Hình học sơ cấp và thực hành giải toán phần 1

LỜI NÓI ĐẨUNội dung cuốn sách "Hình học sơ cấp và Thụt hành giái toán" bao gốm: - Một số vấn đế của Hình học so cấp, khái niệm về các hình hinh học, lí thuyết din tích, thể tích; những v

BỌ GIAO DỤC VÁ ĐAO TẠO

Dự ÁN Đ Á O TẠO G IA O VIÊN THCS

LOAN No 1718-VIE (SF)VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG

ĐỐ MẠNH HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI

VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) - HOÀNG NGỌC HƯNG

Đ ỏ MẠNIỈ HÙNG - HOÀNG TRỌNG THÁI

VÀ

NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

M ã số: 0 1 0 1 1 2 6 /4 1 1 -Đ H 2 0 0 5

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẨU 7

Chương 1. ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1 Đa g iá c 9

1.1 Các định n g h ĩa 9

1.2 Miền trong, điểm trong của đa giác 10

1.3 Cốc tính chất của đa giác 13

1.4 Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác 15

1.5 Diện tích đa giác 18

1.6 Diện tích và tính đồng phân 23

§2 Diện tích của các hình phẳng 25

2.1 Hình và diện tích của hìn h 25

2.2 Hình khả diện 26

2.3 Các tính chất của diện tích 27

§3 Một sô chủ dể sem in ar 28

Bai tập chương 1 28

Chương 2 ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN - THỂ t í c h §1 Đa diện - Khối đa d iệ n 31

1.1 Định nghĩa 31

1.2 D ịn h lí J o rd a n 33

1.3 Đa giác lồi 33

1.4 Sơ đồ phang của hình đa diện 33

1.5 Đặc sô’ Euler của đa diện đơn liên 36

1.7 Da diện nửa đều 39

§2 Thê’ tích của các khối đa diện 41

2.1 Phân hoạch của khối đa diện 41

2.2 Thể tích của khôi đa d iệ n 41

§3 Một số chủ để S e m in a r 46

Bai tập chuơng 2 46

Chương 3. MỘT s ố VẤN ĐỂ VỀ ĐƯỜNG TRÒN V À M Ặ T C Ẩ U J

§1 Phương tích của m ột điểm đối vối đường trò n 5|

1.1 Phương tích 3

1.2 Trục đẳng phương 3

1.3 Tâm đẳng phư ơng 5

§2 Góc giữa hai đường tròn Hai đường tròn trực g ia o 5

2.1 Góc giữa hai đường t r ò n 5

2.2 Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao 5'

§3 Chùm đường trò n 51

3.2 Các tính c h ấ t 51

3.3 Các loại chùm đường trò n 'r>! 3.4 Hai chùm đường tròn liên hợp 51

§4 Phép nghịch đ ả o 6(

4.1 Định n g h ĩa 6(

4.2 Một số tính chất của phép nghịch đ ảo 6(

4.3 Biểu thức tọa độ của phép nghịch đ ảo HI 4.4 Ánh của đường thẳng qua phép nghịch đảo 6Í 4.5 Anh của đường tròn qua phép nghịch đ ảo 6í 4.6 Tính bảo giác của phép nghịch đảo 6Í §5 Mặt cẩu 6í 5.1 Phương tích của một điểm đối vói mặt cầu (ÌS 5.2 Góc giữa hai mặt cầu Hai mặt cầu trực giao 65

5.3 Chùm mặt c ầ u 6Ể 5.4 Các loại chùm m ặt cầu 6G 5.5 Phép nghịch đảo trong không g ia n 67

5.6 Phép chiếu n ổ i 6fl §6 Độ dài đường tròn Diện tích của hình tr ò n 69

6.1 Độ dài đường tròn 69

6.2 Tính chất của độ dài đường tr ò n 70

6.3 Diện tích hình trò n 71

§7 M ột số chủ để Sem inar về đường tròn và m ặt c ầ u 73

Bài tập chương 3 74

Chương 4. QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH

§1 Bà toán quỹ tíc h 77

1.1 Khái niệm về quỹ tích 77

1.2 Bài toán quỹ tích có dạng chứng m in h 78

] 3 Bái toán tìm quỹ tíc h 80

1.4 Một sô quỹ tích cơ b ả n 83

1.5 Ap dụng các phép biến hình đê giải bài toán quỹ tích 83

1.6 Dùng phương pháp tọa độ đê giải bài toán quỹ tíc h 86

§2 Dựng h ìn h 89

2.1 Khái niệm về dựng h ìn h 89

2.2 Các tiên để của phép dựng hình (bằng thước và compa) 90

2.3 Bài toán dựng h ìn h 90

2.4 Các bài toán dựng hình cơ b ản 92

2.5 Các bước giải một bài toán dựng h ìn h 92

2.6 Áp dụng quỹ tích đê giải các bài toán dựng hình 95

2.7 Áp dụng các phép biến hình đê giải bài toán dựng h ìn h 98

2.8 Dựng hình bằng phương pháp đại sô’ 101

2.9 Điều kiện giải được bài toán dựng hình bằng thưâc và com pa 106

§3 Một s ô 'c h ủ để s e m in a r 110

Bài tập chương 4 111

Chương 5. MỘT s ố BÀI TOÁN N ổl TIẾNG §1 Một số bài toán dựng hinh cổ 117

1.1 Bài toán gấp đôi khối lập phương » 117

1.2 Bai toán cảu phương hinh trò n 118

§2 Các bài toán k h á c 119

2.1 Bài toán Copernic 119

2.2 Tam giác Morley Định lí Morley 120

2.3 Bài toán Fermat Điểm Fermat 122

2.4 Bài toán Torricelli 123

2.5 Bài toán Napoléon 124

§3 Một số chủ đế se m in a r và bài t ậ p 127

3 ! Tâm tỉ cự 127

3.2 Tọa độ tỉ c ự 129

Chương 6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HỈNH HỌC

§1 Các phương pháp suy luận trong giải toán hình h ọ c 13

1.1 Phương pháp suy luận diễn dịch 12

1.2 Những suy luận có lí thường gập trong giải toán hình học ] 4

§2 Các bưỏc giải một bài toán hình h ọ c 15

2.1 Tìm hiểu đề to á n 15

2.2 Tìm tòi lòi giải của bài to á n 15

2.3 Trình bày lòi giải của bài to á n 16

2.4 Nhìn lại bài toán và lời g iả i 16

§3 Sem inar giải toán hình h ọ c 17

3.1 Công tác chuẩn b ị IV 3.2 Tiến hành buổi sem inar 17

§4 Một sô chủ đề se m in ar 17

Chương 7. MỘT sô' DẠNG TOÁN HÌNH HỌC §1 Bài toán chứng m in h 17:

1.1 Chứng minh các hình bằng n h a u 17:

1.2 Chứng minh hai đưòng thẳng vuông góc với n h a u 1K( 1.3 Cốc bài toán liên quan đến đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường trcòm 18i

1.4 Chứng minh các hệ thức hình học 19!

1.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đưòng thẳng đồng quy hoặc song song 20ị §2 Tính toán trong hinh h ọ c 22<! 2.1 Tính sô’ đo của một góc '22< 2.2 Tính độ dài và tính diện tíc h 22€

§3 Bài toán cực trị hỉnh h ọ c 236

§4 Một sô chủ để s e m in a r 247

Bài tập chương 7 24Ễ BÀNG TRA CỨU THUẬT NGỬ 263

LỜI NÓI ĐẨU

Nội dung cuốn sách "Hình học sơ cấp và Thụt hành giái toán" bao gốm:

- Một số vấn đế của Hình học so cấp, khái niệm về các hình hinh học, lí thuyết din tích, thể tích; những vấn đề về đường tròn, mạt cầu, phép nghịch đảo; toán quỹ tíc và dựng hình.

