Giáo trình vật lý thống kê phần 2 ts nguyễn bá đức

Chương 5PHÂN BỐ GIBBS 5.1 Phân bô chính tắc Gibbs 5.1.1 Nguyên lý đảng xác suất, phản bố không chính tác Khi hệ cô lập ớ trạng thái cân bằng nhiệt động thì các trạng thái vi mô cấu thành

Chương 5

PHÂN BỐ GIBBS

5.1 Phân bô chính tắc Gibbs

5.1.1 Nguyên lý đảng xác suất, phản bố không chính

tác

Khi hệ cô lập ớ trạng thái cân bằng nhiệt động thì các trạng thái

vi mô cấu thành hệ có nãng lượng thỏa mãn hệ thức:

Trong hệ thúc (5.2) *•, là xác suất của trạng thái vi mò thứ I AF

là trọng số thóns kẽ của hệ Xét một tham số nhận nhữns giá trị rùy thuộc từng trạng thái vi mô của hệ và ngẫu nhiên thì xác suảt của

tham số thứ I sẽ là:

trong trọns số thống kẽ A r của cả hệ Vì A r = const nên (5.3) có

the viết lại thành:

Như vậy xác suát £Ĩá trị T ị của tham so J- ti lệ với số trạns t h á i VI

thúc phân bõ khòng chính tắc

Trong thục tế các hệ vĩ mỏ đều là các hệ mở vì thế hẽ kháo sát được coi là hệ con trong hệ cò lập bao gồm cá vũ trụ Khi càn bans

nhiệt dộng, nãng lượng của hệ cô lập là Eo = const với độ chính xác

6E Bài toán đặt ra là xác định Tác suất để hệ con trong trạng thái VI

mô với nãna lượng Et.

Õ 3i

(5.4)

5.1.2 Phàn bò' Gibbs

Et ~ E n = Eũ = const

80 Vật lý thống tó

và dĩ nhiên E n < Eo ta có:

Theo nguyên lý đẳng xác suất thì xác suất trạng thái lượng tử với

năng lượng Et của hộ con tí lệ với số trạng thái lượng tử tưng ứng

uiị(Eị) là xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng E ị , ta có:

Ut(E>) ~ A r {En ) - A T ( E 0 - Et) (5.7)

Nếu môi trường có entropi là s ta có:

này xấp xỉ bằng nhiệt độ khi E n = E 0 — E) Thay (5.10) vào (5.9) và

Hệ thức (5.12) xác định tổng thống kê của hệ và z là ký hiệu của

đại lượng tổng thống kê Từ đó, hệ thức (5.11) được viết lại d ư # dạng:

aJt{Et) = ^ ex p Ị - ^ l (5.13)

Biểu thức (5.13) gọi là biểu thức phân bố chính tắc Gibbs Phàn

bố chính tắc Gibbs xác định xác suất trạng thái lượng tứ của mọi hệ

con có năng lượng E t khi hộ này ở trạng thái cân bằng nhiệt động với

mòi trường

Hàm phân bố Gibbs cho thấy khi năng lượng Eị tăng thì xác suất

tính được các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý đặc trưng cho

hộ vĩ mõ

5.2.1 Điều kiện áp dụng phép gần đúng cổ điển

Trong những điều kiện nhất định ta có thể mô tả hệ bằng cơ học

cổ điến thay cho cơ học lượng tử Trong trường hợp này trạng thái vi

mô của hệ ứng với điểm pha (p , q) trong không gian pha Nếu u(p, q)

ỉà hàm phân bố xác suất thì xác suất để điểm pha của hệ nằm trong

yếu tố pha thể tích dpdq chứa điểm (p , q) là u(p, q)dpdq Nghĩa là

chúng ta thực hiện phép chuyển gần đúng:

u , {E ị) -* u ( p , q)dpdq (5.14)Điều kiện cho phép chuyển này là điều kiện áp dụng cơ học cổ điển cho hệ vĩ mô

Mỗi hạt vật chất trong hệ cô lập có năng lượng £, xung lượng P tuơiìg ứng với một sóng Đơbrơi có tần số u và vectơ sóng k được xác định theo các hệ thức £ = h u, trong đó h là hằng số Planck Bước sóng A được viết theo hệ thức liên hệ với xung lượng p với p = y/ĩrnẽ.

ta có:

2 ĩ ĩ 2 i ĩ h 2 ĩ ĩ h

Gọi khoảng cách trung bình giữa các hạt của hệ vĩ mô là a và nếu

ap dụng thống kê cổ điển, ta phải có điều kiện A < < a thì hiệu ứng

lượng tứ sẽ là không đáng kể và ta có:

h

a » -7=

Từ hè thức (5.20) cho tháV trong truờna họp nhiệt độ cao và mật

độ hạt loãng ta có thê áp đuns thốna kê cố điển

201 là nhiệt độ suy biến của hệ Như vậy ;heo (5 20' ra phải co điều

tiện nhiệt độ T của hệ rất 1cm so với nhiệt độ suy biến T; thì mới áp

52.2 B iể u thức phàn bỏ G ib b s cổ điên

84 Vật lý thống ké

một trạng thái lượng tử Nếu có / bậc tự do thì yếu tô' pha tương ứng

sẽ có thể tích ( 2 ĩ ĩ h ) l Đối với yếu tô' pha bất kỳ dpdq thì số trạng

ý tới nguyên lý khong phân biệt các hạt đồng nhất thì số trạng thái lượng tử khác nhau trong yếu tố pha sẽ là:

Hàm phân bô' xác suất chính tắc Gibbs trong thống kê lượng tứ có dạng là:

Nếu chuyên sane thống kê cổ điển thì hàm phân bố xác suất sẽ có

dạng biếu diễn qua Hamiltonian cổ điển H(p.q):

Xác suất đê’ trạng thái của hệ nằm trong yếu tố pha dpdq có chứa

• Đốĩ với một hạt số trạna thái trona yếu tô pha dpdạ có chứa

ba chiều cổ điển dp = dpz dpydpz.

• Nếu chi quan tăm tới sô trạng thái tron2 khoans xuna lượng

[p.p - (ỉp) còn tọa độ q là tùy ý thì sỏ' tran2 thái sẽ được xác định bằns cỏns thức:

dp = dpxdpydpz — p 2 sin Odởdsdp (.5.26)

- </r?= J ^ p2dp í.

5.3 Phân bô Gibbs suy rộng

Xét hệ ở trạng thái cân bằng có năng lượng và số hạt đểu biến đổi

E ữ = Et + E n = const ( 5 2 8 )

No = N + Nn = const ( 5 2 9 )Các ma trận mật độ hay toán tử thống kê phụ thuộc vào toán tử năng lượng và số hạt có dạng đồng nhất phải thỏa mãn các điều kiện(5.28) và (5.29) khi:

N « N n ( 5 3 0 )

Et « En ( 5 3 1 )Theo nguyên lý đẳng xác suất, khá năng tồn tại trạng thái của hê

môi trường có năng lượng là £ n, số hạt Nn.

Vậl ly thống b> 87

Xác suất của hệ con có nãng lượng E, và sỏ' hạt A* khi cân bằng với mòi tnrờns có nhiệt độ T có dạng:

M N) ~ A r nịEo - E, Xo - V ) (5.32)

kẽ) ứna với nãn2 lượng và sò' hạt của mòi rruờns naoài

Hệ thúc entropì đối với mòi trườn2 nsoàì ta cũns có thể viết dưới dạng:

Từ (5 3 2) (5.33) ta có:

: r { S n{ E o - F t \ a - \ ) \

E , A ) ~ cxp <j - — - > (5.34)

Hệ thúc S„(Eù — E t A*o — -V) là entropi của mõi trườns naoài khi

hệ con ờ trạna thái cản bằng Khai triển gần đúns hộ thức với các điéu kiện (5.30) (5.31) ta có:

S n(E 0 - E t Xo - -Vì = S n( E 0 .V o)- E,

Tron® hệ thúc (5 3 5 ) thì đại 1 irons ( 4 Ệ- }E=F - J trong đó T là

nhiệt độ của môi trườn2 ngoài và (fy -} Y=v = — J- v’ới p là thế hóa của mòi trườns và cũna là dộ biến thiên nãns luợns truns bình khi sò hạl truns bình thay đổi một đơn vị Do vậy (5.35) viết sọn lại dưới dans:

ga Vật lý thống bi

Thay (5.36) vào (5.34) ta có:

( S n( E u N a ) } í E , - ự N U){Et , N ) = ~ exp - y 1 - > exp ^ -

hóa A được xác định theo điều kiện chuẩn hóa xác suất:

Đai lương Z-: là tổng thống kê SUV rôn

Đại lượng Z(J là tổng thống kê suy rộng.

