Luận Văn Nghiên Cứu, Tán Xạ, Năng Lượng, Eikonal.pdf

(1) ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XUÂN KỲ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN XUÂN KỲ

TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN XUÂN KỲ

TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN NHƯ XUÂN

Lời Cảm Ơn Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Nhƣ Xuân,

giảng viên trường Học viện Kỹ thuật Quân sự Thầy đã hết lòng dẫn dắt, chỉ bảo cho em có được những kiến thức, cách tiếp cận giải quyết vấn đề một cách khoa học

và động viên em rất nhiều trong suốt thời gian em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường và các thầy ở bộ môn vật lý lý thuyết Các thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức về chuyên ngành hết sức bổ ích và cần thiết, cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong quá trình học tập Các thầy đã cho em thấy được lòng nhiệt huyết, sự say mê trong công tác giảng dậy cho các thế hệ sau

Cuối cùng em xin được nói lời cảm ơn tới những thành viên trong gia đình và bạn bè đã luôn động viên, sát cánh bên em trong suốt thời gian làm khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 29 tháng 10 năm 2014 Học viên

Nguyễn Xuân Kỳ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON 7

1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác 7

1.2 Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal 8

1.3 Công thức West và Yennie 11

CHƯƠNG 2 TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL 13

2.1 Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal 13

2.2 Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal 17

2.3 Giá trị trung bình của các tham số va chạm 23

CHƯƠNG 3 TÁN XẠ PROTON – PROTON TRONG MÔ HÌNH HIỆN TƯỢNG LUẬN 25

3.1 Tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó 25

3.2 Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53 GeV 26

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

PHỤ LỤC A HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON 35

PHỤ LỤC B CÁC BỔ CHÍNH CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL 37

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: Giá trị tái chuẩn hóa của các tham số gk và k 20

Bảng 3.1: Trung bình bình phương các tham số va chạm pp ở 53 GeV Error! Bookmark not defined

Bảng 3.2: Giá trị của tích phân theo tiết diện tán xạ vi phân và các giá trị RMS của

tán xạ toàn phần, đàn hồi và không đàn hồi 30

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.2: Phần ảo WY( , )s t khác không của pha tương đối WY ứng với phép tính

số pha tán xạ hadron ở hình 1 15

Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của pha tán xạ hadron N( , )s t vào t: 15

Hình 3.1: Dữ liệu thăng giáng ngoại vi của tán xạ pp ở năng lương 53 GeV 28

Hình 3.2: Dữ liệu tán xạ ngoại vi pp xác định dương ở 53 GeV 29

MỞ ĐẦU

1 Bối cảnh nghiên cứu của đề tài

Các máy đo quang phổ kế Pion tại SIN (Swiss Institute for Nuclear Research - Viện nghiên cứu hạt nhân Thụy Sỹ) và LAMPF (Los Alamos Meson Physics Facility – Trung tâm nghiên cứu Vật lý hạt meson Los Alamos) đã đưa ra các dữ liệu thực nghiệm có tính chính xác cao về quá trình tán xạ đàn hồi của pion – hạt nhân trong vùng đầu của sự cộng hưởng pion – hạt nhân [1-4] Vì trong vùng này, phần tán xạ đàn hồi của một +

từ một proton lớn hơn rất nhiều so với từ một nơtron (thông qua trao đổi hạt -), một trong nhưng hy vọng chính rút ra từ các số liệu thực nghiệm này là chỉ ra được sự đóng góp của nơtron trong các tương tác trên bề mặt hạt nhân Như vậy bằng sự so sánh tán xạ đàn hồi của các pion có năng lượng 130 MeV của hạt nhân nguyên tử 40

Ca và 48Ca đã chỉ ra sự khác nhau khá lớn giữa tương tác giữa các hạt - và các hạt + do có sự tham gia thêm của 8 hạt nơtron [5] Nói cách khác, do không tính đến tương tác Coulomb có thể là nguyên nhân sinh ra

sự khác nhau giữa tán xạ 

và +

thậm chí là của các hạt nhân đồng vị, ví dụ như hạt nhân 40Ca và hạt nhân 48Ca Rõ ràng rằng, khả năng của chúng ta sử dụng các số liệu thực nghiệm của hạt nhân 40Ca phụ thuộc phần lớn vào sự mở rộng vùng tương tác vào các vùng mà hiệu ứng tương tác Coulomb chiếm ưu thế

