Luận án Tiến sĩ Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng. Nonlinear statics and buckling analysis of functionally graded porous plates

Để góp phần làm phong phú thêm các hiểu biết cơ học của kết cấu tấm làm bằng vật liệu FGM rỗng trên khía cạnh mô hình và phương pháp tính, luận án lựa chọn đề tài: “Phân tích phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

Lê Thanh H ải

PHÂN TÍCH PHI TUY ẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

Lê Thanh H ải

PHÂN TÍCH PHI TUY ẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ

L ỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Lê Thanh H ải

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và không trùng lặp với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành

Hà Nội, ngày……tháng……năm 2022

Người cam đoan

Lê Thanh Hải

L ỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy giáo hướng dẫn

là GS TS Trần Minh Tú và GS TS Lê Xuân Huỳnh đã tận tình hướng dẫn, giúp

đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô - Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã luôn quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ trong suốt thời gian nghiên cứu tại Bộ môn

Tác giả xin cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, cán bộ Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện luận án

Tác giả trân trọng cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp trong Seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu và có giá trị cho nội dung đề tài luận án

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp Khoa Xây

dựng, Trường Đại học Vinh đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy trong nhà trường, học tập và nghiên cứu hoàn thành luận án

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã tận tình giúp

đỡ và động viên trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu làm luận án

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình đã luôn tạo điều kiện, chia sẻ những khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác gi ả: Lê Thanh Hải

M ỤC LỤC

N ội dung Trang

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC BẢNG viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ x

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 6

1.1 Tổng quan về vật liệu FGM rỗng 6

1.2 Các loại vật liệu FGM rỗng 7

1.3 Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng 8

1.3.1 Luy ện bột kim loại (Powder Metallurgy) 9

1.3.2 Nung k ết sợi (Fiber Sintering) 9

1.3.3 Nung ch ảy kim loại 9

1.3.4 Phun khí vào kim lo ại 10

1.3.5 Đúc thẩm thấu 10

1.4 Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng 10

1.5 Ứng dụng của vật liệu GFM rỗng 13

1.6 Tổng quan các nghiên cứu về kết cấu tấm bằng vật liệu FGM và FGM rỗng 15

1.6.1 Các nghiên c ứu về phân tích phi tuyến ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM 15

1.6.2 Các nghiên c ứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm FGM 17

1.6.3 Các nghiên c ứu về vật liệu FGM rỗng 19

1.7 Tóm tắt chương 1 21

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU FGM RỖNG CÓ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC 22

2.1 Mở đầu 22

2.2 Mô hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng 22

2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất 24

2.3.1 Trường chuyển vị 25

2.3.2 Trường biến dạng 26

2.3.3 Trường ứng suất 27

2.3.4 Trường nội lực 28

2.3.5 M ối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị 29

2.3.6 H ệ phương trình cân bằng 30

2.3.7 H ệ phương trình cân bằng theo chuyển vị 32

2.4 Lý thuyết tấm cổ điển 34

2.5 Tóm tắt chương 2 36

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 37

3.1 Mở đầu 37

3.2 Lời giải theo tiếp cận chuyển vị 37

3.2.1 Theo lý thuy ết biến dạng cắt bậc nhất 37

3.2.2 Theo lý thuy ết tấm cổ điển 43

3.3 Lời giải theo tiếp cận ứng suất 46

3.3.1 Theo lý thuy ết biến dạng cắt bậc nhất 46

3.3.2 Theo lý thuy ết tấm cổ điển 55

3.4 Kết quả số và thảo luận 59

3.4.1 Ví d ụ kiểm chứng 60

3.4.2 Kh ảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện

biên, n ền đàn hồi và tham số hình học 64

3.5 Tóm tắt chương 3 79

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 81

4.1 Mở đầu 81

4.2 Khái niệm ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh 81

4.2.1 Khái ni ệm ổn định và mất ổn định, phân loại 81

4.2.2 Các tiêu chu ẩn ổn định tĩnh 84

4.3 Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất 85

4.4 Phân tích ổn định theo lý thuyết tấm cổ điển 96

4.5 Kết quả số và thảo luận 101

4.5.1 Ví d ụ kiểm chứng 101

4.5.2 Kh ảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, điều kiện biên, nền đàn hồi, d ạng tải trọng, tham số hình học và độ không hoàn hảo ban đầu 105

4.6 Tóm tắt chương 4 115

KẾT LUẬN 117

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO 121 PHỤ LỤC PL1

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Danh m ục các ký hiệu

Ký hi ệu N ội dung ký hiệu

,

a b Kích thước các cạnh của tấm chữ nhật

h Chiều dày của tấm chữ nhật

E Mô đun đàn hồi khi kéo/nén của vật liệu

G Mô đun đàn hồi trượt của vật liệu

z z Toạ độ của điểm khảo sát theo phương chiều dày tấm tính từ mặt

trung bình và mặt trung hoà

C Khoảng cách giữa mặt trung hoà và mặt trung bình

  Góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x

q Tải trọng phân bố tác dụng lên mặt trên của tấm theo phương zth

N N N Tải trọng nén trên các cạnh của tấm

 Q Ma trận các hệ số đàn hồi của vật liệu

Ch ữ viết tắt Nội dung viết tắt

FGM Functionally Graded Material (vật liệu có cơ tính biến thiên hay vật liệu

biến đổi chức năng) CPT Classical plate theory (lý thuyết tấm cổ điển)

FSDT First-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) TSDT Third-order shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc ba) HSDT Higher-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc cao) PTHH Phần tử hữu hạn

IM Immovable (liên kết không thể tự dịch chuyển trong mặt phẳng)

FM Movable (liên kết có thể tự dịch chuyển trong mặt phẳng)

SSSS Liên kết bốn biên tựa khớp

CCCC Liên kết bốn biên ngàm

SCSC Liên kết hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh còn lại liên kết ngàm

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Các hàm dạng X m( )x và Y y n( ) sử dụng trong khai triển (3.10) [71, 101]: 41Bảng 3.2 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng hướng điều kiện SSSS

dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều (M = N = 3) 61

Bảng 3.3 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên SCSC dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều 4 4

q PE h a 62Bảng 3.4 Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều 62Bảng 3.5 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGM rỗng (Dạng 2) với số

số hạng khác nhau trong khai triển chuỗi lượng giác kép 64Bảng 3.6 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGM rỗng với các tỷ số

kích thước tấm a/h khác nhau 66

Bảng 3.7 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) 68

Bảng 3.8 Mô men uốn Mx , M y [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) 68

Bảng 3.9 Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) 69Bảng 3.10 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) 69

Bảng 3.11 Mô men uốn Mx , M y [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) 70

