(Skkn 2023) phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 10 trường thpt thường xuân 2, thông qua việc nghiên cứu dạng toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ oxy

Các em học sinh thiếu tự tin khi phải vẽhình, lời giải của một bài hình thường qua nhiều bước, xác định nhiều yếu tố phụ rồimới đến được đáp số cuối cùng, và một thực trạng thường thấy l

TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2, THÔNG QUA VIỆC

NGHIÊN CỨU DẠNG TOÁN TƯƠNG GIAO

GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG

When you’re ready to add your content, just click here and start typing.]

[Document subtitle]

MỤC LỤC

Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ 2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I Cơ sở lý luận 2 II Thực trạng vấn đề nghiên cứu 3 1 Thực trạng 3 2 Kết quả của thực trạng 4 III Giải pháp và tổ chức thực hiện 4 1 Phần lý thuyết cơ bản 4

2 Một số ví dụ tiêu biểu……… 5

Dạng 1: ……… 5

Dạng 2: ……… 6

Dạng 3: ……… 10

3 Bài tập ứng dụng…… ……… 11

4 Bài tập tự luyện …….……… 15

IV Kiểm nghiệm 16 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 1 Kết quả thực hiện đề tài 17

2 Bài học kinh nghiệm và kiến nghị ……… 17

A ĐẶT VẤN ĐỀ

“Thích học Đại, ngại học Hình” là điều mà các thầy cô giáo dạy Toán chúng

ta thường thấy ở hầu hết các em học sinh Hình học luôn là vấn đề khó đối với nhiềuhọc sinh, Sở dĩ có điều này theo tôi có nhiều nguyên nhân như: Hình học đòi hỏi kiếnthức, suy luận tổng hợp, việc kết hợp các giả thiết để tìm ra một yếu tố mới của bàitoán là vấn đề không dễ đối với học sinh Các em học sinh thiếu tự tin khi phải vẽhình, lời giải của một bài hình thường qua nhiều bước, xác định nhiều yếu tố phụ rồimới đến được đáp số cuối cùng, và một thực trạng thường thấy là các em không biếtbắt đầu từ đâu… Lí do khách quan thì nhiều, nhưng không thể không nói đến lí dochủ quan ở một số giáo viên chúng ta, đó là làm cho hình học trở nên khô khan, lờigiải máy móc mang tính áp đặt, có những kỹ thuật chúng ta xem là dễ, nên bỏ qua thìvới học sinh lại cả một vấn đề, các em lơ mơ, mất tự tin rồi dẫn đến ngại học hình

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng là phần hình học quan trọng nhất củahình học lớp 10 và cũng là phần kiến thức có tính phân hoá cao trong đề thi Đại họccác năm gần đây Dạng bài tập này đang ngày một đa dạng, xu thế sử dụng thuần tuýnhững tính chất, kỹ năng cơ bản của hình học từ lớp 9 ngày một nhiều Trong sốnhững dạng toán đó, bài toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn là đề tàithường xuyên được nhắc tới, bởi đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, tứ giác là vấn

đề muôn thuở của hình học phẳng

Vì những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2, thông qua việc nghiên cứu dạng toán tương giao giữa đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy”, nhằm từng bước dạy cho các em cách phân tích đề bài, từ đó có hướng tư duy

đúng, để tiếp cận bài toán một cách hiệu quả, qua đó nâng cao tinh thần học tập mônhình học nói riêng và phong trào học tập môn toán nói chung

hỏi, trau rồi phương pháp, kỹ năng khi giải toán Thế nhưng làm được điều này thậtkhông đơn giản bởi một số nguyên nhân sau:

- Các bài tập SGK của phần này ở mức đơn giản, chưa thể hiện nhiều về dạnglẫn phương pháp cũng như kỹ năng mà các em cần đạt được, để tự tin bước vào các

và đường tròn

- Giáo viên chưa phân tích, phân loại kỹ các dạng toán dựa trên bản chất hìnhhọc, vì lẽ đó mà các bài tập minh hoạ trở nên rời rạc, điều này không gây được hứngthú học tập cho các em Mặt khác sự sáng tạo, kế thừa trên ngọn là rất đa dạng, nhưng