Nếu chúng ta có một mô hình bán vi mô của tán xạ pion – hạt nhân, như có một thế quang học hoặc một lý thuyết tán xạ nhiều hạt, thì việc tính thêm tương tác Coulomb vào tương tác hạt nhân là hoàn toàn có thể được về mặt nguyên tắc mặc

dù nó có những khó khăn về mặt kỹ thuật tính toán Bỏ qua những điều này, chúng

ta vẫn có thể hiệu chỉnh số liệu cho các số hạng Coulomb Bài toán này đã được đưa

ra từ lâu bởi Bethe [6] với các góc tán xạ nhỏ Bằng việc tham số hóa biên độ tán xạ tương tác mạnh pion – hạt nhân trong vùng giao thoa Coulomb – hạt nhân theo các

số hạng phụ thuộc vào góc tán xạ cho phép Bethe chỉ ra được sự thay đổi quan trọng của pha tán xạ phụ thuộc sự trao đổi +

hay - Trước đây, chúng ta đã mở

rộng mô hình này bằng cách tham số hóa biên độ tán xạ hạt nhân trung bình để đưa

ra cấu trúc của tiết diện tán xạ vi phân nhờ sử dụng phép biểu diễn các số hạng

“không” (zero terms) của biên độ tán xạ trong mặt phẳng phức các xung lượng truyền Giống như Bethe, nếu chúng ta sử dụng gần đúng eikonal để tìm các hàm pha cộng tính ( )b trong không gian các tham số va chạm thì đối với hạt nhân 12C kết quả thu được của các hàm pha này có sự khác nhau khá lớn ở trao đổi + và -, tuy nhiên điều này là không đúng lắm với hạt nhân 40Ca Từ đó đòi hỏi chúng ta phải đưa ra thêm các cơ chế khảo sát khác chi tiết hơn nữa [8]

2 Lý do chọn đề tài

Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16] Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức cho tán xạ thế với góc tán

xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [45] Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng C N

F  và có thể biểu diễn một cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]:

    ,    

F  s t e F s t F s t (0.1)

trong đó s là bình phương năng lượng trong hệ khối tâm (cms), t là bình phương

xung lượng truyền 4 chiều, F C s t, - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb được xác định trong điện động lực học lượng tử (QED), F N s t, - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),  1/137, 036 là hằng số cấu trúc,  s t,

là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa

Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]

 2ln 1, 06 / qa  (0.2) trong đó qlà xung lượng truyền của hạt tán xạ, còn a là tham số đặc trưng cho kích thước của hạt nhân

Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và thực nghiệm Về lý thuyết phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương tác mạnh Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước ở vùng năng lượng thấp

so với các số liệu thực nghiệm đã được thực hiện cho vùng có 2 2

| | 10t   GeV Còn ở vùng | | 10t  2GeV2 sự tương thích giữa lý thuyết và thực nghiệm còn chưa được nghiên cứu đầy đủ

Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi hỏi không những tư duy logic mà còn cần cả tư duy hiện tượng luận dựa trên các kết

quả thực nghiệm Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận xuất phát từ thực nghiệm, và kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không theo cách tư duy logic trong toán học Hàm delta Dirac là một ví dụ, nó là hàm suy rộng, xuất phát

từ thực tiễn, chứ nó không hẳn được định nghĩa như những hàm số thông thường Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới được giới học thuật thừa nhận!

