các bài tập hệ thống hóa phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

luận văn tốt nghiệp các bài tập hệ thống hóa phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đở của quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến:

TS Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo và tạo cho em lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn Người thầy đã truyền cho em sự say mê trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực hiện những bước đi đúng đắn trong tiến trình làm luận văn

Quý thầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp HCM đã truyền đạt cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nền tảng cho tương lai nghề nghiệp Đặc biệt TS Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn

Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn

Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn

Tp HCM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008

Võ Mạnh Hùng

PHẦN MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một

số trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”…

Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn Chính vì vậy, phương pháp gần đúng được đưa vào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên

Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân

2 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:

Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử:

Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân Mỗi

phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức

độ và giải một cách chi tiết

Phương pháp nghiên cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân); Thực hành giải bài tập và phân loại bài tập

3 Cấu trúc luận văn:

Phần mở đầu:

Chương I: Cơ sở lý thuyết

Chương II: Hệ thống bài tập

Kết luận_Hướng phát triển

Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT [2],[8]

I.1 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

I.1.1 Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng

H : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn

V : Toán tử nhiễu loạn

Phương trình Schrodinger:

(0) (0) (0)

0 n n n

Khai triển:  ( )x theo n(0) ( )x

 là một tham số đặc trưng cho độ nhỏ của năng lượng nhiễu loạn

[2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số 8

Phương trình (10) chính là phương trình tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng

I.1.2 Nhiễu loạn khi không có suy biến

Từ công thức (10) ta khai triển C m và E dưới dạng chuổi:

(0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2)

Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn

I.1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến

Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái

Phương trình (3) được đặt lại:

(0) ,

Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn

Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k

Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới

hạn xét đến nghiệm gần đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm sóng

I.1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

W x t : Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

( , ) ( )

n

E t i

E t i

E t i

Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng:

( 0) 1

(0) ( , ) (0) (0) ( , ) (0) (0) ( )

E t i

0

( ) ( , ) i mk t m

( , ) i mn t ( , ) i mn t ( )

m

n n

(1) 0

I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử

Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời giữa 2 trạng thái

Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k mlà P mk :

2 2

(1)

2 0

I.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán

cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân

Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông số Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của

hệ

Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử  theo các vector riêng  của ntoán tử Halmitonian H :

n n n C

Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng:

2 2

n n n

n n

H H

0 2

n n n n

H

 Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E 0 của hệ

Chương II LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP

II.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ Bài 1

Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a Hãy tính các bổ chính bậc 1 và bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn

(0) (0)

n k n

k V n E

2 2

2 2 (2)

(0) (0)

n k n

k V n E

2

2 2 0

U x  

a

Hình 2 Hàm thế năng

2 (2)

(0) (0)

n k n

k V n E

0 0

4 2

Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết

về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1) Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin Công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn

3 Phương pháp_kỹ năng giải toán

Áp dụng các công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2

Thực tế các tích phân (1.3), (1.6), (1.9) là những tích phân khó, cần tính một cách tỉ mỉ hoặc có thể dùng một số phần mềm tính toán như mathemmatical, maple…ở đây tôi dùng maple (phần phụ lục)

Giả sử nhiễu loạn:

x 0, , 0, ( )

a Hãy xác định hàm sóng bậc không và năng lượng cho trạng thái cơ bản và

trạng thái kích thích thứ nhất tính đến bậc một theo lý thuyết nhiễu loạn

b Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn Nhận xét sơ đồ

5 2

mL



Mức năng lượng này có bậc suy biến bằng 2

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Từ (2.13), (2.16) và (2.17):

1 (0) 2

1 (0) 2

sin sin 1

sin sin 0

Nhận xét: hình 4, hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng

thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng

2

L

trong trường hợp này không khử suy biến

Giả sử nhiễu loạn:

   

xy 0, , 0, ( , )

a Hãy xác định hàm sóng trạng thái dừng ở gần đúng bậc không và năng

lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái

kích thích thứ nhất

b Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn Hãy chỉ rõ trạng

thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên hệ với nhau như thế nào

2 2

5 2

11

21 1 11 12 2

0 0

Điều kiện chuẩn hóa: 2 2

Nhận xét Hình 6, hình 7 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ

Hãy xác định năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái

cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất Nhận xét về tính suy biến và sự khử suy biến Giả sử nhiễu loạn:

 

1

x 0, ( )

2

xy 0, , 0, ( , )

3

xyz 0, , 0, , 0, ( , )

Trong mỗi trường hợp hãy vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn Hãy chỉ rõ trạng thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên

hệ với nhau như thế nào

2 2

( ) sin ;

2 2



Năng lượng: (0) 12 22 32 2 2

1 2 3 2

 Trạng thái cơ bản: n1n2 n3  1: không suy biến f = 1

Năng lượng ở trạng thái cơ bản khi chưa có nhiễu loạn:

2 2 (0)

111 2

3 2

Nhận xét: Mức năng lượng ở cả hai trạng thái, trạng thái cơ bản và trạng

thái kích thích thứ nhất đều bị dịch lên một khoảng

2

L

1 ( )

này không khử suy biến

Hình 8 Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản

Hình 9 Dịch mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất

Câu b    

2

xy 0, , 0, ( , )

Trạng thái có bậc suy biến bằng 3

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Nhận xét: Hình 10, hình 11 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn V2 V x y( , ), mức

3/2 (0)

2

3

4

L E

2 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )

Trạng thái suy biến có bậc bằng 3

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Trạng thái kích thích thứ nhất:

Nhận xét: Hình 12, hình 13 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn V3 V x y z( , , ),

Bài toán hạt trong hố thế có thành cao vô hạn trường hợp 1 chiều, 2

chiều hay 3 chiều trong cơ học lượng tử đều có lời giải chính xác về năng lượng

và hàm sóng Nhưng khi có nhiễu loạn, dẫn đến việc làm thay đổi toán tử Hamilton từ đó làm thay đổi nghiệm của phương trình Schrodinger, tức là cả hàm sóng và năng lượng đều bị thay đổi

Mục đích của ba bài toán: Bài 2, bài 3 và bài 4 là khảo sát sự thay đổi về năng lượng và hàm sóng ở hai trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất (ở đây chỉ chú ý đến năng lượng tính đến bậc 1 và hàm sóng bậc không của lý thuyết nhiễu loạn) Khi khảo sát về năng lượng và hàm sóng ở mỗi trạng thái chúng ta cần chú ý một điều là sự suy biến và tính khử suy biến ở mỗi trạng thái ứng với từng toán tử nhiễu loạn

Về mặt mô hình và nội dung bài, cả ba bài 1, 2 và 3 tuy có sự thay đổi về hình thức (hố thế và toán tử nhiễu loạn) nhưng lại cùng bản chất (xác định năng lượng và hàm sóng khi có nhiễu loạn)

2 Kiến thức

Để giải được bài 3 bài toán này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết và kết quả về năng lượng, hàm sóng của hạt trong hố thế (2.4), (2.5), (3.4), (3.5), (4.4), (4.5); Lý thuyết nhiễu loạn không suy biến và nhiễu loạn khi

có suy biến, đặc biệt là biết cách lập và giải phương trình thế kỉ (2.12), (3.10), (4.10); Tính suy biến và sự khử suy biến ở mỗi trạng thái

3 Kỹ năng và phương pháp giải

Cả 3 bài toàn về trình tự các bước giải là hoàn toàn giống nhau Đầu tiên ta xác định năng lượng và hàm sóng chính xác của bài toán không nhiễu loạn Dựa vào các biểu thức về năng lượng ở (2.5), (3.5) và (4.5) ta xác định được tính suy biến của từng trạng thái Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn loạn cho từng trạng thái

ta đi tìm bổ chính năng lượng bậc 1 đối với năng lượng và bậc không cho hàm sóng

Khi giải các bài toán này, cần chú ý ở nhiễu loạn có suy biến, khi giải

được các mức năng lượng cho từng trạng thái khi có nhiễu loạn và có kết luận cho tính khử suy biến

Công việc tính toán phức tạp nhất trong các bài toán này là lập và giải phương trình thế kỉ, đặc biệt là các yếu tố ma trận trong phương trình này Nhưng các tích phân ở đây có các biến độc lập nên việc lấy tích phân cũng không quá khó khăn

4 Kết luận

Đối với bài 2, hạt trong hố thế 2 chiều, nhiễu loạn là một hàm bậc nhất theo một tọa độ Nhiễu loạn không khử tính suy biến ở trạng thái kích thích thứ nhất

mà chỉ làm cho mức năng lượng này dịch lên một khoảng đúng bằng năng lượng

bổ chính bậc 1 Ta mở rộng đặc điểm này cho cả bài 3 và cũng thu được kết quả tương tự

Ở trạng thái cơ bản, cả 2 trường hợp hố thế 2 chiều, 3 chiều và cả 3 trường hợp nhiễu loạn (trong cả 3 bài toán) thì ta cùng thu được một kết quả là mức

năng lượng chỉ dịch chuyển lên một khoảng đúng bằng năng lượng bổ chính bậc

1

Đối với bài 3 và bài 4 Khi nhiễu loạn có dạng tích của 2 tọa độ thì tính suy biến ở trạng thái kích thích thứ nhất bị khử hoàn toàn Suy biến có bậc bằng 3 và thu được 3 mức năng lượng độc lập Câu c, bài 4 khi nhiễu loạn có dạng tích của

3 tọa độ nhưng tính suy biến chỉ bị khử đi một phần (2 mức năng lượng nhưng

có 3 hàm sóng)

