Bài tập lớn môn phương pháp tính chủ đề số 2

Lặp l¿i các b°ãc này sẽ giúp đßnh vß ngày càng chính xác h¢n vß trí nghiệm cāa ph°¢ng trình.. LÁp bÁng đß tính vÁn tác cāa vÁn đáng viên trong 10 giây đầu tiên kß từ lúc rßi ngán núi vãi

Đ¾I HàC QUàC GIA THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH

B ¾NG PHÂN CÔNG NHIỆM VĀ VÀ

1 2011845 Lê Hoàng Phúc

Bài 1 + thuy¿t trình bài 1+ slide bài 1 + thuy¿t trình bài 1+

tổng hợp

PHÚC

3 1711328 Nguyán Ngác HiÁn trình 3a + slide 3a Bài 3a + thuy¿t HIÀN

4 1911535 Nguyán Tấn Lác trình 3b + slide 3b Bài 3b + thuy¿t LàC

5 2014538 Nguyán Đức ThÃng Bài 2 + thuybài 2+ slide bài 2 + ¿t trình

M ĀC LĀC

PROBLEM 1 1

1.1 Lý thuy¿t 1

1.1.1 Phương trình phi tuyến 1

1.1.2 Phương trình vi phân 3

1.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 4

1.2.1 Nội dung 4

1.2.2 Kết quả 5

1.3 Bài toán mở rßng 11

1.3.1 Nội dung 11

1.3.2 Kết quả 11

1.4 K¿t luận 14

PROBLEM 2 15

2.1 Lý thuy¿t 15

2.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 18

2.2.1 Nội dung 18

2.2.2 Kết quả 19

2.3 K¿t luận 21

PROBLEM 3 22

3.1 Lý thuy¿t 22

3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân 22

3.1.2 Spline bậc ba tự nhiên 22

3.2 Nßi dung và k¿t qu¿ có đ°ÿc 23

3.2.1 Nội dung 23

3.2.2 K ết quả 24

3.3 K¿t luận 33

PROBLEM 1

Cho ÿ(ý) là hàm sá liên tÿc trên đo¿n [a,b] thßa mãn ÿ(ÿ)ÿ(Ā) < 0 Khi đó,tãn

t¿i mát giá trß �㕝 nằm giữa a và b sao cho ÿ(�㕝) = 0 GiÁ sử giá trß �㕝 là duy nhất ta goi [a,b] là khoÁng cách ly nghiệm cāa ph°¢ng trình ÿ(ý) = 0

Gái ý∗ là nghiệm gần đúng cāa nghiệm đúng p trên [ a, b ] thì ta có công thức đánh giá sai sá tổng quát:

ý∗2 �㕝 f ÿ′(ý∗)

ÿ ÿ = miný ∈[ÿ,Ā] ÿ′(ý) > 0 1.1.1 Ph°¢ng trình phi tuy¿n

1.1.1.1 Phương pháp chia đôi

Nái dung:

Kißm tra giá trß cāa hàm t¿i đißm giữa khoÁng thì ā =ÿ+Ā2 N¿u ÿ(ā)ÿ(ÿ) < 0 thì chÃc chÃn rằng nghiệm cāa ph°¢ng trình sẽ nằm trong [a, c] có đá dài bằng mát nửa đo¿n [a, b] ban đầu Ng°ợc l¿i, n¿u ÿ(ā)ÿ(Ā) < 0 thìta có điÁu t°¢ng tự đái vãi đo¿n [c, b] Lặp l¿i các b°ãc này sẽ giúp đßnh vß ngày càng chính xác h¢n vß trí nghiệm cāa ph°¢ng trình Đây gái là ph°¢ng pháp chia đôi (the bisection method)

Công thức đánh giá sai sá:

GiÁ sử sau n lần chia đôi, ta tìm đ°ợc đo¿n [ÿă, Āă]có đá dài Ā2ÿ2Ā Chán nghiệm gần đúng là đißm giữa khoÁng ýă =ÿĀ +ĀĀ

2 vì nó gần vãi giá trß nghiệm chính xác nhất, khi

đó ta có công thức đánh giá sai sá:

ýă2 �㕝 < Ā 2 ÿ2ă+1

1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến

à ph°¢ng pháp Newton (Newton’s method hay Newton-Raphson method), từ đißm có hoành đá ýă21trên đã thß cāa đ°ßng cong þ = ÿ(ý) ta kẻ ti¿p tuy¿n vãi đ°ßng cong Hoành đá giao đißm cāa ti¿p tuy¿n vãi trÿc hoành sẽ là ýăTa dá dàng vi¿t ph°¢ng trình ti¿p tuy¿n:

þ = ÿ′(ýă21)(ý 2 ýă21) + ÿ(ýă21)

Cho þ = 0, ý = ýă ta thu đ°ợc công thức xác đßnh ýă , cũng chính là công thức lặp cāa ph°¢ng pháp Newton:

ýă = ýă212 Ą(ýĀ−1 )

Ą′(ýĀ−1), Ā = 1,2,3, & (1.3) Đây là mát trong những công thức nổi ti¿ng và đ°ợc sử dÿng ráng rãi nhất trong việc giÁi quy¿t vấn đÁ tìm nghiệm Tuy nhiên, nó có mát đißm y¿u, đó là phÁi bi¿t đ°ợc giá trß đ¿o hàm cāa ÿ á mßi lần xấp xỉ Đôi khi, việc tìm ÿ′(ý) sẽ rất khó khăn và không thuÁn tiện do cần nhiÁu kỹ thuÁt tính toán Vãi những tr°ßng hợp này, ta có thß tính gần đúng đ¿o hàm bằng công thức:

ÿ′(ýă) =ÿ(ýýă) 2 ÿ(ýă21)

ă2 ýă21khi đó, ph°¢ng trình (1.3) có thß đ°ợc vi¿t l¿i thành công thức lặp nh° sau:

ýă = ýă212ÿ(ýă21)(ýă212 ýă22)

ÿ(ýă21) 2 ÿ(ýă22) , Ā = 2,3,4, &

Kỹ thuÁt này đ°ợc gái là ph°¢ng pháp cát tuy¿n (the secant method) (xem Hình 1.1) Xuất phát từ hai giá trß gần đúng ban đầu �㕝0,�㕝1 , giá trß �㕝2 là giao đißm cāa trÿc x

vãi đ°ßng thẳng đi qua hai đißm (�㕝0, ÿ(�㕝0)) và (�㕝1, ÿ(�㕝1)) Giá trß cāa �㕝3 là giao đißm

cāa trÿc x vãi đ°ßng thẳng đi qua hai đißm (�㕝1, ÿ(�㕝1)) và (�㕝2, ÿ(�㕝2)) t°¢ng tự vãi các giá trß xấp xỉ ti¿p theo

Hình 1.1 Minh háa đ°ßng cát tuy¿n

Khi muán đánh giá sai sá nghiệm gần đúng đã tìm đ°ợc, ta dùng công thức

Đß tìm nghiệm gần đúng cho bài toán Cauchy trên, ta chia đo¿n [a,b] thành n đo¿n nhß

bằng nhau vãi b°ãc chia ℎ = Ā2ÿă Khi đó, các đißm chia sẻ là ý0 = ÿ; ýĀ = ý0+

�㕘ℎ; �㕘 = 0,1,2,3, & , Ā; ýă = Ā

1.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến

GiÁ sử þ(ý) là nghiệm duy nhất cāa bài Cauchy trênmcó đ¿o hàm cấp hai liên tÿc trên [a,b] Ta xây dựng đ°ợc công thức Euler (Euler’s method) nh° sau:

- Order Runge-Kutta method – RK4):

described by the mathematical model: Ăă

c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity v = 46 (m/s) after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5%

(Guess the isolated interval containing root)

a) GiÁ sử ban đầu vÁn đáng viên đang á tr¿ng thái nghỉ, tìm bißu thức mô tÁ v

b) Bi¿t g = 9.8m/Ā2, m = 68.1(kg), āĂ =0.25(kg/m) và vÁn đáng viên bÃt đầu nhÁy từ tr¿ng thái nghỉ LÁp bÁng đß tính vÁn tác cāa vÁn đáng viên trong 10 giây đầu tiên kß

từ lúc rßi ngán núi vãi b°ãc chia h =1(s) bằng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n và ph°¢ng pháp Runge-Kutta So sánh k¿t quÁ vãi giá trß chính xác tìm đ°ợc từ câu a)

c) Sử dÿng k¿t quÁ câu a) cùng các ph°¢ng pháp chia đôi, ph°¢ng pháp cát tuy¿n đß tìm hệ sá cÁn đái vãi vÁn đáng viên có khái l°ợng 95 (kg), vÁn tác v = 46 (m/s) sau 10 giây kß từ lúc bÃt đầu r¢i đ¿n khi sai sá t°¢ng đái nhß h¢n 5% (dự đoán khoÁng cách

ly nghiệm)