Bảng 3.12 Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) 70

Bảng 3.13 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng (Dạng

2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau FSDT (a/h = 10) 73

Bảng 3.14 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng (Dạng 2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau (CPT, a/h = 50) 73Bảng 3.15 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGM rỗng điều kiện biên SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (FSDT, a/h = 10) 74Bảng 3.16 Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông mỏng FGM rỗng điều kiện biên SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (CPT, a/h = 50) 75Bảng 3.17 Độ võng không thứ nguyên w của tấm chữ nhật dày, vật liệu FGM rỗng với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (FSDT, a/h = 10) 77Bảng 3.18 Độ võng không thứ nguyên w của tấm chữ nhật mỏng, vật liệu FGM

rỗng với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (CPT, a/h = 50) 78

Bảng 4.1 Tải trọng tới hạn P cr của tấm chữ nhật đẳng hướng, điều kiện biên SSSS chịu nén đều theo phương x (1  1,2  0) 102Bảng 4.2 Tải trọng tới hạn ˆN của tấm vuông đẳng hướng, chịu nén theo hai

phương 1 2  1 103Bảng 4.3 Tải trọng tới hạn 2 2

1

/

cr

N N b E h của tấm FGM rỗng chịu nén một phương 1  1, 2  0, /b a 1, /a h 10 104Bảng 4.4 Tải trọng tới hạn 2 3

0

e với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 10, FSDT)107Bảng 4.7 Tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 50, CPT) 108

DANH M ỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Mặt cắt ngang của gốm rỗng, có mật độ lỗ rỗng nhỏ 7

Hình 1.2 Vật liệu rỗng tổ ong hai chiều, có mật độ lỗ rỗng lớn 7

Hình 1.3 Vật liệu rỗng ba chiều: (a): bọt niken, (b) bọt thép 8

Hình 1.4 Quy trình kỹ thuật tạo rỗng khi sản xuất bọt kim loại 10

Hình 1.5 Các dạng phân bố lỗ rỗng theo tọa độ chiều dày tấm và biến thiên của các đặc trưng cơ học (E, G, ) tương ứng 12

Hình 1.6 Thanh thép vuông, tròn, tấm sandwich bằng bọt thép 14

Hình 1.7 Tường/sàn bằng panel rỗng 14

Hình 1.8 Giảm chấn của xe đua 14

Hình 1.9 Cần trục nâng 14

Hình 1.10 Nguyên mẫu tên lửa Ariane 5 14

Hình 2.1 Mô hình tấm chữ nhật rỗng trên nền đàn hồi 22

Hình 2.2 Vị trí mặt trung bình và mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng 23

Hình 2.3 Biến dạng của tấm trong mặt phẳng xzth theo lý thuyết tấm FSDT 25

Hình 2.4 Hình dạng hình học của tấm có biên cong 30

Hình 2.5 Biến dạng của tấm trong mặt phẳng theo lý thuyết tấm cổ điển 34

Hình 3.1 Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu uốn 38

Hình 3.2 Các điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất 39

Hình 3.3 Minh hoạ ràng buộc không thể dịch chuyển tại cạnh tấm 40

Hình 3.4 Các điều kiện biên theo lý thuyết cổ điển 44

Hình 3.5 Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính 67

Hình 3.6 Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) 72

Hình 3.7 Biến thiên mô men uốn M x,M y của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố

đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) 72

Hình 3.8 Biến thiên mô men uốn M xy của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) 72

Hình 3.9 Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các hệ số nền khác nhau (theo FSDT và CPT) 74

Hình 3.10 Biến thiên độ võng w của tấm dày (a/h = 10) theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính 76

Hình 3.11 Biến thiên độ võng w của tấm mỏng (a/h = 50) theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính 77

Hình 3.12 Biến thiên độ võng w của tấm dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau: 79

Hình 3.13 Biến thiên độ võng w của tấm mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau: 79

Hình 4.1 Mất ổn định rẽ nhánh kiểu đối xứng 82

Hình 4.2 Mât ổn định rẽ nhánh kiểu bất đối xứng 82

Hình 4.3 Mất ổn định của vòm 83

Hình 4.4 Mất ổn định của vỏ trụ chịu tải dọc trục và của vỏ cầu chịu áp lực ngoài 83

Hình 4.5 Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu nén theo hai phương 85

Hình 4.6 Minh hoạ ràng buộc có thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm 86

Hình 4.7 Đường cong sau ổn định của tấm vuông đẳng hướng 103

Hình 4.8 Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông, vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau 106 Hình 4.9 Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

1 1, 2 0;

    (b) CCCC, 1 1,2 0; (c) SCSC, 1 1,2  0; (d) SCSC, 1 0,2  1 109Hình 4.10 Biến thiên tải trọng tới hạn N của tấm vuông mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

1 1, 2 0;

    (b) CCCC, 1 1,2 0; (c) SCSC, 1 1,2  0; (d) SCSC, 1 0,2  1 110Hình 4.11 Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC 110Hình 4.12 Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ nhật mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC 111Hình 4.13 Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định 112Hình 4.14 Ảnh hưởng của hệ số rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng 113Hình 4.15 Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng 114Hình 4.16 Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng 114Hình 4.17 Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm a/h đến đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng 115Hình 4.18 Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định

của tấm vật liệu FGM rỗng 115

M Ở ĐẦU

1 Tính c ấp thiết của đề tài

Vật liệu FGM rỗng (functionally graded porous material) được biết đến như là một loại vật liệu nhẹ, có khả năng hấp thụ năng lượng tốt, thường được sử dụng để chế tạo kết cấu sandwich, tấm tường, sàn cách âm, cách nhiệt, Ở vật liệu FGM rỗng, các lỗ rỗng (porosity) phân bố liên tục theo một phương nhất định trong cấu trúc kết cấu Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục, nên tránh được sự bong tách, sự tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xảy ra đối với vật liệu composite truyền thống Vì thế loại vật liệu này có thể coi là một biến thể của vật liệu FGM (functionally graded material) Kết cấu sử dụng vật liệu FGM rỗng đã và đang được được sử dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp như: hàng không vũ trụ, ô tô, đóng tàu, xây dựng dân dụng, … Vì thế việc tìm hiểu ứng xử cơ học của các kết cấu bằng loại vật liệu này luôn là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của giới khoa học trong và ngoài nước

Hiện nay, các nghiên cứu về kết cấu bằng vật liệu FGM nói chung và bằng vật liệu FGM rỗng nói riêng thường thực hiện bằng ba cách tiếp cận: Lời giải bán giải tích, giải tích và phương pháp số Trong luận án này, nghiên cứu sinh tiến hành nghiên cứu bài toán phi tuyến uốn và ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng bằng lời giải giải tích và bán giải tích Các nghiên cứu gần đây cho thấy, với lời giải giải tích các kết quả nghiên cứu về ứng xử uốn và ổn định chủ yếu tập trung vào phân tích tuyến tính và các tính toán thực hiện trên mặt trung bình, với một số điều kiện biên nhất định Với bài toán phi tuyến hình học, để nhận được lời giải giải tích, thường

sử dụng hai phương pháp: tiếp cận cận theo ứng suất và tiếp cận theo chuyển vị Lời giải giải tích thường cồng kềnh, thời gian tính toán lớn khi ta tính toán với hệ trục tọa độ truyền thống đi qua mặt trung bình hình học của tấm Việc chọn hệ trục tọa