- Một số phương pháp giải toán hình học, cách tim tòi lời giải và khai thác bài ton, một sô' dạng toán hình học sơ cấp thường gặp giúp sinh viên dễ học, và nhận bi( cách giải bài toán hình học.

Cẩn lưu ý vận dụng những kiến thức được học ở chương trình CĐSP trong việc gi; toán Hinh học sơ cấp, biết thu hẹp, mở rộng, đề xuất các bài toán mới.

Ngoài ra, còn giới thiệu một số chủ đề seminar cho mỗi chương, dành cho sinh vin học tập theo phương pháp mới, tổ chức các seminar, tự tìm tòi nghiên cứu, hội tho Giới thiệu một sô bài toán hinh học nổi tiếng được coi như gợi ý cho việc tim thm các chủ để seminar, sưu tầm các bài toán, vận dụng kiến thức học ỏ CĐSP giải ton Hinh sd cấp, sưu tầm các tư liệu lịch sử toán và tiểu sử các nhà toán học, đặc bií việc lấy dữ liệu trên mạng Internet, sẽ làm cho các hoạt động học tập theo hưng tự học, tự nghiên cứu của sinh viên được tích cực, sôi động, mở rộng và phong

ph hơn Một sô' gợi ý cho việc tổ chức seminar được nói đến ở chương 6.

Căc tâc glả chản thành cám ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS Nguyên Đăng Phất đã

đọ và góp nhiều ý kiến sâu sắc quý báu cho giáo trinh này.

CÁC TÁC GIẢ

Chương 1

ĐA GIÁC VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

§1 ĐA GIÁC

1.1 Các định nghĩa

Đ ường g âp k h ú c Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi n

đoại thẳng A1A2, A2A3 A„A„ + „ trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp A,_iAi

và VịA, 1 1 không cùng nằm trên một đường thẳng (i = 2, 3, , n)

Đường khấp khúc như trên được kí hiệu là AiA2 A„ t

Các điểm Aj gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n + 1 đỉnh), còn

các đoạn thẳng A,A, + 1 gọi là các cạnh của đường gấp khúc Từ định nghĩa

trêi ta suy ra hai cạnh liên tiếp Aị_,Ai và AịA, + J chỉ có điểm chung duy

nhít là đỉnh A, (hình 1)

Đ a g iá c Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh (n > 3)

AịẨ2 A n *, s a o cho đỉnh đầu Aj và đỉnh cuối A„ + J trù n g nhau, cạnh đầu

A[Ẩ2 và cạnh cuối AnA„ + ! (cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm

trêi một đưòng thẳng

Đa giác như th ế kí hiệu là AtA2 A„ Đa giác n cạnh còn gọi là n-giác

Các điểm A, gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng AiAj 1 1 gọi là

các cạnh của đa giác Góc Ai_, AịAị», gọi là góc đa giác ở đỉnh A, (hình 2).

Hình 1

9

Hiển nhiên các đa giác lồi là những đa giác đơn.

Trong hình 2, đa giác b là đa giác lồi, các đa giác còn lại đểu IkHiông phải là đa giác lồi

1.2 M iền tro n g, d iêm tro n g của da giác

Đ ịn h lí J o r d a n Cho H là đa giác nằm trong m ặ t p h ẳ n g p Kỉhn đó tập hợp P\H là hợp của hai tập hợp H° và H*, có các tín h chất sau đ â y :

i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào m ột trong h a i tập hợp đ ó đều

có thê nôì với nhau bang một đường gấp khúc không có điểm chung vớti IH.

ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc h a i tập H° ivcà H*

th ì luôn có điếm chung với H.

iii) Tập H° không chứa đường thắng nào, tập H* có chứa mhiững

đường thẳng.

Đ inh n g h ĩa Tập H° nói trong định lí Jordan được gọi là miền trong

DỦađc giác H

Tập H* được gọi là miền ngoài của đa giác H

yiỗi điểm của H° gọi là điểm trong của đa giác H.

VIỗi điếm thuộc H* gọi là điểm ngoài của đa giác H

Tập H° u H = P\H* gọi là miền đa giác H.

Miền đa giác H được kí hiệu là [H] (hình 3)

Chứng m inh định lí Jordan: Chứng minh định lí Jordan cho trường

hợp teng quát khá phức tạp Sau đây ta chỉ trình bày chứng minh trong trưmg hợp H là đa giác lồi

Giả sử H là đa giác lồi n cạnh Ta kí hiệu Si (i = 1, 2, n) là n đường

thẳigchứ a mỗi cạnh của H Vì H là đa giác lồi nên H nằm về một phía đôi

với mỗi Sị Ta kí hiệu Sj° là nửa m ặt phang mở với bờ là Si, và chứa tập H\Sị, còn Si* là nửa m ặt phẳng mở đối của nửa m ặt phẳng Sj° qua bờ chung

là díờng thẳng s„ tức là p = SịViSịUSị* (hình 4) Ta đặt:

H " = n s » ; H* = ủ s ;

Như vậy đoạn th ẳ n g AB c Si° với mọi i = 1, 2, , n Suy r a AB c c H°,

và do đó AB chính là đường gấp khúc không có điểm chung với H

Bây giờ xét trường hợp A, B l à hai điểm thuộc H* Theo đ ịn h n Ị nghĩa của H*, có i và j để A e Sj* và B 6 Sj‘ Nếu i = j th ì hiển nhiên đoạn tbthắng

AB c Si* tức AB c H*, và AB là đường gấp khúc nối A với B (h ìn h 5).

