Bài tập lớn giải tích 1 ứng dụng của hàm số trong kinh tế

Một số ứng dụng của hàm số trong kinh tế Bài 1: Hàm chi phí – Cost Function Hàm chi phí là một hàm của giá đầu vào và số lượng đầu ra mà giá trị của nó là chi phí tạo ra sản phẩm đó với

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-oOo -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

Đề 16:

Ứng dụng của hàm số trong kinh tế

GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp Nhóm: 16-DT05

Tp Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2022

Nguyễn Hồng Phúc 1813579

Nhan Duy Quân

1813710 Phạm Hồng Quân

2014278

Lê Cao Tâm

2114708 Ngô Chí Thành

1915142 Ngô Phúc Thành

1912056 Nguyễn Đăng Thành

1814016

1 Một số ứng dụng của hàm số trong kinh tế

Bài 1: Hàm chi phí – Cost Function

Hàm chi phí là một hàm của giá đầu vào và số lượng đầu ra mà giá trị của nó là chi phí tạo ra sản phẩm đó với giá đầu vào đó , thường được áp dụng thông qua việc các công ty sử dụng đường cong chi phí để giảm thiểu chi phí và tối đa hóa hiệu quả sản xuất Có nhiều ứng dụng khác nhau đối với đường cong chi phí này, bao gồm việc đánh giá chi phí cận biên và chi phí chìm

Trong kinh tế học, hàm chi phí chủ yếu được các doanh nghiệp sử dụng để xác định khoản đầu tư nào sẽ được thực hiện với nguồn vốn sử dụng trong ngắn hạn và dài hạn

- Thuê máy loại 1 với giá 100 USD và 3 cent cho mỗi bản photocopy

- Thuê máy loại 2 với giá 200 USD và 2 cent cho mỗi bản photocopy a) Với từng loại máy, tìm hàm tổng chi phí ứng với số bản photocopy b) Tìm phương án rẻ hơn nếu muốn photo 5000 bản

c) Photo bao nhiêu bản thì giá hai phương án là như nhau?

Lời giải

a)

Hàm tổng chi phí nếu thuê máy loại 1:

Hàm tổng chi phí nếu thuê máy loại 2:

b)

Ta có:

nên thuê máy loại 2 photo 5000 bản sẽ rẻ hơn

c)

Khi đó:

Khi photo 10000 bản thì hai phương án ngang chi phí

Đồ thị:

Bài 2: Hàm lợi nhuận – Profit Function

Ví dụ 2 :

Tổng doanh thu và chi phí khi bán x ly trà sữa được cho bởi

Viết biểu thức cho hàm lợi nhuận và tìm giá trị của x để có lời

Giải:

Hàm lợi nhuận

Để có lời thì P(x)>0

Vậy tại thời điểm bán được 13 ly trà sữa sẽ só lời

Bài 3: Hàm khấu hao – Depreciation Function

The Depreciation Function ( Hàm khấu hao) là việc định giá, tính toán và phân bổ một cách có

hệ thống các giá trị của tài sản do sự hao mòn tài sản sau một khoảng thời gian sử dụng nhất định Khấu hao TSCĐ sẽ được doanh nghiệp tính dựa vào chi phí sản xuất kinh doanh trong một khoảng thời gian sử dụng TSCĐ Khấu hao TSCĐ có liên quan đến việc hao mòn tài sản, tức là

sự giảm dần về giá trị và giá trị sử dụng do tham gia vào quá trình SXKD, do hao mòn tự nhiên hoặc do tiến bộ khoa học công nghệ

Có 3 phương pháp tính khấu hao phổ biến hiện nay: Khấu hao tuyến tính, Khấu hao theo khối lượng sản phẩm và Khấu hao theo số dư giảm dần Hàm khấu hao tuyến tính là thông dụng nhất Công thức hàm khấu hao tuyến tính:

Chi phí khấu hao hàng năm = Nguyên giá tài sản cố định/ thời gian khấu hao

Trong đó thì mức trích khấu hao trung bình hàng tháng bằng số khấu hao phải trích cả năm chia cho 12 tháng

Đề: Một nhà máy sản xuất tivi có một tivi giá 28 triệu đồng và được bán lại vào 6 năm sau với

giá 13.6 triệu đồng Cho rằng giá trị của tivi giảm từ 28 triệu đồng hôm nay xuống giá trị bán lại 13.6 triệu đồng trong 6 năm Giả định giá trị của tivi giảm giá tuyến tính

a) Tính Khấu hao của tivi theo năm

b) Tính Khấu hao của tivi theo tháng

c) Tìm hàm khấu hao giá trị của tivi và vẽ biểu đồ thể hiện

Lời giải

a) Giả sử: Thời gian từ lúc tivi mới là t năm

Giá trị của tivi sau t năm là V(t) triệu đồng

Ta có: giá tri của tivi khi mới mua tại thời điểm t = 0 là 28 triệu, do đó V(0) = 28 triệu

