Giải toán điện xoay chiều bằng giản đồ vecto và số phức newstudy vn

Đối với mạch song song ta có tính chất: điện áp các đoạn mạch bằng nhau, còn cường độ dòng điện ở mạch chính bằng tổng cường độ dòng điện ở các mạch thành phần.u = Uocosωt i = I0cosωt +φ

A PHƯƠNG PHÁP DÙNG GIẢN ĐỒ VECTƠ.

hay

Đối với mạch song song ta có tính chất: điện áp các đoạn mạch bằng nhau, còn cường độ dòng điện ở mạch chính bằng tổng cường độ dòng điện ở các mạch thành phần.

u = Uocos(ωt)

i = I0cos(ωt +φ) :

Ta biểu diễn bằng hình học như sau: r r uri i= +1 i2

Đối với một mạch điện phức tạp ta

có thể phân chia mạch điện thành các

đoạn nhỏ có cấu trúc đơn giản ( chỉ có các

phần tử ghép nối tiếp hay song song) để

lập các giản đồ vecto trước khi phối hợp

II MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ.

1/ Công suất, hệ số công suất và điện áp hiệu dụng các đoạn mạch.

Bài 1

Một đoạn mạch điện gồm một cuộn dây ghép nối tiếp với một tụ điện Hai đầu mạch có một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng U Biết giá trị hiệu dụng của điện áp các đoạn mạch như sau: Ud = UC = U Tìm hệ số công suất của mạch điện

Giải:

Ta có u = ud + uc

Nhận xét: cuộn dây có điện trở thuần, nếu không thì uL + uC sẽ bằng 0

Ta có giản đồ vectơ như sau:

Tam giác AMB là tam giác cân có đường cao AI

Giải:

Dùng phương pháp giản đồ vectơ : U Uur uur uur= 1 +U2

Ta biết u1 = uL + ur ; u2 = uC Nên ta có thể vẽ các vecto biểu diễn chúng như sau:

I

Ud

U C A

B

M

φ)

U

Vì U = U2 = 100V nên tam giác ABM là tam giác cân, đường cao BH chia cạnh đáy AM thành hai phần bằng nhau Ta có

2 100 3 3 ˆ

cos

2 2.100 2

U MAB

Một mạch điện có sơ đồ như sau:

Hai đầu AB có một điện áp xoay chiều tần số ω xác định

Ta có giá trị hiệu dụng của điện áp các đoạn như sau:

UAB = UNB = 130V; UMB = 50 2.(V)

Biết uMB vuông pha với uAN

Tìm hệ số công suất của mạch

Giải:

Ta có uAB = uAN + uNB Ta thấy AN

là đoạn mạch RC nên uAN trễ pha so với i;

NB là đoạn mạch rL nên uNB sớm pha so

với i

Biểu diễn bằng giản đồ vectơ:

Từ U = UNB suy ra tam giác ABN

là tam giác cân tại B nên đường cao BH

chia AN thành hai phần bằng nhau

UAN/2, và vì uMB vuông pha với uAN nên

C

UR

U r

U

H U AN

UNB

I

UMB

U1 = 120V; khi R = R2 thì vôn kế chỉ giá trị U2

= 90V Trong hai trường hợp trên công suất tiêu thụ vẫn bằng P

Giải:

Vôn kế chỉ giá trị hiệu dụng ULC vì vậy uV luôn vuông pha với uR

Ta có giản đồ vectơ: U Uur uuur uuur= R +U V trong hai trường hợp

Từ biểu thức công suất tiêu thụ phụ thuộc R: P =

Tam giácAMB = tam giác BM’A Như vậy có thể nói UR1 = U2 = 90V

Điện áp hiệu dụng toàn mạch: U =

Mạch điện có sơ đồ như hình vẽ:

Trong đó có cuộn dây thuần cảm kháng,

độ tự cảm L biến đổi được

Hai đầu mạch điện có một điện áp xoay chiều tần số xác định, giá trị hiệu dụng U

a) Nhận xét: R; C và tần số dòng điện không đổi nên tổng trở đoạn AN là Z1

xác định vì vậy U1 = I.Z1 cực đại khi cường độ dòng điện I cực đại

U I

C

ω ω

b) Vôn kế V2 có số chỉ cực đại tức UL cực đại

Ta có thể biểu diễn giản đồ vectơ như sau:

ZC và R xác định nên góc φ1 không đổi khi L biến đổi, như vậy góc α cũng không đổi

