bài giảng chuỗi FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

nội dung dung của chương 1 Số phức và ứng dụng nằm trong bài giảng toán kỹ thuật nhằm trình bày về định nghĩa, biểu diễn số phức trên hệ tọa độ, các dạng biểu diễn số phức, các phép tính, các tính chất, các dạng biểu diễn số phức. Ứng dụng số phức để phân giải mạch điện ở trạng thái thường trực................

Chương 3CHUỖI FOURIER

VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

• Dãy xung vuông lưỡng cực

• Dãy xung vuông đơn cực

• Tín hiệu sin suy giảm t)heo hàm mũ

• Tín hiệu Sinc

• Tín hiệu Sinc 2

• Tín hiệu Gausse

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Tín hiệu xung vuông góc (t)t)) Hàm dốc r(t)t))

K cho hàm K.r(t-a), dạng sóng

là đường thẳng có độ dốc K và gặp trục t ở a

2

1



2 1

1

0

) ( ) (t t

2

1 , 0 ) ( ) (

t t

t x

c

0

) ( )

(

b

c t a t

x  

b

a  () . (b)

c t a t

0 , ) (

t

t t t r

0

a t t a t r

, 0

, ) (

K

1

0 t 0 ) ( 1 ) ( ) (t u t t x

0

) (t 

Xu



) (

) (t  Xu t  

) ( ).

( ) ( )

t t X

t u t t u t

X t x

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Tính chất) hàm xung lực

R a a dt t a dt t

( )

(

) ( ) ( 1

) ( 1 ) ( )

dt

t d t

t u d

) 0 ( )

( ).

0 0

t t t

( ).

( )

( ).

( )

( )

0 t

0 t 0 ) (

t

t 0 ) (

0

0

0 0

t t

t

t t

) t

0 t , 0

0 t , 1 ) t ( Sgn ) t (

1 t khi ,

|

| 1 ) (t t x

0 , 0 t .

)

t

e X t x

t

0

; ) ( 1 ) 1 ( )

x(t)

0 X

Một số dạng tín hiệu quan trọng

0 , 2

/ ).

cos(

) (





t X

t x

0 , sin

)

t

t t e

X t

x

t 



1 ( 2

1 ) (

1 ( 2

1 ) (t t t

1



2 1

2 1

2

1



2 1

) t (

2 1



) (

|

| t

.

1 2 3 4 5 -1

-2 -3 -4 -5

t ( )

|

Phân bố lược

Một số dạng tín hiệu quan trọng

Dãy xung vuông lưỡng cực

Dãy xung vuông đơn cực

T

X

2T -T

-T



0 ,

sin ) ( )

t

t t

t t

Sinc t





Sinc 2 (t) 1

0 , )

(

sin )

0 0 2 0

2

t

t t

t t

Sinc t





Ví dụ

Khái niệm hàm tuần hoàn

• Không phải tất cả các hàm tuần hoàn đều có chu kỳ cơ bản

• Nếu  = n2/2p thì 2/ = 2p/

n là chu kỳ cơ bản của cos(nt/p) và sin(nt/p) Và lúc đó n.(2p/n) = 2p cũng là chu kỳ của hàm cos(nt/p) và sin(nt/p)

• Hàm tuần hoàn thì không cần xác định trên tất cả các giá trị của biến độc lập

Số 2p là chu kỳ cơ bản

x b

p

x b

p

x n a

p

x a

p

x a

a

p

x n b

p

x n a

a

n n

n

n n

2 sin sin

cos

2 cos cos

2 1

) sin

cos (

2 1

2 1

2 1

0

1 0

• Chuỗi lượng giác mở rộng:

Ta thấy nếu chuỗi hàm lượng giác có tổng f(x) hay hội tụ về f(x) trong một miền nào đó thì f(x) phải là hàm tuần hoàn chu kỳ là 2.