Hình 5

Nếu i * j, chẳng h ạn j = i + k > i Ta lấy điểm

A1 s Sị‘nS'j + A2 6 s*i ♦ ! n s*ị 1 Ak 6 s*j _ , n s*j Chú ý rằng

s*m 'I s ’m , , * 0 nên có thể lấy được các điểm như thế Khi đó hiển nhiên ta

có cLròng gấp khúc AA,A2 AkB nằm trong H* và nối A với B (hình 5)

ii) Giả sử A e H° còn B 6 H \ ta phải chứng minh rằng mọi đường gấp khú: nối A và B đều phải có điểm chung với H

Trước h ế t ta chứng tỏ rằng đoạn th ẳn g AB phải cắt H Ta xét các góc AịAA, + I với i = 1, 2, , n + 1 Điểm B phải thuộc một trong những góc đó và vì B thuộc H" nên đoạn th ẳn g AB phải cắt một trong các cạnh củađa giác

Bây giờ để chứng m inh ii) ta giả sử ngược lại, có một đường gấp khú: AiAa- An không có điểm chung với H, trong đó Aj trù n g A và An trù ig B Vì đoạn th ẳn g A,A2 không cắt H và A, thuộc H°, nên theo chứngmirh trên A2 cũng phải thuộc H° tiếp tục suy ra Anl tức B cũng thuộcH°, liều đó là vô lí

iii) Trong m ặt phảng p lấy điểm o và xét đường tròn (O, R) với bán kíni R đủ lớn sao cho mọi đỉnh của đa giác lồi H đều nằm trong (0, R) Khi

đó cễ chửng m inh rằng miên trong H° cũng nằm trong đường tròn đó Từ

đó aiy ra không có đường thẳng nào nằm trong H°, và mọi đưòng thẳng khôig cắt đưòng tròn (O, R) đều nằm trong H"

1.3 C ác tính chất của da giác

Trong m ặt phang cho điểm A và một sô' e > 0, tập hợp tấ t cả những

đ i ể n c á c h A m ộ t k h o ả n g n h ỏ h ơ n c đư ợ c goi là lâ n c ậ n c c ủ a đ iô m A N ói

khá: đi lân cận 8 của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đưòng tròn tâmA bán kính E Lân cận đó được kí hiệu là (A, e)

a) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một lân cận e của A chứa trong H°, nói khác đi có £ > 0 sao cho (A, s) c H°

T hật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta chọn E là số dương, sao cho

E < AM với mọi điểm M e H Khi đó nếu điểm B e (A, e) th ì hiển nhiên đoại th ẳn g AB cũng không cắt H Vì A là điểm trong nên B cũng là điển trong

Ngược lại nếu điểm A có lân cận (A, e) c H° thì cô nhiên A 6 H°, tức A

là đ ểm trong của H

b) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có) rnrnột lâi cận e của A chứa trong H*: (A, e) c H*.

Chứng m inh hoàn toàn tương tự như chứng m inh tín h ch ất ía).) Từ đí suy ra:

c) Nếu A e H th ì mọi lân cận (A, e) đều có chứa điểm trong vvàà điêiT ngoài của H

Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác đơn H, và hai cạnh c ủ ả a a H có chung đỉnh A là AB và AC Khi đó lân cận (A, e) (không kể nhữ ínigg điểm thuộc AB, AC) được p hân th à n h hai phần: một p hần nằm trong ịgcóoc BAC

m à ta kí hiệu là p h ần I, và p hần kia nằm ngoài góc BAC m à ta kíí } hhiệu là

p hần II Hiển nhiên nếu một trong hai p hần đó ch ứ a m ột điểimn trong (tương ứng một điểm ngoài) của H th ì mọi điểm của p h ầ n đó đều llàà điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H

Vì lân cận (A, s) phải chứa cả điểm ngoài và cả điểm trong nêm i t ta suy ra: Một trong hai p h ần đó chứa trong H°, và phần kia chứa trong HI*

Đ ịn h n g h ĩa Đ ỉnh A được gọi là đỉnh lồi nếu p h ầ n I chứa tiroonng H"

và được gọi là đỉn h lõm nếu phần II chứa trong H‘.

Trên hình 6 ta có các đỉnh lồi là A), A2, A4, Ae, A, và các đỉnlh lđõm là

•A-3, A5

a 2

A7

Hình 6

DỊnh lí Mỗi đa giác đơn có ít nhất là một đỉnh lòi

Chứng minh: Giả sử H là một đa giác đã cho (hình 7).

1.4 Phân hoạch - Sự đống phân của các da giác

P h ân h o ạ c h c ủ a đ a giác Đa giác H gọi là được phân hoạch thành

Nếu đa giác H được phân hoạch th à n h các tam giác th ì cáiclchh phâ|

hoạch đó gọi là tam giác phản.

Đ ư ờ n g c h é o c ủ a d a g iá c Một đoạn thẳng nối hai đ ỉn h k h h á ô n g ki

nhau của một đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó.

Đ ịn h lí B ằng một đường chéo thích hợp mọi n-giác đơn có tthháê phâi hoạch thành hai đa giác có sô'cạnh bé hơn n.

Chứng minh: Giả sử H là một n - đa giác đã cho (n > 3) Ta lââjïy BA(

là một góc nào đó của H sao cho A là đỉnh lồi

Nếu miền tam giác ABC ngoài ba đỉnh A, B, c không còn ehuứứa mội đỉnh nào nữa của H th ì dễ thấy rằn g bằng đường chéo BC ta p h ân hao.oạch Ü

th àn h hai đa giác mà một trong chúng là tam giác ABC, còn đa giácc : kia CC

n - 1 cạnh, (hình 8a)

B

Hình 8a

Nếu miền tam giác ABC có chứa các đỉnh của H khác với A, Bỉ, , c thì

ta hãy vẽ qua các đỉnh đó những đường th ẳn g song song với BC v à g?ọpi p là

một trong các đỉnh đó nằm trê n đường thẳng song song vối BC g ần / A \ nhất

(hình 8b) Ta chứng m inh rằn g đường chéo AP không có điểm chum pg nào với H ngoài hai đỉnh A và p T h ật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa /A \ và p

và M thuộc H Vì M không phải là đỉnh của H nên M thuộc cạnh KL nnào đó của H Có ít n h ấ t một trong hai đưòng thẳng đi qua K, L và song sronng với

BC nằm cao hơn đường th ẳn g đi qua p mà ta đã chọn Suy ra có lít t nhất một trong hai đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, do đó một trompg hai cạnh AB hoặc AC phải cắt cạnh KL, trá i với giả th iết H là đa giác đơm.i

Từ định lí trên, bằng phương pháp quy nạp theo sô cạnh n của đa giát, ta suy ra:

D ịnh li Mọi đa giác đơn bất ki đều có tam giác phân.

Các đ a giác đổng p h ân Hai đa giác đơn Hi và H2 được gọi là

đồrq phân nếu chúng được phân hoạch thành các đa giác đôi một tương ứng

bằn; nhau

{Chú ý: Hai đa giác gọi là bằng nhau nếu có phép đắng cự biến đa

giá( này thành đa giác kia)

Ví dụ: Một hình chữ nhật luôn có tam giác đồng phân với nó Ngược

lạ i noi t a m g iá c lu ô n lu ô n có K ìn h c h ữ n h ậ t đ ồ n g p h â n v ổi nó.