Hệ thức lượng giác trong tam giác ABN

ˆ sinsin

như hình vẽ

Hai đầu mạch có điện áp xoay chiều u = 100 2sin100πt.(V)

a) Tìm giá trị C0 của tụ điện để điện áp hiệu dụng UMN cực đại

b) Tính UAM;UMN;UNB và công suất tiêu thụ trong mạch ứng với giá trị C0

Biểu diễn bằng giản đồ vectơ như sau:

UMN = UC cực đại khi ˆA= 900 ( chứng minh như trên)

U L

I

URL

U

U C

Tam giác AMN vuông tại M, ta có α + φR,L = 900

= = 100W

Bài 3

Một mạch điện gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, một tụ điện có điện dung C, một điện trở thuần R nối tiếp Hai đầu mạch nối với một điện áp xoay chiều u = U0cosωt.(V), trong đó tần số ω biến đổi; khi ω = ω0 thì UR đạt cực đại; khi ω = ω1 thì UL cực đại; khi ω = ω2 thì UC cực đại, hãy lập biểu thức tính ω0; ω1;

ω2 theo R,L,C và xác định mối liên hệ giữa ω0, ω1, ω2

Giải:

Loại bài toán này nếu dùng giản đồ vecto để giải thì sẽ gặp khó khăn trong khâu biện luận dẫn đến kết quả Nhưng nếu dùng phương pháp giải tích thì việc tính toán dẫn đến kết quả dễ dàng hơn.

Thật vậy với biểu thức: UR = 2 2

1

LC

Với biểu thức UL = 2 2

1

1

U L R

L C

Cho mạch điện như hình vẽ :

Biết cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, điện dung

của tụ điện là C, và điện trở thuần R

Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều

có biểu thức u = U 2cosωt.(V)

a) Tìm biểu thức tổng trở toàn mạch

b) Tìm độ lệch pha của u so với i

c) Tìm điều kiện để cường độ dòng điện I không phụ thuộc R

d) Nếu chỉnh điện dung C = C1 thì UC cực đại Tìm C1

UAN = UC ; u c trễ pha so với i một góc π/2 Ta có giản đồ vecto như sau:

Theo tính chất mạch nối tiếp ta có:

+b) Độ lệch pha của u so với i

Dựa vào giản đồ vecto ta có 1 1

ϕ = − + > 0 nên u trễ pha so với i

c) Điều kiện I không phụ thuộc R

R Z

R +Z ta suy ra để Z không thuộc R thì 1 - 2

C L

Z

Z = 0 => ZL = 2ZC

U 1

IRI

I L

φ 1

I U

U 1

U C

φ1φ

α

Vậy khi LCω2 = 2 thì I không phụ thuộc R và có giá trị là I = U

Z =

C

U Z

Hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ta:

UCmax = 1

1 sin

Một điện trở R, hai tụ điện có điện

dung C và C’ và một cuộn dây có độ tự

cảm L được lắp như sơ đổ sau:

Một điện áp xoay chiều u = U0cosωt.(V)

được đặt vào hai đầu A,B của đoạn mạch

N

U2

ILI

α

O

Vậy Z =

2 2 2

Để đo điện trở R0 và độ tự cảm của một

ống dây, người ta bố trí sơ đồ mạch điện thí

nghiệm như sau:

U 1

U2

U 3

R1

R2

r T

Trong đó đã biết điện trở R2, điện dung C R1,

r là những biến trở T là tai nghe, nếu điện thế

hai điểm N,M khác nhau thì T phát ra tiếng hú

Điều chỉnh biến trở R1 và r sao cho tai nghe T không còn hú Lập biểu thức liên

hệ giữa R0; L và C, r, ω

Giải:

Khi tai nghe T không còn tiếng hú nghĩa là không có dòng điện chạy qua loa tai nghe: N,M cùng điện thế, ta có mạch cầu cân bằng

Ta có dòng điện i1 qua ống dây và qua biến trở R1 như nhau; dòng điện i 2 qua R2

và qua tụ C như nhau, có thể vẽ giản đồ vecto như sau

Ta có UR = R0.I1 ; UMB = R1I1;

UAN = R2I2

=> U Uuuur uuuurR0, MB đồng pha

=> AF//MB => 2 tam giác AFM và MGB đồng dạng

Tỷ số đồng dạng cho ta

2 0

Lập tỷ số và bình phương ta được: 2 2 2 ( 2 2)

1 (R R ) r ( ) R (L )

CR R L

Crω

=

+(1) => R0 = LCrω2 = ( )

1 2 2 1

C R R r Cr

G

Tóm lại ta có thể dùng giản đồ vecto có thể giải một bài toán điện xoay chiều khá đơn giản, đặc biệt là đối với loại mạch điện ghép hổn hợp Tuy nhiên một số bài toán điện xoay chiều có cấu trúc mạch phức tạp thì phương pháp giản đồ vecto lại không thuận tiện, thậm chí bị bế tắt Nhưng bằng phương pháp dùng số phức ta có thể giải nó tốt hơn.

