Tổng hợp công thức môn Toán 9 ôn thi vào 10

Công thức toán 9 cả nămTổng hợp công thức toán 9 ôn thi vào 10 Ôn thi vào 10 Môn Toán 9Tổng hợp Lý thuyết Toán 9 Ôn thi vào 10Lý thuyết toán 9Tổng hợp công thức toán 9 ôn thi vào 10Ôn thi vào 10 Lớp 9

Họ và tên:

……….

Lớp: 9…… Trường THCS

………

FILE ÔN TẬP TOÁN

9 THI VÀO 10

(Kiến thức cơ bản)

Phần I - ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1 Điều kiện để căn thức có nghĩa

√Acó nghĩa khi A ≥ 0

2 Các công thức biến đổi căn thức

a) √A2 = |A| f) √A

B= 1|B|⋅√AB (AB ≥ 0; B ≠ 0) b) √AB=√A ⋅√B (A ≥ 0; B ≥ 0) g) √A B = A√B

B (B > 0) c) √A

B=√A

√B (A ≥ 0; B > 0) h) √A ± B C =C

(√A ∓ B)

A−B2 (A ≥ 0; A ≠ B2) d) √A2B=|A|.√B (B ≥ 0) i) √A ± B C =C

(√A ∓B)

A−B2 (A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B) e) A√B=√A2B (A ≥ 0; B ≥ 0)

A√B=−√A2B (A < 0; B ≥ 0)

3 Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

a: Hệ số góc; b: Tung độ gốc

- Tính chất:

+ Hàm số ĐB trên R  a > 0 + Hàm số NB trên R  a < 0

- Đồ thị: là đường thẳng đi qua điểm A (0; b) và B (−b a ; 0¿

4 Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0)

- Tính chất:

+ Hàm số ĐB  a và x cùng dấu + Hàm số NB  a và x khác dấu

- Đồ thị: là một đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ O (0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành

5 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Xét đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b

(d) ∩ (d’)  a ≠ a’

(d) // (d’)  a = a’ và b ≠ b’

(d) ≡ (d’)  a = a’ và b = b’

6 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong

Xét đường thẳng (d): y = ax + b và (P): y = ax2

(d) ∩ (P) tại 2 điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại 1 điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7 Phương trình bậc hai

Xét PT bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Công thức nghiệm (*) Công thức nghiệm thu gọn

△ = b2 – 4ac Nếu △ > 0 -> PT có 2 nghiệm phân

biệt

x1 = −b+√Δ

2a ; x2 = −b−√Δ

2a

Nếu △ = 0 -> PT có nghiệm kép

x1 =x2 = −b 2a Nếu △ < 0 -> PT vô nghiệm

△’ = b’2 – ac (b’ = b2 )

Nếu △’ > 0 -> PT có 2 nghiệm phân

biệt

x1 = −b'+√Δ'

a ; x2 = −b'−√Δ'

a

Nếu △’ = 0 -> PT có nghiệm kép

x1 =x2 = −b' a Nếu △’ < 0 -> PT vô nghiệm

8 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.

- Hệ thức Vi-ét:

Nếu x1, x2 là nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

{S=x1+x2=−b a

P=x1 x2= c a

- Một số ứng dụng:

+ Tìm 2 số u và v biết u + v = S; uv = P ta giải PT:

x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S 2 – 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nếu a + b + c = 0 => PT có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = c a

Nếu a – b + c = 0 => PT có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = −c a

9 Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT

Bước 1: Lập phương trình:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Trang 2

 Bước 2: Giải phương trình.

 Bước 3: Trả lời: Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết

luận

*MỞ RỘNG a) Dạng toán chuyển động

*Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường (s), Vận tốc (v), Thời

gian (t)

- Mối liên hệ của 3 đại lượng trên:

s = v.t

v = s/t

t = s/v

- Toán chuyển động dòng chảy:

+ Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của ca nô + Vận tốc dòng nước

+ Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – Vận tốc dòng nước

b) Dạng toán năng suất

*Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất

và thời gian

- Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:

Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất

- Bài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị

Suy ra năng suất là thời gian1 Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung

c) Dạng toán về số và chữ số

1 Nếu A hơn B k đơn vị thì A – B = k hoặc A = B + k

2 Hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị

3 Nếu A gấp k lần B thì A = B.k

4 Nếu A bằng 12 B thì A = B.12

5 Số có hai chữ số xy=10 x+ y với x, y ϵ N; 0 < x ≤ 9; 0 ≤ y ≤ 9

d) Toán phần trăm

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là

(100 + a)%.x (sp)

- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi giảm a% là (100 –

a)%.x (sp)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI PT BẬC HAI

Bài toán 1: Giải PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Phương pháp 1: Phân tích đưa về PT tích

- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai x2=a→ x=±√a

- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm (Bảng trang 2)

- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn (Bảng trang 2)

- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-ét (Trang 2)

Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax2 + bx + c = 0

(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)

*Ghi chú: S (Tổng) = x 1 + x 2 = −b a

P (Tích) = x 1. x 2 = c a

hoặc

a ≠ 0, △ hoặc △’ ≥ 0

2 nghiệm phân

1 nghiệm a = 0, b ≠ 0

hoặc

a ≠ 0, △ hoặc △’ = 0

Nghiệm kép a ≠ 0, △ hoặc △’ = 0

Vô nghiệm a ≠ 0, △ hoặc △’ < 0

2 nghiệm cùng

2 nghiệm

dương S và P đều > 0 △ hoặc △’ > 0

2 nghiệm

2 nghiệm trái

hoặc

Trang 4

a và c trái dấu

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) có

1 nghiệm x = x 0

(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)

- Thay x = x0 vào PT (1) ta có: ax12 + bx1 + c = 0 -> m

- Thay giá trị của m vào PT (1) -> x1, x2

- Hoặc tính x2 = S – x1 hoặc x2 ¿ x1 P

Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm

x 1 , x 2 thỏa mãn các điều kiện:

(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)

a) α x1+β x2=γ b) x12+ x22=k e) x13+ x23=t

c) x1

1

+ 1

x2=n d) x12+ x22≥ h

*Điều kiện chung: △ hoặc △’ ≥ 0 (*)

Theo định lí Vi-ét ta có: S = x1 + x2 = −b a (1) và P = x1.x2 = = c a (2)

1 Trường hợp a: α x1+β x2=γ

- Giải hệ PT {x1+x2=−b a

α x1+ β x2=γ -> x 1 , x 2

- Thay x1, x2 vào hệ PT (2) -> m

- Chọn các giá trị của m để thỏa mãn ĐK (*)

2 Trường hợp b: x12+ x22=k  (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = k

Thay x1 + x2 = S = −b a và x1.x2 = P = c a vào ta có:

S2 – 2P = k -> Tìm được giá trị của m để thỏa mãn ĐK (*)

3 Trường hợp c: x1

1 + 1x

2=n  x 1 + x 2 = nx 1 x 2 <-> -b = nc

Giải PT -b = nc ta tìm được giá trị của m thỏa mãn ĐK (*)

4 Trường hợp d: x12+ x22≥ h  S 2 – 2P – h ≥ 0

Giải bất PT S2 – 2P – h ≥ 0 chọn m để thỏa mãn ĐK (*)

5 Trường hợp e: x13+ x23=t  S 3 - 3PS = t

Giải bất PT S3 - 3PS = t chọn m để thỏa mãn ĐK (*)

Bài toán 5: Tìm 2 số u và v biết tổng S = u + v và P = u.v của

chúng

Ta có u và v là nghiệm của PT: x 2 – Sx + P = 0 (2) (ĐK: S2 – 4P

≥ 0)

Giải PT (2) ta tìm được 2 số u và v cần tìm

Phần II – HÌNH

HỌC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1 Hệ thức lượng trong △ vuông.

Hệ thức 1: AB2 = BH BC

AC2 = CH BC

Hệ thức 2: AH2 = BH CH

Hệ thức 3: AH BC = AB AC

Hệ thức 4: A H1 2 = 1

A B2 + 1

A C2

2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

sin = đối/huyền

cos = kề/huyền

tan = đối/kề

cot = kề/đối

*Mở rộng:

Sin2α+Co s2α=1 tan α cot α=1 tan α= sin α cos α cot α= cosα sin α

*Tỉ số lượng giác của góc phụ nhau: α +β = 90O

Sin α = Cos β Tan α = Cot β

*Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

Dựa vào tỉ số lượng giác ta suy ra:

- Theo Sin và Cos (Liên quan đến cạnh góc vuông & cạnh

huyền)

AB = BC Cos α = BC Sin β

AC = BC Sin α = BC Cos β

- Theo Tan và Cot (Liên quan đến 2 cạnh góc vuông)

AB = AC Cot α = AC Tan β

AC = AB Tan α = AB Cot β

3 Đường tròn.