Tương tự nếu chuỗi trên hội tụ đến hàm f(x) thì hàm f(x) cũng tuần hoàn với chu kỳ T = 2p

Công t)hức Euler mở rộng

0

; 0

cos

p

t n p

t m

cos

p

t n p

t m

)

Định lý Dirichlet)

định không liên tục trong một chu kỳ của nó thì khi đó chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những điểm mà f(t) liên tục Còn tại những điểm mà f(t) không liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung bình của giới hạn trái và giới hạn phải của f(t) tức nếu tại

2

) ( ) ( 2

) ( lim )

(

lim )

t

Chuỗi Fourier (t)khai t)riển Fourier)

Cho hàm số f(t) tuần hoàn với chu kỳ T = 2p thỏa điều kiện Dirichlet Khi đó hàm f(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fouier theo công thức sau:

(

n

n n

p

t n b

p

t n a

a t

T d d n

p d d

T d d n

p d d

T d d

dt T

t n t

f T

dt p

t n t f p

b

dt T

t n t

f T

dt p

t n t

f p

a

dt t f T

dt t f p

a

2 2

2 0

2 sin ) (

2 sin

) ( 1

2 cos ) (

2 cos

) ( 1

) (

2 ) ( 1









• Người ta hay chọn đoạn lấy tích phân trong khoảng (-p, p) hoặc từ (0, T).



 p

p f t dt p

f p

f p

Ví dụ

• Tìm khai triển Fourier của hàm f(x) bên dưới Biết f(x)=f(x+2)

• Nhận xét: hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2p=2 và thỏa định lý Dirichlet, nên có thể khai triển Fourier.

• Vậy khai triển Fourier của hàm f(x) có dạng:

Ví dụ

dt t

f p

p

p

t n t

f p

dt p

t n t

f p

a

0 ( ) cos

2 cos

) (

p

p

t n t

f p

dt p

t n t

f p

b

0 ( ) sin

2 sin

) (

Ví dụ

Dạng chuyển đổi của khai t)riển Fourier

chuỗi cosine điều hòa

chuỗi sine điều hòa

n n

n n

p

t n A

A p

t n b

p

t n A

A t

n n

n n

p

t n A

A p

t n b

p

t n A

A t

2

0 0

a

A 

n

n n

Dạng chuyển đổi của khai t)riển Fourier

n e C t

n e C t

n f t( ) e dt

p 2

b

a

2 a 2

2

2

n n

0 0

0

0

n n

n n

n n

n

n n

n

C C j

C C C

jb a

C

jb a

) arg(

tan

a 2

1 2

1

A

2

1

2

1

1 1

2 n

2 n

0 0

0 0

n n

n n

n n

n n

n n

n

j n n

j n n

C a

b

C a

b

C C b A

C

e A C

e A C

A C

n n

Ví dụ

 Đồ thị biểu diễn biên độ của F(  ) theo tần

số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t).

 Biểu diễn góc pha của F(  ) theo các tần số

của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t)

• Tìm Cn :

)) cos( 1

(

2 ))

cos(

1 (

1 2 2

j C

n

4

2k n

0 )

ω F(

)) 2 cos(

1 ( 2 1

1

1 )

1 (

1 )

( 2

1

2 / 0

0 2 /

2 /

0

0

2 / 2

T T

j e

T j

e T j

dt e T dt e T

dt e t f p

C

n n

t j

n

t j

n

T

t j

T

t j p

d d

t j n

T n T

n

n n

2k n

0 ) ω F(

4

0 1 2k n 2

2k n 0

) ω F(

arg(



Biến đổi Fourier

• Cặp biến đổi Fourier dạng phức:







 d e F

(

dt e

t f

Ví dụ

Biến đổi Fourier các hàm cơ bản

Tính chất) của biến đổi Fourier

• Vi phân t)hời gian

• Tích phân t)hời gian

• Vi phân t)rong miền t)ần số

• Định lý nhân chập t)ần số

• Định lý nhân chập t)rong miền t)hời gian

• Định lý điều chế

2 )

Phép dịch t)ần số Vi phân t)hời gian

) (

)()

()

(

)()

('

t f

F j t

f

n n

F dt

( )

(  j n t n f t    F n 

Định nghĩa t)ích chập Định lý nhân chập t)ần số

f g g f d

t g f

t

h

a t

a

*

* )

( ).

( )

( ).

t g t

Định lý điều chế

) F(

) (t    

f

) F(

).

(t e j o t o

f       

) F(

t cos ).

t sin ).

f          

Ví dụ

 Đồ thị biểu diễn biên độ của F(  ) theo tần

số gọi là phổ biên độ của tín hiệu f(t).

 Biểu diễn góc pha của F(  ) theo các tần số

của chúng gọi là phổ pha của tín hiệu f(t)

d e

t f

) ( 1 )

( )

2 2

1

| ) (

Phân tích phổ tín hiệu

Hết) chương 3