PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm.. b Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chia tam giác đó thành hai phần có
Trang 1SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ
- @ -
TRƯỜNG THPT VIỆT TRÌ
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 12 - KHỐI D
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=x4 − 2mx2 +m+ 1 ( 1 )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
sao cho trục Ox chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác sau : tanx = sin 2x− 2 cot 2x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R :
= + + +
= +
6 5 5
4
y x
y x
Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình sau : ( ) 1
2
7 2
3 2 ) 2 3 (
Câu 5 (1,0 điểm ) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a,BC = 2a ,
) 0 (
4
' = a a>
AA Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số a,b,c dương thỏa mãn điều kiện a+b+c= 2
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=x+ 10 và tam giác ABC
đều nội tiếp trong đường tròn (C):x2 +y2 − 2x+ 4y+ 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB và
tìm tọa độ điểm C biết đường thẳng AB tạo với (d) một góc bằng 45 0
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : x−y+ 23 = 0 Tìm tọa độ các
AB vuông góc với đường thẳng (d) và diện tích hình vuông ABCD bằng 8
Câu 9.a (1,0 điểm)
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau ?
Biết n∈N và 1 <n≤ 5
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy Hãy viết phương trình chính tắc của Elip (E)
biết hai đỉnh của (E) thuộc trục Oy cùng với hai tiêu điểm của (E) tạo thành một hình vuông có diện
tích bằng 32
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2y−x= 0 và điểm M(1; 4)
Viết phương trình đường thẳng ( )∆ tạo với đường thẳng (d) một góc bằng 45 0 và cách điểm M(1; 4) một khoảng bằng 20
Câu 9.b (1,0 điểm)
2013 2013 2
2013 1
2013 0
A
Trang 2- Hết -
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………
SỞ GD&ĐT Phú Thọ
Trường THPT Việt Trì
KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2013-2014 LẦN I
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đáp án gồm: 05 trang
I Hướng dẫn chung
1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng
phần như hướng dẫn quy định
2 Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi
II Đáp án – thang điểm
điểm
điểm Cho hàm số y = x4 -2mx2 + m+1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2
1,0 điểm
m =2 ta được hàm số : y = x4 -4x2 + 3
TXĐ : D= R
Sự biến thiên :
;
lim =+∞
±∞
>
y
x
y’ = 4x3 - 8x = 4x(x2-2); y’= 0 <==> x=0, x=± 2
bbt
+
-+
-Hàm số đồng biến mọi x∈(− 2 ; 0), ( 2 ; +∞ )
Hàm số nghịch biến mọi x∈(− ∞ ; − 2), ( 0 ; 2 )
Hàm số đạt cực đại tại xcđ=0 ; ycđ = 3
Hàm số đạt cực tiểu tại xct=± 2 , yct= -1
0,25
0,25
0,25
Câu 1
Đồ thị Giao Oy (0; 3), Giao Ox (1;0), (-1; 0), ( 3 ; 0 ), ( − 3 ; 0 )
