Chu de gioi han cua day so toan 11 knttvcs le ba bao

Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2tham khảo hình vẽ.. Câu 99: Để trang trí cho một tấm bìa hình v

GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

  (nếu b0) b) Nếu u n0 với mọi n và lim n

n u a

3 Tổng của cấp số nhân lùi hạn

Cấp số nhân vô hạn  u n có công bội q với q 1 được gọi là cấp nhân lùi vô hạn

Dãy số  u n được gọi là có giới hạn  khi n  nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limu n   hay u n  khi n 

Dãy số  u n được gọi là có giới hạn  khi n  nếu lim n ,

u v

u v

II BÀI TẬP TỰ LUẬN

Để thuận tiện khi tiếp cận các kho bài tập từ ngân hàng, tác giả xin phép dùng kí hiệu limu n thay cho

n n

1 3 3 3 3

n n

Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông

1 1 1 1 2 2 2 2

ABCD A B C A B C bằng 8 thì a bằng bao nhiêu?

Câu 19: Cho hình vuông C1có cạnh bằng a Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần

bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2(tham khảo hình vẽ)

Từ hình vuông C2lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông

1, 2, 3, , n,

C C C C Gọi S ilà diện tích của hình vuông C i i 1; 2; 3;   Tính tổng

1 2 3 n

S S S S  S 

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Phát biểu nào sau đây sai?

Câu 24: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Nếu limu n   thì limu n  . B. Nếu limu n   thì limu n  

C. Nếu limu n 0 thì limu n 0. D. Nếu limu n  a thì limu n a

Câu 25: Với    u n ; v n là các dãy số thực, tìm khẳng định sai

A Nếu limu n 0và limv n  thì lim n 0

n

u

v 

B Nếu limu n  và limv n  thì limu v n n  

C Nếu limu n  a 0và limv n  thì limu v n n  

D Nếu limu n 0và limv n  thì limu v n n 0

Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 35: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0 ?

n n

n

n u

31

n

n u

n

n u

31

n

n u

Câu 46: Dãy số  u n nào sau đây có giới hạn bằng 1

Câu 59: Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 1 và công bội 1

u u

Câu 90: Tìm số nguyên dương a, thỏa mãn

2 đường chéo của hình vuông A B C D1 1 1 1 và cứ tiếp tục như vậy Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông ABCD A B C, 1 1 1D ,1 A B C2 2 2D 2 bằng 8 thì

a bằng:

Câu 97: Gọi S1 là diện tích tam giác đều A B C1 1 1 cạnh bằng a Gọi S2

là diện tích tam giác A B C2 2 2 với các đỉnh trung điểm các

cạnh A B B C A C1 1, 1 1, 1 1, gọi S3 là diện tích tam giác A B C3 3 3

với các đỉnh trung điểm các cạnh A B B C A C2 2, 2 2, 2 2, và gọi

n

S là diện tích tam giác A B C n n n với các đỉnh trung điểm các

cạnh A B n1 n1,B C n1 n1,A C n1 n1. Khi n tiến về dương vô cực,

Câu 98: Một quả bóng tenis được thả từ độ cao 81 m Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai

phần ba độ cao của lần rơi trước Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa

A 243 m B 405 m C 486 m D 524 m

Câu 99: Để trang trí cho một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng 1 m, bạn A quyết định vẽ các hình

vuông lên tấm bìa bằng cách: hình vuông thứ nhất có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tấm bìa, hình vuông thứ hai có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ nhất, hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai,… Giả sử quy

trình vẽ hình vuông của bạn A có thể tiến ra vô hạn Tính độ dài L các nét vẽ hình vuông của

bạn A

Câu 100: Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1 Ta tạo ra các hình

vuông theo các bước sau đây

Bước 1: Dựng hình vuông màu xám có một đỉnh là ,A ba đỉnh còn lại là các trung điểm của

ba cạnh AB BC AC (hình a) Kí hiệu hình vuông này là , ,  1

Bước 2: Với hai tam giác vuông cân màu trắng còn lại ở hình a, ta lại tạo được hai hình vuông

màu xám khác theo cách trên, kí hiệu là  2 (hình b)

Bước 3: Với bốn tam giác vuông cân màu trắng còn lại ở hình b, ta lại tạo được bốn hình vuông màu xám khác theo cách trên (hình c)

Bước thứ n: Ở bước này ta có 2n1 hình vuông màu xám được tạo thành theo cách trên Kí hiệu là  n

C C

IV LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 2: Tính các giới hạn sau:

n n

2 3 49

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) 1 lim 4 2 2 lim 4 lim 2 lim 2 4 0 0 4.