độ quy chiếu đi qua mặt trung hòa sẽ loại bỏ được tương tác màng-uốn-xoắn trong các biểu thức quan hệ, làm cho các hệ thức, phương trình chủ đạo trở nên đơn giản hơn, vì thế mà tiết kiệm được một cách đáng kể thời gian tính toán Bài toán phân

tích phi tuyến kết cấu tấm bằng vật liệu FGM rỗng mới được quan tâm gần đây và kết quả chưa nhiều, nhất là những tính toán có kể đến vị trí thực của mặt trung hòa Nghiên cứu về ứng xử cơ học của các kết cấu bằng vật liệu FGM rỗng là bài toán không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn có ý nghĩa thực tiễn góp phần gia tăng ứng dụng của loại vật liệu này trong các lĩnh vực kỹ thuật và đời sống

Để góp phần làm phong phú thêm các hiểu biết cơ học của kết cấu tấm làm bằng vật liệu FGM rỗng trên khía cạnh mô hình và phương pháp tính, luận án lựa chọn đề tài:

“Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng”

2 M ục tiêu nghiên cứu của luận án

Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển xây dựng các hệ thức quan hệ và các phương trình chủ đạo của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với hệ toạ độ quy chiếu đặt trên mặt trung hoà Tấm đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các điều kiện biên khác nhau, có kể đến độ không hoàn hảo hình học ban đầu và thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman

Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm vật liệu FGM rỗng theo hai cách tiếp cận: theo ứng suất và theo chuyển vị

Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất

Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, điều kiện biên và tải trọng đến độ võng, đường cong tải-mô men uốn, lực tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật có chiều dày không đổi trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau Vật liệu FGM rỗng, cụ thể là bọt kim loại (open-cell metal foam) với các lỗ rỗng biến đổi trơn theo chiều dày tấm

theo ba quy luật: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng được khảo sát Các hằng số vật liệu như vậy cũng biến đổi trơn theo ba quy luật trên, tuy nhiên để đơn giản, hệ số Poisson được xem là không thay đổi theo chiều dày tấm

Phạm vi nghiên cứu của luận án là: phân tích phi tuyến ứng xử uốn và ổn định của tấm FGM rỗng: xác định độ võng, thành phần nội lực; tải trọng tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm số Trên cơ sở của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển, các hệ thức quan hệ phi tuyến và các phương trình chủ đạo của tấm vật liệu FGM rỗng trên nền đàn hồi đã được thiết lập có xét đến vị trí thực của mặt trung hoà

Chương trình tính trên nền Matlab đã được xây dựng nhằm khảo sát ảnh hưởng của các tham số thiết kế đến ứng xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC

5 Nh ững đóng góp mới của luận án

Luận án đã xây dựng hệ thức cơ sở và các phương trình chủ đạo, để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng không hoàn hảo trên nền đàn hồi, có kể đến vị trí thực của mặt trung hoà, và thành phần phi tuyến hình học von Kárman, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển

Thiết lập lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất và phương pháp chuyển

vị để khảo sát ứng xử phi tuyến uốn tấm FGM rỗng Sử dụng phương pháp Galerkin để thu được hệ phương trình đại số phi tuyến xác định độ võng và thành phần nội lực của tấm hoàn hảo với các mức tải trọng và điều kiện biên khác nhau

Bubnov-Sử dụng hàm ứng suất Airy, kết hợp với phương pháp Bubnov-Galerkin, đã thiết lập được biểu thức hiển của tải tới hạn và quan hệ tải - độ võng của tấm bằng vật liệu FGM rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo chịu nén trong mặt trung hòa

Các kết quả khảo sát cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của các tham số vật liệu (quy luật phân bố, hệ số lỗ rỗng), nền đàn hồi, điều kiện biên, kích thước hình học đến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm FGM rỗng Bộ số liệu thu được cùng các nhận xét mang tính kỹ thuật là nguồn tham khảo hữu ích cho công tác thiết kế, thi công và bảo trì các kết cấu sử dụng vật liệu FGM rỗng trong thực tế

6 B ố cục của luận án

Luận án gồm: Mở đầu, bốn chương chính, kết luận, danh mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục

M ở đầu: Trong phần này trình bày cơ sở khoa học của đề tài, mục tiêu

nghiên cứu của luận án, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục của luận án

Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Chương này trình bày khái niệm, tính chất và các quy luật phân bố của vật liệu FGM rỗng, các phương pháp chế tạo kim loại rỗng, tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng và ứng dụng Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về phân tích tĩnh và ổn định của kết cấu tấm FGM nói chung và tấm FGM rỗng nói riêng Trên cơ sở tổng hợp các tài liệu khoa học, tiến hành phân tích các vấn đề đã được nghiên cứu, những vấn đề cần tiếp tục được nghiên cứu đã được chỉ rõ Từ đó nghiên cứu sinh đề xuất hướng nghiên cứu, mục tiêu, nội dung và phương pháp nghiên cứu của luận án

Chương 2: Cơ sở lý thuyết tính toán tấm vật liệu FGM rỗng có kể đến yếu tố

phi tuyến hình học

Trong chương này, các hệ thức cơ bản, và hệ phương trình chủ đạo được thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất với 5 ẩn chuyển vị và lý thuyết tấm cổ điển với 3 ẩn chuyển vị, có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman và độ không hoàn hảo hình học ban đầu của tấm Các tính toán cho tấm vật

liệu FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi được thực hiện với hệ tọa độ quy chiếu đi qua mặt trung hoà

Chương 3: Phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Trên cơ sở các hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển đã trình bày ở chương 2, trong chương này, lời giải giải tích theo tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị của tấm hoàn hảo bằng vật liệu FGM rỗng, với các điều kiện biên khác nhau đã được thiết lập Với chương trình máy tính trên nền Matlab tự viết, các khảo sát số đã được tiến hành nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, điều kiện biên và tải trọng uốn đến độ võng, đường cong tải-độ võng và tải-

mô men uốn

Chương 4: Phân tích ổn định và sau ổn định tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Bằng tiếp cận giải tích với hàm ứng suất trên cơ sở các hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo ở chương 2, phương pháp Bubnov-Galerkin được áp dụng để giải hệ các phương trình vi phân đạo hàm riêng có hệ số là hàm, từ đó tìm được hệ thức hiển để xác định tải tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo Các kết quả kiểm chứng đã khẳng định độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu trong luận án Các khảo sát số được tiến hành để đánh giá các yếu tố ảnh hưởng đến lực tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm FGM rỗng

K ết luận: Trình bày những kết quả mới của luận án và các kiến nghị của tác

giả rút ra từ nội dung nghiên cứu

Danh m ục công trình khoa học của tác giả

Tài li ệu tham khảo

Ph ụ lục

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1 T ổng quan về vật liệu FGM rỗng

Trong nhiều thập kỷ trở lại đây vật liệu composite lớp được sử dụng ngày càng phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như hàng không dân dụng, giao thông vận tải, công nghiệp quốc phòng, điện tử, y sinh, do có trọng lượng nhẹ, độ bền và độ cứng riêng cao, chi phí bảo trì thấp, tính linh hoạt trong thiết kế, chế tạo để có được các tính chất cơ học mong muốn Tuy nhiên loại vật liệu này có thể bị bong tách lớp khi ứng suất tiếp xúc giữa các bề mặt vượt quá giá trị cho phép Thêm vào đó, chúng không hoàn toàn thích hợp cho những ứng dụng trong môi trường nhiệt độ cao