Trang 3f(x)=x^4 - 4*x^2 +3
-2
2 4 6 8
x
y
0,25
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác sao
cho trục Ox chia tam giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau
1,0 điểm
y’=4x3 -4mx =4x(x2 -m) ; y’ =0
=
=
⇔
m x
x
2
0
g/ sử tọa độ 3 điểm cực trị là A(0 ;m+ 1), B( − m; −m2+m+ 1 ),C( m; −m2+m+ 1 )
gọi H(0 ; −m2+m+ 1) là trung điểm của BC, trục ox cắt AB và AC tại M và N
theo bài ra ta phải có
0 ) 1 ( 2 2
1 1 2
1 2
+
⇔
=
⇒
=
∆
m
m AH
AO S
S
ABC
2
2 4 2
=
⇔m kết hợp điều kiện suy ra m cần tìm
2
2 4 2
=
⇔m
0,25 0,25
0,25
Giải phương trình lượng giác sau : tanx = sin 2x− 2 cot 2x 1,0
điểm
2 0
2
pt <=>
x
x x
x
x x
x x
x x
x
2 sin
2 cos 2
sin 2
sin
2 cos cos
sin 2
cot 2 sin 2 cot
0,5
Câu 2
) / ( ,
2 4 2
2 0 2 cos 0 2 cos 2 cos
2 cos 2 sin 1 2
sin
2 cos 2 sin 2
sin cos
sin 2 sin sin 2 cos
2
2 2
m t Z k
k x
k x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x
x
∈ +
=
⇔ +
=
⇔
=
⇒
= +
⇔
−
=
⇔
−
=
+
⇔
π π π
π
0,25 0,25
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R :
= + + +
= +
6 5 5
4
y x
y
điểm
Hệ pt
= + +
+ + +
= + + + + +
⇔
=
− + +
− +
= + + + + +
2 5
5 5
5
10 5
5 2
5 5
10 5
5
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
0,25
=
=
= + +
= + +
⇔
= + + +
+
= + + + + +
4
4
5 5
5 5
25 5
5
10 5
5
y
x y
y
x x
y y
x x
y y
x
0,25
Câu 3
Trang 4B'
C
B
A'
E
M A
Giải phương trình sau : ( ) 1
2 7 2 3 2 ) 2 3 (
x x x
điểm 1,0
7
2 3
2 7
2 3 5 7 7
2 3 2 7
2 3
+
⇔
=
+
x x
0 2 7
2 3 7 7
2 3 5
2
= +
−
⇔
x x
0,25
0 5
2 7
2 3 1 7
2
−
−
⇔
x x
⇔
0 5
2 7
2 3
0 1 7
2 3
=
−
=
−
x
x
0,25
Câu 4
5 2 0
log
7 2 3
=
=
⇔
+
x x
=
=
⇔
2 log 0
7 2 3
x
x
0,25
Cho lăng trụ đứngABC.A’B’C’ Đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, BC =2a,
AA’ =4a (a>0) Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai
điểm
Goi E là trung điểm của BB’
d(AM,B’C) = d(B’C;(AME))=
=d(B;(AME)) = h
2 2 2 2
2 2
2 2
4
9 4
1 1 1
1 1
1 1
a a a a
BE BM
AM h
= + +
=
= +
+
=
h =
3
2a
Vậy khoảng cách cần tính là
0,5
0,25
Câu 5
d(AM;B’C)= h =
3
2a
0,25 Cho biết
= + +
>
>
>
2
0 , 0 , 0
c b a
c b a
1,0 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương (a+b) và 4/3 0,25
Câu 6
+ +
= + +
≤ +
= +
3
4 4
3 2
3 4 2
3 3
4 2
3
b a
b a b
a b
0,25
Trang 5
+ +
≤ +
3
4 4
3
c b c
b
+ +
≤ +
3
4 4
3
c a c
4
3 4 2 2 2 4
3
=
= + + +
≤
0,25
Vậy maxS = 2 3 dấu “=” xảy ra <==>
3
2
=
=
=b c
a
0,25
II PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 3,0
điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn
Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d): y = x+10, tam giác ABC đều nội tiếp
trong đường tròn (C): x2 + y2 -2x +4y +1 =0 Viết phương trình đường thẳng
(AB) và tìm tọa độ điểm C biết đường thẳng (AB) tạo với (d) một góc bằng 450
1,0 điểm
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) , R=2 (d) : x-y +10 =0 có vtpt n d = ( 1 ; − 1 ) 0,25 gọi đường thẳng (AB) có vtpt n=(a;b), a2+b2 ≠0 0,25