Như vậy, xác suất tìm thấy hệ ớ trạng thái có số hạt ;V nãng lượng

Et được xác định qua biểu thức:

Biếu thức (5.39) được gọi là phân bố chính tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng

Chú ý: Khi hệ con cân bằng nhiệt động với môi trường ngoài thì

nhiệt độ và thế hóa là như nhau, nghĩa là nhiệt độ T và thế hóa // cúa môi trường ngoài chính là nhiệt độ T và thế hóa // của hệ con cần

khảo sát

Vặ/ /ỹ t/iõníỊ kẽ 895.4 Nâng lượng tự do trong phàn bò Gỉbbs

5.4.1 Hệ thức giữa nàng lượng tự do và nội năng của

hệ trong phán bỏ Gibbs

Hàm trạns thái biểu diễn nãns lượns tự do của hệ được xác định bằns hệ thức với tons thone kẽ và nhiệt độ:

thuộc vào các tham số T X r.

Theo định nghĩa truns bình thỏns kẽ ta có nãns luợns truns bình (lúc nội năns) của hê có dạns:

Sử duns phân bõ Gibbs cho hê thức (5.41 ì và thay tons thõng kẽ

90 V ật lý thống kê

tự do:

Hệ thức liên hệ giữa năng lượng trung bình với năng lượng tự do(5.43) được gọi là phương trình Gibbs - Helmholtz, tương tự như hộ

tính được năng lượng trung bình của hệ

5.4.2 Hệ thức giữa năng lượng trung bình, năng lượng

tự do và entropỉ trong phân bố Gỉbbs

Đối với hệ m ở trong trạng thái cân bằng nhiệt động với mỏi trường ngoài thì hàm phân bố xác suất khác không trong một khoảng năng

lượng A E xung quanh giá trị năng lượng trung bình E Ta có hệ thức:

V ạ/ /y thốn % kẽ 91

u

Tons thõng kẽ khi hàm phần bố xác suất theo năng lượns chi khác

khỏng rõ rệt trong khoảng A E xung quanh giá trị của E được tính

Chương 6

PHÂN BỐ MAXWELL - BOLTZMANN

PHÂN BỐ FERMI - DIRAC

PHÂN BỐ BOSE - EINSTEIN

6.1 Phân bô Maxwell - Boltzmann

6.1.1 Phân bố Maxwell - Boltzmann

Hàm phân bô' Maxwell - Boltzmann là hàm phân bố xác định xác suất xung lượng và tọa độ của mỗi hạt độc lập Để xác định hàm phân

bố Maxwell - Boltzmann, ta áp dụng phân bố Gibbs cổ điển cho khí

lý tưởng dưới dạng:

“ (p'r ) ~ exp{ - X r Ễ ( ầ + ơ(r' )) }

92

Vậ/ lý thốn ẹ kê 93

Hamiltonian của hệ khí lý tuởng được biểu diễn qua tổng động nâng và tổng thế nâng của các phán tử trong trường ngoại lực theo dạng:

xung lượng của N hạt sẽ bằng tích các hàm phân bố cúa từng hạt, vì

Đối với mỗi hạt độc lập, hàm phân bố xác suất xung lượng và tọa

độ sẽ bằng tích hàm phân bố xác suất xung lượng và hàm phân bố xácsuất tọa độ qua hệ thức:

Biểu thức (6.6) là biểu thức phân bô' Maxwell - Boltzmann

Cãn cứ biểu thức (6.6), biểu thức hàm phân bố cúa riêng xung lượng có dạng:

6.1.2 Công thức phân bố Maxwell

Xét biểu thức (6.7), ta xác định hộ số A bằng điều kiện chuẩn hóa

£ 1 1 I I exp { ~ ~ ~ 2 m i r p ‘ } = 1 <6 -9)

Đe xác định hệ sỏ' chuẩn hóa B của công thức hàm phân bố của

riên° toa độ ta sử dụng điéu kiện chuẩn hóa của hàm phân bô của

phân cấu hình, giá trị tích phân tùy thuộc dạng cụ thể của hàm thế

nãng U( x, y, z) Như vậy hệ số chuẩn hóa B được xác định từ điều kiện B J = 1 —* B = 1 / J Từ đó, hệ thức (6.8) biểu diễn phân bố

xác suất của riêng tọa độ được viết lại theo dạng:

Công thức (6.15) là công thức phân bố Boltzmann

Trong trường hợp riêng nếu thế năng bằng không ( í / = 0 ) tức là không có trường lực ngoài thì:

Giải phươns trình Shrodinger với hàm riêng và trị riêng là hàm

dõi đó tươns úng với toán lử H:

Giả sử xét một hạt thứ I và các trạng thái iĩnị gọi là trạng thái

sóno của hệ có tính đốì xứng hoặc phản đối XÚTI2 với nguyên tắc sau:

98 V ật lý thống kêI lị

• Hàm sóng I ps ( x\ , x 2, -, X f ỉ ) gọi là đối xứng nếu nó không thay ^

iị)s ( x 1 ,X2, X N ) = 0 s(a: 1 ,1 2 , ,Xfc, • X i , x à

• Hàm sóng i/>s(zi, £2, ■ ■ ■ 1 XN) gọi là phản đối xứng nếu nó đổi

dấu khi hoán vị hai hạt i, k bất kỳ, tức là:

('•£ 1) • • • 1 ^ii • ■ • J • ■ • (*£ 11 ^-21 • • • ĩ Ị - • • *£i J ••• X

6.2.2 Đối với hệ các hạt fermion độc lập

Hàm sóng phản đối xứng của hệ fermion độc lập được thiết lập dạng:

cột giống nhau thì hàm sóng ĩpn = 0, nghĩa là trạng thái không tồn

tại

Như vậy, hàm sóng (6.21) thỏa mãn nguyên lý cấm Pauli: trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt fermion (hay nói một cách khác hạt fermion là hạt có spin bán nguyên, mỗi trạng thái lượng tử

bị chiếm hoặc Q hạt hoặc 1 hạt)

Vật lý thông ké 99

6JL3 Đòi với hệ các hạt boson độc lập

Gọi sỏ' hạt độc lập ở trana thái 0ni là N i , sô' hạt ờ trạng thái e)„2

Giả sử ta xét hệ có hai hạt độc lập ( X = 2), mỗi hạt có thê nầm trong

v 2Theo (.6.23) thì rõ ràna L's khòna thay đổi khi hoán vị các chi số 1

và 2 Như vậy hệ các hạt boson ưona mỗi trạns thái lượng tử có thể

có nhiều hạt (hay nói cách khác, hạt boson là hạt có spin nguyên do

dó mỗi trạna thái lượns tử bị chiếm bời sò hạt bát kỳ bằng 0 1 2 )

63 Phàn bò Bose - Eisntein, phân bò Fermi

- Dirac và phàn bô Boltzmann

Đế xác định phàn bo Fermi - Dirac và phàn bò Bose - Einstein ta phải sừ dune hàm phân bố chính tác lớn hay hàm phân bô Gibbs suy rộn® Theo nsuvẽn lý cám Pauli hạt fermi là hạt cỏ spin bán nsuyên

100 V ật lý thống kê

mỗi trạng thái lượng tử bị chiếm hoặc 0 hạt hoặc 1 hạt, còn hạt bose

là hạt có spin nguyên, mỗi trạng thái lượng tử bị chiếm bởi số hạt bất

kỳ bằng 0 ,1 ,2 ,

Ta xét một hệ lý tưởng là hệ N hạt đồng nhất không tương tác với

nhau Nguyên tắc khi xét hệ là đối với hệ hạt đồng nhất, ta không cẩn quan tâm cụ thể hạt nào ở trạng thái lượng tử nào m à cần quan tâm tới trường hợp trong một trạng thái lượng tử có bao nhiêu hạt và giá trị trung bình của số hạt trong hệ

6.3.1 Số hạt trung bình

Khảo sát hệ các hạt là hệ mở và hệ có trao đổi với môi tnrcmg bên ngoài có năng lượng và vật chất, khi hệ cân bằng nhiệt động với môi trường ngoài thì số hạt của hệ chỉ tăng giảm xung quanh giá trị trung bình, tuy nhiên số hạt của hệ có thể nhận các giá trị khác nhau

từ không với xác suất khác nhau

Gọi N k = ( N i , N 2, , 7Vj, ) là tập số hạt trong đó N k là số hạt

N là số hạt cả hệ.