Gần đây, những hạn chế của vật liệu composite truyền thống đã được khắc phục bởi sự ra đời của một loại composite thế hệ mới - vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM), đây là loại vật liệu được các nhà khoa học vật liệu Nhật Bản phát kiến vào năm 1984 như là một loại vật liệu cách nhiệt [19]

và được sử dụng nhiều trong các ngành công nghiệp vũ trụ, công nghiệp hàng không, công nghiệp năng lượng,…

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là loại vật liệu được tạo nên từ hai hay nhiều pha với các thành phần biến đổi trơn và liên tục Loại vật liệu tiên tiến này có

tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần biến đổi trơn và liên tục trong không gian vật liệu Các tính chất cơ học như mô đun đàn hồi Young, hệ số Poisson, mô đun đàn hồi cắt, và khối lượng riêng của vật liệu, thay đổi trơn và liên tục theo các hướng được ưu tiên trong vật liệu Vật liệu FGM điển hình bao gồm hai thành phần kim loại/ceramic, tận dụng được khả năng chịu nhiệt tốt của thành phần ceramic và

độ bền dẻo của thành phần kim loại Do không tồn tại bề mặt phân chia giữa các lớp vật liệu, vì thế tránh được sự tập trung ứng suất và không xảy ra sự bong tách

Một trong những phát triển mới nhất gần đây của vật liệu FGM là vật liệu rỗng hay vật liệu xốp (porous materials) có các lỗ rỗng (hay bọt xốp) trong cấu trúc vật liệu Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một quy luật phân bố các lỗ rỗng xác định nhằm đạt được những tính chất cơ học mong muốn của người thiết kế Do có

trọng lượng nhẹ, các kết cấu làm từ vật liệu FGM rỗng, chẳng hạn bọt kim loại (metal foam) có tiềm năng ứng dụng trong công nghiệp hàng không, công nghiệp ô

tô, xây dựng dân dụng, …[14, 58, 84, 103] Với khả năng hấp thụ năng lượng tốt, bọt kim loại là lựa chọn thích hợp cho các kết cấu chịu tải trọng động, tải trọng va chạm [12, 27, 80, 85] Kết hợp giữa vật liệu có cơ tính biến thiên và vật liệu rỗng cho ra đời một kết cấu có các lỗ rỗng biến đổi trơn, quy luật phân bố các lỗ rỗng cũng như hệ số rỗng có thể điều khiển được theo mong muốn của người sử dụng

1.2 Các lo ại vật liệu FGM rỗng

Mật độ và kích thước các lỗ rỗng là khác nhau với từng chủng loại vật liệu FGM rỗng, về cơ bản có thể chia thành ba loại: rỗng thấp, rỗng trung bình và rỗng lớn Vật liệu với độ rỗng thấp và trung bình có các lỗ rỗng kín, ứng xử như là một pha tạp chất (Hình 1.1)

Hình 1.1 Mặt cắt ngang của gốm rỗng,

có mật độ lỗ rỗng nhỏ

Hình 1.2 Vật liệu rỗng tổ ong hai chiều,

có mật độ lỗ rỗng lớn Với vật liệu có độ rỗng lớn, có hai trường hợp, được phân loại theo cấu trúc của lỗ rỗng và pha rắn liên tục Trường hợp thứ nhất pha rắn phân bố thành dãy đa giác hai chiều, các lỗ rỗng kín cũng được tạo thành các dãy đa giác tương tự; hình dạng mặt cắt ngang của lỗ rỗng thường là tam giác, tứ giác hoặc lục giác Cấu trúc này nhìn tương tự như lõi tổ ong, vì vậy vật liệu rỗng hai chiều như thế này còn gọi là vật liệu tổ ong (honeycomb materials – Hình 1.2) Vật liệu FGM rỗng có các lỗ rỗng được định hướng [77], được gọi là vật liệu rỗng kiểu hoa sen, có cấu trúc tương tự vật

liệu tổ ong, nhưng hình dạng mặt cắt ngang của lỗ rỗng là hình tròn hoặc hình elip Trong trường hợp thứ hai, các pha rắn phân bố liên tục dạng cấu trúc lưới ba chiều,

và được gọi là vật liệu bọt ba chiều (three-dimensional foam materials) Loại vật liệu này có các lỗ rỗng tạo thành một cấu trúc hở (open-cell structures – Hình 1.3)

Hình 1.3 Vật liệu rỗng ba chiều: (a): bọt niken, (b) bọt thép

Chất rắn rỗng có thể chia thành hai loại: tự nhiên và nhân tạo Chất rắn rỗng

tự nhiên có thể tìm thấy phổ biến như xương người và xương động vật, gỗ, bọt biển, san hô, đá bọt và dung nham Vật liệu rỗng nhân tạo có các thành phần rỗng chủ yếu là pha khí, được phân thành bọt kim loại rỗng, bọt gốm rỗng và bọt polymer Trong khuôn khổ luận án chỉ tập trung nghiên cứu về bọt kim loại rỗng (open-metal foam) là loại vật liệu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật

1.3 Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng

Chế tạo kim loại rỗng (porous metals) có một lịch sử dài Phương pháp chế tạo đầu tiên bằng quá trình luyện kim bột được tiến hành vào đầu thế kỷ hai mươi Với sự phát triển công nghệ và tính cấp thiết của loại vật liệu mới này, ngày nay có thể chế tạo được kim loại rỗng với 98% lỗ rỗng hoặc hơn Tuy nhiên trong những năm đầu thế kỷ, loại vật liệu này mới chỉ đạt được độ rỗng thấp khoảng 30% Hiện nay có nhiều phương pháp khác nhau để chế tạo loại kim loại rỗng [16, 29, 67, 68, 107]

1.3.1 Luy ện bột kim loại (Powder Metallurgy)

Luyện bột kim loại là quá trình mà qua đó vật liệu rỗng được hình thành bởi quá trình trộn bột, đóng khuôn và nung kết Tỷ lệ lỗ rỗng, bán kính và phân bố lỗ rỗng của vật liệu có thể kiểm soát một cách hiệu quả Kim loại rỗng được sản xuất bằng cách nung bột kim loại đến nhiệt độ thiêu kết, lúc này bột kim loại vẫn duy trì

ở trạng thái rắn Kim loại rỗng sau khi được nung kết có cấu trúc lỗ rỗng kín với độ rỗng nhỏ, hoặc lỗ rỗng hở với độ rỗng lớn Cấu trúc pha rắn là những hạt hình cầu được liên kết với nhau tạo ra khung rỗng giữa các hạt Thiêu kết bột kim loại là phương pháp sớm nhất để tạo ra kim loại rỗng và nó cũng là phương pháp chung được sử dụng trong ngành luyện bột kim loại

Để sản xuất vật liệu rỗng người ta thường dùng các loại bột hình cầu đều nhau với ưu điểm dễ dàng kiểm soát bán kính lỗ rỗng và thẩm thấu tốt, các hạt không đồng đều và không có dạng hình cầu sẽ bị loại bỏ Với các hạt không có hình dạng xác định để làm tăng độ rỗng người ta sử dụng các chất tạo lỗ như Ammonium acid carbonate (NH4HCO3), urea (CH4N2O), methyl cellulose (C6H7O2(OH)x(OCH3)y)