1.2.2 K¿t quÁ

a) Nhân hai v¿ cāa ph°¢ng trình (1.10) vãi Ă

ā�㕑, ta đ°ợc

ÿ

āĂ = 0.25, ÿ = 68.1, k¿t quÁ đ°ợc thß hiện á cát 2 cāa BÁng 1.1

Vãi ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n, từ công thức (1.7):

|ă

2 ă

| j 0.1257200

Thao tác t°¢ng tự đái vãi các giá trß t ti¿p theo, ta thu đ°ợc k¿t quÁ á cát 3 và cát 5 cāa

BÁng 1.1 Trong đó, ăĂ.�㔸Ăāăÿ10 j 49.2271057, |ăĂ�㔸Ăāăÿ10 2 ă| j 0.1647634

Vãi ph°¢ng pháp Runge-Kutta bÁc bán (RK4), áp dÿng công thức (1.9):

ă�㕅�㔾42 j 0 +16 (9.4557248 + 2 ∗ 9.0375080 + 2 ∗ 9.0594741 + 8.5102820

j 18.7106982,

|ă

2 ă

| j 0.0002565

Thao tác t°¢ng tự vãi các giá trß t còn l¿i, ta thu đ°ợc k¿t quÁ á cát 4 và cát 6 cāa

BÁng 1.1 Trong đó, ă�㕅�㔾410 j 49.390917 và |ă�㕅�㔾102 ăăýÿāā10| j 0.0008974

ĐiÁu đó cho thấy rằng việc sử dÿng ph°¢ng pháp Runge-Kutta bÁc bán mặc dù phức t¿p h¢n nh°ng cho giá trß xấp xỉ tát h¢n nhiÁu so vãi ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n

BÁng 1.1 So sánh giá trß vÁn tác đ°ợc tính theo ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n và ph°¢ng pháp Runge-Kutta bÁc bán vãi giá trß chính xác

ā ă

ă

ă

āĂ0 =0.4 + 0.52 = 0.45 ÿ(0,45) j 1.7218725 < 0 => Ā2 = āĂ1 = 0.45

Sai sá t°¢ng đái cāa āĂ1 là �㗿1 = |ā�㕑1 2ā�㕑0

ā�㕑1 | ∗ 100% = |0.4520.40.45 | j 11.11111%

Quá trình tính toán ti¿p dián vãi các b°ãc t°¢ng tự đ°ợc thß hiện trong BÁng 1.2

BÁng 1.2 Hệ sá cÁn tính theo ph°¢ng pháp chia đôi

Nghiệm thßa mãn yêu cầu cāa đÁ bài (�㗿ă < 5%) là giá trß tìm đ°ợc á lần chia đôi thứ 3: āĂ3 = 0.4125, vãi sai sá �㗿3 < 0.0303030%

Ph°¢ng pháp cát tuy¿n:

Nh° đã trình bày á ch°¢ng 1, ta thấy rằng, hàm ÿ(āĂ) đã phức t¿p, chÃc chÃn rằng đ¿o hàm cāa nó còn phức t¿p h¢n rất nhiÁu Lúc này, việc tìm nghiệm bằng ph°¢ng pháp cát tuy¿n sẽ là sự thay th¿ hoàn hÁo cho ph°¢ng pháp Newton

Chán āĂ0 = 0.3, āĂ1 = 0.5 Ta có:

āĂ2 = āĂ12ÿ(āĂ1)(āĂ12 āĂ0)

ÿ(āĂ1) 2 ÿ(āĂ0) j 0.5 2

23.7585267 (0.5 2 0.3)23.7585267 2 6.4994862j 0.4267202

�㗿2 =0.4267202 2 0.50.4267202 ∗ 100% j 17.1728041% > 5%

āĂ3 = āĂ22ÿ(āĂ2)(āĂ22 āĂ1)

ÿ(āĂ2) 2 ÿ(āĂ1) j 0.4267202 2

3 0.6761017 (0.4267202 2 0.5)20.6761017 + 3.7585267

Ph°¢ng pháp cát tuy¿n cho sai sá gần nh° bằng 0% sau 6 lần lặp ( n = 7 ), còn ph°¢ng pháp chia đôi thì đ¿n lần chia đôi thứ 10, sai sá v¿n lãn h¢n 0.02%

�㕝 = population, and �㕝Ăÿý = the carrying capacity Thus, at low population density

�㕝 ≪ �㕝Ăÿý , �㕘ą → �㕘ąĂ As �㕝 approaches �㕝Ăÿý , the growth rate approaches zero Using this growth rate formulation, the rate of change of population can be modeled as

