cấp độ vi mô hay vĩ mô Ôngphủ nhận tính xác suất của sự tồn tại các trạng thái lượng tử với quan điểm”Chúakhông chơi xúc sắc” Đặc biệt năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky và NathanRosen thường được gọi là nhóm EPR đã đề xuất nghịch lý EPR (EPR paradox) trênbài báo mang tên “Can quantum- mechanical description of physical reality beconsidered complete?” ( Liệu sự mô tả thực tại vật lí bằng cơ học lượng tử có thểxem là đầy đủ hay không? ) Nội dung của nghịch lý có thể tóm tắt như sau: người

ta có thể chế tạo một cặp hạt rối lượng tử Tách hai hạt ra xa nhau, khi đo tọa độ của

hạt thứ nhất thì sẽ biết được tọa độ của hạt thứ hai, vì chúng được rối với nhau.

Ngay sau đó, đo xung lượng của hạt thứ hai ta lại có thể biết được xung lượng củahạt thứ nhất Như thế ta có thể đồng thời đo được chính xác tọa độ lẫn xung lượngcủa mỗi hạt, điều này trái với nguyên lý bất định Heisenberg của cơ học lượng tử

Mãi đến năm 1964, John Bell đưa ra một bất đẳng thức (Bell’s inequality)chỉ ra rằng dạng tham số ẩn mà EPR nghĩ tới không tương thích với những quan sátcủa chúng ta

Tuy nhiên, rối lượng tử lần đầu được đưa ra bởi EPR là một tài nguyên quýgiá trong việc phát triển các công nghệ lượng tử như: mật mã lượng tử (quantumcryptography), điện toán lượng tử (quantum computing), viễn chuyển trạng tháilượng tử (quantum teleportation), Chúng được nhắc đến như những điều kì lạ songnhững điều kì lạ này lại xuất hiện như những điều kì diệu trong khoa học và công

nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đang thực sự thu hút đông đảo các nhà khoahọc trên thế giới trong những thập niên gần đây.[2]

Khoa học thông tin kết hợp và dựa trên các quy luật của vật lí, toán học, khoahọc máy tính và kĩ thuật Những nguyên tắc cơ bản của lí thuyết lượng tử được ápdụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tínhchất kì lạ Song, những nghiên cứu gần đây về lí thuyết đã mang đến rất nhiều ngạcnhiên Sự phát triển bùng nổ của khoa học thông tin gần đây có thể quy cho là sựhội tụ của hai yếu tố Thứ nhất, lí thuyết thông tin cổ điển do Shannon phát minh ranăm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện, ngay từ những ngàyđầu nó đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như xử lí thông tin,mật mã học,… tuy đã đạt được thành công nhưng không thể phủ nhận rằng nó còn

có rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của

lí thuyết thông tin lượng tử Thứ hai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo

đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi có khả năng thựchiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động lên các trạng tháilượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứutrên lĩnh vực này Nổi bật nhất là giải Nobel vật lí năm 2012 giành cho SergeHaroche và David J.wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp đểthực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫnbảo toàn được bản chất lượng tử của chúng, mở ra một kỉ nguyên mới cho cácnghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử

Vào năm 1937, George Stibitz đã chế tạo ra chiếc máy vi tính đầu tiên sửdụng hệ đếm nhị phân, hay mã nhị phân, để thực hiện tính toán số học Mã nhị phândùng hai con số là 0 và 1 Hiện nay, máy vi tính ngoài khả năng tính toán phức tạp,chính là cơ sở hạ tầng của dịch vụ viễn thông Viễn thông là việc truyền dẫnthôngtin qua một khoảng cách đáng kể về mặt địa lí Một hệ thống viễn thông bao gồm bathành phần chính: bộ phát nhận thông tin mã hóa thông tin thành dạng tín hiệu, môitrường truyền dẫn truyền tín hiệu đi và bộ thu nhận tín hiệu giải mã thành thông tinban đầu Hiện nay, môi trường truyền dẫn đang được sử dụng là vô tuyến, sợiquang kết hợp với vệ tinh thông tin và internet Tập hợp các bộ phát, bộ thu thôngtin với nhau được gọi là một mạng Mạng thông tin bao gồm bộ phận tổng đài dùng

để thiết lập kết nối Khi truyền tín hiệu dưới dạng bit cổ điển thì nó có thể dễ dàng

bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện, thông qua hệthống tổng đài vì vậy truyền thông cổ điển là một quá trình không an toàn