Thật vậy, đối với hình chữ nhật ABCD ta lấy C’ là điểm đối xứng vói điển c qua điểm B thì hình chữ nhật đó đồng phân vói tam giác ACC’, (hìih 9a)

C' B c

Hình 9a

Ngược lại, cho tam giác ABC b ất kì Giả sử BC là cạn h lón m lnhhất tb đưòng cao AH sẽ có chân là H nằm giữa hai điểm B và c Gọi E, F llàlàà truni

điểm hai cạnh AB và AC Kẻ BB’ và CC’ vuông góc vói đường th ẳ n g Ị ỉ EF th

ta dễ thấy tam giác ABC đồng p hân với hình chữ n h ậ t BCC’B’, (hìnlh h 1 9b)

A

1.5 Diện tích đa giác

1.5.1 Hàm diện tích

Kí hiệu 2) là tập hợp tấ t cả các đa giác đơn trong m ặt phăng

Ánh xạ S: ă -» R+ (R+ là tập hợp cấc sô’ thực dương) gọi là h ản m n diện tích nếu nó thoả m ãn các tín h chất sau đây:

i) Nếu hai đa giác H[ và H, bằng nhau th ì S(H,) = S(H2)

ii) Nếu đa giác H được phân hoạch th à n h các đa giác Hi, Hỉ„tn thì:

s(H) = £s(H,).

i=liii) Nếu V là h ìn h vuông có cạnh bằng 1 th ì S(V) = 1

N ếu có á n h xạ s n h ư th ế th ì giá t r ị S(H) sẽ gọi là d iệ n tíc :h h của

đ a giác H

1.5.2 Sau đây với giả th iế t tạm thời là hàm diện tích tồn tại, xét m ộ)t t hàm

s n h ư thế, ta tìm cách tín h diện tích các hình đa giác

a) Đ ịn h lí Diện tích hìn h chữ nhật bằng tích hai kích thước c.ủủa nó

(tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp)

Chứng m in h : Trước h ết ta có nhận xét sau đây: Với N là sô' nígiỊuyên

dương, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 có th ể phân hoạch th à n h N Ä 1 hình

18

vuôig có cạnh bằng 1/N Theo tính chất i) của hàm diện tích các hình vuôig đó đều bằng nhau, theo tính chất ii) tổng các diện tích đó phải bằng diệi tích hình vuông lớn, tức là bằng 1 (tính chất iii) Từ đó suy ra diện tích mỗi hình vuông bé bằng 1/N2.

B, B B2

Hình 10

Bây giò giả sử cho hình chữ nhật ABCD, với AB = a và AD = b Ta kí hiệv q = 1/N, thì theo tiên đề Archimedes, ta có các số nguyên m và n sao '.ho:

mq < a < (m + l)q và nq < b < (n + l)q (1)Trên tia AB ta đặt các đoạn thẳng AB, = mq và AB2 = (m + l)q Trên tia AD đặt các đoạn thẳng AD, = nq và AD2 = (n + l)q

Nếu ta dựng các hình chữ nhật A B ^ D , và AB2C2D (hình 10), thì từ các inh chất của hàm diện tích, ta suy ra:

S(AB,C,D,) < S(ABCD) < S(AB2C2D2)

b) Đ ịn h lí Diện tích của tam giác bằng nửa tích sô'của m ột C( ccạnh UI

chiều cao ứng với cạnh đó.

Chứng m inh: Giả sử tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, ABB3 = c vi

các chiều cao tương ứng là ha, hb, hc Bằng cách xét các tam giác đồngigg dạng

c) D iệ n tíc h d a g iá c đ ơ n Ta dă biết ràng mỗi da giác dơn có í ítít nhất

là một tam giác phân Theo tín h ch ất của hàm diện tích th ì diện t tẾích đa giác bằng tổng diện tích các tam giác trong tam giác p hân đó

Từ các định lí trê n đầy ta cũng suy ra:

Đ ịn h lí N ếu hàm diện tích tồn tại th ì nó là duy nhất.

1.5.3 S ự tồ n tại của hàm diện tích

Đ ịn h lí Hàm diện tích là tồn tại.

Ta sẽ chứng m inh rằn g có ánh xạ S: 2) -> IR¡+ thoả m ãn các tínhhh chất

i), ii) và iii) của hàm diện tích

20

Tí xây dựng hàm s như sau:

+ '■íếu A là tam giác vói một cạn h là a và chiều cao tương ứng là h a, thì ta đit S(A) = -a h ,

(Chú ý rằ n g định nghĩa đó là đúng đắn bởi vì đối với các tam giác ta luôn lum có đẳng t h ứ c a h a = b h b = C h c).

+ 'ỉếu H là m ột đa giác đơn th ì ta chọn một tam giác p h ân nào đó của

nó và đit S(H) b ằng tổng các S(Aị) với A| là tấ t cả các tam giác của tam giác

p h â n đ(

A

Đt định nghĩa đó là đúng đắn ta phải chứng m inh rằ n g giá trị S(H) như thékhông phụ thuộc vào cách tam giác p hân của H Chứng m inh được tiến hàih bởi các bước như sau:

Niu tam giác ABC được p hân hoạch th à n h các tam giác ABD,,

AD,I> AD„C như trên hình 11 thì:

S(ABC) = S(ABD,) + S(AD,Ds) + + S(ADnC)

Đ ểu đó dễ d àng suy ra từ định nghĩa của hàm s đối với tam giác.Clo tam giác A!A2A3 và m ột điểm A tu ỳ ý, ta luôn có:

S(A,A2A3) = e,S(AA2A3) + e2S(AA3A,) + e3S(AA,A2)

T o n g đó £ị bằng 1, -1 hoặc 0, được xác định như sau:

e, = 1 nếu hai điểm Aj và A nằm cùng phía đối với đường

th ẳ n g A2A3

E, = - 1 nếu hai điểm ấy nằm khác phía đối với đường thẳng A2A3.E; = 0 nếu điểm A nằm trê n đường th ẳ n g A2A3

Đối với s2, c ũ n g xác đ ịn h tư ơ ng tự.