Chúng ta thử tìm hiểu phương pháp dùng số phức để giải bài toán điện xoay nhiều như thế nào?

B PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC

I CƠ SỞ TOÁN HỌC

Ta biết, trong tập hợp các số thực ta không thể lấy căn bậc hai của một số

âm Điều này làm hạn chế việc thực hiện các phép tính, do đó người ta mở rộng tập hợp các số thực thành tập hợp các số phức

1 Biểu diễn số phức

Ta đưa vào dạng đơn vị j, gọi là đơn vị ảo ( trong toán học ký hiệu là i) với

j2 = -1Mỗi số phức được viết dưới dạng : z* = a + bj ( a, b là hai số thực) Như vậy mỗi

số phức có hai phần: a là phần thực, b là phần ảo Ta có thể biểu diễn một số phức dưới các dạng sau:

a) Dạng đại số:

z* = a + jb

b) Dạng hình học:

Chọn mặt phẳng (P) xác định bởi hai trục

tọa độ Ox;Oy Đơn vị trên trục Ox là 1

gọi là trục thực, đơn vị trên trục Oy là j

gọi là trục ảo Số phức z* = x + yj biểu

diễn bằng vecto OM như sau: O

x 1

r

x )φ

y

j

2 2

r= x + y

c) Dạng lượng giác của số phức:

Từ dạng hình học, ta suy ra x = rcosφ; y = rsinφ

Như vậy z* = r(cosφ +jsinφ) gọi là dạng lượng giác của số phức

d) Dạng logarit

Ta biết công thức Ơle cosφ + jsinφ = ejφ

vì vậy z* có thể viết dưới dạng z* = rejφ

2 Một số phép tính với số phức

Các phép tính với số phức thông thường như phép cộng, nhân, chia có thể thực hiện ở tất cả các dạng biểu diễn, tuy nhiên tùy theo yêu cầu của bài toán ta thấy một dạng biểu diễn này đó thì tiện lợi hơn dạng kia

số phức liên hợp của mẫu z = a + bj là z = a−bj để ta được mẫu là một số thuần thực vì z.z = a2 + b2

II PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

Một vấn đề cơ bản khi giải quyết các bài toán mạch điện là phải xác định tổng trở của mạch điện (tương tự việc tìm điện trở tương đương của mạch điện của dòng điện không đổi) Đối với mạch điện của dòng điện xoay chiều ta có thể giải quyết bài toán trên bằng phương tiện giản đồ vectơ khá thuận lợi nhưng với các mạch điện phức tạp thì gặp nhiều khó khăn Ta có thể đơn giản hóa cách giải bằng cách sử dụng phương tiện số phức

Ta biết, công thức Ơle cho thấy một đại lượng biến thiên đều hòa theo thời gian

a = Acos(ωt +φ) có thể biểu diễn bằng một số phức a* = Ae(ωt + φ) hay a* = A[cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)] Với những đại lượng biến thiên điều hòa cùng tần số

ω ta có thể biểu diễn đơn giản là a* = Aejφ = A(cosφ + j.sinφ) để tính toán gọn gàn hơn

Như vậy trong bài toán điện xoay chiều cường độ dòng điện và điện áp là các đại lượng biến thiên dao động điều hòa cùng tần số ω nên ta có thể biểu diễn i* =

1/ Đối với mạch điện R,L,C nối tiếp

Ta có u* = uR* + uL* + uC* với việc biểu diễn số phức bằng hình học ta suy

- Tổng trở toàn mạch là Z* thỏa công thức

Ta cũng có thể chuyển đổi dạng mạch tam giác sang dạng mạch sao tương đương theo các công thức:

*

*

*

*

*

*

3 2 1

2 1

z z z

z z

Z A

+ +

*

*

3 2 1

3 1

z z z

z z

Z B

+ +

*

*

3 2 1

3 2

z z z

z z

Z C

+ +

=

Tóm lại, khi biểu diễn các đại lượng tức thời của dòng điện xoay chiều dưới dạng số phức thì các công thức liên hệ giữa các đại lượng này có dạng giống như đối với dòng điện không đổi

III MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ.