Về mặt mức độ, bài 2 và câu a của bài 4 nên sử dụng làm bài tập nâng cao cho sinh viên đại học, còn bài 3 và câu b,c của bài 4 nên sử dụng trong chương trình giảng dạy cơ lượng tử ở cao học

Trong đó,  là hằng số thực có thứ nguyên năng lượng

a) Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn

b) Hãy giải bài toán một cách chính xác Chứng tỏ rằng các mức năng lượng

khã dĩ được xác định một trong các phương trình sau:

Trong đó,



mE



Câu b Giải chính xác bài toán:

Toán tử Halmiton đối với hạt chuyển động trong hố thế:

   

Điều kiện biên cho ta:

sin , 0

2 ( )

Hình 14 Hàm thế năng

2 Kiến thức

Để giải bài toán này cần nắm vững một số kiến thức về lý thuyết như: Hạt trong hố thế sâu vô hạn, (hàm sóng, năng lượng (5.1), (5.2)); tính chất hàm delta dirac (5.4); điều kiện liên tục của hàm sóng (5.13)

4 Kết luận

Công việc đi tìm phương trình còn lại (5.23) là khá khó khăn trong việc tính toán cũng như phương pháp giải Trong giới hạn của luận văn, chỉ nêu lên một cách giải như đã thể hiện, cách giải này khá khó hiểu nhưng lại cho đáp án đúng Tác giả vẫn mong quý thầy cô hay các bạn đọc đóng góp ý kiến

Bài toán này nên sử dụng làm bài tập tham khảo cho lớp đại học và nên sử dụng để giảng dạy cho cho các lớp ở cao học

II.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHIỄU LOẠN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Bài 6

đó b là hằng số thực

a Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn

b Hãy giải bài toán một cách chính xác và so sánh với kết quả nhận được ở

; 1 2

=

; 1 2

1 2

2 (0) (1) (2) 1

2

0

k d

độ thì phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho ta kết quả hoàn toàn chính xác khi tính đến bậc 2 của năng lượng

Phân tích

5 Nhận xét

Nhiễu loạn là một hàm bậc nhất theo tọa độ (hàm đơn giản) Mục đích của bài này là từ kết quả thu được nghiệm lại phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn có phù hợp hay không ứng với toán tử nhiễu loạn đã cho

7 Phương pháp_kĩ năng giải toán

Dựa vào lý thuyết dao động tử điều hòa xác định năng lượng chính xác của bài toán không nhiễu loạn và tính chất của hàm sóng (6.5) Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2 cho năng lượng Khi giải chính xác, chú ý cách biến đổi và cách đặt công thức ở (6.11) Tính trực chuẩn các hàm sóng

Để giải bài toán này phải nắm vững những kỹ năng sau: Biến đổi các công thức (6.5), (6.6) Tính tổng trong công thức (6.9) Biến đổi hàm Halmiton

và các đặt ẩn trong (6.11) Giải phương trình (6.12) tương tự như trong lý thuyết dao động tử điều hòa

8 Kết luận

Đây là một trong những bài toán cơ bản của việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để xác định năng lượng của dao động tử điều hòa Bài toán này thường được dùng như một ví dụ điển hình cho phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, được giảng dạy cho hầu hết các sinh viên đại học khoa vật lý

Trong đó, ˆa và ˆa tương ứng là toán tử huỷ và sinh lượng tử  Hãy tính

Vì bvà b đóng vai trò như avà a (phép biến đổi Unita)

Cách 3: Sử dụng Lí thuyết nhiễu loạn:

(0) (0)

n k n

k V n E

cho ta một nhận xét hoàn toàn tương tự như ở bài 6 đó là: Phương pháp nhiễu loạn được nghiệm đúng khi tính đến bổ chính bậc 2 của năng lượng

a Hãy tính bổ chính các mức năng lượng đến bậc 2

b So sánh và nhận xét kết quả trên với nghiệm chính xác

Cho biết hàm riêng của hàm Hamiltonian ˆ 2 1 2 2

( ) ( 1) ; =

n n

(0) (0)

n k n

k V n E

chính xác hoàn toàn phù hợp với nghiệm thu được khi sử dụng lý thuyết nhiễu loạn

Phân tích

1 Nhận xét

Nhiễu loạn là một hàm bậc hai theo tọa độ Mục đích của bài này là từ kết quả thu được nghiệm lại phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn có phù hợp hay không

3 Phương pháp_kỉ năng giải

Dựa vào lý thuyết dao động tử điều hòa xác định năng lượng chính xác của bài toán không nhiễu loạn (8.2) và tính chất hàm sóng (8.4) Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2 cho năng lượng Khi giải chính xác, chú ý cách biến đổi và cách đặt công thức ở (8.11) và (8.12) Tính trực chuẩn các hàm sóng

Để giải bài toán này phải nắm vững những kỹ năng sau: Biến đổi các

n

E