1.3.2 Nung kết sợi (Fiber Sintering)

Nung kết sợi kim loại được tiến hành tương tự như luyện bột kim loại, trong

đó sợi kim loại được thay thế toàn bộ hoặc một phần của bột kim loại trong quá trình chuẩn bị nguyên liệu

1.3.3 Nung ch ảy kim loại

Trong quá trình kim loại nóng chảy pha khí được giải phóng tạo nên lỗ rỗng trong vật liệu, hàm lượng pha khí được thay đổi tạo ra mật độ lỗ rỗng khác nhau Khí phát ra từ quá trình nung làm đẩy nhanh quá trình xuất hiện pha lỏng, cuối cùng bọt kim loại được tạo ra trong quá trình làm lạnh Sau khi tiếp xúc với kim loại nóng chảy, các tác nhân tạo lỗ rỗng sẽ phân hủy nhanh chóng, các bọt khí được giải phóng tạo nên sự phân phối đồng đều của lỗ rỗng trong thời gian ngắn (Hình 1.4)

Hình 1.4 Quy trình kỹ thuật tạo rỗng khi sản xuất bọt kim loại

1.3.4 Phun khí vào kim lo ại

Phương pháp này dễ thực hiện và chi phí sản xuất thấp hơn Vấn đề là cần kiểm soát nhiệt độ tạo bọt nóng chảy và thời gian xử lý cần thiết trong quá trình chế tạo Bọt kim loại sản xuất bằng phương pháp phun khí vào kim loại có kích thước lỗ rỗng khác nhau và mật độ lỗ rỗng lớn (lên đến > 90%) Khí từ bên ngoài được bơm vào đáy của kim loại nóng chảy để tạo ra bọt khí Khí được sử dụng ở đây có thể là không khí, hơi nước, oxy, cacbonic hoặc khí trơ

1.3.5 Đúc thẩm thấu

Trong quá trình đúc thẩm thấu các hạt rỗng vô cơ hoặc hữu cơ được sắp xếp sẵn trong khuôn đúc, kim loại nóng chảy được đưa vào thẩm thấu giữa các hạt rỗng Các kim loại rỗng thu được sau khi loại bỏ các hạt rỗng bằng cách hòa tan trong dung môi hoặc bằng quy trình xử lý nhiệt Các hạt vô cơ có khả năng chịu nhiệt và có thể hòa tan trong dung môi như NaCl, bóng đất sét nung, bóng cát, bóng bọt thủy tinh

1.4 Tính ch ất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng

Trong các tài liệu, các nhà nghiên cứu sử dụng các phương pháp luận khác nhau để nhận được các thuộc tính biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng Mặc dù vậy các tác giả đều cho rằng các đặc trưng cơ học vật liệu có thể không thay đổi (phân

bố lỗ rỗng đều) hoặc biến thiên theo quy luật hàm cosine (phân bố lỗ rỗng không đều) theo phương chiều dày Dưới đây, trong khuôn khổ luận án ta xét tấm bằng vật liệu FGM rỗng - bọt kim loại (open-cell metal foam) với ba quy luật phân bố: Phân

bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng

Mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng của vật liệu FGM rỗng (metal foam) phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng, và biến thiên liên tục theo chiều dày tấm Các quy luật này đã được đề cập đến trong một số nghiên cứu và có dạng sau [17, 24, 25, 71, 114, 126]:

Phân bố đều (xem Hình 1.5a):

h z e

h z e

2 4( ) [1 cos( )]

h z

 : Giá trị nhỏ nhất của khối lượng riêng

Trên thực tế với vật liệu FGM rỗng thì hệ số Poisson phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng, biến thiên liên tục theo chiều dày tấm theo các quy luật như , ,

E G  trong (1.1) - (1.3) Tuy nhiên trong các nghiên cứu về vật liệu FGM nói chung và vật liệu FGM rỗng nói riêng, để đơn giản hệ số Poison đều được các tác giả giả thiết là không đổi theo chiều dày [52, 71, 72, 91, 114] Vì vậy trong luận án,

hệ số Poisson cũng được coi là không thay đổi theo tọa độ chiều dày tấm

(a) Phân bố đều (b) Phân bố không đều -

đối xứng

(c) Phân bố không đều -

bất đối xứng

Hình 1.5 Các dạng phân bố lỗ rỗng theo tọa độ chiều dày tấm và biến thiên của

các đặc trưng cơ học (E, G, ) tương ứng

Tiêu tán năng lượng lớn

Chịu được tải trọng va chạm

Điều chỉnh tần số dao động

Tăng khả năng cách nhiệt Cải thiện khả năng cách âm Lưu thông không khí/chất lỏng trong vật liệu

Che chắn bức xạ điện từ

Hạn chế bóc tách do sự giãn nở vì nhiệt Bọt kim loại có tỷ lệ độ cứng trên trọng lượng lớn, ứng dụng rất tốt đối với các kết cấu chịu uốn vì độ cứng chống uốn cao hơn so với thép truyền thống khi có cùng trọng lượng Bọt kim loại được sử dụng phần lớn trong các lĩnh vực: hàng không vũ trụ, điện tử và truyền thông, vận tải, năng lượng nguyên tử, y tế, bảo vệ môi trường, luyện kim, máy móc, xây dựng, điện hóa học, hóa dầu và công nghiệp sinh học Bọt kim loại có thể được chế tạo thành các bộ trao đổi nhiệt, bộ tản nhiệt, chất chống cháy, bộ giảm âm, bộ đệm giảm xóc, các bộ phận cấy ghép người, lá chắn điện từ và vật liệu cấu trúc nhẹ Chúng đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển khoa học và công nghệ và có thể thúc đẩy nền kinh tế quốc gia

Phát huy lợi thế của vật liệu, bọt kim loại có thể sử dụng làm tấm sandwich (Hình 1.6), tường, sàn (Hình 1.7) với bề mặt thép lõi bọt kim loại (tấm sandwich dày 16mm với lớp bề mặt dày 1 mm, lõi bọt thép dày 14mm có độ cứng chống uốn bằng

tấm thép dày 10mm, trong khi giảm được 35% khối lượng) Bọt kim loại còn được

sử dụng để chế tạo bộ phận giảm chấn trong xe đua (Hình 1.8), cần trục nâng của xe cẩu (Hình 1.9), các chi tiết trong tên lửa (Hình 1.10), thiết bị làm lạnh công nghiệp,

vật liệu cách nhiệt, cách âm, ống xả…[103]

Hình 1.6 Thanh thép vuông, tròn, tấm sandwich bằng bọt thép

Hình 1.7 Tường/sàn bằng panel rỗng

Hình 1.8 Giảm chấn của xe đua

Hình 1.9 Cần trục nâng Hình 1.10 Nguyên mẫu tên lửa Ariane 5

1.6 T ổng quan các nghiên cứu về kết cấu tấm bằng vật liệu FGM và FGM rỗng

Bởi tiềm năng ứng dụng của vật liệu FGM trong các lĩnh vực công nghệ, các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu bằng vật liệu FGM ngày càng thu hút sự quan tâm của cộng đồng khoa học trong và ngoài nước Các nghiên cứu tổng quan

về vật liệu FGM, về phương pháp chế tạo, các mô hình và phương pháp tính được trình bày bởi Kieback và cs [51], Jha và cs [46], Gibson [42], Swaminathan [105], Gupta và Talha [41], Thai và Kim [111], Ghatage [40]