C hứ ng m in h đ iều đó k h ô n g gặp khó k h ă n , ta c h ỉ c ầ n d ự íự đa vàơ

n g h ĩa h à m s đối với ta m giác S a u đ ây ta n êu m ột sô" tr ư ờ n g h ợ p ip p theo

củ a điểm A, (hình 12a,b)

-= -S (A A ,Aị) + S(A A ,A ,) + + 1- S(AA

G iả sử ta m g iác ABC được p h â n h o ạ c h t h à n h c á c t a m ggi,'iác A,

Mỗi ta m giác Aj là m ột ta m giác A!A2A3 nào đó với các đ ỉm h h A, tl

m iổn ta m giác ABC T a d ù n g công th ứ c S(A[A^A3) = EiSÒOÍAA^A e2S(AA3A 1) + e3S(AA,A2) để th a y vào v ế bên trá i của (*)

N ếu cạn h nào đó là c ạ n h ch u n g củ a h ai ta m g iác vèà I Aj thì

t r ị S(AA!A2) sẽ x u ấ t h iệ n h a i lầ n với d ấ u đổi n h a u (n ếu A khô n g ? I nằm I

đư òng th ẳ n g AjA2) hoặc đ ều b ằ n g 0 (n ếu A n ằ m tr ê n AjA 2), v ậ jy / tổng

c h ú n g luôn luôn b ằ n g 0 N ếu c ạ n h n ào đó n ằm tr ê n c ạ n h A1B8 hoặc

củ ạ ta m giác ABC th ì h iể n n h iê n giá tr ị SíAAịA ^ b ằ n g 0

N hư vậy tro n g tổ n g củ a ch ú n g t a chỉ còn lại các g iá t r ị s o A:\AjAv)

đ oạn th ẳ n g AjA2 n ằ m tr ê n c ạ n h BC, và do đó th eo m ụ c a) tổrụg? đó b S(ABC), tộm lại (*) đ ã được ch ứ n g m inh

22

c) Bâv giò giả sử H có h a i cách ta m giác p h â n : cách th ứ n h ấ t ifhành (ác tam giác Aj, i = 1, 2 , , s, và cách th ứ h a i gồm các ta m giác W’, với = 1, 2 , , s ’.

T; chứng m inh rằng:

¿ S ( A ,) = £ S ( A ' ) (1) 1=1 j=l

Tí chú ý rằ n g với hai giá trị i và j (1< i < s, 1< j < s’), giao của miền tam giæ Aị và m iền tam giác A’j là một miền đa giác lồi có số cạn h là 3, hoặc 4, ìoặc 5, hoặc 6 Ta p h ân hoạch các đa giác đó th à n h các tam giác Ak Khư vậ’ ta được ta m giác p h ân th ứ ba th à n h các tam giác Ak, có tín h chất: nỗi tan giác Aị hoặc A’j đều được p h ân hoạch th à n h m ột sô' nào đó các tam pác Ak.Từ đó, ch ú ý đến k ế t quả ở c) ta suy ra đ ắng thứ c (*) vì hai vế của lócùngbằng S(Ak )

Niư vậy là với mỗi đa giác đơn H ta có một giá trị dương S(H) hoàn

ĩti đê Nôn đn giác H , đồng ph â n với đn giác Ha, đa giác H đỏng than vá đa giác H t th i đa giác H , đồng p h ả n với đa giác H 3.

Ciứng m inh: Giả sử các đa giác HjVà H2 cùng được p hân hoạch

hành (ác đa giác G¡, i = 1, 2 n, các đa giác H2 và H.1 cùng được phânloạch tiàn h các đa giác G’j, j = 1, 2, , m Ta hãy xét tập hợp các đa giác

ỉ, n G’j(i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m)

Hen nhiên chúng làm th à n h m ột phân hoạch mới của H2

Niưng với mỗi i cố định, đa giác Gj được p h ân hoạch th à n h các đa iác G¡n G’jtj = 1, 2, , m) cho nên đa giác H, cũng được p h ân hoạch th à n h

ác đa íiác Gị n G’j Tương tụ, với mỗi j cố định, đa giác H 3 được phân

hoạch th à n h các đa giác G¡ n G’j, (i = 1, 2, , n), cho n ê n đa giác: } H;ị cq được p h ân hoạch th à n h các đ a giác G ¡n G ’j V ậy H, đồng p h â n với ? H j.

Đ in h lí H a i h ìn h ch ữ n h ậ t có cùng d iện tích th ì đ ồ n g p h â n

C hứng m in h : G iả sử h ìn h chữ n h ậ t OADB v à OA’D ’B’ có c OA =

OB = b, OA’ = a, OB’ = b ’ với ab = a ’b’ T a dễ d àn g ch ứ n g m in h rằ n p g : A'E AB’ // DD’ T h ậ t vậy, vì ab = a ’b’ n ên a :a ’ = b : b’, suy ra : A’B//A1BB’ Lại (a — a’) : a ’ = (b’ - b) : b n ên DD ’ // AB’, (h ìn h 13)

ta m giác FAD còn h ìn h chữ n h ậ t OA’D ’B’ được p h â n hoạch th â n n h hìr

th a n g OA’GB’ và ta m giác B’GD’, và rõ rà n g là hai h ìn h th a n g tr ê ê n đồr

p hân và h ai tam giác trê n b ằ n g n h au T rư òng hợp tr ê n x ảy r a k h i* điểm nằm trê n đoạn th ẳ n g BO’ tức là BO' + FD > BD hay là 2 a ’ > a

Bây giờ ta xét trư ờ n g hợp 2 a ’ < a

T a có sô’ ngu y ên dương m sao cho 2ma ’ < a < 2m + V , và đ ặ t aa¡ = 2‘s

bi = i b', i = 1, 2, , m

Khi đó ta có a¡b¡ = a ’b’ = ab N ếu gọi Ci là nhữ n g h ìn h chữ n h ậ t t có kíc thước là ai và bị th ì theo trư ờng hợp đ ã chứng m inh trê n ta có: h ìn h clhũ nhỆOA’D’B’ đồng p h ân với Cl, c, đồng p h ân với C2 Cmđồng p h â n wới hin

chữ n h ậ t OADB từ đó suy ra h ai h ìn h chữ n h ậ t đ ã cho là đồng p h â n

Đ n h lí H ai đa giác đơn có cùng diện tích th i đồng phân.

Cì.ửng m inh: G iả sử H là một đa giác b ấ t kì, ta p h ân hoạch H th à n h

các tam giác Aj, i = 1, 2, , k Ta biết rằn g mỗi tam giác luôn đồng p h ân với một hình chữ n h ật Ta gọi Hị là hình chữ n h ậ t đồng p hân với tam giác Aj Chọn rrột giá trị dương a cố định, và với mọi i ta kí hiệu H ’j là hìn h chữ nhật có một cạnh b ằng a, cạnh kia bằng bị sao cho diện tích của nó bằng diện tíci Hị Khi đó hai hìn h chữ n h ậ t Hị và H ’ị đồng phân và do đó tam giác Aị ¿ồng p hân với H ’ị Vì các hìn h chữ n h ậ t H’ị đều có một cạnh bằng a nên ta (ó thể xếp chúng để được một hình chữ n h ậ t H ’ có một cạnh bằng a còn c ạ m kia là b = bj + b2 + + bk

Hiển nhiên khi đó đa giác H đồng phân với hình chữ n h ậ t H’ Bây giò nếu có đa giác G th ì cũng chứng m inh như trê n ta có hình chữ n h ậ t G' đồng phân với G và một cạnh của G’ bằng a Nếu hai đa giác H và G có diện tíci bằng nhau thì hai hình chữ n h ậ t H’ và G’ có cùng diện tích và có một c ạ n h bằng nhau, do đó phải bằng nhau Từ đó suy ra H và G đồng phân

§2 DIỆN TÍCH CỦA CÁC HÌNH PHANG

2.1 H h h và diện tích củ a hỉnh

a Ta đã biết định nghĩa tông q u á t của hình: đó là một tập hợp các điếm Các đa giác, m iền đa giác là những ví dụ đơn giản vê hình Ngoài ra

c ó n h ữ r g h ì n h p h ứ c t ạ p h ơ n n h i ề u

Đ ;n h n g h ĩa Điểm A được gọi điểm trong của hìn h X nếu có m ột lân

cận 8 của A chứa trong X: (A, e) c X Cố nhiên khi đó điểm A cũng thuộc X Tập hớ) các điểm trong của hình X gọi là phần trong của X, kí hiệu là Int.x Đ êm B được gọi là điếm biên của hình X nếu mọi lân cận e của điếm

B đều (ó chứa các điểm của X và các điểm không thuộc X Tập hợp các

điêm bièn của X gọi là biên của hình X, kí hiệu là 5X.