3 Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán xạ đàn hồi

của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo những mô hình

hiện tượng luận đã được thừa nhận Sự ảnh hưởng của hai tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm

4 Phương pháp nghiên cứu

Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá trình tán xạ đàn hồi của các hadron năng lượng cao Với cách tiếp cận theo mô hình này cho phép chúng ta có thể đưa ra các giá trị về tham số va chạm (ví dụ như phạm vi tác dụng của lực Coulomb và lực tương tác mạnh ở các khoảng cách khác nhau), một đặc trưng vật lý quan trọng của quá trình tương tác

Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng mô hình eikonal hiện tượng luận và một số phương pháp của lý thuyết trường lượng tử như phương pháp

tách phân kỳ, các phép gần đúng Born, gần đúng chuẩn cổ điển, và một số kỹ thuật tính tích phân

Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h c 1 và metric Feynman

Các véctơ phản biến là tọa độ

 0 1 2 3   

x  x t x x x  y x z  t xr thì các véctơ tọa độ hiệp biến

5 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Luận văn là cơ sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt nucleon năng lượng cao thu được từ các máy gia tốc Giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác của các nucleon trong hạt nhân Từ đó là cơ sở để nghiên cứu chuyên sâu thêm về cơ chế tương tác của các hadron khi có tính thêm spin

6 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, hai phụ lục và kết luận

Chương 1 - Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb- Hadron

Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lượng cao, chúng tôi xây dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb và tương tác nucleon, trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born Trong mục 1.1, chúng tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ cho hai loại

tương tác trong gần đúng Born Việc tính sự lệch pha cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal được dẫn ra ở mục 1.2 Công thức cho lệch pha trong gần đúng eikonal thu được ở đây phù hợp với kết quả mà West và Yennie thu được trong lý thuyết trường lượng tử bằng việc tính các giản đồ Feynman cho bài toán này Lưu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon nhưng bỏ qua spin của nucleon Mục 1.3, dành cho việc mở rộng công thức về sự lệch pha của biên độ tán

xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ với xung lượng truyền nhỏ ra vùng xung lượng truyền lớn dựa trên các số liệu thực nghiệm

Chương 2 - Tán xạ các nucleon năng lượng cao trong mô hình eikonal

Chương 2 dành cho mô tả sự ảnh hưởng qua lại của hai loại tương tác Coulomb và tương tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon Trong mục 2.1, một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West và Yennie một cách đơn giản Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2, trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel Mục 2.3, dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này

Chương 3 - Tán xạ proton – proton trong mô hình eikonal hiện tượng luận

Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ Trong mục 3.1, các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt Mục 3.2, mô hình

eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ liệu tán xạ đàn hồi pp ở

năng lượng 53 GeV

Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc

mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tương tự trong lý thuyết trường lượng tử

Phần phụ lục A sẽ đưa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các nucleon Phần phụ lục B, ta trình bày cách tính một số bổ chính cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal

Chương 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB -

HADRON

Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2 Trong mục 1.3, xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán xạ ( , )s t dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon)

1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác

Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng) Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ   b

sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ

 2 2 2 ( )

14

( )b

 Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm Ở

năng lượng siêu cao thì pha ( )b được xác định bởi biểu thức:

  1 2  2

2

iq b Born

iq b i b eik

Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal, C và N, tương ứng với 2 quá trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:  2 2 2 ( ( ) ( ))

14

 2 2 2 ( )

1 4

( )

s

i q F q

Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán

xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân

1.2 Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal

Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb Từ biểu thức (1.2), chúng ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ  để khử phân kỳ hồng ngoại:

12

các số hạng dạng O b( ) có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến tới không Như vậy:

2

1 ln 2 2



b i b i C

e e b d i

s q F

12

Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho  0 Tóm lại chúng ta có thể viết:

2

c eik

Nhân cả hai vế phương trình với i eik(q2 )

2

2 ' 2

N C

N i

2

2

( ) 2

Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’ So sánh

biểu thức (1.16) và (0.1), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:

1.3 Công thức West và Yennie

Dạng tổng quát của hàm pha ( , ) s t trong phương trình (0.1) đã được West và Yennie xây dựng dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon) Trong trường hợp các hạt tích điện biểu thức của hàm pha này có dạng:

nghiệm về tiết diện tán xạ vi phân d

dt



ở vùng |t| lớn mà chỉ dựa trên hai giả thuyết

chính sau:

- Sự phụ thuộc của độ lớn biên độ đàn hồi hadron vào t được biểu diễn như

là một hàm mũ của các biến động lực học theo t

- Cả phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều phụ thuộc vào t theo cùng một dạng hàm mũ của các biến động lực học của t Vì thế tỉ số của hai phần này là hằng số

Cùng với hai giả thiết này và sử dụng một vài phép gần đúng khác (xem tài liệu tham khảo [15,45-46]), về mặt nguyên tắc chúng ta có thể thu được công thức (1.19) và (1.20) áp dụng cho vùng tương tác và giao thoa Coulomb

Tất nhiên, chúng ta không thể chắc chắn ý nghĩa thực tế của các tham số thu được bằng cách khớp các số liệu thực nghiệm bởi vì rằng có thể chúng phụ thuộc mạnh

vào giá trị |t| khi nó lớn Tuy nhiên công thức (1.19), (1.20) hoàn toàn có thể được

sử dụng để khớp các số liệu thực nghiệm xác định tiết diện tán xạ vi phân trong

mọi thí nghiệm tán xạ đàn hồi hadron ở vùng |t| nhỏ mà không cần để ý đến sự phụ thuộc của biên độ tán xạ đàn hồi vào t ở vùng |t| lớn

Ba đại lượng tot,Bvà  (ở các giá trị năng lượng tương ứng) được thiết lập dựa trên công thức (1.19), (1.20) cùng với các số liệu thực nghiệm ở vùng giá trị

nhỏ của |t| (trong vùng tương tác Coulomb, giao thoa và một phần nhỏ kế tiếp của vùng tương tác hadron) Khi |t| lớn (ở vùng tương tác hadron) sự ảnh hưởng của tán

xạ Coulomb thường bị bỏ qua hoàn toàn và quá trình tán xạ đàn hồi được mô tả bởi biên độ tán xạ hiện tượng luận hadron F N( , )s t , biên độ này thường phụ thuộc một cách tương đối phức tạp vào t hơn so với công thức (1.20) Như vậy, tiết diện tán xạ

vi phân ở các vùng khác nhau được biểu diễn bởi hai công thức khác nhau (dựa trên

các giả thuyết không tương thích) điều này chứng tỏ một sự thiếu hụt quan trọng của lý thuyết

Chương 2 - TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƯỢNG CAO TRONG

MÔ HÌNH EIKONAL

Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon đã được xác định bởi Locher [34] và West và Yennie [15] (bỏ qua sự ảnh hưởng của spin các hạt vào biên độ tán xạ)

được suy ra nhờ giả thiết rằng t phụ thuộc vào biên độ tán xạ đàn hồi hadron và sử

dụng một số phép tính gần đúng ở năng lượng cao Về mặt lý thuyết các biểu thức này có vẻ hợp logic toán học và khi West và Yennie đưa ra các công thức đó thì hoàn toàn không có số liệu nào về cấu trúc nhiễu xạ trong tán xạ đàn hồi của các nucleon Tuy nhiên hiện nay câu hỏi nảy sinh là các số liệu thực nghiệm đưa ra là không phù hợp với các công thức đó

Trong mục 2.1, một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương

tá mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West

và Yennie [15] một cách đơn giản Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2, trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel Mục 2.3, dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này

2.1 Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal

Trong một số bài báo [20,10], biên độ tán xạ đầy đủ F C N ( , )s t thu được nhờ công thức chứa các pha chuẩn West và Yennie (WY) và biên độ tán xạ đàn hồi hadron F N( , )s t được xây dựng dựa trên cơ sở của một số ý tưởng hiện tượng luận

chưa chuẩn từ hai công thức (1.19) và (1.20)

Ban đầu biên độ tán xạ hadron thu được từ (1.20) có vẻ đúng nếu chỉ theo công thức (1.19) Tuy nhiên điều này lại là không thể vì rằng nếu pha WY( , )s t là

thực với mọi giá trị của t như đã giả thiết trong [16] thì phần ảo của biểu thức

(1.19) phải bằng không:

N( , )s t N( , ')s t  0 N( , )s t N( , ')s t (2.3) Một câu hỏi nảy sinh là liệu phương trình này có nghiệm duy nhất hay không Và câu trả lời đã có Theo [47] thì phương trình (2.3) đã được chứng minh bằng giải tích rằng nó có nghiệm duy nhất điều đó có nghĩa rằng pha tán xạ hadron ( , ) ( , ')