vì góc(d; (AB)) =450
2
1
2
)
; cos(
2
+
=
⇒
b a
n n n
0,25
Câu
7.a
( ) ( )
−
−
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
−
⇒
−
=
⇒
=
=
⇒
+
=
−
⇒
2
; 1 2
) (
2
; 3 0
) (
0
; 1 3 )
(
4
; 1 1 )
(
0
0
2 2
C x
AB
C x
AB
C y
AB
C y
AB
b
a b
a b
0,25
Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d) : x-y +23 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh
của hình vuông ABCD biết điểm A thuộc trục Ox, điểm B thuộc trục oy và
đường thẳng qua AB vuông góc với đường thẳng (d) và diện tích hình vuông
ABCD bằng 8
1,0 điểm
Câu
8.a
Vì AB vuông góc với (d) nên p (AB) có dạng y= - x+c ( ∆ ) 0,25
( )
(∆)∩ox=A c;0 ) ( ), ∆ ∩oy= B( )0;c vì ABCD là hv có diện tích bằng 8 nên ta có
phương trình AB2= 2c2 =8 ==>c2 =4 ⇒ c= ± 2
0,25 Vậy 4 đỉnh của hình vuông lần lượt có tọa độ là :
A(2;0), B(0; 2), C(2; 4) , D( 4; 2) hoặc A(2;0), B(0; 2), C(-2; 0) , D( 0; -2)
A(-2;0), B(0;-2), C(2; 0) , D( 0; 2) hoặc A(-2;0), B(0;-2),C(-2; -4), D(- 4;-2)
0,25 0,25
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số
khác nhau ? (n∈N và 1 <n≤ 5 )
1,0 điểm
Với n=2 Số các số có 2 chữ số khác nhau phải tìm là : 2
6
Với n=3 Số các số có 3 chữ số khác nhau phải tìm là : 3
6
A
Với n=4 Số các số có 4 chữ số khác nhau phải tìm là : 4
6
A
Với n=5 Số các số có 5 chữ số khác nhau phải tìm là : 5
6
A
0,25 0,25
Câu
9.a
Vậy tất cả có số 2
A + 3
A + 4
A + 5
Trang 6Câu
7.b
Trong hệ trục Oxy cho viết phương trình chính tắc của Elip (E) biết hai đỉnh
của (E) thuộc trục Oy cùng với hai tiêu điểm của (E) tạo thành lập thành một
hình vuông có diện tích bằng 32
1,0 điểm
Giả sử (E) có phương trình dạng chính tắc : 2 1 ( )
2 2
2
E b
y a
x
= + Tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E): A1(a;0) ; A2 (-a; 0) ; B1(0; b); B2(0;-b) F1(-c;0), F2(c;0)
Với a,b,c> 0, a>b, a> c; a2 =b2 + c2 0,25
B1F1B2F2 là hình vuông có diện tích =32 nên ta có
16 32
2
2 2 32 2
. 1 2 2
1B F F = ⇔ b c= ⇔bc=
B
Do B1F1B2F2 là hình vuông nên ta có OF1= OF2 suy ra b=c 0,25
Kết hợp ta được b= c =4 ⇒ a=4 2
0,25 vậy ptct của (E) cần tìm là : 1 ( )
16 32
2 2
E y
Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng (d) :2y - x = 0 và điểm M(1; 4)
Lập phương trình đường thẳng tạo với đường thẳng (d) góc bằng 450 và cách
1,0 điểm
TH1 : giả sử đường thẳng cần tìm có dạng x= c
dẽ thấy không thỏa mãn vì không thể tạo với (d) góc 450
0,25
TH2: vậy đt cần tìm có dạng( )∆ :y= ax+b ax - y + b =0 0,25 theo ycbt ta phải có
2
1 1 5
2 45
cos
; cos(
45
;
2 0
+
+
⇔
=
∆
⇒
=
∆
a
a d
d
….<=>
−
=
=
⇔
=
−
−
3 1
3 0
3 8
3 2
a
a a
a
0,25
Câu
8.b
10
4 3 20
; 0
3
0 2 10 1 3
: ) ( 2
10
=
3
2 10 13 3
− x y
0,25
Tính tổng sau đây :
! 2013
! 2
! 1
! 0
2013 2013 2
2013 1
2013 0
A
Câu
9.b
Ta có 0! =1,
!
k
A C
k n k
n =
0,25
2013 1
2013 0
2013 + + + = 1+1 =2
- Hết -