- Cách xác định: + Qua 2 điểm phân biệt ta vẽ được vô số đường tròn

+ Qua 3 điểm không thẳng hàng ta vẽ được duy nhất 1 đường tròn

Trang 6

Hình vẽ:

Sin α = Cos β = AC

BC

Cos α = Sin β = AB

BC

Tan α = Cot β = AC

AB

Cot α = Tan β = AB

AC

- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường tròn có 1 tâm đối xứng; có vô

số trục đối xứng

- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: Trong 1 đường tròn

+ Đường kính ⊥ 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy + Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây không đi qua tâm thì ⊥

dây ấy

- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong 1

đường tròn

OH = OK  AB = CD

OH < OK  AB > CD

- Liên hệ giữa cung và dây: Trong 1 đường tròn hay 2 đường tròn

bằng nhau

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau + Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau + Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ

giữa d và R

Cắt nhau

Tiếp xúc nhau

Không giao

nhau

- Vị trí tương đối của 2 đường tròn:

4 Tiếp tuyến của đường tròn.

- Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:

+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính + Đường thẳng đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua

điểm đó

- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau

Trang 8

 MA = MB

 MO là tia phân giác của

^

- Tính chất của 2 tia tiếp tuyến cắt nhau:

5 Góc với đường tròn.

đo

GÓC Ở TÂM

^ = sđ AB⏜ nhỏ

GÓC NỘI TIẾP

^

BAC = 12BC⏜ nhỏ

 MA = MB

 MO là tia phân giác của

^

Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong

GÓC TẠO BỞI TIA

TIẾP TUYẾN VÀ DÂY

CUNG

^

BAx= 12AB⏜ nhỏ

GÓC CÓ ĐỈNH BÊN

TRONG ĐƯỜNG

TRÒN

^= 12(sđ AC⏜ +sđ BD⏜ )

GÓC CÓ ĐỈNH BÊN

NGOÀI ĐƯỜNG

TRÒN

^BED=1

2(sđ BD

⏜

−sđ AC⏜ )

6 Độ dài đường tròn/cung tròn – Diện tích hình tròn/hình quạt tròn.

- Độ dài đường tròn: C = 2πR = πd - Diện tích hình tròn: S = π R2

- Độ dài cung tròn: C = πRn180 - Diện tích hình quạt tròn: S =

π R2n

360 = lR2

7 Các loại đường tròn.

Đường tròn nội tiếp

△ Đường tròn ngoại tiếp △ Đường tròn bàng tiếp △

Tâm của đường tròn

Trang 10

Tâm của đường tròn là

giao điểm của 3 đường

phân giác trong của

tam giác

là giao điểm của 3 đường trung trực của

tam giác

(Giảm tải – Tự tìm hiểu

thêm)

8 Các loại hình không gian.

l: đường sinh

R: Bán kính h: Chiều cao d: Đường kính

Hình trụ Hình nón Hình nón cụt Hình cầu

S xung

quanh C đáy x h πR l π(r 1 + r 2) l 4πR

2 = π d2

S toàn

phần S xq + 2.S đáy S xq + S đáy

4

3 πR 3

Thể tích

(V) S đáy x h

1

3.V hình trụ 1

3πh (r 1 2 + r 2 2 +

r 1 r 2 )

9 Tứ giác nội tiếp.

*Dấu hiệu nhận biết:

Tổng 2 góc đối nhau =

180 o (H1) Góc ngoài của 1 đỉnh = góc trong của đỉnh đối

diện (H2)

Hai điểm liên tiếp của tứ

giác nhìn 1 cạnh dưới 1 góc

bằng nhau (H4)

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1 điểm

(H3)

M là giao điểm của AC và BD => Nếu MA.MB = MC.MD

(H5)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng : Công thức mở rộng

Bài toán 1: Diện tích hình viên phân và hình vành khăn

- S hình viên phân = S hình quạt tròn – S △AOB

- S hình vành khăn = S (O;R) – S (O;r)

Bài toán 2: Các công thức liên quan tới đường tròn và tam giác

đều.

a) Đường tròn nội tiếp △.

R = P S = a+b+c 2 S Trong đó: S – Diện tích △; P – Nửa chu vi

b) Đường tròn ngoại tiếp △.

R = abc 4 S

c) Hình vuông cạnh a.

Trang 12

(Tính theo tam giác vuông ABC -> Tính AC là đường chéo theo định lí Py-ta-go

=> AC = a√2 )

d) Tam giác đều cạnh a.

2

là đường trung tuyến và O là trọng tâm => OA = R = 23 AH)

đường trung tuyến và O là trọng tâm => OH = r = 13 AH)

2

(Tính theo tam giác vuông ABC => R = 12 d =12 AC = 12 a√2 )