( , )

 phải là đại lượng phức

Điều này cũng được củng cố khi thực hiện phép tính số xác định phần ảo của pha WY( , )s t trong tích phân (2.1) bằng cách chọn đại lượng ( , ) s t hoặc pha tán

xạ đàn hồi hadron N( , )s t phụ thuộc vào t

Hình 2.1, vẽ đồ thị sự phụ thuộc vào t của pha biên độ tán xạ đàn hồi hadron

trong hai trường hợp khác nhau (tán xạ trung tâm (central) và tán xạ ngoài

(peripheral)) khi trong quá trình tán xạ pp ở mức năng lượng 53GeV (xem [48])

Ở đường thứ nhất, đầu tiên pha tán xạ thay đổi rất nhanh (tiến đến /2) khi – t

~ 1,4 GeV dẫn đến bức tranh tán xạ trung tâm của quá trình tán xạ đàn hồi các

hadron trong không gian các tham số va chạm Tương ứng với nó là sự phụ thuộc

của phần ảo pha tán xạ vào t được vẽ ở hình 2 (đường nét đứt) Tại vùng |t| nhỏ,

phần ảo của pha tán xạ WY là khác không và do đó pha tán xạ WY là số phức

Ở đường thứ 2, tán xạ ngoại vi (peripheral scattering) đàn hồi các hadron, sự

phụ thuộc vào t của pha tán xạ đàn hồi hadron N( , )s t bị giới hạn bởi điều kiện

Hình 2.2: Phần ảo WY( , )s t khác không của pha tương đối WY ứng với phép tính số pha tán xạ hadron ở hình 1

Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau

của pha tán xạ hadron N( , )s t vào t:

 Đướng thứ nhất (chấm gạch) dẫn

đến bức tranh tán xạ trung tâm

của tán xạ đàn hồi pp với năng

rộng hơn N( , )s t 2 , phần ảo tương ứng của pha này được vẽ ở hình 2.2 (đường nét liền) Phần ảo trong trường hợp này dao động quanh giá trị không ở các giá trị

|t| nhỏ Trong trường hợp này pha tương đối WY cũng là phức

Tuy nhiên mô hình hiện tượng luận cho tán xạ đàn hồi các nucleon năng lượng cao dựa theo các số liệu thực nghiệm tạm thời đã chỉ ra một cách thuyết phục rằng đại lượng ( , ) s t là phụ thuộc vào t Vì thế, chúng ta có thể kết luận rằng tích phân

trong biểu thức (2.1) chưa đủ để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi của các hadron Mặc cho thực tế này thì một số tác giả vẫn thử mở rộng biểu thức của biên độ

tán xạ đầy đủ WY cho các vùng của t lớn hơn với bất kỳ biên độ tán xạ đàn hồi

hadron N( , )s t nào phụ thuộc vào t (có nghĩa là cả F N( , )s t và pha N( , )s t đều phụ thuộc vào t), sau đó đưa ra một số bổ chính hiệu chỉnh cho pha tán xạ WY Điều này có thể làm được, [7], khi sự hiệu chỉnh dẫn đến dạng tích phân Gauss của thừa số dạng (form factor) điện từ và của biên độ tán xạ hadron Như vậy, thực tế là

chỉ có sự lệch dạng của lũy thừa các biến phụ thuộc vào t là đáng quan tâm Tuy

nhiên, trong luận văn này cũng không đề cập đến sự phụ thuộc của đại lượng ( , )s t

 vào t

Một cách tiếp cận khác được sử dụng trong tài liệu [36] Ở đây hai giả thuyết được đưa ra rất tự nhiên nhưng lại rất chi tiết Đầu tiên, sử dụng công thức biểu diễn tham số va chạm cho biên độ tán xạ, nó không có giá trị ở năng lượng hữu hạn