Năm 1982, Feynman đã chỉ ra rằng vật lí lượng tử không thể được mô tả mộtcách hiệu quả bởi máy tính cổ điển, ông nghĩ đến một loại máy tính có hoạt độngtrên nguyên tắc của cơ học lượng tử sẽ giải quyết được những vấn đề khó mà máytính số bình thường không thực hiện được Đến năm 1985 David Deutsch dựa vàotính chất lượng tử song song đã chỉ ra sự tồn tại của máy tính lượng tử với việc xử líthông tin được mã hóa trong các bit lượng tử một cách hoàn hảo Hơn thế nữa, líthuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó làtrạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vôcùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử, điều mà trong lí thuyết cổ điểnkhông có được Các hạt được rối với nhau có những tính chất thật đặc biệt: Mộtphép đo trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dùchúng ở cách xa bao xa Đáng kinh ngạc hơn, các hạt lượng tử có thể rối với nhaucho dù trước đó chúng không hề có sự tương tác thông qua hiện tượng tráo rốilượng tử (entanglement swapping) Cách đây vài thập niên, rối lượng tử trở thànhmột chủ đề nghiên cứu chuyên sâu của các nhà khoa học quan tâm đến lí thuyếtlượng tử và trở thành một nguồn tài nguyên vô cùng có giá trị được các nhà khoahọc khai thác một cách hữu ích, nó là điều kiện cần để có thể hoàn thành nhiềunhiệm vụ mang tính chất không tưởng, ví dụ như: mật mã lượng tử, Viễn chuyểntrạng thái lượng tử (VCTTLT) hay chia sẻ bí mật thông tin lượng tử…

Hiện nay, vấn đề bảo mật và truyền tải thông tin là vô cùng quan trọng Cũng

vì đó mà các nhà khoa học đã không ngừng tìm kiếm những cách thức để thông tinđược an toàn tuyệt đối khi truyền đi Các giao thức bảo mật thông tin đã ra đời.Giao thức bảo mật hiện đại được khám phá đầu tiên là mật mã lượng tử Một côngnghệ bảo mật thông tin truyền đi bằng truyền thông quang, thông qua sợi quanghọc Mật mã lượng tử là loại mật mã dựa vào các quy luật của tự nhiên, do đó đây làloại mật mã không thể tấn công bằng các sức mạnh tính toán Cho dù mục đích rađời của nó là chống lại những hiệu ứng của máy tính lượng tử nhưng thật kì diệubởi mật mã lượng tử đã được hiện thực hóa thành công trước cả sự ra đời của máy

tính lượng tử Giao thức đã được tiến hành thành công vào năm 1991 trên đườngtruyền dài 32 cm theo thể thức BB84.[1,10]

Đầu năm 2012, các nhà nghiên cứu châu Âu đã sử dụng laser để truyền thànhcông một photon giữa hai hòn đảo, cùng nằm trong quần đảo Canary Đúng vào lúcchùm laser mất đi ở quần đảo này thì một chùm laser giống hệt nó lại xuất hiện ởmột quần đảo khác cách đó 143 km, nên người ta thấy rằng chùm sáng đã được dichuyển tức thời Các nhà khoa học gọi đó là Viễn chuyển trạng thái lượng tử

Viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) là một giao thức được đề xuấtlần đầu tiên bởi Bennet cùng với 5 cộng sự của ông vào năm 1993 Thành phầnchính của VCTTLT là một kênh rối lượng tử và một phép đo Bell, kết hợp với kênhtruyền tin cổ điển Để hiểu rõ hoạt động của giao thức này chúng ta xét một bàitoán Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, khi còn ở với nhau họ đãtạo chung với nhau một cặp rối Nhiều năm sau đó, Alice được giao nhiệm vụchuyển cho Bob một trạng thái lượng tử an toàn và nguyên vẹn Cả Alice và Bobđều không biết về trạng thái này và Alice cũng không thể gửi trực tiếp trạng tháinày qua kênh truyền cho Bob được vì có thể bị thất lạc hoặc nghe trộm May mắnrằng họ đã tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể hoàn thànhbằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển từ kết quả phép đo của cô ấy Saukhi nhận được kết quả, Bob chỉ cần thực hiện các thao tác địa phương là thu đượctrạng thái cần gửi Đến đây, nhiệm vụ của Alice đã hoàn thành

Chúng ta có thể đặt ra tình huống điều gì sẽ xảy ra nếu Alice biết trạng tháicần gửi? Một giao thức mới đã ra đời, đó là Viễn tạo trạng thái lượng tử (VTTTLT).Tuy nhiên, trong VTTTLT, mọi thông tin đã được để lộ cho Alice biết, khả năngthông tin bị rò rỉ là rất cao Khắc phục điều này, đảm bảo thông tin được an toàntuyệt đối, một ý tưởng mới ra đời đó là ta sẽ thêm người gửi, tức là ít nhất sẽ gồmhai người gửi, giả sử bao gồm Alice và Charlie Thông tin của trạng thái cần gửi sẽđược tách ra làm hai phần theo một quy tắc nhất định nào đó, mỗi một người thamgia gửi sẽ biết duy nhất một phần thông tin đó Trong trường hợp này thay vì thựchiện phép đo Bell lên qubit của mình Người gửi sẽ thực hiện các phép đo vonNeumann trên qubit của mình dựa trên hệ cơ sở phụ thuộc vào thông tin của trạng

thái gốc Nhờ vậy thông tin được đảm bảo an toàn tuyệt đối Giao thức được thựchiện như trên gọi là Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (ĐVTTTLT).[2]

Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức ĐVTTTLT, nhữngngười gửi và người nhận ban đầu cũng phải được chia sẻ với nhau những trạng tháirối giống như một nguồn tài nguyên không thể thiếu cho quá trình thực hiện Cácnguồn rối là vô cùng phong phú, họ có thể tạo với nhau các cặp rối EPR, trạng tháirối Greenberger-Home-Zeilinger(GHZ) hay trạng thái W,… Việc tạo và phân phốirối lượng tử là một vấn đề rất khó và thực sự tốn kém Việc tạo rối đôi đơn giản và

dễ thực hiện hơn rất nhiều so với việc tạo các bộ rối nhiều thành phần hơn, bởi cácthao tác kiểm tra khi phân phối rối cho hai người bao giờ cũng đơn giản và ít tốnkém hơn, do đó, việc sử dụng nó là đơn giản nhất và có lợi thế hơn về kinh tế.Người ta cũng thấy rằng việc tạo rối EPR là ít tốn kém về kinh tế hơn các loại rốikhác [1]

Xác suất thành công của giao thức là vấn đề quan trọng, nó phụ thuộc vào loạirối được chọn Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ trình bày “ Sự phụ thuộc của xácxuất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối ”

Mật mã lượng tử xuất hiện kéo theo sự xuất hiện của nhiều đề án, một trongcác đề án đó là “ chữ kí số ”

Con người đã sử dụng các hợp đồng dưới dạng điện tử từ hơn 100 năm nay vớiviệc sử dụng mã Morse và điện tín Tuy nhiên, chỉ với những phát triển của khoa học

kỹ thuật gần đây thì chữ ký điện tử mới đi vào cuộc sống một cách rộng rãi

Hiện nay, chữ ký điện tử có thể bao hàm các cam kết gửi bằng email, nhậpcác số định dạng cá nhân (PIN) vào các máy ATM, ký bằng bút điện tử với thiết bịmàn hình cảm ứng tại các quầy tính tiền, chấp nhận các điều khoản người dùng(EULA) khi cài đặt phần mềm máy tính,ký các hợp đồng điện tử online

Chúng ta có bài toán sau:

Alice muốn gửi thông tin cho Bob và muốn Bob biết thông tin đó thực sự dochính Alice gửi Alice gửi cho Bob văn bản kèm với chữ ký số Chữ ký này đượctạo ra với khóa bí mật của Alice Khi nhận được văn bản, Bob kiểm tra sự thốngnhất giữa văn bản và chữ ký bằng thuật toán kiểm tra sử dụng khóa công khai củaAlice Bản chất của thuật toán tạo chữ ký đảm bảo nếu chỉ cho trước văn bản, rất

khó (gần như không thể) tạo ra được chữ ký của Alice nếu không biết khóa bí mậtcủa Alice Nếu phép thử cho kết quả đúng thì Bob có thể tin tưởng rằng văn bảnthực sự do Alice gửi.

Thông thường, Alice không mật mã hóa toàn bộ văn bản với khóa bí mật màchỉ thực hiện với giá trị bất kì của văn bản đó Điều này khiến việc ký trở nên đơngiản hơn và chữ ký ngắn hơn Tuy nhiên, nó cũng làm nảy sinh vấn đề khi hai vănbản khác nhau lại cho ra cùng một giá trị băm Đây là điều có thể xảy ra mặc dù xácsuất rất thấp.[3]

Vật lý của các hệ lượng tử sẽ mở ra một cánh cửa về khả năng hấp dẫn chomật mã, vẽ ra và truyền tải khoa học trong sự hiện diện của kẻ tấn công Một mụctiêu chính của mật mã cổ điển là để xác nhận nguồn gốc của văn bản Giống nhưmột chữ ký viết tay trên tài liệu giấy, một chữ ký số xác nhận một tài liệu điện tử vàđảm bảo rằng nó đã không bị giả mạo Tầm quan trọng của kỹ thuật số chữ ký đểthương mại điện tử hiện đại mà Rivest đã viết " chúngcó thể được chứng minh làmột trong những phát minh cơ bản và hữu ích của mật mã hiện đại " Sự an toàn củatất cả các cách thức chữ ký kỹ thuật số khóa công khai phụ thuộc vào sự bất lực của

kẻ giả mạo, để giải quyết các vấn đề toán học khó, chẳng hạn như sự phân tíchthành thừa số các số lớn Không may, với một máy tính lượng tử, sự phân tích thànhthừa số trở nên dễ kiểm soát, do đó cho phép chữ ký bị giả mạo.[8]

Chữ kí số phát triển rất mạnh, một văn bản vừa không bị quên bởi ngườinhận, vừa không bị tấn công Sự an toàn của chữ kí số phải dựa trên cơ sở là máyđiện toán phức tạp ví dụ như EIGamal và DSA.Tuy nhiên, nó có thể bị tấn công bởimối đe dọa vào máy tính số và sự nổi bật của máy tính lượng tử là sự phân phối dễdàng Trong mật mã lượng tử, chúng ta có thể giảm sự phức tạp, ví dụ, vấn đề phântích thừa số nhanh hơn, với nguồn năng lượng nhỏ hơn mật mã cổ điển bởi sử dụngtrạng thái lượng tử song song