CIlú ý rằn g điểm biên của X có th ể thuộc X hoặc không thuộc X

b H ìn h đ ơ n g iả n M ột h ìn h H được gọi là h ìn h đơ n g iả n I I nếu r

hợp củ a m ột số h ữ u h ạ n m iền ta m giác, đôi m ột k h ô n g có đđiềiểm ti chung K hi đó ta nói rằ n g h ìn h H được p h â n hoạch th à n h các tarrm n giác

Theo đ ịn h n g h ĩa đó m ột m iền đa giác hoặc m ột số h ữ u h ạ n n n miềi giác đôi m ột khô n g có điểm c h u n g đều là h ìn h đơn g iản

T rong h ìn h 14 (p h ầ n có gạch chéo) là n h ữ n g h ìn h đơn g iản Ititu y nh

ch ú n g khô n g p h ả i là m iền đa giác

Đ ịn h n g h ĩa N ếu h ìn h đơn giản H được p h â n h o ạch th à n lh ti các t

giác A, th ì tổ n g diện tích của các ta m giác đó được gọi là diệni s tích (

h ìn h H , kí h iệu là S(H):

Để đ ịn h n g h ĩa đó đ ú n g đ ắ n ta p h ả i chứng m in h rằ n g giái trị Sl

k h ô n g p h ụ th u ộ c vào cách p h â n hoạch H th à n h ta m giác C h ứ n g ! minh

h o àn to àn tư ơng tự n h ư chứ ng m in h cho trư ờ ng hợp H là đ a giác (đđơn

2.2 Hình khả diện

Đ ịn h n g h ĩ a M ột h ìn h X gọi là k h ả d iện (có d iệ n tích) nếiu i với n

e > 0 cho trước, luôn luôn có các h ìn h đơn g iản G v à H sao cho G c c X c

Hình 14

S (H )= X S íA i)

và S(H) - S(G) < E

D iện tí c h c ủ a h ì n h k h ả d iệ n :

Cio X là một hìn h k hả diện Ta lấy tấ t cả các hình đơn giản G„ mà G„ C X và tấ t cả các hình đơn giản Hm mà X C H m Vì hình X khả diện nên

có ít n h ít một G„ và ít n h ấ t một Hm Cố nhiên với mọi i và j ta đều có Gị C H,

và do đ) S(G,) < S(Hj) N hư vậy tập hợp các giá trị S(G„) bị chặn trê n nên có cận trê i đúng, kí hiệu là S(X) Tập hợp các giá trị S(H„,) bị chặn dưới nên

có cận cưới dũng, kí hiệu là S(X).

Ti chứng m inh rằn g S(X) = S(X)

T iậ t vậy, n ếu k h ô n g n h ư th ê th ì S (X )- S(X) = E > 0 Khi đó vớimọi h ìth đơn giản G và H sao cho G ç X ç H ta đều có S(G) < S(X) vàS(H ) > S (X ), nên:

S(H) - S(G) > E, là điểu vô lí

Đ inh n g h ĩa : Diện tích S(X) của hìn h X là giá trị S(X) = S(X) = S(X)

Đ n h nghĩa trê n cho các hình bất kì có thê áp dụng cho trường hợp hìnli X là hìn h đơn giản và khi đó diện tích của hình đơn giản theo định nghĩa ú n g q u á t trê n cũng chính là diện tích đã biết của nó

2.3 Cic tính chất của diện tích

a H a i hìn h bằng nh a u có diện tích bằng nhau.

T iậ t vậy, giả sử X và Y là hai hình bằng n hau, tức là có phép đẳng

cự ỉ : p -> p sao cho f(X) = Y Khi đó nếu có hình đơn giản G và H sao cho

§3 MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SEMINAR

1 S ư u tầ m , p h â n lo ạ i v à g iả i các b à i to á n có liê n q iu a a a n đéi

g iác v à d iệ n tíc h đ a giác

2 Sử d ụ n g diện tích tro n g giải to á n h ìn h học

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 Chứng minh rằng nếu đường thẳng a không đi qua đỉnh nào của n—ggigiác (đơ thì số cạnh của Đ cắt a là một số chẩn Đường thẳng a có thể cắ t moooi cạnh

Đ hay không? Tại sao lại phải đặt điều kiện a không đi qua đỉnh n à o (CCÙa Đ 9

2 Cho đa giác lồi L và đường thẳng a không đi qua đỉnh nào của L CCEhứng r rằng a cắt L tại nhiều nhất là hai điểm.

3 Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng AB cắt đa giác Đ tại điểm c nằ m cgiãiữa A V

và c không phải là đỉnh của Đ, thì một trong hai điểm A, B là đ iể m i trtrong , điểm kia là điểm ngòai của Đ.

4 Cho hai điểm A, B th u ộ c đa diện Đ và các điểm nằm giữa A và B đđếu khi thu ộc Đ Chứng m inh rằng mọi điểm nằm giữa A và B đểu lâ (điĩiểrn tri hoặc đều là điểm ngoài của Đ Nếu Đ là đa giác lồi thì kế t lu ậ n cđđó thay như th ế nào?

5 Cho tia Ox với điểm gốc o nằm trong đa giác Đ, và tia Ox kh ô n g (đíĩi qua c

nào của Đ Chứng minh rằng có một sô' lẻ các cạnh của Đ cắ t tia 0)X.: Nếu í

đa giác lồi, kết luận đó thay đổi như thế nào?

6 Chứng minh rằng mọi đỉnh cùa đa giác lồi đều là đỉnh nhọn.

Ỷ 7 Chứng minh rằng tổng số đo các góc ở đỉnh của một n - giác lồi b ằ n g

(n - 2) 180°

•8 Mệnh đề ở bài toán 7, không đúng đối với đa giác không lồi Hãy n ê u I một ví

về một tứ giác có tổng các góc bằng 4°.

28

Cl-ứng minh rằng mỗi đa giác có ít nhất là ba đỉnh lồi Hãy nêu những thí dụ về

cáz n - giác có ba đỉnh lồi, mọi đỉnh còn lại đều lõm.

