sang kien kinh nghiem giải he phương trinh

sáng kiến kinh nghiệm

STT Mục lục Trang

2 2 Giải quyết vấn đề (Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm) 3

5 2.3 Các biện pháp đã tiến hành đề giải quyết vấn đề 6

1 Đặt vấn đề (Lý do chọn đề tài)

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chươngtrình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10;tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sát phầnnày khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm racách giải Nguyên nhân là vì

Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏingười học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau,

có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu thamkhảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc củabài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìntổng quát về hệ phương trình

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổngquát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn chocác em

Do vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy: “Hệ phương trình đại số các cách giải cơ bản và nâng cao ở THPT” Trong trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắng đưa ra các phương pháp giải, đặt biệt là cách nhận dạng bài toán để chọn phương pháp thích hợp

Mục đích nghiên cứu :Hi vọng rằng với phương pháp sắp xếp lôgic, chặt chẽ

và lựa chọn các bài toán một cách điển hình là một sáng kiến nho nhỏ để chúng ta cùng tham khảo Qua đó giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, ham học hỏiĐối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 10C, 10E, 110H của Trường THPT Thuận Châu

Phạm vi nghiên cứu:

hệ phương trình đại số ở THPT

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề

2.1.1 Cơ sở 1:

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

trong đó a, b không đồng thời bằng không và a’, b’ không đồng thời bằng không.Hãy giải và biện luận hệ phương trình (I) đã cho

+ Nếu hoặc thì hệ (II) vô nghiệm do đó hệ (I) vô nghiệm

+ Nếu thì hệ (II) có vô số nghiệm Bây giờ ta đi tìm nghiệm của hệ (I)

Do a, b không đồng thời bằng 0 nên ta có thể giả sử Ta có

D = ab/ - a/b = 0

nên hệ (I) được viết thành

Do vậy tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax + by = c.Tóm lại:

* Trường hợp 1 Hệ có nghiệm duy nhất

* Trường hợp 2 Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình

Do nên hệ đã cho được viết lại như sau :

Giải hệ trên để tìm S, P khi đó x và y là nghiệm của phương trình:

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: (*)

Thay y = x vào (*) ta được 0 = 0 suy ra y = x thỏa (*), do đó (*)

* Thay y = x vào (1) ta tìm được x, suy ra y.

* Với g(x;y) = 0 ta có hệ tìm được x và y

* Thay x = 0 vào hệ (*) để kiểm tra x = 0 có thỏa mãn hệ không?

* Với ta đặt y = tx (I), khi đó hệ đã cho trở thành:

+ Khi , ta có

(**), giải (**) tìm được nghiệm t ( nếu có), thay vào (I) ta tìm được x, suy ra được y, từ đó tìm được nghiệm của hệ đã cho.+ Khi , ta chia (1) cho (2) vế theo vế ta được

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

* Trường hợp 1 Hệ có nghiệm duy nhất

* Trường hợp 2 Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình

ax + by =c

* Trường hợp 3 Hệ vô nghiệm

Bài toán 1:

Cho hệ phương trình

1 Giải và biện luận hệ đã cho

2 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để nghiệm của hệ là nghiệm nguyên

3 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x; y) của hệ không phụ thuộc vào m

4 Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x2+y2 với

* Nếu m = 1 thì hệ trở thành x + y = 3 nên hệ có vô số nghiệm

* Nếu m = - 1 thì nên hệ vô nghiệm

2 Khi hệ có nghiệm duy nhất là

Khi đó điều kiện bài toán tương đương với

Vậy m = 0, m = - 3 , m = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán

3 Khi hệ có nghiệm duy nhất là

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được x – y = - 1

y có dạng:

Cách giải:

+ Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất

+ Thay vào pt bậc hai và tìm ẩn còn lại, suy ra nghiệm của hệ phương trình

Bài toán 2: Cho hệ:

a/ Giải hệ khi a=1

b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt

c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) là các nghiệm của hệ đã cho

Cách giải:

Biến đổi hệ theo x+y và x+y

Đặt S = x + y và p=xy

1 Biến đổi hệ theo s,p và giải hệ tìm hai ẩn đó

2 Với mỗi nghiệm (s;p) ta giải pt x2 – sx +p =0 để tìm x, y

3 Chú ý; với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y

Bài toán 4: Giải hệ

Điều kiện:

Hệ

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được

* Với y = x thay vào (1) ta được

* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được

Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )

Bài toán 5: Giải hệ: (*)

Cách 1: Điều kiện:

Ta có

*Với x=y thay vào (4) ta được:

* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được

Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)

Cách 2:

Hệ trở thành

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được

* Với u = v thay vào (1) ta được

+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không

+ Với x 0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t giải t suy ra x, y

Cách khác:

+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng

+ Đặt x = ty, khi đó pt trở thành

4 Xét y = 0 thay vào hệ tìm x

5 Xét tìm nghiệm (nếu có) sau đó tìm được x,y

Bài toán 6: Giải hệ:

Giải

Cách 1

Thay x=0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ

Với x 0 đặt y=tx ta được

Với t=-2 ta có:

2.3.6: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình

trong hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương

trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

Bài toán7: Giải hệ phương trình

Lời giải.

Từ (1) ta có thế vào (2) ta được

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

Bài toán 8: Giải hệ phương trình

Phân tích Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.

y

x 

2 2

2.3.7: Giải hệ phương trình bằng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

* Cơ sở phương pháp Nếu đơn điệu trên khoảng và thì

* Cách xây dựng hệ theo phương pháp này.