Ăą

Ăā = �㕘ąĂ(1 2ąą

ÿ�㕎�㕥) �㕝 (1.13) This is referred to as the logistic model The analytical solution to this model is

�㕝 = �㕝0ą ąÿ�㕎�㕥

0 +(ąÿ�㕎�㕥2ą0)ă−�㕘�㕔ÿ�㕡 (1.14) Simulate the world’s population from 1950 to 2000 using

a) the analytical solution,

b) the modified Euler’s method, the fourth-order Runge-Kutta method with a step size

of 5 years Employ the following initial conditions and parameter values for your simulation: �㕝0 (in 1950) =2,560 million people, �㕘ąĂ = 0.026/yr, and �㕝Ăÿý = 12,000 million people

Have the function generate output corresponding to the dates for the following measured population data (in million) Establish the table to compare your result along with these data

Year 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

�㕝 2560 2780 3040 3350 3710 4090 4450 4850 5280 5690 6080 1.3.2 K¿t quÁ

a) Ph°¢ng trình (1.14) đ°ợc vi¿t l¿i thành

Mặc dù ph°¢ng pháp chia đôi trông có vẻ dá dàng thực hiện nh°ng thực t¿, ta

phÁi thực hiện nhiÁu b°ãc tính toán mà ph°¢ng pháp này l¿i có tác đá hái tÿ nghiệm rất chÁm so vãi ph°¢ng pháp cát tuy¿n

Qua đó, ta thấy bất kỳ ph°¢ng pháp tính toán nào cho k¿t quÁ có đá chính xác cao h¢n đÁu có quá trình tính toán phức t¿p h¢n Tuy nhiên việc tính toán giß đây đÁu đ°ợc thực hiện trên máy tính, thÁm chí là siêu máy tính vãi khÁ năng thực hiện lên đ¿n

10 triệu tỷ phép tính trên giây thì quá trình tính toán có phức t¿p đ¿n mấy cũng không còn quan tráng, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuÁt vãi yêu cầu vÁ đá chính xác cao

PROBLEM 2

2.1 Lý thuy ¿t

Trong mặt phẳng xOy cho tập các điểm { Mk ( xk , yk) } nk=1 trong đó có ít

nhất hai điểm nút xi và xj khác nhau với i  j và n là rất lớn Khi đó việc xây

dựng một đường cong đi qua tất cả những điểm đã cho không có ý nghĩa

thực tế Thay vào đó chúng ta sẽ tìm một hàm f(x) đơn giản sao cho nó thể

hiện tốt nhất dáng điệu của của tập điểm { Mk ( xk , yk) } n

k=1 và không nhất thiết đi ngang qua các điểm đó

Có nhiều phương pháp để giải quyết vấn đề trên, và một trong những phương pháp như vậy là phương pháp bình phương cực tiểu (Least Squares)

N ội dụng phương pháp:

2 1

( ) [ ( ) ] min

n

k k k

g f f x y

=

=

õ

Dạng của hàm cần xác định f(x) phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên, các

dạng đơn giản nhất thường gặp trong thực tế là:

( , ) ( )

n

k k k

g A B A Bx y

=

=

õ

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B) Tọa độ điểm dừng

của hàm được xác định bởi hệ phương trình:

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B) Tọa độ điểm dừng

của hàm được xác định bởi hệ phương trình:

Enzymes đóng vai trò là chất xúc tác để đẩy nhanh tốc độ các phản ứng hóa

học trong những tế bào sống Hầu hết các trường hợp, chúng chuyển đổi một

cơ chất thành một sản phẩm nào đó Phương trình Michaelis-Menten thường được dùng để mô tả các phản ứng như vậy:

2

2 2

m s

v S v

=+

trong đó, v là tốc độ phản ứng ban đầu, vm là tốc độ phản ứng ban đầu cực đại, S là nồng độ cơ chất, ks là hằng số bán bão hòa

a) Mối liên hệ giữa S và v được thể hiện trong bảng số liệu sau:

Đưa phương trình về dạng tuyến tính: Y = A + BX

Bảng số liệu được thay thế:

b) Sử dụng bảng số liệu từ đề bài và áp dụng phương pháp bình phương cực

tiểu cho trường hợp f (x)= A+ Bx+ Cx2

v 0.0700 0.1300 0.2200 0.2750 0.3350 0.3500 0.3600 v(S) 0.0719 0.1186 0.2173 0.2936 0.3348 0.3635 0.3720 v(S)-v 0.0019 -0.0114 -0.0027 0.0186 -0.0002 0.0135 0.0120