nhưng lại có nghĩa ở năng lượng vô hạn Tiếp theo, sử dụng sự phụ thuộc vào t của

thừa số dạng lưỡng cực biểu diễn sự đóng góp riêng của các điện tích nucleon để khai triển thành 3 số hạng: hai số hạng là các số hạng gần đúng Born của pha tương đối đến bậc 2 và số hạng còn lại là bổ chính pha WY, các số hạng này chứa các biểu thức biên độ tán xạ phức hadron ở dạng tổng quát phức thu được bằng cách khai triển biểu thức tổng quát Kết quả của việc tính số hạng bổ chính của pha tương đối thực WY là phức Như vậy, pha tương đối trở thành phức và nó mất đi ý nghĩa vật

lý

Như vậy, cả hai cách tiếp cận trên gần như không thể là công cụ thích hợp để

mô tả sự ảnh hưởng chung của tán xạ Coulomb và hadron mà biểu hiện tổng quát sự

phụ thuộc của độ lớn và pha của biên độ tán xạ đàn hồi vào xung lương truyền t

Điều này đòi hỏi cần phải đưa ra một mô hình mới phù hợp hơn để mô tả quá trình tán xạ này đó chính là mô hình eikonal Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh mô hình eikonal là thích hợp và là lợi thế hơn so với các tiếp cận của West và Yennie để mô tả quá trình tán xạ đàn hồi các nucleon

2.2 Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal

Trong bài báo của Adachi và các cộng sự [42] đã chỉ ra rằng biên độ tán xạ đàn hồi F N C ( , )s t có thể được liên hệ với biên độ tán xạ đàn hồi eikonal C N ( , )s b

nhờ phép biến đổi Fourier Besel sau:

được áp dụng cho năng lượng hữu hạn thì một bài toán xuất hiện là biên độ tán xạ ( , )

N C

F  s t chỉ được xác định ở vùng hữu hạn của t Về mặt toán học, khi sử dụng

biến đổi Fourier - Besel (FB) thì sẽ tồn tại biến đổi FB ngược Điều đó dẫn đến các giá trị của biên đội tán xạ rơi vào vùng không có ý nghĩa vật lý, nơi mà biên độ tán

xạ đàn hồi các hadron là không xác định [42] Vấn đề này đã được giải quyết nhờ Islam[29, 30] dựa trên tính liên tục giải tích của biên độ tán xạ đàn hồi các hadronF N( , )s t từ vùng của t không có ý nghĩa vật lý đến vùng có ý nghĩa vật lý

Khi đó biên độ tán xạ đàn hồi hadron trong không gian các tham số va chạm sẽ gồm hai số hạng:

Biểu thức tương tự cho biên độ tán xạ không đàn hồig inel( , )s b trong không

gian các tham số va chạm cũng được xác định theo [23] Do tính đơn trị của của phương trình trong không gian các tham số va chạm có thể viết gần đúng [42, 29]

sự phụ thuộc nhau của các tham số va chạm

Biên độ tán xạ đàn hồi eikonal đầy đủ F C N ( , )s b có thể được biểu diễn như là tổng của hai biên độ tán xạ eikonal Coulomb F C( , )s b và tán xạ eikonal hadron

thức cuối cùng của biên độ tán xạ phụ thuộc vào các giá trị bất kỳ của s và t, đồng

thời chỉ chứa các số hạng tuyến tính của hằng số cấu trúc :

Thay thế các đại lượng B và  độc lập với t bằng các đại lượng phụ thuộc vào

t được xác định bởi biểu thức:

tích phân theo các biến động học được lấy trong vùng xác định của t ở phương trình

(2.12) nên sự tham số hóa thực tế mô tả cấu trúc điện từ của proton trong vùng lớn

nhất có thể của t Đó là lý do vì sao thay cho việc sử dụng hệ số dạng lưỡng cực như

| | ( ) 1

đã làm trong phương trình ở phần chú thích 1 (công thức (2.10b)) thì chúng ta có thể

Với các giá trị của tham số g k và k được lấy từ [12], giá trị tái chuẩn hóa của nó

được cho trong bảng 2.1

Bảng 2.1: Giá trị tái chuẩn hóa của các tham số g k và k

2 2

,

''

j j