- Lấy hàm số đơn điệu trên khoảng ,

- Lấy sao cho hệ giải được trên tập xác định của chúng

- Lập hệ phương trình

Bài toán.9 Giải hệ phương trình

Phân tích Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt

Lời giải Thay vào phương trình thứ nhất ta được

(1)

biến trên (1) thế vào pt thứ hai ta được

Vậy tập nghiệm của hệ là S =

f t  t t f t'( ) 2 ln 2 3 t  t2   0, t f t( )

  f x( )f y( ) x y

1

Bài toán10: Giải hệ phương trình

Bài toán 11 Giải hệ phương trình

Phân tích Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích Tuy nhiên ta

muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hàm số

không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được

x và y trên đoạn

Lời giải.

Từ (2) ta có

Vậy tập nghiệm của hệ là S =

Nhận xét Trong trường hợp này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để

hàm số đơn điệu trên đoạn đó

Bài toán12 Giải hệ phương trình

Lời giải Trừ vế hai pt ta được

Suy ra đồng biến trên Bởi vậy

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0

Bài toán 13: Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm

Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số

tại hai điểm có hoành độ

Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm

2.3.8: Giải hệ phương trình băng phương pháp cộng đại số

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,

trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ

Do đó TH 2 không xảy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

Bài toán 15 Giải hệ phương trình

23

23

y y x x x y

x y

Đặt ta được

và

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)

Bài toán 16 Giải hệ phương trình

Phân tích Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng

Bài toán 17 Giải hệ phương trình

Phân tích Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt

thứ nhất cho và chia hai vế pt thứ hai cho

Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được

TH 1 thế vào pt (1) ta được

TH 2 không xảy ra do

Chú ý Hệ phương trình có dạng Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức

Tổng quát ta có hệ sau:

2.3.9: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 18 Giải hệ phương trình

Lời giải Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến.

Chú ý.

- Nếu hệ pt có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là

Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Bài toán 19 Giải các hệ pt sau

hoặc

Kết luận Hệ có 4 nghiệm như trên

Bài toán 20: (Phương pháp nhóm các biến)

2.3.10: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đưa về dạng tích

* Cơ sở phương pháp Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các

nhân tử Đôi khi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích

* Cách thành lập hệ dạng này trong đó được

chọn sao cho vô nghiệm hoặc giải được; được

chọn sao cho giải được và thỏa mãn kết hợp được với

Bài toán 22 Giải hệ phương trình

Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu

được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Chú ý Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x)

nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x)

Bài toán 23: Giải hệ phương trình

Phân tích Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích.

Vậy tập nghiệm của hệ là S =

Bài toán 24: Giải hệ phương trình

Lời giải.

TH 1 thế vào pt thứ hai ta được

(2)

Trường hợp này không xảy ra do

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S =

Bài toán 25 Giải hệ phương trình

Phân tích Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu

được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)

Lời giải.

ĐK: (1)

TH 1 thế vào (2) ta được

Vậy tập nghiệm của hệ là S =

Bài toán 26: (Dùng phương pháp sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất

( 3;7); (2;2) 

Thay x=y vào (1) ta được

(Thỏa điều kiện)

HD: Đặt , điều kiện

2 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Kết quả từ thực tiễn

Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải các bài tập liênquan dến hệ phương trình Tuy nhiên, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách phântích bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp rồi từ đó hướng các em đi đến lờigiải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tậptrong sách giáo khoa, sách bài tập Đại số 10 cơ bản và nâng ca và một số bài tậptrong các sách tham khảo, các em đã biết vận dụng các phương pháp và giải đượccác dạng bài tập đó

2.4.2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2013-2014

Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 10E,10H (70 học sinh) áp dụng sáng kiếnnhư sau:

Xếp loại

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú, các

em biết vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo các phương pháp nhằm tìm rađược lời giải đúng và hay nhất Qua đó phát huy được tính tích cực, chủ động, sángtạo trong học tập của học sinh

3.KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:

- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về hệ phương trình đại số,

từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế họcsinh không còn cảm giác e sợ khi gặp hệ phương trình

- Tạo cho học sinh có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát,biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có và người ta đã tạo ra chúngbằng cách nào

- Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toánmới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, pháthuy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của

Bộ Giáo dục và Đào tạo Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thúkhi học tập bộ môn

Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không nhữngnắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào các bài toán cụ thể mà cònrất hứng thú khi học tập chuyên đề này Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đạihọc, số học sinh làm được bài về giải hệ phương trình cao hơn hẳn các năm trước

và tốt hơn nhiều so với các em không được học chuyên đề này

Trên đây là Hệ phương trình đại số các cách giải cơ bản và nâng cao ởTHPT.Các dạng bài tập chưa thể đưa hết các vấn đề nhưng nó sẽ đem lại sự hữuích cho giáo viên và cả học sinh Rất mong sự đóng góp của các thầy cô và các bạnđồng nghiệp để tôi bổ sung, sửa chữa những thiếu sót, sai lầm nhằm nâng cao chấtlượng của chuyên đề nghiên cứu nhằm tăng thêm tính thiết thực và hiệu quả tronggiảng dạy

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thuận Châu, ngày 10 tháng 4 năm 2014 Người thực hiện

Lê Anh Bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đại số 10 Nâng cao – Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Duy Vuông – Nhà xuất bản giáo dục năm 2006.[2] Phân loại phương pháp giải toán phương trình, bất phương trình đại số – Tác giả: Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng – Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội năm 2009

[3] Bộ đề thi tự luận toán học – Tác giả: Lê Hoành Phò – Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội năm 2008

[4] Internet

[5] Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ – Tác giả: Nguyễn Văn Mậu – Nhà xuất bảngiáo dục năm 2006

Ý kiến đánh giá của tổ chuyên môn :

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ý kiến đánh giá của Hội đồng khoa học trường: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………