Nhiều công trình về phân tích tuyến tính ứng xử tĩnh và động các kết cấu dầm, tấm và vỏ FGM đã được thực hiện trong thời gian gần đây Trong số các nghiên cứu quan trọng về lĩnh vực này không thể không kể đến một số tác giả tiêu biểu sau đây: Reddy [69, 86, 87], Zenkour [132-134], Liew [66, 136, 137], Kiani [15, 48, 50], Các phân tích tuyến tính kể trên chấp nhận giả thiết biến dạng bé cũng như quan hệ ứng suất – biến dạng là bậc nhất thuần nhất Tuy nhiên với phần lớn các bài toán thực tế các giả thiết của mô hình tuyến tính bộc lộ những hạn chế khi coi độ cứng kết cấu là không đổi trong quá trình chịu lực, mô hình phi tuyến thường được sử dụng khi phân tích ứng

xử cơ học của các kết cấu công trình Các bài toán thực tế thường sử dụng mô hình phi tuyến vật liệu, hoặc phi tuyến hình học hoặc cả hai Hiểu biết tường tận về phi tuyến ứng xử uốn và ổn định sẽ trợ giúp công tác tối ưu hóa thiết kế, thi công và bảo trì các kết cấu bằng vật liệu FGM Shen trong tài liệu chuyên khảo [99] đã trình bày cơ sở lý thuyết để phân tích phi tuyến tĩnh, dao động và ổn định của kết cấu tấm và vỏ FGM

Tấm là một trong những cấu kiện phổ biến trong kết cấu công trình, các bản sàn, vách ngăn, mái che hay mặt đường, chủ yếu chịu tải trọng vuông góc với bề mặt tấm Do vậy nghiên cứu ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM có kể đến yếu tố phi tuyến hình học là vấn đề có tính thực tiễn, và được khảo sát với nhiều khía cạnh thể hiện qua số lượng lớn các công bố trong thời gian gần đây

Woo và Meguid [122] sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn với thành phần biến

dạng phi tuyến von Kárman để thiết lập lời giải giải tích dạng chuỗi Fourier của tấm

và vỏ thoải FGM mỏng chịu tải uốn trong môi trường nhiệt độ Trên cơ sở lý thuyết

tấm cổ điển, Alinia và Ghannadpour [9] phân tích phi tuyến tấm FGM vuông bằng cách cực tiểu hóa năng lượng toàn phần Khabbaz và cs [54] phân tích độ võng lớn

và biến thiên của các thành phần ứng suất theo tọa độ chiều dày của tấm FGM sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT - first-order shear deformation theory), bậc ba (TSDT - third-order shear deformation theory) bằng phương pháp năng lượng Shen [97] khảo sát ứng xử uốn phi tuyến của tấm FGM gia cường bằng ống carbon nanotube (CNT) đơn vách liên kết khớp trên các cạnh sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy (R-TSDT) và kỹ thuật hàm phạt Cũng với cách tiếp cận này, Shen trong [101] khảo sát đường cong tải - độ võng và tải - mô men uốn nội lực của tấm FGM gia cường bởi graphene Yin và cs [129, 131] khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, chỉ số tỷ lệ thể tích, tham số hình học của tấm FGM bằng phương pháp đẳng hình học theo lý thuyết tấm FSDT và lý thuyết tấm FSDT cải tiến Reddy [88] phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc ba tổng quát có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman để xây dựng mô hình phần tử hữu hạn phân tích phi tuyến ứng xử uốn, ổn định và dao động của kết cấu tấm FGM Bằng cách sử dụng phương pháp không lưới cải tiến (improved moving Kriging meshfree method) và lý thuyết biến dạng cắt bốn ẩn chuyển vị, Nguyen và cs [79] phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và động của tấm FGM Chalal và Abed-Meraim [22] sử dụng phần tử vỏ khối (solid-shell element) xây dựng mô hình phần tử hữu hạn (PTHH)

để phân tích phi tuyến kết cấu FGM mỏng Alvarado và cs xây d ựng mô hình

ph ần tử hữu hạn theo tiếp cận ứng suất, theo tiếp cận hỗn hợp ứng suất, chuy ển vị để phân tích trường ứng suất và biến dạng trong tấm và vỏ bằng vật

li ệu thuần nhất [31, 32] và bằng vật liệu FGM [93] Kim và Lee [53] sử dụng phương pháp đẳng hình học và lý thuyết tấm FSDT có kể đến vị trí mặt trung hòa

để phân tích phi tuyến tấm FGM chịu uốn Shen và Wang [98] phân tích phi tuyến tấm FGM trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng uốn và tải trọng nén ban đầu trên các cạnh, trong môi trường nhiệt độ, sử dụng phương pháp hàm phạt và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Van-Do và Lee [115] sử dụng phương pháp không lưới (modified mesh-free radial point interpolation method) kết hợp với lý thuyết

HSDT phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm FGM Phân tích phi tuyến tấm sandwich tròn và vành khuyên với lớp bề mặt bằng vật liệu FGM, lớp lõi bằng vật liệu đẳng hướng chịu uốn bởi tải trọng cơ học và nhiệt độ bằng lý thuyết tấm FSDT

và phương pháp sai phân hữu hạn được Yoosefian và cs trình bày trong [130]

Có th ể thấy rằng các phân tích uốn của tấm FGM thường sử dụng phương pháp s ố (PTHH, không lưới, đẳng hình học, ) hay phương pháp giải tích Các phương pháp giải tích hay bán giải tích chủ yếu dùng kỹ thuật hàm phạt (two-step pertubation technique), ho ặc phương pháp Galerkin sử dụng hàm ứng suất Airy Hầu như chưa có tác giả nào sử dụng tiếp cận theo chuyển vị với dạng chuỗi hữu hạn để

gi ải bài toán phi tuyến uốn Điều này có thể là do khi sử dụng phương pháp chuyển vị

v ới dạng nghiệm giả thiết dưới dạng chuỗi Fourier, độ chính xác lời giải phụ thuộc vào s ố số hạng của chuỗi sử dụng trong tính toán để đạt được độ hội tụ Điều này là

tr ở ngại lớn khi sử dụng máy tính cá nhân, đặc biệt là với những bài toán phi tuyến

1.6.2 Các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm FGM

Đặc trưng ổn định và sau ổn định của kết cấu là một trong những yếu tố quan trọng trong tính toán thiết kế các chi tiết máy và cấu kiện công trình Vì thế ổn định

và sau ổn định của tấm FGM là chủ đề nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều tác giả trong và ngoài nước