7

2 1

7

2 1

Vì sai số mô hình tuyến tính lớn hơn sai số mô hình parabol nên mô hình parabol

cho giá trị xấp xỉ tốt hơn

2.3 K ¿t luận

Phương pháp bình phương cực tiểu chỉ xây dựng một hàm đơn giản cho thể

hiện tốt nhất giáng điệu của tập hợp các điểm Chính vì vậy, cần xây dựng hàm đơn giản ấy sao cho thích hợp nhất với sai số nhỏ nhất

" Giá trß gần đúng cāa x(t), y(t) t¿i tk lần l°ợt là xk ≈ x(tk), yk ≈ y(tk),

Công th ư뀁c Euler c¿i ti¿n

�㔾1ý = ℎÿ(āĀ, ý(āĀ), þ(āĀ))

�㔾1þ = ℎĀ(āĀ, ý(āĀ), þ(āĀ))

�㔾2ý = ℎÿ(āĀ, ý(āĀ) + �㔾1ý, þ(āĀ) + �㔾1þ)

�㔾2þ = ℎĀ(āĀ, ý(āĀ) + �㔾1ý, þ(āĀ) + �㔾1þ)ý(āĀ+1) j ýĀ+1 = ýĀ +�㔾1ý+ �㔾2 2ýþ(āĀ+1) j þĀ+1 = þĀ +�㔾1þ + �㔾2 2þ

�㕘 = 0,1, & , Ā 2 1

3.1.2 Spline b ậc ba tự nhiên

Định nghĩa: Cho hàm y=f(x) xác đßnh trên đo¿n [a,b] và bÁng sá

Mát spline bÁc 3 nái suy hàm f(x) là hàm g(x) thßa các điÁu kiện sau :

i) g(x) có đ¿o hàm đ¿n cấp 2 liên tÿc trên [a,b]

ii) Ā(ý) = ĀĀ(ý) là 1 đa thức bÁc 3 trên [ýĀ , ýĀ+1], k=0,1, ,n-1

nên ch°a giÁi đ°ợc, đß giÁi đ°ợc ta cần bổ sung thêm 1 sá điÁu kiện

Spline tự nhiên là spline vãi điÁu kiện: g ”(a) = g”(b) = 0

GiÁi thuÁt xác đßnh spline tự nhiên:

ĐiÁu kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra āĄ = āă = 0

Ăā = ÿý 2 Āýþ Ăþ

Ăā = 2āþ + Ăýþ

where x, y are the number of preys and predators, respectively, a = the prey growth rate, c = the predator death rate, b and d = the rates characterizing the effect of the predator prey interactions on the prey death and the predator growth, respectively t is

time measured in month

a) Given the following data ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 with initial

conditions of ý = 2 and I þ = 1 Find the number of prey and predators after 10 months with modified Euler’s method with step size ℎ = 0.625

b) With the found data, construct the natural cubic spline for x and y Plot in

one figure the graphs of ý(ā), þ(ā)

a) Cho ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 vãi điÁu kiện ban đầu là ý = 2 và

þ = 1 Tìm sá l°ợng cāa loài bß săn và loài đi săn sau 10 tháng bằng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n vãi b°ãc chia ℎ = 0.625

b) Vãi các dữ liệu tìm đ°ợc, xây dựng spline bÁc ba tự nhiên cho x và y Vẽ đã

thß cāa ý(ā), þ(ā) trong cùng mát hệ táa đá

3.2.2 K¿t quÁ

a) Ta có: āĄ = 0; ýĄ = 2; þĄ = 1; ℎ = 0.625; ÿ = 1.2; Ā = 0.6; ā = 0.8; Ă =0.3;

Ā =10ℎ =0.62510 = 16 Ăý

Ăā = ÿý 2 Āýþ = 1.2ý 2 0.6ýþ = ÿ(ý, þ, ā)

Ăā = 2āþ + Ăýþ = 20.8þ + 0.3ýþ = Ā(ý; þ; ā) BÃt đầu tính toán

10.0000 0.1941 11.0000 0.1941 12.0000 0.3719 13.0000 0.6699 14.0000 2.2098 15.0000 -4.4498 16.0000 0.0000

Dựa vào các sá liệu có sẵn ta có thß sử dÿng hàm spline tự nhiên đß vẽ ra đã thß đ°ßng đi vãi các sá liệu đang có mát cách chính xác h¢n so vãi vẽ đ°ßng thẳng nái các đißm Cÿ thß hóa nó bằng các ph°¢ng trình nái các đißm Càng nhiÁu sá liệu việc

vẽ hình sẽ càng chính xác h¢n