Gọi U)h là xác suất của trạng thái cả hệ, u ( N k ) là xác suất của Nk

hạt ở trạng thái đơn hạt, k, Eị là năng lượng của một hạt trong trạng

thái đơn hạt i, Eh là năng lượng của cả hệ Đối với hệ các hạt fermion

do nguyên lý cấm Pauli nên sô' hạt N k = 0,1, đối với hệ hạt boson thì

số hạt Nk — 0 , 1 , 2 , , N

Để tính số hạt trung bình /Vk cần biết xác suất trạng thái của cả

hệ, áp dụng biểu thức của phân bố Gibbs suy rộng, ta có:

(6.24)

với là tổng các số Ni tuỳ ý theo hệ thức (6.25).

Dựa vào (6.27) và (6.26) với xác suất u>h của Nk hạt ờ trạng thái lượn ° tử đơn hạt k là tất cả các xác suất ujh cùng chứa Nk và biến đổi

Ẹ

itk

(g,- - ụ) Ni

k T

Từ đó ta có thể tính được số hạt trung bình trong trạng thái lượng

tử k bằng biểu thức qua xác suất trạng thái u>h'.

Như vậy, biểu thức (6.30) được sử dụng để tính số hạt trung bình

6.3.2 P h â n b ố Bose - E iste in

Để tính số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lượng tử đơn hạt

với năng lượng ek, ta cần phải tính được Y^N exp Ị - ~—kf - Nk I trong

biểu thức (6.30), kết quả tính tùy thuộc vào đặc điểm thống kê của loại hạt được xét

Đối với hệ các hạt boson, ta có N k = (0,1, 2 , ), theo công thức

(6.30) ta tính tổng ở vế phải với thế hoá /X phải thoả mãn điều kiộn

Vậl tỹ thống kẽ 103

p < Ek với mọi k đe lổng Y S exP I - ^ kr "k I hội tụ Muón vậy

/I phải nhỏ hơn năng lượng cục tiểu £min nghĩa là ụ < £mín từ đó ta

Biểu thức (6.32) sọi là phản bố Bose - Eistein

6.3.3 Phân bò Fermi - Dirac

Đối với hệ các hạt fermion theo nguyên lý Pauli ta cỏ -V = 0.1

vì thế tổng theo -Vfc trong biéu thức (6.30) ưở thành:

Biểu thức (6.33) gọi là phân bố Fermi - Dirac.

Các hệ thức của phân bố Bose - Eistein và phân bố Fermi - Dirac

chỉ đúng trong trường hợp mức năng lượng Ek không suy biến Nếu

(6.32) và (6.33) được viết lại lần lượt là:

Hai biểu thúc (6 3 4 ), (6 3 5 ) có thể viết thành một hộ thức với dấu (+) là của phân bô' Fermi - Dirac, dấu (-) là của phân bò' Bose - Eistein:

N k = —e x p t o ^ i l - (6-36)Như vậy chúng ta có thể tính đuạc số hạt và nàng lượng cùa cả

hộ khi biết số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lượng tử:

106 V ật lý thống kê

6.3.4 Phân bố Boltzmann

do đó: £ — /i > > k T Ta có thé viết:

(6.42)

Biểu thức (6.42) gọi là phân bố Boltzmann

Như vậy khi số hạt trong mỗi trạng thái lượng tử đơn hạt rất nhỏ thì phân bô' Fermi-Dirac và phân bố Bose - Eistein sẽ chuyển về phân bô' Boltzmann Qua phân bô' Boltzmann ta có thê’ tìm được mối liên

Theo phân bố Gibbs ta có số hạt trung bình với năng lượng £ sẽ

6.4 Khí điện tử tự do trong kim loại

! s' ■

6.4.1 Đặc điểm của khí điện tử tự do

Kìm loại có cấu tạo gồm các nút mạng là các ion dương sắp xếp

loợng cỡ 10_31Ả Ợ, kích thuớc cỡ Angstrom (-4°), spin của điện tử bằng 1/2 (đơn vị hằng sỏ' Plank), mật độ điện lử tự do cỡ 1022 — 1024hạt/c77j3.Trong kim loại, do đặc điểm của điện tử tự do là có điện tích nhưng tuons lác giũa chúng với nhau lại rất yếu do hiệu ứng chắn cùa các ion doơns trẽn các nút mạng, nên các điên tử tự do có thê chuyển động khá linh độns trons kim loại mặc dù khoảng cách giữa các ion cũng