Eslami và cs đã trình bày các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu dầm, tấm và vỏ trong sách chuyên khảo [38] Wu và cs [124] khảo sát ứng xử sau ổn định của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng cơ nhiệt bằng phương pháp giải tích sử dụng chuỗi đa thức kép hữu hạn Chebyshev trên cơ sở

lý thuyết FSDT Sử dụng hàm ứng suất kết hợp với phương pháp Galerkin, Van Tung và Duc [119] nghiên cứu ổn định của tấm mỏng FGM liên kết khớp trên các cạnh, chịu tác dụng đồng thời của tải trọng cơ-nhiệt Với tiếp cận giải tích tương tự, các tác giả này sau đó đã khảo sát ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm dày FGM đặt trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm R-TSDT Nghiên cứu tiếp theo của Duc và Tung về ứng xử sau ổn định của tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt của tấm FGM với cơ tính phụ thuộc vào nhiệt độ theo lý thuyết FSDT được

trình bày trong [33] Prakash và cs [81] nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa đến ứng xử ổn định phi tuyến của tấm FGM bằng phương pháp PTHH

và lý thuyết FSDT Lee và cs [57] phân tích sau ổn định tấm FGM chịu nén trên các cạnh trong môi trường nhiệt độ sử dụng lý thuyết FSDT kết hợp với phương pháp không lưới kp-Ritz Duc và Cong [34] khảo sát sau ổn định của tấm S-FGM chịu tác dụng của tải trọng cơ nhiệt bằng phương pháp hàm ứng suất trên cơ sở

lý thuyết tấm HSDT Shen và cs [100] phân tích sau ổn định của tấm FGM nhiều lớp gia cường bởi graphene chịu tải nén theo một phương đặt trên nền đàn hồi và làm việc trong môi trường nhiệt sử dụng lý thuyết tấm R-TSDT và kỹ thuật hàm phạt Duc và Cong [35] phân tích phi tuyến sau ổn định của tấm mỏng FGM có gân gia cường đặt trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt sử dụng kỹ thuật san bằng độ cứng Lekhnitskij, hàm ứng suất Airy và phương pháp Galerkin Phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm FGM không hoàn hảo gia cường bằng gân FGM sử dụng kỹ thuật san bằng độ cứng và lý thuyết HSDT kết hợp phương pháp Galerkin được Van Dung và Nga trình bày trong [118] Moita và cộng sự [75] sử dụng phương pháp PTHH trên cơ sở lý thuyết HSDT phân tích ổn định phi tuyến tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng cơ-nhiệt Thang và cs [112] sử dụng phương pháp Galerkin và hàm ứng suất, thiết lập lời giải giải tích phân tích ổn định phi tuyến tấm S-FGM không hoàn hảo, có chiều dày thay đổi theo lý thuyết tấm cổ điển Cũng với cách tiếp cận tương tự, các tác giả này trình bày phân tích phi tuyến ổn định của tấm mỏng FGM không hoàn hảo gia cường bằng CNT trong [113] Sử dụng phương pháp đẳng hình học

và lý thuyết HSDT, Van Do và cs [116] phân tích ổn định phi tuyến của tấm FGM chịu tác dụng của các trường nhiệt độ khác nhau Phân tích sau ổn định của tấm FGM không hoàn hảo, chịu tải trọng màng bằng phương pháp không lưới và

lý thuyết HSDT được Van Do và cs trình bày trong [117] Shen và cs [102] khảo sát ổn định động phi tuyến của tấm FGM nhiều lớp gia cường bằng graphene đặt trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt khác nhau theo lý thuyết tấm R-TSDT

Qua các công trình đã nêu ở trên có thể thấy rằng các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của tấm FGM chịu tải nén màng, bên cạnh các phương pháp số, với tiếp

c ận giải tích, các tác giả phần lớn sử dụng hàm ứng suất Airy kết hợp với phương pháp Galerkin để nhận được hệ phương trình khảo sát ổn định phi tuyến của tấm Tuy nhiên

v ới tấm sử dụng vật liệu FGM rỗng các công bố còn chưa được đề cập đến

1.6.3 Các nghiên cứu về vật liệu FGM rỗng

Được xếp vào loại vật liệu nhẹ, vật liệu FGM rỗng đã và đang được sử dụng để chế tạo những cấu kiện cách âm, cách nhiệt hay chịu được tải trọng va đập, chính vì thế đã có nhiều công trình về ứng xử cơ học của kết cấu FGM rỗng công bố trong vài thập kỷ gần đây Magnucki và cs [71] thiết lập mô hình toán học cho tấm bằng vật liệu FGM rỗng với hàm chuyển vị bậc ba có kể đến biến dạng cắt ngang để phân tích uốn và ổn định Magnucka-Blandzi [70] tính toán độ võng và lực tới hạn cho tấm tròn bằng vật liệu FGM rỗng liên kết khớp trên chu tuyến chịu tải nén đều trong mặt trung bình và tải trọng uốn đối xứng trục Mojahedin [76] phân tích ổn định của tấm tròn bằng vật liệu FGM rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Lời giải chính xác cho phân tích dao động tự do của tấm dày hình chữ nhật làm bằng vật liệu FGM rỗng ở trạng thái bão hòa chất lỏng được Rezae và Saidi trình bày trong [91] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Các ảnh hưởng của áp suất chất lỏng, điều kiện biên, kích thước hình học

và mật độ phân bố lỗ rỗng đến tần số dao động riêng đã được khảo sát Công bố tiếp theo của hai tác giả này về ảnh hưởng của lỗ rỗng đến tần số dao động riêng của tấm dày bằng vật liệu FGM rỗng với điều kiện biên Levy được trình bày trong [92] Arani và cộng sự [10] nghiên cứu dao động tự do của tấm chữ nhật trên nền Winkler làm bằng vật liệu FGM rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc

ba của Reddy, tần số dao động xác định bằng phương pháp DQM (differential quadrature method) Leclaire [56] đã phân tích dao động riêng của tấm mỏng chữ nhật làm bằng vật liệu FGM rỗng có dạng bão hòa bởi chất lỏng Li và cs [60] phân tích dao động riêng của vỏ trụ bằng vật liệu FGM rỗng với điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp bán giải tích Ebrahimi và cs [36] khảo sát ảnh hưởng

của dạng phân bố và hệ số rỗng đến tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn bằng bọt kim loại (metal foam) sử dụng lý thuyết vỏ bậc nhất và dạng nghiệm chuỗi thỏa mãn điều kiện biên hai đầu vỏ Nhóm tác giả này sau đó tính toán tần số dao động riêng cho tấm bằng vật liệu FGM rỗng đặt trên nền đàn nhớt với các dạng phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau, kết quả trình bày trong [37]

So với vật liệu FGM truyền thống, các nghiên cứu về kết cấu bằng vật liệu FGM rỗng (FGP – functionally graded porous materials) thực sự còn khá khiêm tốn, đặc biệt với hướng phân tích phi tuyến Chen và cs [26] phân tích dao động phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGM rỗng (metal foam) với ba dạng phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz Akbas [8] khảo sát ảnh hưởng của lỗ rỗng đến ứng xử tuyến tính và phi tuyến tĩnh của dầm FGP Timoshenko bằng phương pháp PTHH Wang và

Zu [121] nghiên cứu dao động cưỡng bức phi tuyến của dầm FGM áp điện có

vi bọt rỗng bằng cả hai phương pháp: giải tích và PTHH Fouadi và cs [39] phân tích phi tuyến ứng xử uốn của dầm FGM có vi bọt rỗng theo mô hình dầm bậc nhất bằng phương pháp không lưới