CPứng minh rằng nếu đa giác lồi L, nằm trong đa giác lồi L2 thì chu vi của L, bé hcn chu vi của L2.

Cl-ứng minh rằng mỗi đa giác Đ luôn luôn có một đa giác lối L duy nhất sao cho moi đỉnh của L là một đình nào đó của Đ và [Đ] c [L] Đa giác lối L được gọi là bao lồi của đa giác Đ.

Cíứng minh rằng đưàng trung tuyến của tam giác chia tam giác đó thành hai tan giác đồng phân.

Héy dựng những hình vuông đồng phân với mỗi đa giác dưới đây (hinh 15).

H<y dựng một tam giác đổng phân với một tứ giác đã cho.

Clứng minh định lí Pythagore bằng phương pháp đổng phân.

Clứng minh rằng diện tích của m ột đa giác không lớn hơn diện tích bao

lồ của nó.

Clo hai đa giác lồi L, và L2 sao cho [L,] c [L2] Chứng minh rằng S(L,) < S(L2) Clứng minh rằng kết luận của bài toán 19 vẫn đúng đối với hai đa giác không lồi.

21 Có hay không m ột tam giác có ba chiều cao đều bé hơn 1i nhurưnựng d iệ j không bé hơn 100.

22 Có hay không hai tứ giác có cùng chu vi, nhưng m ột tứ giác c ó diệrệnận tích I lần diện tích tam giác kia.

23 Chứng minh rằng trong số các tam giác có cùng chu vi, tam giác đ đ fđ ề u CC tích lớn nhất.

CLúng ta đã làm quen vổi các khái niệm: hìn h tứ diện và khối tứ

Ỉiện, hình lập phương và khối lập phương, hìn h lăng trụ và khối lăng trụ 6 là những trư ờ ng hợp riêng của đa diện và khối đa diện m à ta sẽ định ghĩa teng q u á t dưới đây:

1.1 Đhh nghĩa

H n h đa d iệ n , hay còn là đa diện, là hìn h hợp bởi các miền đa giác

phang, ihỏa m ãn các tín h ch ất sau đây:

1) H ai m iền đa giác b ấ t kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một

ịíấc Đ, <à Đ ,n của dãy đó đều có cạnh chung.

Moi m iên đa giác nói trê n được gọi là một m ặ t của đa diện, mỗi đỉnh, mỗi cạm của m iền đa giác đó lần lượt gọi là đ ỉn h và cạnh của đa diện.

Tiên h ìn h 16a, không phải là đa diện vì cạnh AB là cạnh chung của

Ba m ặt, cạn h AC và BC chỉ là cạnh của một m ặt H ình 16b) và 16c) không phải ià ỉa diện vì không thỏa m ãn điểu kiện 2) Các hìn h 16d), 16e) đều là các hìnl đa diện

Hình 16

1.2 Định lí Jordan

Cho đ a diện D n ằ m trong không g ia n E K h i đó tập hợp E \ D là hợp của h a i tập hợp kh ô n g giao n h a u D° và D ' có tín h chất:

i) B ấ t k ì h a i đ iểm cùng thuộc D° (hoặc cù n g thuộc D ') đều có th ể nối

với n h a u bởi m ột đường g ấ p kh ú c kh ô n g có đ iể m c h u n g với D.

ii) M ọi đường g ấ p kh ú c nối h a i đ iể m thuộc h a i tập k h á c n h a u D" và

D ' đều có đ iểm ch u n g với D.

iii) Tập D° kh ô n g chứa đường th ẳ n g nào, còn tập D ’ có chứa nh ữ n g

đường thẳng.

T ập D° được gọi là m iền trong c ủ a đ a diện D, mỗi điểm thuộc D° gọi là

điểm trong của D, h ay đ iểm n ằ m trong D T ập hợp D u D° gọi là khôi đa diện tạo bởi D, và được k í h iệu là [D] V ậy tậ p hợp [D] gồm n h ữ n g điểm của

D và n h ữ n g điểm n ằ m tro n g D Tập D‘ gọi là m iề n ngoài củ a D, mỗi điểm thuộc D* gọi là đ iểm ngoài của D hoặc là đ iế m n ằ m ngoài D.

C húng ta không tr ìn h bày cách ch ứ n g m in h đ ịn h lí J o rd a n vì k h á phức tạp

1.3 Đa diện lối

M ột đa diện được gọi là lồi n ếu nó nằm về một phía đôi với b ấ t kì m ặt

p h ẳn g nào chứa m ặ t của đa diện đó

T rên h ìn h 17a), 17b) là các đa diện không lồi, các đa diện (hình 17c, 17d) còn lại đểu là đa diện lồi

Cũng tương tự như đối với đa giác lồi, ta có th ể chúng m inh m ệnh đề sau đây:

N ếu D là đa diện lồi th ì m iền trong của nó là giao của mọi nửa không gian m ở có bờ là m ặ t p h a n g chứa m ột m ặt của D và D nam trong nửa không gia n đó Trong trường hợp này nếu hai điểm A, B nằm trong D° thi đoạn thắng A B n a m trong D°.

1.4 Sơ đố phẳng của hinh đa diện

Cho một h ìn h đa diện D, bỏ đi m ột m ặt H nào đó của nó và đánh số các m ặ t còn lại là Mị, EỌÌ các đỉnh của D là Đj, cốc cạnh của D là c k

Ta giả sử trê n m ặ t p h ẳn g nào đó có một hìn h D’ gồm các đa giác M’i

đôi một không có điểm tro n g chung, các điểm Đ’ĩ và các đoạn th ẳ n g C’k thỏa

m ãn các tín h c h ấ t sau đây:

a) Nếu cạn h ck là cạnh của m ặt Mị th ì đoạn th ắ n g C’k là cạnh của đa

giác M’i và ngược lại.

b) Nếu đỉn h Đj là m út của cạnh Ck th ì điểm Đ ’j là m ú t của đoạn th ắn g C’k và ngược lại

Trong trư òng hợp đó h ìn h D’ được gọi là sơ đồ p h a n g của đa diện D

(ứng với m ặt H đã bỏ đi)

a) Sơ đồ phẳng của tứ diện ứng với m ặt ABC đã bỏ đi

A ’ M' N

P _Q

S'.

N ’ B'

C'

F'

Đ ịn h n g h ĩa M ột h ìn h đa diện được gọi là đơn liên nếu nó có m ột sơ

đồ phang

Đ ịn h lí H ìn h đa diện lồi là đơn liên.