Giá trị của tivi tại thời điểm t = 6 là 13.6 triệu, do đó V(6) = 13.6 triệu

Ta có: độ giảm giá trị = m = V(6) – V(0) = 13.6 – 28 = -14.4

Chi phí khấu hao của tivi sau 6 năm là 14.4 triệu

Độ giảm giá trị của tivi sau 6 năm = = -2.4

Vậy giá trị của tivi đang giảm với tốc độ 2.4 triệu / năm

b) Chi phí khấu hao của tivi theo tháng = = 0.2 triệu/ tháng

c) Hàm khấu hao giá trị của tivi theo năm

V(t) = 28 -2.4t (triệu)

Với t: thời gian kể từ khi mua tivi mới ( năm)

Biểu đồ có xu hướng đi xuống khi t tăng thể hiện rõ giá trị sẽ giảm xuống theo thời gian chính là hàm khấu hao

Bài 4: Hàm cung và cầu – Supply and Demand Curves

Hàm cung là mối quan hệ toán học giữa lượng cung (Qs), giá (p) và những yếu tố khác ảnh

hưởng đến số lượng sản phẩm được bán ra thị trường:

• p = đơn giá của sản phẩm hoặc dịch vụ

• ph = đơn giá của các nhân tố sản xuất khác

Hàm cầu là mối quan hệ toán học giữa lượng cầu (Qd), giá (p) và các yếu tố khác có thể ảnh

hưởng đến quyết định mua hàng:

• p = đơn giá của hàng hóa hoặc dịch vụ

• ps = đơn giá của hàng hóa thay thế

• pc = đơn giá của hàng hóa bổ sung

• Y = thu nhập của người tiêu dùng

Đề: Một công ty sản xuất pin, khi giá thị trường p(ngàn VNĐ/cục) càng tăng thì số lượng pin

công ty này sản xuất cũng tăng theo:

Biết rằng tại giá 18 ngàn VNĐ/cục thì không bán được, và mỗi 1 ngàn VNĐ/cục giá giảm thì có

1 triệu cục pin được bán ra

a) Tìm điểm cân bằng(cung vừa đủ cho cầu) và doanh thu tại đó

b) Công ty bị đánh thuế 2 ngàn VNĐ/cục pin, làm lại câu a và tìm thêm thuế

c) Mua mỗi cục pin bị đánh thuế 2 ngàn VNĐ/cục, làm lại câu b

d) Nhận xét

Giải:

a) Tìm điểm cân bằng(cung vừa đủ cho cầu) và doanh thu tại đó

Theo đề bài, hàm giá cung là S(x) và ta rút ra được hàm giá cầu:

Cung vừa đủ cho cầu nên S(p)=D(p).

Doanh thu:

b) Công ty bị đánh thuế 2 ngàn VNĐ/cục pin, làm lại câu a và tìm thêm thuế

Thuế này là cho công ty nên chỉ ảnh hưởng cung, D(p) không đổi

Ban đầu, nếu p ngàn VNĐ/cục thì công ty sẽ không sản xuất

Mỗi cục pin chịu thuế 2 ngàn VNĐ/cục nên nếu p ngàn VNĐ/cục thì công ty sẽ không sản xuất Cung vừa đủ cho cầu nên S(p)=D(p)

Doanh thu:

Thuế công ty:

c) Mua mỗi cục pin bị đánh thuế 2 ngàn VNĐ/cục, làm lại câu b và tìm thuế

Thuế này là cho mua pin nên chỉ ảnh hưởng cầu, S(p) không đổi

Ban đầu, nếu p ngàn VNĐ/cục thì không bán được

Do bị đánh thuế 1 ngàn VNĐ/cục nên giá tối đa để tương ứng với ban đầu sẽ là p ngàn VNĐ/cục thì không bán được

Cung vừa đủ cho cầu nên S(p)=D(p)

Doanh thu:

Thuế tổng tất cả cục pin được mua và thuế công ty:

d) Nhận xét

Đồ thị bên dưới cho thấy điểm cân bằng và tác ảnh hưởng của thuế:

 Đường màu đỏ: D ban đầu

 Đường màu xanh dương: S ban đầu

 Đường ( o o o ): D khi có thuế mua

 Đường đứt khúc ( ): S khi có thuế bán

 Diện tích hình chữ nhật màu đỏ: doanh thu ban đầu = 81 tỉ VNĐ

 Diện tích hình chữ nhật màu xanh dương: doanh thu khi chỉ có thuế bán = 78,75 tỉ VND

 Diện tích hình chữ nhật màu xanh lá: doanh thu khi chỉ có thuế mua = 63,75 tỉ VNĐ

 Diện tích hình chữ nhật màu đen: doanh thu khi có cả 2 thuế = 60 tỉ VNĐ

Điểm cân bằng là điểm lý tưởng cho thị trường do không thiếu hay dư sản phẩm, có lợi nhất cho

cả 2 bên cung cấp và tiêu thụ

Tuy nhiên, đây chưa chắc là điểm mang lại nhiều lợi nhuận nhất cho bên cung, do còn nhiều yếu

tố phụ thuộc như chi phí sản xuất, xu hướng của hàm cung và hàm cầu,…

Cả 2 loại thuế đều giảm doanh thu (giảm còn nhiều hơn nếu tính thêm thuế) cho bên cung cấp và giảm số lượng sản phẩm

Thuế công ty làm tăng giá còn thuế mua làm giảm giá (tuy nhiên người mua vẫn phải trả nhiều hơn nếu tính thêm thuế)

Kết luận:

Thị trường có xu hướng đi về điểm cân bằng 2 loại thuế có ảnh hưởng như nhau đến cả 2 bên cung cấp và bên tiêu thụ, đều làm giảm số lượng sản phẩm tại điểm cân bằng Vậy có thể dùng thuế để kiểm soát số lượng một loại mặt hàng

Bài 5: Budget Constaint – Ràng buộc ngân sách

Sự ràng buộc ngân sách là khả năng mua các loại hàng hóa và dịch vụ khác nhau dựa trên thu

nhập của người tiêu dùng

Đề: Thanh có ngân sách $20 để chi tiêu cho thực phẩm và phương tiện đi lại trong tuần Chi phí

của một chiếc Burger và một vé tàu lần lượt là $4 và $2

(a) Số lượng tối đa của Burger mà cô ấy có thể mua là bao nhiêu?

(b) Số lượng tối đa của vé tàu (train tickets) mà cô ấy có thể mua?

(c) Tạo bảng giới hạn ngân sách và vẽ biểu đồ với bánh mì kẹp thịt trên trục y

(d) Độ dốc của giới hạn ngân sách là gì và nó đại diện cho điều gì?

(e) Chi phí cơ hội khi mua thêm Burger và vé tàu bổ sung là gì?Tiện ích cận biên của việc mua thêm một Burger so với mua thêm một vé tàu?

Giải:

a) Số lượng vé tàu tối đa cô ấy có thể mua:

max

20

5

4

T

(cái) b) Số lượng Burger tối đa của cô ấy có thể mua:

max

20

10

2

b

(cái) c) Để có thể biết được số điểm giới hạn trên biểu đồ Ta áp dụng công thức:

.

20 4. Q b2.Q T

1

5 2

Ta có : yaxb

Xét 6 điểm:

b) d) Độ dốc của giới hạn ngân sách là : , là một đường biểu thị các kết hợp tiêu dùng hàng hóa đem lại cùng mức lợi ích

E D

F

B

C

A

1 5 2

Q  Q 

Ta có:

+Khi ta muốn mua bổ sung thêm 1 vé tàu thì ta phải bỏ đi một nửa () chi phí mua Burger Tương

tự cho: 2 vé tàu thì phải bỏ đi một phần Burger,…

+ Và ngược lại đối với bổ sung thêm 1 phần Burger thì ta phải bỏ di 2 vé tàu, 2 phần Burger thì

bỏ đi 4 vé tàu,…

+Nhận xét về tiện ích cận biên của biểu đồ:

Khi tiện ích cận biên của Burger giảm thì đồng thời tiện ích cận biên của vé tàu tăng Từ đó, cho

ta thấy được khi trong tinh huống vé tàu thiết thực, cần thiết hơn trong một giai doạn B  E thì

số lượng lượng vé tàu(QT) sẽ được mua bỏ sung nhiều hơn số lượng mua Burger(Qb)

Bài 6: Hàm doanh thu – Revenue Function

Đề: Giá mỗi chiếc máy tính là 300.000 VNĐ, chi phí sản xuất là C(q)=24.000.000+70.000q Tại

giá trị nào của q thì kiếm được lời?