1 Mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh

Đặt vào mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = 100 2cos100πt.(V)

a) Viết biểu thức cường độ dòng điện qua mạch

b) Tính độ lệch pha điện áp đoạn AN và NB.

c) Tìm công suất nhiệt tỏa ra trên mạch và trên cuộn dây

2 100

b) Tổng trở đoạn AN và đoạn NB

z*AN = 30 - 50j = 58,3e-j1,03

z*NB = 20 + 100j = 102ej1.373

Độ lệch pha giữa điện áp uAN và uNB: ∆ ϕ = ϕAN − ϕNB = − 2 , 403rad

Vậy điện áp đoạn AN trễ pha 2,403 rad (1380) so với đoạn NB

c) Công suất tiêu thụ trên mạch AB

P = U.I cosφ = 100 2 cos π/4 = 100W

Công suất tiêu thụ trên đoạn cuộn dây

PNB = r.I2 = 20.( 2)2 = 40W

Bài 2

Mạch điện gồm một điện trở R = 50Ω, cuộn dây thuần cảm L = 0,1H, tụ điện

có điện dung C = 20μF mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch một điện áp u = [50 +

100 2cos100πt + 50 2cos300πt].(V) Tìm biểu thức của cường độ dòng điện i và điện áp hai bản điện C.

a) Điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở R cực đại.

b) Điện áp hiệu dụng hai bản tụ điện cực đại

c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm cực đại

C

ω ω

Biểu thức này cho thấy UR cực đại khi mẫu số cực tiểu Suy ra Lω - 1

C

ω = 0Vậy ω2 = 2

Mà UoC = U0 2 2 2

1 (LCω − 1) + (RCω )

Xét biểu thức trong dấu căng: ( LCω2 -1)2 + (RCω)2 = L2C2ω4 + (R2C2 – 2LC)ω2 + 1

Đặt x = ω2 ta có một phương trình bậc hai có hệ số a>0 nên đồ thị có một điểm cực tiểu ứng với phương trình f(x) = 0 có một nghiệm kép Lúc này U0C cực đại

Nghiệm kép của phương trình x1 = x2 = ω12 = 2 2 22 2 1 22

1

1

1 2

R j

Xét biểu thức trong dấu căng ở mẫu

2 2

( x (R )x 1

L C + L −LC + đồ thị có một điểm cực tiểu ứng với nghiệm kép của phương trình f(x) = 0 là

x1 = x2 =

2 2 2

2 2

2 1

Suy ra ω22 = 2

1

1 2

LC

R C L

Sơ đồ một máy biến áp không có lõi sắt, có

tải là R2 và tụ C2 nối tiếp Cho biết R1 = 100Ω ; R2 =

500Ω; L1 = 5 H

π ; L2 = 3L1 Hệ số hỗ cảm của hai

cuộn dây M = 7 H

πđiện dung của tụ điện ; 2 10 4

Đặt vào cuộn sơ cấp điện áp u = 10 2cos(100πt)(V)

Tìm biểu thức của cường độ dòng điện sơ cấp và cường độ dòng điện thứ cấp

L1

R1

R2M

U~

C2

L2

b) Viết biểu thức tức thời cường độ dòng điện ở mạch chính.

c) Tính điện áp hiệu dụng hai điểm MN

Áp dụng bằng số: R1 = 50Ω; R2= 100Ω ; L = 1 H

π ; C =

100

2 µFπGiải

R U

Cω

−Điện áp hai điểm M,N: uMN* = uAN* - uAM*

1 2

Một mạch điện xoay chiều có sơ đồ như sau:

Cho biết uAB = 200cos100πt (V);

Ta có ZDM * =

* 1

* 1

−

Tương tự * 2 *

* 2

. C

DM

C

R Z Z

MB C

j U

π

−

=a) Tính tổng trở đoạn mạch AB

b) Viết biểu thức cường độ dòng điện qua mạch chính

c) Tính công suất nhiệt trên điện trở R2

Giải

Chuyển mạch tam giác AMN

thành mạch hình sao AOMN ta được

sơ đồ mạch điện vẽ lại như hình bên

Với : z*

1

* * 1

Tổng trở toàn mạch Z* = Z*

A+ Z*

OB= 10(1 + 3j) + 5(7 – 4j) = 45 + 10j Giá trị của tổng trở Z = 45 2 + 10 2 = 46,1Ω

b) Biểu thức cường độ dòng điện mạch chính

Ta có I0 = 6,135A và tanφi = 10 0, 2187

− ⇒ = −Vậy i = 6,135cos(100πt – 0,2187) (A)

c) Để tính được công suất nhiệt trên R2 ta cần biết cường độ dòng điện qua R2

Ta có hiệu điện thế đoạn OB là

20(3 2 )