Chứng m in h : T a chọn m ột m ặ t H b ấ t kì của đa diện lồi D Lấy một

điểm o nằm ngoài D n h ư n g k h á gần m ặt phang chứa H D ùng phép chiếu tâm o , ta chiếu D lên m ặ t p h ẳ n g chứa H Có th ể chọn o sao cho ản h của D qua phép chiếu đó ch ín h là h ìn h [H] Điều đó có nghĩa là các đường th ẳ n g nổĩ o với các đỉnh của D c ắ t m ặ t p h ẳn g chứa H tạ i các điểm là nhữ ng điểm trong của H hoặc là đ ỉn h của H Khi đó dễ th ấ y rằn g ả n h của các m ặ t (trừ

m ặt H), của các cạn h và các đ ỉn h của D là một sơ đồ p h an g của D ứng với

m ặt H, (hình 19)

Chú ý rằ n g khô n g p h ả i đa diện nào cũng có sơ đồ phẳng, tức là có nhữ ng đa diện không đơn liên Ví dụ: (xem hìn h 20)

Hình 20

1.5 Đặc sô Euler của đa diện dơn liên

Đổì vối m ỗi đ a d iệ n t a k í h iệ u Đ, c , M lầ n lư ợ t là sô' đ ỉn h , số c ạ n h

v à sô' m ặ t c ủ a nó K hi đó sô’ /T(D) = Đ - c + M được gọi là đ ặ c sô E u le r

của đa d iệ n D

Đ ịn h lí E u l e r Đặc số E u le r củ a đa d iện đơn liê n b ằ n g 2

C hứ ng m in h \ T a lấy m ột sơ đồ p h a n g D ’ n ào đó củ a D Gọi Đ, c , M

lần lượt là sô' đỉn h , số cạn h , s ố m ặ t c ủ a D ’ v à đ ặ t /T(D’) = Đ - c + M, và cũng g o i/f tj) ’) là đặc s ố c ủ a sơ đồ D ’ T a p h ả i c h ứ n g m i n h / ^ D ’) = 1 (vì sô'

a) Nôi m ộ t đ ìn h cũ với m ột đ ỉn h mối K hi đó ta được sơ đồ mớí có đặc

sô k h ô n g th a y đổi so với sơ đồ cũ, vì số đ ỉn h và sô" c ạ n h tă n g lên m ột đơn vị, còn sô" m ặ t k h ô n g th a y đôi

b) Nối h a i đ ỉn h cũ với n h a u K hi đó ta cũ n g k h ô n g làm th a y đồi đặc

sô c ủ a sơ đồ, vì sô đ ỉn h v ẫn giữ nguyên, còn sô’ c ạ n h và số m ặ t đ ều tă n g lên

m ột đơn vị

B ằn g cách bố su n g c ạ n h n h ư trê n , cuối cù n g ta được sơ đồ D’ m à đặc

sô c ủ a nó b ằ n g đặc s ố của sơ đồ x u ấ t p h á t N h ư n g sơ đồ x u ấ t p h á t chỉ có 1 đỉn h , k h ô n g có cạn h n ào v à k h ô n g có m ặ t nào n ê n đặc s ố c ủ a nó b ằn g 1

V ậ y /f(D ’) = 1

1.6 Đa diện đều

Đ ị n h n g h ĩa Đ a diện đ ều là h ìn h đa d iện lồi có các tín h c h ấ t sau:

i) Các m ặ t là n h ữ n g đa giác đ ều có số c ạ n h là p (p > 3)

ii) Mỗi đ ỉn h là đ ỉn h c h u n g củ a q c ạ n h (q > 3)

Mỗi h ìn h đa d iện đều n h ư vậy gọi là đ a d iện đ ều loại {p, q} Tứ diện đều là đ a d iện đều loại {3, 3}, h ìn h lập p hư ơ ng là đ a diện đ ều loại {4, 3}

Đ ịn h lí Có không quá 5 loại h ìn h đa diện đều.

Chứng m inh: T a kí h iệu Đ, c , M lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số m ặt

pủa đa diện đều loại {p, q) th ì ta luôn có:

T h ật vậy ta có Đ đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của q cạnh, vậy có qĐ bạnh nếu mỗi cạnh được tín h hai lần (vì mỗi cạnh có hai đỉnh), tức là

qĐ = 2C Tương tự, ta có M m ặt, mỗi m ặt có p cạnh, vậy có pM cạnh nếu mỗi

;ạnh được tín h hai lần (vì mỗi cạnh là cạnh chung cho hai m ặt), tức là

{3, 3}; {4, 3}; {3, 4}; {5, 3}; {3, 5}

Cụ thể là (hình 21):

Loại {3, 3} gọi là h ìn h tứ diện đều, có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 m ặt

Loại {4, 3} gọi là h ìn h lập phương, có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 m ặt

Loại {3, 4} gọi là h ìn h tám m ặ t đều, có 6 đỉnh, 12 cạnh, 8 m ặt

Loại {5, 3} gọi là h ìn h 12 m ặ t đều, có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 m ặt.Loại {3, 5} gọi là h ìn h 20 m ặ t đều, có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 m ặt

Loại {3, 5}: Hinh 20 mật đều

Hình 21

Đ ịnh lí trê n cho th ấ y có không quá 5 loại hình đa diện đêu, bằng cách dựng từ ng loại m ặt, ta th ấ y có đủ 5 loại m ặt đó Chẳng h ạn, lấy các đỉnh của hình 8 m ặt đều là tâ m các m ặ t của một hình lập phương, dựng các cạnh

bằng cách nối các đỉnh liền kề (tự chứng m inh) Ngược lại, lấy tâm của các

m ặt của một hìn h 8 m ặ t đêu làm đỉnh ta được một hìn h lập phương

Tương tự, h ìn h 20 m ặ t đểu có 12 đỉnh và 20 m ặ t b ạn đọc có th ể tự dựng n h ư h ìn h vẽ x u ấ t p h á t từ một hìn h tr ụ đứng có chiều cao h thích hợp, rồi dựng hai ngũ giác đểu nội tiếp đáy trê n và đáy dưới lệch n h au một góc

— và chon chiều cao h th ích hơp để khi nối các đỉnh của hai ngũ giác đó ta

5

được các tam giác đều, ) Tâm của 20 m ặt đó là các đỉnh của m ột hình 12

m ặt đều (và ngược lại)

P laton, n h à tr iế t học Hi Lạp (khoảng từ năm 428 đến 348 trước Công nguyên), là người đ ầu tiê n đ ã chứng m inh chỉ tồn tạ i 5 loại hình đa diện đều lồi như trê n Thời đó, người ta lấy hìn h tứ diện để tượng trư ng

;ho lửa, h ìn h lập phương - đất, hìn h 8 m ặt đều — không khí, h ìn h 12 m ặt âều - vũ trụ

1.7 Đa diện nửa đểu

A rchimedes (287 — 212 TCN) là nghiên cứu các hìn h đa diện nửa đều

Đ ịn h n g h ĩa H ìn h đa diện nửa đều A rchim edes là h ìn h đa diện tạo

bởi 2 hoặc 3 d ạng đa giác đều có độ dài các cạnh b ằng n h a u được sắp xếp theo cùng một cách và cùng m ột th ứ tự xung q u an h mỗi đỉnh