Giải

Hàm chi phí: R(q)=300.000q (VNĐ)

Hàm lợi nhuận: P(q)=R(q)-C(q)=300.000q-70.000q-24.000.000=230.000q-24.000.000 (VNĐ) Khi hàm lợi nhuận >0 thì kiếm được lời

Vậy bán được 105 chiếc máy tính thì bắt đầu có lời

Bài 7: Chi phí biên, lọi nhuận biên, doanh thu biên - Marginal Cost, Marginal Revenue, and Marginal Profit

Doanh thu cận biên (Marginal Revenue) là phần doanh thu tăng thêm do bán thêm một đơn vị sản phẩm Chi phí cận biên (Marginal Cost) là mức tăng chi phí khi sản lượng tăng thêm một đơn vị Lợi nhuận cận biên, (Marginal Profit), là lợi nhuận kiếm được khi sản xuất thêm một

đơn vị sản phẩm, hiệu giữa doanh thu cận biên và chi phí cận biên

Từ định nghĩa trên, ta có thể hiểu rằng : Doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm doanh thu Chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí Lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm lợi nhuận, được dựa trên hàm chi phí và hàm doanh thu

Nếu C(x) là hàm chi phí khi sản xuất x sản phẩm, khi đó chi phí cận biên

Nếu R(x) là hàm doanh thu khi sản xuất x sản phẩm, khi đó doanh thu cận biên

Nếu P(x) = R(x) – C(x) là hàm lợi nhuận khi bán x sản phẩm, khi đó lợi nhuận biên được tính như sau :

Ví dụ 1:

Hàm giá cả P(x) khi bán x món đồ nướng được cho như sau :

Và hàm doanh thu R(x) được tính theo công thức R(x) = xP(x) :

Như vậy hàm doanh thu biên được cho bởi:

Để ước tính doanh thu thu được từ việc bán món nướng thứ 101, ta thay x = 101

So sánh với thực tế doanh thu thu được từ việc bán món nướng thứ 101 theo hàm doanh thu R(101) – R(100)

Ví dụ 2 :

Tổng doanh thu khi bán x ly trà sữa được cho bởi

Viết biểu thức cho hàm doanh thu cận biên và tính doanh thu của ly trà sữa thứ 40

Doanh thu cận biên được tính

Khi x = 40, ta có

Vậy tại thời điểm bán được 60 ly trà sữa, doanh thu sẽ giảm đi 20 nếu bán thêm được 1 ly trà sữa nữa

2 Bài toán số 2 đề 16

Giả sử hàm chi phí và doanh thu không phải là hàm tuyến tính Hàm chi phí cận biên và doanh thu cận biên cho dạng bảng số Dùng 1 phần mềm hoặc ứng dụng ước tính lợi nhuận từ các thông tin có được (mô phỏng bằng đồ thị càng tốt) Nêu chi tiết cách thực hiện nếu thông tin nhập vào

là bảng số, chỉ rõ cách nhập dữ liệu và đọc thông tin kết quả

Thông tin có dạng bảng số:

Chi phí cận

biên MC(x)

(ngàn

VNĐ/sp)

Doanh thu

cận biên

MR(x)

(ngàn

VNĐ/sp)

Sản

phẩm(x)

Các bước làm:

Tại số sản phẩm là xi, chi phí cận biên là MC(xi) và doanh thu cận biên là MR(xi)

Tức là chi phí và doanh thu của sản phẩm thứ xi là MC(xi) và MR(xi)

Vậy tổng chi phí sản xuất tại sản phẩm thứ xi là:

Tổng doanh thu tại sản phẩm thứ xi là:

Tổng lợi nhuận tại sản phẩm thứ xi là:

Cách nhập số liệu:

Nhập chi phí cận biên, doanh thu cận biên và số lượng sản phẩm ở dạng ma trận 3 hàng VD:[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

Hàng 1 là chi phí cận biên, 2 là doanh thu cận biên,3 là số lượng sản phẩm

Kết quả:

Chi phí

C(x)

(ngàn

VNĐ)

Doanh

thu R(x)

(ngàn

VNĐ)

Lợi

nhuận

P(x)(ngàn

VNĐ)

Số sản

phẩm(x)

Lợi nhuận tính theo tổng Riemann trái: 55 (ngàn VNĐ)

Lợi nhuận tính theo tổng Riemann phải: 66 (ngàn VNĐ)

Lợi nhuận tính theo tổng Riemann trung tâm: 60,5 (ngàn VNĐ)

Đồ thị:

Đường màu đỏ: doanh thu R(x)

Đường màu vàng: lợi nhuận P(x).