OB

OMB

j U

20(1 2 )

OB ONB

j U

Công suất tỏa nhiệt trên R2 là P2 = R.I22 = 781W

Bài 4

Cho mạch điện vô hạn gồm cuộn cảm thuần có hệ số tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc như hình vẽ Hai đầu đoạn mạch A,B nối với nguồn điện xoay chiều có biểu thức u = U0cosωt (V)

Tìm biểu thức cường độ hiệu dụng của dòng điện qua mạch chính theo tần số dòng điện ω

2 AB

L Z

L

A

B C

A’

B’

Z AB

Tổng trở của mạch ZAB = 2 2 2 2 2 2

2 4

U L L

1/ Các câu hỏi trắc nghiệm khách quan:

Câu 1 : Cho mạch điện xoay chiều AB gồm R, L, C mắc nối tiếp Cuộn cảm thuần

có độ tự cảm thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều

ổn định u = 100 6 cos( 100 π t ) ( V ) Điều chỉnh độ tự cảm để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại là U L max thì UC =200 V Giá trị U L max là

A 100 V B 150 V C 300 V D 250 V Câu 2: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp, cuộn dây có điện trở R0 Điện áp hai đầu mạch luôn không đổi u = U0cosωt Bỏ qua điện trở của dây nối Cho R = 40Ω, R0 =

20Ω Khi không nối tắt hai đầu cuộn dây hay nối hai đầu cuôn dây bằng dây nối,

dòng điên qua R đều lệch pha

3

π

so với u Cảm kháng của cuộn dây bằng

A 60Ω B 100 3Ω C 80 3Ω D 60 3ΩCâu 3 Một mạch điện RLC nối tiếp có C biến đổi Đặt hai đầu mạch một điện áp xoay chiều u = U0cosωt.(V) không đổi, chỉnh C để UCmax = 50V và trễ pha π/6 so với u Hỏi khi đó UR và UL là bao nhiêu vôn?

A U R = 12,5 3;U L = 12,5 B U R = 25 3;U L = 12,5

C U R = 25 3;U L = 25 3 D U R = 12,5;U L = 12,5

Câu 4 :Đặt điện ap xoay chiều có giái trị hiệu dụng U vào hai đầu đoạn mạch RLC

mắc nối tiếp (L là cuộn cảm thuần ).thay đổi điện dung C của tụ điện đến giái trị C0

thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại và Uc=2U Khi C=C0, càm kháng cuộn cảm là:

A.ZL=Zco B.ZL=R C ZL = 3

4Z co D ZL=

2 3

R

Câu 5: Cho mạch R, L, C mắc nối tiếp uAB =

170cos100πt(V) Hệ số công suất của toàn mạch

là cosϕ1 = 0,6 và hệ số công suất của đoạn mạch

AN là cosϕ2 = 0,8; cuộn dây thuần cảm Chọn câu

Câu 7: Cho A,M,B là 3 điểm liên tiếp trên một đoạn mạch xoay chiều không phân

nhánh, biết biểu thức hiệu điện thế trên các đoạn AM, MB lần lượt là: uAM = 40sin(ωt + π/6)(V); uMB = 50sin(ωt + π/2)(V) Xác định hiệu điện thế cực đại giữa hai điểm A,B?

R

B C L

V

A 90(V) B 72,5(V) C 60,23(V) D 78,1(V

Câu 8: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ

tự A, M, N và B Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm M và

N chỉ có cuộn dây, giữa 2 điểm N và B chỉ có tụ điện Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp 175 V – 50 Hz thì điện áp hiệu dụng trên đoạn AM là 25 (V), trên đoạn

MN là 25 (V) và trên đoạn NB là 175 (V) Hệ số công suất của toàn mạch là:

Câu 9 (đề thi ĐH 2011) Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt (U0 không đổi và ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ

tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR2 < 2L Khi ω = ω1 hoặc ω

= ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị Khi ω = ω0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại Hệ thức liên hệ giữa ω1, ω2 và

Câu 11(ĐH – 2008): Cho đoạn mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây mắc nối tiếp

với tụ điện Độ lệch pha của hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây so với cường độ

dòng điện trong mạch là

3

π Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện bằng 3

lần hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây Độ lệch pha của hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây so với hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch trên là