Khác với mật mã cổ điển, mật mã lượng tử có cơ sở là những tính chất vật lí,

ví dụ, người nghe trộm có thể dò ra sự đổ sập của trạng thái lượng tử trong quá trình

đo Thông tin về chữ kí lượng tử (QMS) là một công nghệ mà kết hợp lí thuyếtlượng tử với mật mã cổ điển và tận dụng kết quả đo lượng tử để hoàn thành tuyệtđối an toàn

Zeng đã nghiên cứu về phân phối thông tin chữ kí lượng tử trên bộ ba trạngthái GHZ, nhưng đề án của ông thuộc về cách phân xử phân phối chữ kí, đó là mộtngười trọng tài đáng tin cậy và chỉ có một người kí Lee đã từng đề xuất đề án chữ

kí lượng tử với phục hồi văn bản, một cách phân chia sử dụng một bảng công khai.Cách phân chia của ông ta, cung cấp thêm một lợi ích của người trọng tài và có thểchữ kí chỉ được kí bởi một người Trong đề án chữ kí này, người trọng tài như một

hệ thống chỉ đạo có thể lấy thông tin nội dung văn bản Vì vậy, sự an toàn của ngườixác nhận sự phân phối chữ kí phụ thuộc nhiều vào tính chất đáng tin cậy của ngườitrọng tài Hơn nữa, sự tồn tại của người trọng tài sẽ giảm bớt hiệu quả truyền thôngtin của phương thức

Viễn chuyển trạng thái lượng tử có vai trò quan trọng trong công nghệ truyềnthông tin lượng tử, nó phát minh bởi Bennett và phát triển bởi nhiều nhà khoa họckhác Sự phân phối trong viễn chuyển trạng thái lượng tử được thực hiện một cáchrất thận trọng lần đầu tiên xuất hiện bởi Karlsson và Bourennane Đó là một ý tưởngtương tự (giống) với cách chia sẻ bí mật lượng tử, được đưa ra bởi Hillery, tùy theo

sự phân phối của họ, bao gồm ba người tham gia, cho nên kênh lượng tử được quản

lí bởi những người tham gia này, trạng thái ban đầu không thể được chuyển trừ phitất cả ba người tham gia cùng đồng ý.[5]

Trong khóa luận này, chúng tôi trình bày một giao thức cho thông tin chữ kílượng tử với trạng thái GHZ và sự điều khiển của viễn chuyển lượng tử Điểm đặcbiệt trong giao thức này là văn bản có thể được kí bởi nhiều người và nó không dựavào người trọng tài

Tuy được đánh giá cao nhưng giao thức này vẫn bị tấn công bằng nhiều cáchkhác nhau trong đó có sự tấn công bằng hạt rối phụ trợ [11] Trong khá luận nàychúng tôi sẽ trình bày phương thức mới đảm bảo sự an toàn của thông tin trước sựtấn công của hạt rối phụ trợ

2 Phương pháp nghiên cứu:

Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng tôi sử dụng các lý thuyết sau:

1/ Cơ học lượng tử

2/ Định lí không thể nhân bản trạng thái lượng tử

3/ Các cổng logic lượng tử

4.Bố cục

Bố cục của khóa luận gồm 3 chương:

● Chương 1: Các khái niệm cơ bản (giới thiệu các khái niệm cơ bản cần

thiết cho việc tính toán ở các phần sau)

● Chương 2: Sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối ( thế nào là Đồng viễn tạo trạng

thái lượng tử và sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng tháilượng vào sự lựa chọn nguồn rối )

● Chương 3: Viễn chuyển chữ kí lượng tử ( Chúng tôi trình bày về chữ kí

lượng tử, viễn chuyển chữ kí lượng tử và cách tấn công bằng hạt rối phụ trợ, đề xuấtgiao thức mới chống lại sự tấn công của giao thức hạt rối phụ trợ )

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Nguyên lí chồng chất trạng thái

Các nguyên tử và các hạt vật chất có kích thước nguyên tử (10 m 10 ) tuântheo một tập hợp quy tắc gọi là cơ học lượng tử Sự khác biệt giữa cơ học lượng tử

và cơ học cổ điển là ở chỗ hệ có thể đồng thời tồn tại ở mọi trạng thái có thể có củachúng Đó chính là nội dung của nguyên lí chồng chất trạng thái

Nguyên lí chồng chất trạng thái dẫn đến một định lí quan trọng là định líkhông nhân bản và cũng ảnh hưởng đến các phép đo lượng tử Sự chồng chất bị phá

vỡ khi một hệ lượng tử được đo, vì tác dụng đo đã đưa hệ vào một trạng thái cụ thể

Ví dụ như một nguyên tử hoặc một photon, có thể tồn tại trong hai hoặc nhiều trạngthái lượng tử cho đến khi có một phép đo được thực hiện trên nó Hơn nữa, xác suất

đo được hệ ở một trạng thái bằng bình phương modun hệ số của trạng thái đó, điềunày là sự khác biệt cơ bản giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển Cụ thể, một hệlượng tử có thể ở trạng thái  1 hoặc trạng thái  2 , theo nguyên lí chồng chấttrạng thái thì hệ có thể ở trạng thái là chồng chất của hai trạng thái trên