Suy ra

1

2

11

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 6: Tính giới hạn lim 2 2 22 23 2

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 7: Tính các giới hạn sau:

52

8 21

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 8: Tính các giới hạn sau:

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 9: Tính các giới hạn sau:

2

14

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 12: Tính các giới hạn sau:

 

2 2

52

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 13: Tính các giới hạn sau:

a) lim1 2 3 2

n n

n n

1 3 3 3 3

n n

Vậy 

2 2

Ta có dãy số: 2; 5; 8; ; 3 n1 là một cấp số cộng với u12,u25 d 3 Số hạng tổng quát:u m u1m1d 3n  1 2 m1 3

2 4

n n

n n

 

 

1 11 1

1

1

2

33

n n n

Kiểm tra kết quả bằng MTCT:

Câu 14: Tính các giới hạn sau:

Câu 15: Biết các số thực a và b thỏa mãn

Câu 16: Biết các số thực a và b thỏa mãn lim 2 7 1

Câu 17: Tìm số nguyên dương a, thỏa mãn

n a

Câu 18: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Người ta dựng hình vuông A B C D1 1 1 1 có cạnh

bằng 1

2 đường chéo của hình vuông ABCD; dựng hình vuông A B C D2 2 2 2 có cạnh bằng 1

2đường chéo của hình vuông A B C D1 1 1 1 và cứ tiếp tục như vậy (tham khảo hình vẽ)

Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông



Mà S 8 2a2   8 a 2

Câu 19: Cho hình vuông C1có cạnh bằng a Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần

bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2(tham khảo hình vẽ)

Từ hình vuông C2lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông

3

2564

S  a , …

Nên S S 1S2S3  S n là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với

2 1

58

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Phát biểu nào sau đây sai?

Chọn n2k1,k khi đó ta có

   2 1lim 2 n   lim 2 k  

A.Nếu limu n   thì limu n   B Nếu limu n   thì limu n  

C. Nếu limu n 0 thì limu n 0. D. Nếu limu n  a thì limu n a

Lời giải:

Ta có nếu limu n 0 thì limu n 0

Câu 25: Với    u n ; v n là các dãy số thực, tìm khẳng định sai

A Nếu limu n 0và limv n  thì lim n 0

n

u

v 

B Nếu limu n  và limv n  thì limu v n n  

C Nếu limu n  a 0và limv n  thì limu v n n  

D Nếu limu n 0và limv n  thì limu v n n 0

lim u nv n limu nlimv n    3 2 5

Câu 30: Cho dãy  u n có limu n 3, dãy  v n có limv n 5 Khi đó limu v n n bằng

n n

n

n u

31

n

n u

n

n u

31

n

n u

1lim

5

n

n n

21

n n



 

Câu 50: lim 5n bằng

0 33

0 12

13

35

15

q





1112

Câu 60: Cho tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn 1 1 1 1 1

3 9 27 81

S       Giá trị của S là

14

2024 20222022

2 2

u u

n n

9

a n n

n a

a a

3

2 3

2 đường chéo của hình vuông A B C D1 1 1 1 và cứ tiếp tục như vậy Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn Nếu tổng diện tích S của tất cả các hình vuông ABCD A B C, 1 1 1D ,1 A B C2 2 2D 2 bằng 8 thì

S là diện tích tam giác A B C2 2 2 với các đỉnh trung điểm các

cạnh A B B C A C1 1, 1 1, 1 1, gọi S3 là diện tích tam giác A B C3 3 3

với các đỉnh trung điểm các cạnh A B B C A C2 2, 2 2, 2 2, và gọi

n

S là diện tích tam giác A B C n n n với các đỉnh trung điểm các

cạnh A B n1 n1,B C n1 n1,A C n1 n1. Khi n tiến về dương vô cực,

Câu 98: Một quả bóng tenis được thả từ độ cao 81 m Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai

phần ba độ cao của lần rơi trước Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa

hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai,… Giả sử quy

trình vẽ hình vuông của bạn A có thể tiến ra vô hạn Tính độ dài L các nét vẽ hình vuông của

2

n n

n



Câu 100: Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1 Ta tạo ra các hình

vuông theo các bước sau đây

Bước 1: Dựng hình vuông màu xám có một đỉnh là ,A ba đỉnh còn lại là các trung điểm của

ba cạnh AB BC AC (hình a) Kí hiệu hình vuông này là , ,  1

Bước 2: Với hai tam giác vuông cân màu trắng còn lại ở hình a, ta lại tạo được hai hình vuông

màu xám khác theo cách trên, kí hiệu là  2 (hình b)

Bước 3: Với bốn tam giác vuông cân màu trắng còn lại ở hình b, ta lại tạo được bốn hình vuông màu xám khác theo cách trên (hình c)

Bước thứ n: Ở bước này ta có 2n1 hình vuông màu xám được tạo thành theo cách trên Kí hiệu là  n

C C