K CÓ CỠ 4°, vì sự linh động đó nên tập hợp các điện tử tự do trong kim

ỉ k ạĩ có thể được coi nha một chái khí - khí điện lử tự do Khí điện

tử tợ do là khí lý tưởng lượng cừ Fermi và tuân theo phân bố Fermi -

'■i Dirac.

tỉ 6.42 Khí điện tử tự do ờ độ khòng tuyệt đối

Khí điện tử tự do ờ độ khõns tuyệt đối { T = 0° /\ ') gọi là khí điện

tử tự do suy biến hoàn toàn

Gọi ATk là số điện tử trung bình có năng lượng f t trong trạng thái

lượng tử k sô' điện tử truns bình N k sẽ được biểu diễn qua phản bỏ

e x p ^ + 1

Theo các hệ thức trên thì ở độ không tuyệt đối mỗi trạng thái lượng

tử với năng lượng £/fc < /io đều chứa 1 điện tử còn các trạng thái lượng

tử với năng lượng Ek > Ho thì không có điện tử nào và được gọi là các

trạng thái lượng tử trống

Mức năng lượng giới hạn với thế hóa ở độ không tuyệt đối /Xo gọi

là mức Fermi và phụ thuộc vào sô' điện tử Nếu coi phổ nãng lượng dày đặc là liên tục thì ta có thể tính được mức năng lượng Fermi theo

Spin của điện tử có thể định hướng theo hai cách s = I và s = —

biệt {e{k), | ) và (e(A;), - | ) Vì thế bội suy biến của mỗi mức năng lượng e(k) là g(e) = 2 Mật độ trạng thái p(e) trong (6.46) được xác

định bằng công thức:

Như vậy ở trạng thái cơ bản (T = 0°A') khí điện tử tự do trong

jj k i m loại vẫn có nãna lượng khác không

6.43 Khí điện tử tự do ờ nhiệt độ tháp

Từ hệ thúc (6.50) ta đắ thấy đốì với khí điện tử tự do ờ độ không tuyệt đối (T = Ũ°K') thì bị suy biến hoàn toàn nhưns khòns phải tất

n o V ật lý thống kẽ I

cả các điện tử đều có năng lượng bằng không (£ = 0) m à các điộn tử

lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 tới mức Fermi theo

Bình thường các điện tử tự do tồn tại ở trạng thái lượng tử dưới mức năng lượng cơ bản (mức Fermi) Khi nhận nhiệt lượng từ bên ngoài, nhiệt độ của khí điện tử tự do sẽ tãng lên nên chuyển động tự

do của các điện tử tự do cũng linh động hơn, do đó trạng thái cơ bản

sẽ thay đổi Các điện tử nằm sát mức Fermi sẽ bị kích thích và nhảy lên các mức năng lượng trên mức Fermi, nếu tiếp tục tăng nhiệt độ thì các điện tử có nãng lượng thấp hơn cũng sẽ bị kích thích và chuyển dần lên các mức năng lượng cao hơn gần mức Fermi Đến một giá trị

7o nào đó thì điện tử ở mức nãng lượng thấp nhất £ = 0 cũng có thể

nhảy lên tới mức Fermi Nhiệt độ To giới hạn gọi là nhiệt độ suy biến

suy biến và đến khi T = 0 ° K thì bị suy biến hoàn toàn và cũng có nghĩa là ở nhiệt độ T > > To khí điện tử tự do sẽ không bị suy biến

Giá trị của nhiệt độ giới hạn T0 được tính thông qua hệ thức (6.49),

Hệ thức (6.52) cho thấy khí điện tử tự do không suy biến tuân theo

tự do trong kim loại tuân theo phân bố Fermi - Dirac

Vật /ý thống ké 111

theo phân bó Fermi-Dirac có dạng:

Thaỵ (6.56), (6.57) và mức năng lượng giới hạn ụ,0 = Y~ (37T2^ 2/3j

(mức Fermi) vào (6.54), (6.55) ta sẽ được thu được hệ thức tính năng lượng toàn phần và thế hoá của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiột

: Vậf tý thống kè 113

Hệ thức (6.60) chính là nội dung của định luật Sommerfeld trong

lý thuyết diện từ kim loại và ta nhận thấy ờ nhiệt độ thấp nhiệt dung cùa khí điện tử tự do trong kìm loại tỷ lệ với nhiệt độ Từ (6.60) và két quà tính nhiệt dung mạng tĩnh thể chái rắn ờ nhiệt độ thấp theo lý diuyết Debye, chúng ta thấy rằng nhiệt dung của kim loại ỡ nhiệt độ diáp phụ thuộc nhiệt độ dưới dạng:

Phần tuyến tính a T là nhiệt dung cùa khí điện từ tự do, còn phần

JT3 là nhiệt dung của mạng các ion dương

6.5 Hệ các hạt boson ở nhiệt độ thấp

Khí lí tườns bao gồm các hạt boson ờ nhiệt độ thấp gọi là khí bose Khí bose ở nhiệt độ thấp có tính chất khác hẳn khí fermi vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nsuyên lý cám Pauli nên ờ nhiệt độ

thái cơ bản của hệ là ò trạng thái có năng lượng E = 0 Khí bose tuân

ứieo qui luật phân bò' Bose - Eistein vì thế tổng sô hạt sẽ được tính

hằng tích phân của sò" hạt trons khoảng nãng lượng biến đổi ds là:

í

Vật lý thống kê

tổng số hạt:

Nếu số hạt N là số cho trước thì từ phương trình (6.62) ta sẽ xác

Vì £ > 0 và điều kiện n < 0 nên ta có e - [I > 0, từ đó ta thấy

j £ < ũ Từ (6.63) ta thấy khi nhiệt độ giảm thì thế hoá tăng và đến

nhiệt độ To nào đó thì thế hoá ụ, sẽ đạt giá trị cực đại bằng không

(//m ax = 0 ) , từ đó ta s ẽ tìm được Totừ phương trình ( 6 6 2 ) Để biểu

Vật tý thon? kê 115

Tính tích phân trong biểu thúc (6.65) ta có được giá trị của To là:

Nói chung, nhiệt độ To của khí bose rát nhò tuy nhiên sự tồn tại

còa nhiệt độ To Ỷ 0 lại có những ý nghĩa quan trọng, ta xét nhiệt độ

T tron 2 khoảng To > T > 0.

Theo (6.63) thì thế hoá // khônơ thể giảm nữa do đó trone khoảng từ

nhiệt độ khôna (0°Ầ') tới nhiệt độ To thế hoá ụ = 0.

Với nhiệt độ T < To số hạt có nãns lượns £ > 0 được xác định

( 6 66 )

0

ũ

So sánh các hệ thức (.6.67) và 16.65) ta thấy số hạt có nang lượng

- > 0 nhò hơn tons số hạt của chất khí Sò hạt còn lại hiển nhiên có

116 V ật lý thống k

năng lượng £ = 0 vì năng ĩượng của mỗi hạt không thể âm Số hạ

còn lại được tính bằng các hộ thức:

N ( e = 0) = N - N (e ) = N Ị l - I (6.68

Như vậy, đối với chất khí bose có tồn tại nhiệt độ 7o mà dưới nhiệ

độ này thì thế hoá ụ, = 0 Khi T = 0 ° K tất cả các hạt đều có nãnị lượng £ = 0, nhưng trong khoảng nhiệt độ từ 0 ° K đến To vẫn có mộ

số hạt nằm trong trạng thái với năng lượng bằng không Hiện tượnị này gọi là hiện tượng ngưng tụ Bose - Eistein

QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BANG THEO LÝ THUYẾT

CỔ ĐIỂN

7.1 Hàm phân bô không càn bằng

Trong trạng thái cân bans nhiệt động, nếu trườn2 nsoài bằng khõns hoặc đồng nhất thì hàm phân bô' khôns phụ thuộc tọa độ đồns thời không phụ thuộc tườns minh vào thời gian, do đó giá trị trung bình cùa các đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô cũng không phụ thuộc thời gian Ngược lại ờ trạng thái không cán bằng thì nói chuns hàm phân

khống có trườn2 nsoài (vì trona hệ có thể tồn tại các đạo hàm bậc hai

- gradien như srađien nhiệt độ sradien mật độ hạt )

Trong trường hợp thóng kê cản bằng bài toán xác định hàm phân

quá trình khòna cân bảng việc xác định phương trình chuyển động của hàm phân bỏ đẽ tìm mối liên hệ giữa hàm phân bò với tọa độ và

Chương 7

117