2 2 1

về trạng thái  1 Tương tự, khi ta thực hiện phép đo lên trạng thái  , kết quả

đo trạng thái  2 là A2 thì xác suất thu được kết quả A2 là 2

Bit lượng tử tuân theo nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử đó là nguyên lýchồng chập nên tạo ra rối lượng tử Bit cổ điển chỉ có thể ở một trong hai trạng thái

là 0 hoặc 1 nhưng trạng thái của qubit là chồng chập tuyến tính của hai trạng

thái 0 và 1

100

Mặt khác:

0 0

2 sin 0

2 cos   

(1.11)

với các thông số ,  là những thông số thực.( 0   , 0  2 )

Như vậy, không gian hai chiểu của các trạng thái lượng tử một qubit đượcbiểu diễn trực quan qua mặt cầu đơn vị, gọi là mặt cầu Bloch

Các tham số ,  xác định một điểm trên quả cầu đơn vị gọi là quả cầuBloch Mỗi trạng thái của qubit được biểu diễn bằng một điểm trên mặt quả cầu.Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm trên hai cực Nam và Bắc của quả cầuBloch còn trạng thái của qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái đó nên nónằm tại mọi điểm trên quả cầu, được minh họa trên hình vẽ (1.1)

Hình 1.1 : Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học cho

qubit Vị trí của mỗi qubit được xác đinh thông qua hai tham số , 

Bất kì hệ lượng tử nào có hai trạng thái tồn tại cũng có thể dùng để biểu diễnqubit trong thực tế Ví dụ, trong quang lượng tử khi đối tượng nghiên cứu là số hạt

photon thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái Fock của chúng Cụ thể, một số hìnhthái của qubit được thể hiện trên bảng :

Bảng 1.1: Các hình thái vật lý của qubit

1.3 Rối lượng tử

Rối lượng tử (vướng víu lượng tử) [1,2] là một trong những đối tượng thú vịnhất trong cơ học lượng tử Sự rối xảy ra khi một cặp hạt, ví dụ như electron vàproton, có liên kết thực chất với nhau Trong đó, trạng thái lượng tử của hai haynhiều vật thể có liên hệ với nhau, dù cho chúng có nằm cách xa nhau Trong lýthuyết cổ điển, các hệ con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tácđộng của bên ngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với các hệ lượng tửkhi chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời Tuy nhiên, nếu các hệlượng tử không bị tách rời hay nói cách khác là chúng được rối với nhau thì chúng

sẽ không còn tồn tại độc lập với nhau nữa, mỗi tác động lên hệ con này sẽ có ảnhhưởng tức thời đến các hệ con kia Vậy hệ lượng tử như thế nào được gọi là rối?

Ta xét trạng thái lượng tử của N N  qubit xác định trong không gian 2

với i iH i thì trạng thái  12 N được gọi là trạng thái tích hay trạngthái rời của N qubit Còn ngược lại nếu

        ,

(1.14)

thì  12 N được gọi là trạng thái rối N qubit

Sau đây ta xét trường hợp trạng thái hai qubit:

 0 , 1 , 0 , 11 1  2 2 lần lượt là các hệ cơ sở trực chuẩn một qubit trong hai

không gian H1 và H2

Không gian H1  H2 xác định trạng thái hai qubit có các vectơ cơ sở như

sau  0 0 , 0 1 , 1 0 , 1 11 2 1 2 1 2 1 2 Khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit

được viết dưới dạng

(1.15)với , , ,    là các số phức bất kì thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

do vậy (1.19) là một trạng thái rời.

Các hạt được rối với nhau có những tính chất đặc biệt, đó là: một phép đotrên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng ở cách

xa nhau

Xét trạng thái rời có dạng (1.19) Khi ta thực hiện phép đo lên qubit thứ nhất

ở trạng thái 0 Kết quả này xảy ra với xác suất :

Do '  , nên phép đo lên qubit thứ nhất không làm ảnh hưởng phép đo

qubit thứ hai ở trạng thái 0

Xét trạng thái rối (1.19), khi ta thực hiện phép đo lên qubit thứ nhất ở trạngthái 0 Kết quả này xảy ra với xác suất :

1Pr

Giả sử sau đó ta thực hiện tiếp phép đo trạng thái 1 ở qubit thứ hai thì rõ

ràng xác suất của kết quả này Pr1  Vậy ở trạng thái rối (1.19), mỗi phép đo lên0qubit thứ nhất đều ảnh hưởng đến kết quả lên qubit lại, mặc dù chúng ở xa nhau

Trạng thái (1.19) chính là một trong bốn cặp rối EPR Bốn trạng thái EPRđược viết đầy đủ ra như sau:

Hiện nay, các nhà khoa học đã tìm ra được rất nhiều hệ lượng tử nguyên tử

có thể đưa vào một trạng thái rối với nhau Hai nhóm vật lí độc lập nhau lần đầutiên thành công trong việc làm vướng víu một đơn photon với một spin đơn electronchứa trong một chấm lượng tử Thí nghiệm do các nhà vật lí ở Anh tiến hành, đượcthực hiện ở nhiệt độ phòng Hai viên kim cương đặt cách nhau 15 cm đã được đưavào một trạng thái rối lượng tử Các nhà vật lí ở Áo vừa phá kỉ lục về các qubit, làmrối thành công 14 qubit ion calcium, phá vỡ kỉ lục trước đây của họ làm vướng víu 8qubit Những xung ánh sáng gồm khoảng 100.000 photon rối với nhau đã được tạo

ra bởi các nhà vật lí ở Đức và Nga Một nhóm nghiên cứu quốc tế khẳng định đãtiến thêm một bước thiết yếu hướng đến sự điện toán lượng tử gốc silicon bằng cáchlàm rối 10 tỉ cặp electron và hạt nhân phospho bên trong một tinh thể silicon Đây làlần đầu tiên sự rối được chứng minh ở một dụng cụ bán dẫn.[2] Rối lượng tử là yếu

tố cơ bản hình thành nên nền tảng của máy tính lượng tử Những đột phá trên có thểđưa đến những máy tính lượng tử thực tiễn và những hệ truyền thông lượng tử trongtương lai.

Sau đây chúng tôi xin trình bày thêm về rối GHZ [1], đó là loại rối của 3 hạtlượng tử trở lên

, , 1 , ,

2

1

lk ABC

n m

k k k m k n

(1.30)tạo thành tám vectơ cơ sở cho phép đo GHZ

Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ có dạng

các cổng lựợng tử logic thuận nghịch mà thực tế chính là các toán tử unitary nói ởtrên Các cổng logic lượng tử bao gồm các cổng đơn và đa qubit, tuy nhiên người ta

đã chứng minh được rằng bất kì một cổng đa qubit nào cũng có thể được tạo nên từcác cổng đơn qubit tổng quát và một cổng hai qubit đặc biệt như controlled-NOTchẳng hạn Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một vài cổng lượng tử logic phổ biến:

1.4.1.Cổng đơn qubit

Cổng lượng tử đơn qubit U(  ,  )[1,2,7] với  ,  là các số thực, là một toán

tử chuyển trạng thái biến một qubit đầu vào thành một qubit khác ở đầu ra

Biểu diễn toán học của nó là một ma trận 2 2 như sau:

sin cos

i

e

e U

sin 1

1 sin 0

cos 0

e U

(1.36)Dưới đây ta cụ thể hóa cho các trường hợp cổng lượng tử đơn qubit:

0 1

1 0

x

đây là toán tử x có tác dụng lật bit

0 1

x x

i i

0 1

1 1 2

2

H H

Mặt khác chúng cũng thỏa mãn các hệ thức

222

i i i

Cổng lượng tử controlled-not (CNOT)

Hình 1.2 Biểu diễn hình học của cổng CNOTĐầu vào của cổng CNOT gồm 2 qubit: qubit thứ nhất là qubit điều khiển(control), qubit thứ hai là qubit mục đích (target) Qubit điều khiển sẽ không bị thayđổi sau khi qua cổng CNOT Qubit mục đích sẽ bị đảo ngược khi và chỉ khi qubitđiều khiển là 1 Cách thức hoạt động được biểu diễn bởi công thức sau:

12

02

10

21

02

10

0100

1000

0010

0001'

Ta thấy 

 chính là một trong bốn trạng thái EPR Như vậy hệ (1.55) đã

bị rối sau khi đi qua cổng CNOT

Xét trạng thái rối (1.16) được biểu diễn như sau:

 

1201

02

12

Cho trạng thái đi qua cổng CNOT :

sin cos

) ( )

C C

+>CROT CC' 1 C 0 C'  1 C 0 C'

(1.65)

+>CROT CC' 1 C 1 C'=  1 1 1 '

C C

sin cos

0

'

0 1 0 0

sin 0 cos 0

0 0 0 1

CROT (1.67)

CROT là ma trận Unita UU I

1.5 Tạo rối lượng tử

Rối lượng tử như đã nói là một nguồn nguyên liệu không thể thiếu trong quátrình xử lý thông tin lượng tử Tuy nhiên trong thực tế, công nghệ tạo rối lại rấtphức tạp và tốn kém cho dù cơ sở lý thuyết cho phép ta làm điều đó Trong khuônkhổ khóa luận này, chúng tôi dừng lại ở việc trình bày cơ sở toán học để tạo ra trạngthái rối EPR.[2]

Giả sử cho hai qubit ban đầu A và B có dạng i và A j với B i j , 0,1 Làm

thế nào để chúng được rối với nhau thành trạng thái EPR? Để làm điều đó ta chomột toán tử rối R tác động lên hai trạng thái rời ban đầu sao cho nó biến thành AB

Người ta đã xác định được R AB CNOT H AB A Trong đó H là cổng A

Hadamard chỉ tác dụng lên hai qubit A và CNOT với qubit điều khiển A và qubit AB

Cụ thể:

0,0 0,1 1,0 1,1

Vế phải của (1.70) chính là bốn trạng thái EPR

1.6 Định lí không thể nhân bản trạng thái lượng tử

Nguyên lý chồng chập còn dẫn đến một định lý quan trọng gọi là định lýkhông thể nhân bản một trạng thái lượng tử [1,2] được chỉ ra đầu tiên bởi Wootters

và Zurek vào năm 1982

Nội dung của định lí là không thể sao chép một cách hoàn toàn thông tin lượng

tử Ví dụ, có một chiếc máy copy trạng thái của một photon hoặc một electron Khi đómỗi trạng thái ban đầu đi qua máy sẽ được copy thành hai phiên bản:

Vấn đề nảy sinh khi tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái (1.2) được gửi quamáy copy Nếu hai trạng thái 0 và 1 được copy một cách hoàn hảo, thì kết quảcủa phiên bản copy theo nguyên lý chồng chập sẽ có dạng tổ hợp :

Bây giờ ta sử dụng U để copy trạng thái (1.2)  0  0 0 10

Ta có

Ta nhận thấy rằng U không thể copy trạng thái (1.2).

Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong xử lí thông tin lượng tử Định lí chỉ

ra rằng không thể copy hoàn toàn một trạng thái lượng tử, điều này ngăn cản việcsao chép thông tin của một trạng thái bất kỳ, dẫn đến quá trình chuyển nó từ nơi nàyđến nơi khác là bảo mật

1.7 Phép đo lượng tử

Khái niệm về phép đo cổ điển, quan sát một đại lượng vật lý hay quá trìnhkiểm tra nó là vấn đề được khoa học nghiên cứu từ rất sớm Cơ học cổ điển chophép xác định chính xác kết quả của một phép đo Quá trình do có sự tương tác giữamáy đo và đại lượng cần đo Tuy nhiên, một phép đo lượng tử lại có những nguyên

lý và nét đặc thù hoàn toàn khác Theo lý thuyết cổ điển, ta chỉ có thể thực hiện mộtphép đo lên một trạng thái mà đã tồn tại từ trước khi đo nó Còn theo lý thuyếtlượng tử, ta không thể xác định được trạng thái của hệ khi ta không thực hiện phép

đo lên nó Hơn nữa, một phép đo cổ điển có thể xác định đầy đủ thông tin về trạngthái bất kỳ, ngược lại một phép đo lượng tử chỉ cho phép biết một phần thông tin vềtrạng thái cần đo Do hiện tượng chồng chập của các trạng thái lượng tử mà thôngtin nằm trong hệ lượng tử được ẩn trong các thông số của nó, ta chỉ có thể xác địnhđược khi thực hiện một phép đo lên trạng thái chồng chập đó Mỗi sự tác động đềulàm biến đổi trạng thái ban đầu thành một trạng thái khác Một phép đo lượng tử đòihỏi cần phải xác định toán tử đo và hệ cơ sở của phép đo Trong khuôn khổ khóaluận chúng tôi trình bày hai phép đo: phép đo Bell và phép đo von Neumann

1.7.1 Phép đo Bell

Phép đo Bell [3] được sử dụng trong giao thức viễn chuyển trạng thái lượng tử

Hình 1.3: Thí nghiệm InnsbruckThí nghiệm Innsbruck được thực hiện như sau:

Thí nghiệm Innsbruck bắt đầu với một xung laser tử ngoại năng lượng cao.Chuyển động từ trái sang phải, qua tinh thể, xung tạo cặp photon rối A và B; Ađược gửi cho Alice, B - cho Bob Phản xạ lại tinh thể, xung tạo thêm hai photon C

và D Một bộ phân cực tạo cho D trạng thái phân cực đặc biệt X Photon C được ghilại, để chắc chắn photon X đã được gửi cho Alice Bằng bộ tách tia, Alice tổ hợp haiphoton A và X, tức tìm trạng thái A và X rối với nhau Khi Alice đo được mỗiphoton trên từng máy đo (dấu hiệu A và X có vector phân cực vuông góc, tức rốilượng tử, với nhau), cô liền báo cho Bob Và Bob biết rằng photon B anh nhận đượcchính là bản sao của photon X, cho thấy viễn tải lượng tử đã thành công Trong thí nghiệm Innsbruck, Zeilinger tạo cặp photon rối A và B bằng tinhthể barium borate nói trên Ông biết A và B có vectơ phân cực vuông góc với nhau,nhưng không biết cụ thể chúng nằm hướng nào Ông không thể đo để xác địnhhướng cụ thể, vì đó là điều nguyên lý bất định cấm Nhưng may mắn là ông không

cần làm thế Zeilinger gửi A cho Alice và B cho Bob (trên con tàu giả định) Tiếptheo, ông tạo photon X sao cho nó rối lượng tử với A (tức X cũng có vectơ phân

cực vuông góc với vectơ A) Về mặt kỹ thuật, đó là phép đo trạng thái Bell, chứ

không đo trạng thái phân cực của X, nên không vi phạm nguyên lý Heisenberg Khithấy A và X rối với nhau, Alice liền báo cho Bob Và Bob biết ngay rằng photon Bchính là bản sao của photon X mà Alice muốn viễn tải cho anh Alice không đo đạctrạng thái lượng tử của A và X nên không vi phạm nguyên lý bất định (cô khôngbiết hướng vectơ phân cực cụ thể của A và X, mà chỉ biết chúng vuông góc vớinhau qua phép đo trạng thái Bell) Và viễn tải cũng không thể thực hiện nhanh hơnánh sáng bởi trong giao thức có sử dụng kênh truyền cổ điển, mà kênh truyền cổđiển bị giới hạn bởi tốc độ ánh sáng