Nam và cs [78] phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm FGP

có gân gia cường theo lý thuyết tấm R-TSDT sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Galerkin Sử dụng lý thuyết FSDT, Duc và cs [30] khảo sát ứng xử phi tuyến động của tấm FGM có vi bọt rỗng sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Runge-Kuta Li và cs [61] phân tích dao động phi tuyến và ổn định động của tấm FGP sandwich gia cường bằng mảnh graphene đặt trên nền đàn hồi Huang

và cs [43] phân tích phi tuyến dao động riêng và dao động cưỡng bức của tấm FGM có vi bọt rỗng đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bằng phương pháp hàm phạt Cong và cs [21] nghiên cứu ổn định và sau ổn định của tấm FGM có vi bọt rỗng

và độ không hoàn hảo hình học ban đầu dựa trên lý thuyết HSDT, hàm ứng suất

và phương pháp Galerkin Phung-Van và cs [83] phân tích phi tuyến đáp ứng

thời gian của tấm FGM có vi bọt rỗng chịu tác dụng đồng thời của tải trọng nhiệt-ẩm bằng kết hợp giữa phương pháp đẳng hình học và lý thuyết TSDT Xie

cơ-và cs [125] phân tích dao động phi tuyến của tấm FGM có vi bọt rỗng bằng tiếp cận cân bằng năng lượng Dat và cs [28] phân tích động lực phi tuyến và dao động của tấm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP gia cường bởi ống CNT sử dụng hàm ứng suất Airy, phương pháp Galerkin và lý thuyết TSDT

Có th ể thấy rằng với kết cấu tấm, vỏ bằng vật liệu FGM rỗng, các phân tích tuy ến tính cũng như phi tuyến đều thực hiện với hệ trục tọa độ quy chiếu đặt trên

m ặt trung bình hình học của kết cấu Các tính toán có kể đến yếu tố vị trí thực của

m ặt trung hòa còn chưa được xem xét đến, đối với bài toán ổn định thì tiếp cận này

th ực sự cần thiết

1.7 Tóm t ắt chương 1

Qua nghiên cứu tổng quan, các nghiên cứu phân tích về kết cấu dầm và tấm bằng vật liệu FGM rỗng (metal foam) hay bằng vật liệu FGM có chứa vi bọt rỗng (FGM with porosity) ta có thể thấy rằng có rất ít các công trình nghiên cứu về ứng

xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm sử dụng vật liệu FGM rỗng Đặc biệt là chưa có phân tích, so sánh đánh giá một cách đầy đủ về hai cách tiếp cận ứng suất và chuyển vị để giải quyết bài toán uốn, ổn định và sau ổn định của tấm FGM rỗng có kể đến tính phi tuyến hình học

Với tiềm năng sử dụng loại vật liệu này hiện tại và trong tương lai, tác giả luận án đề xuất hướng nghiên cứu của mình với định hướng về phân tích phi tuyến ứng xử uốn, của kết cấu tấm FGM rỗng bằng phương pháp giải tích với hai cách tiếp cận: theo chuyển vị và theo hàm ứng suất Airy Phân tích ổn định và sau ổn định tấm FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất Với việc chọn hệ quy chiếu gắn với mặt trung hoà, các phương trình cơ bản và hệ phương trình cân bằng chủ đạo xây dựng theo hai mô hình tấm: lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển nhận được sẽ đơn giản hơn so với cách tính trên mặt trung bình hình học Ảnh hưởng của các tham số vật liệu (dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng), tham số kích thước hình học tấm, nền đàn hồi cũng như ảnh hưởng của điều kiện biên theo hai cách tiếp cận đến ứng xử tuyến tính và phi tuyến uốn, ứng xử ổn định và sau ổn định sẽ được khảo sát chi tiết, so sánh và đánh giá một cách toàn diện

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU

2.1 M ở đầu

Phân tích phi tuyến ứng xử của các cấu kiện công trình là bài toán phức tạp nhưng rất có ý nghĩa thực tiễn do phản ánh gần hơn sự làm việc thực tế của kết cấu công trình Với các loại vật liệu mới nói chung và vật liệu FGM rỗng nói riêng thì hướng nghiên cứu này có tính thời sự và tính cấp thiết Trong chương này, tác giả sẽ trình bày trường chuyển vị, biến dạng và nội lực theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

và lý thuyết tấm cổ điển cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng có xét đến vị trí thực của mặt trung hòa Các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo được thiết lập trên

cơ sở xét đến độ võng lớn (kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman) với hệ tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hòa

2.2 Mô hình t ấm bằng vật liệu FGM rỗng

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, có chiều dày h, kích thước theo

phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng) Tấm được đặt trên nền đàn hồi

(Hình 2.1) Pasternak với các hệ số nền: K w - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness),

,

sx sy

K K - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) của nền đàn hồi

Hình 2.1 Mô hình tấm chữ nhật rỗng trên nền đàn hồi

Trong nghiên cứu này, tấm vật liệu FGM rỗng với các thuộc tính được giả thiết không thay đổi (phân bố lỗ rỗng đều) hoặc biến đổi trơn dọc chiều dày theo quy luật hàm cosine (phân bố lỗ rỗng không đều) Trong trường hợp phân bố lỗ rỗng không đều, tấm được giả thiết có mật độ lỗ rỗng thay đổi theo chiều dày trong quá trình chế tạo Chính vì thế, mặt trung hòa của tấm có thể không trùng với mặt trung bình (phân

bố bất đối xứng) Các trục tọa độ x, y nằm trong mặt phẳng tấm, trục z theo phương chiều dày tấm Để phân biệt rõ vị trí mặt trung hòa của tấm bằng vật liệu FGM rỗng, hai tọa độ z được sử dụng: z tb và z th tương ứng là tọa độ theo phương chiều dày của điểm bất kỳ tính từ mặt trung bình và mặt trung hòa (xem Hình 2.2)

Hình 2.2 Vị trí mặt trung bình và mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng

Vị trí mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng được xác định từ điều kiện [11, 55]:

( ) ( )

h

tb tb tb h

h

tb tb h

hợp phân bố lỗ rỗng là không đều - bất đối xứng thì C ≠ 0 (mặt trung hòa không trùng với mặt trung bình)

Khi đó các đặc trưng cơ học của vật liệu được biểu diễn trong hệ tọa độ gắn với mặt trung hòa theo công thức (2.3) - (2.5):

h z

E z G z  z lần lượt là giá trị của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun

đàn hồi trượt và khối lượng riêng tại vị trí có toạ độ z th so với mặt trung hoà

2.3 Lý thuy ết biến dạng cắt bậc nhất

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-order Shear Deformatoin Theory - FSDT) được phát triển bởi Mindlin [74], xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt

ngang bằng cách giả thiết các thành phần chuyển vị màng thay đổi tuyến tính theo chiều dày Với các giả thiết đoạn thẳng pháp tuyến với mặt trung hoà sau biến dạng vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không còn vuông góc với mặt trung hoà Với biến dạng bé vẫn xem zz  0, bỏ qua trị số ứng suất pháp theo phương chiều dày tấm zz  0

Hình 2.3 Biến dạng của tấm trong mặt phẳng xzth theo lý thuyết tấm FSDT

; 2

0;

;

;