1.7.2 Phép đo von Neumann

Giả sử thực hiện phép đo von Neumann [2] lên trạng thái lượng tử có hàmsóng  trên một hệ cơ sở là tập hợp các vectơ hoàn toàn trực giao và chuẩn hóa

với toán tử đo M i ,i 1, 2, ,m thỏa mãn:

Nguyên lý của cơ học lượng tử sẽ cho

Phép đo thu được kết quả ứng với chỉ số i có xác suất là

Toán tử đo là tập  M M với cơ sở được chọn là 0, 1  0 , 1 gồm hai vectơtrạng thái hoàn toàn trực giao nhau Ta chọn toán tử đo như sau:

00

1 1

11

Kết quả thu được trong các công thức (1.86) và (1.88) là do ta đã bỏ qua yếu

tố pha không mang ý nghĩa vật lí

2.1 Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử

Trở lại bài toán truyền thông tin lượng tử theo giao thức ĐVTTTLT đã nói ởphần đầu [2] Giả sử Alice và Charlie được giao nhiệm vụ tạo cho Bob một trạngthái lượng tử một qubit cho trước bất kì Để một giao thức ĐVTTTLT được hoànthành cần đòi hỏi những yêu cầu sau:

Mỗi người gửi và người nhận chỉ được phép thực hiện các thao tác địaphương và truyền các bit cổ điển thông qua kênh truyền cổ điên

Bob chỉ được dùng các toán tử hồi phục địa phương đơn giản để thu đượctrạng thái gốc

Alice và Charlie không thể một mình biết được thông tin về trạng thái cầngửi

Chỉ có duy nhất Bob nhận được trạng thái gốc

2.2 Sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối.

Sau đây, chúng tôi xin trình bày giao thức đồng viễn tạo trạng thái lượng tử

sử dụng nguồn rối EPR [4,6]

Cho hai trạng thái EPR

1

AC

BC

Qubit A thuộc về Alice

Qubit B thuộc về Bob

Qubit C1,C2 thuộc về Charlie

Chúng ta cũng có điều kiện chuẩn hóa cho  ,  là: 2 2 1

rối của chúng là không cực đại

Xét hai dạng trạng thái cần gửi cho bởi công thức:

Dạng một:

1 sin 0

cos  e i 

trong đó  ,  là các thông số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

Ta có trạng thái trực giao với q sau:

1 cos 0 sin  

Dạng hai:

1

0 y x

trong đó x là số thực, y số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa x,y  0

2.2.1 Sự phụ thuộc của xác suất thành công vào nguồn rối lượng tử khi đồng viễn tạo trạng thái lượng tử dạng một.

Để viễn tạo trạng thái (2.3) chính xác, ở đây Alice và Bob bắt đầu đo qubitcủa họ trong hệ cơ sở sau:

A A

A

A A

A

1 cos 0

sin

1 sin 0

e

e

1 0 2

1

1 0

2 1

sin cos

A A

A  cos    sin   

A A

2 1

1 1

1 1

1

1 0

0

.

1 cos 1

sin 0

sin 0

cos

.

2

1

C B C

B i C

B i

C B

C A C

A C

A C

2 1

2 1

2 1

1 0

.

1 cos

0 sin

1

0

1 cos

0 sin

.

1 0

.

1 sin

0

cos

.

1

0

1 sin

0 cos

2

1

C i

C B

A

C i

C B

A

C i

C B

A

C i

C B

A

e

e e

Như đã thấy ở phương trình (2.7), trong hệ cơ sở đo, kết quả của Alice và

Bob, cả qubit C1, C2 của Charlie được biến đổi theo ý muốn bằng phép biến đổi U

 I, x, y, z Tác động khác từ Charlie là sử dụng cổng CNOT lên qubit

2

1, C

C Sau đây là tác động cổng CNOTC1C2 và phương trình (2.7) trở thành:

CNOTC1C2 EPR AC1 EPR BC2

B C

C

B C

B e e e

sin 0

C

B C

e e

1 0

0 0

CNOTC1C2 EPR AC1 EPR BC2

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

1 0

1 0

1 0

1 0

C C

z i

C C

x B

A

C C

z C

C x

i B

A

C C

C C

y i

B A

C C

i C

C y

B A

q e

q

q q

e

q q

ie

q e

q i

tùy vào từng trường hợp Tổng xác suất thành công của đồng viễn tạo trạng thái

lượng tử trong trường hợp này là 4 81 21

b) Rối không cực đại:

Tiếp theo, chúng ta quan tâm đến trường hợp nguồn rối lượng tử cực đại với

 Từ phương trình (2.8) ta thấy rằng với mỗi kết quả đo của Alice, Bob,

Charlie là  A,  B, 1 C2 hoặc  A,  B, 1 C2, mỗi trường hợp sẽ có xác suất là