để hiểu cặn kẽ thì phải tìm ra cái gốc của vấn đề, nếu làm tốt được điều này thì mọichuyện sẽ trở nên rõ ràng, thú vị rất nhiều

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

- Khi dạy xong bài phương trình đường thẳng, tôi nhận thấy dạng bài tập hay

và phù hợp với học sinh còn hạn chế nhiều Chỉ khi dạy xong bài Phương trình đườngtròn mới có vô số ví dụ hay và phù hợp để cho học sinh thực hành nhằm củng cố kiếnthức và kỹ năng của tất cả các phần kiến thức quan trọng trước đó như góc, khoảngcách…., đó là sự kết hợp rất thú vị giữa đường thẳng và đường tròn Mặt khác cũng

vì lượng kiến thức khai thác là rất nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽlàm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xongcác em được những phương pháp nào, kĩ năng gì Do vậy ở phần này người giáo viêncần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toánquan trọng Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin khi suy luận, biết cách kếthợp hai giả thiết một để tìm ra một yếu tố mới, càng tìm được nhiều yếu tố mới thìchúng ta càng gần đến lời giải hơn

- Khi dạy dạng toán này, một thực tế thường xảy ra là đa số giáo viên đi theolối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy

được bài toán này tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm A, điểm M, tính độ dài MN để

làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì? Sở dĩ có thực trạngtrên là vì giáo viên chưa chịu thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hoặc biếtnhưng ngại áp dụng, xem thường hoặc thiếu kiên nhẫn phân tích, giải thích cho học

sinh Điều này làm hạn chế niềm đam mê, hứng thú học tập rất nhiều Theo tôi việcphân tích, định hướng, giảng giải cho học sinh cách tiếp cận một bài hình học rất cầnthiết, đây là công việc mà người giáo viên phải chú trọng để đánh giá đúng được tầmquan trọng hơn là cung cấp cho các em một lời giải khô khan.

2 Kết quả thực trạng trên

Năm học 2022 – 2023 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho họcsinh lớp 10C1 giải thử một số bài tập lấy từ đề thi thử Đại học của các trường THPTtrên cả nước và bài kiểm tra hết chương của lớp 10C1 Kết quả như sau:

Từ kết quả đó, tôi đã tiến hành đổi mới dạy nội dung này tại lớp 10C1 và 10C2

(hai lớp có chất lượng tương đương với nhau và học cùng tổ hợp các môn tự chọn)

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Phần lý thuyết cơ bản

Phần tương giao của đường tròn và đường thẳng không được trình bày rõ ràngtrong sách giáo khoa, do đó cần trang bị thêm cho học sinh lý thuyết về dạng toántoán ở các buổi học phụ đạo

Cho đường tròn  C tâm I bán kính R và đường thẳng 

Đặt hd ,I 

* Trường hợp 1:  là tiếp tuyến của đường tròn ta có h R

Nếu từ điểm M ở ngoài đường tròn  C kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến

 C thì:

+ IM là đường trung trực của đoạn AB.

+ MA MB IM , 2 R2 MA2.

+ S MAIB 2S IAM AI AM. AH IM. .

+ Đường tròn tâm M bán kính MA cắt  C tại hai điểm A và B

+ Tứ giác MAIB nội tiếp trong đường tròn có tâm là trung điểm của IM.

+ Điểm K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB .

* Trường hợp 2:  cắt  C tại hai điểm phân biệt, khi đó h R

Đây là bài toán đường tròn và dây cung, Để giải dạng toán này thông thường

ta gọi H là trung điểm của đoạn AB và khai thác một số tính chất sau:

2 2

.sin2

+ Khi R cố định độ dài dây cung AB lớn hay nhỏ phụ thuộc vào d I  nhỏ  ; 

hay lớn

* Trường hợp 3:  và  C không có điểm chung, khi đó h R

+ Từ một điểm bất kì trên đường thẳng  luôn kẻ được hai tiếp tuyến tớiđường tròn C

+ Lấy điểm T nằm trên đường tròn  C thì h R d T   ,   h R

Trong phạm vi đề tài tôi không trình bày trường hợp 3 vì khi đó hai đối tượng

là không có điểm chung Dạng toán cơ bản như viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một một điểm, viết phương đường thẳng đi qua một điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước là nhưng bài toán học sinh đã được trang bị các bước giải và có thể thực hiện được.

Ví dụ 1.1: Cho đường tròn   C : x 32 y  12 10 Viết thương trình tiếptuyến của  C tại A4;4.

Ví dụ 1.2: Cho đường tròn  C x: 2 y2 2x 6y  Viết phương trình5 0tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Ví dụ 1.3: Cho đường tròn   C : x 22  y 22  Tiếp tuyến của 9  Cbiết tiếp tuyến đi qua A5; 1 

 Dạng 2: Trường hợp  tiếp xúc với  C

Ví dụ 2.1 Cho đường tròn   C : x 12  y 32  và điểm 4 M  3;1  Gọi

A và B là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến  C Viết phương trình

đường thẳng AB .

A 2x y  3 0 B x2y 3 0 C 2x y  3 0 D x 2y 3 0

Lời giải

Phân tích: Tư duy thông thường học sinh sẽ thực hiện việc tìm tọa độ của các

tiếp điểm ,A B và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó Lời giải sẽ rất

dài và tính toán phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai sót

Giáo viên sẽ gợi ý để học sinh có thể tư duy dựa vào nhận xét MA MB , hay cácđiểm ,A B cùng thuộc hai đường tròn  C có tâm I1;3 bán kính và đường tròn

tâm M bán kính MA Tính được MI 2 5R.

Lời giải theo hướng mới:

Gọi  C là đường tròn tâm M bán kính ' MA MI2  R2  4

Ví dụ 2.2 Cho đường tròn   C : x 12 y 22  và điểm 4 P2;1 

Đường thẳng d thay đổi đi qua P cắt  C tại hai điểm A và B Hai tiếp tuyến của

 C tại A và B cắt nhau tại M Tìm quỹ tích của điểm M

A x y  3 0 B x y   C 1 0 x y  3 0 D x y   3 0

Lời giải

Đường tròn  C có tâm I1;2 bán kính R  2, IP 2 R nên điểm P ở

trong đường tròn  C , suy ra đường thẳng d đi qua P luôn cắt  C tai hai điểm

Thay toạ độ P2;1 vào  1 ta được x0  y0  3 0  2

Điểm M có toạ độ thoả mãn  2 nên quỹ tích điểm M là đường thẳng có

phương trình x y  3 0.

Ví dụ 2.3 Cho đường tròn  C x: 2 y2  và đường thẳng :4  x y  6 0.

Giả sử M là một điểm thuộc  Từ M luôn kẻ được hai tiếp tuyến MA , MB đến

 C (trong đó , A B là hai tiếp điểm) và đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố

định I x y Tính giá trị  0; 0 T x0  y0?

A

23

T 

43

T 

Lời giải Phân tích: Đây là một bài toán ở mức độ vận dụng, cần học sinh có năng lực

tư duy và kỹ năng giải toán tốt

Các bài toán khác có thể khai thác như: Chứng minh từ M luôn kẻ được 2 tiếp

tuyến với đường tròn  C Vì đường tròn  C có tâm O0;0 và bán kính R  Do2.

 ,  3 2

d O   R nên M nằm ngoài đường tròn Vì vậy, từ M luôn kẻ được hai

tiếp tuyến đến  C

Lời giải học sinh cần thực hiện:

Do M   nên M m ;6 m MA MB,   MO2 R2 Viết phương trình

đường tròn tâm M bán kính MA và tìm được AB mx: 6 m y  4 0.

d x y   Tìm M thuộc d sao cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến  C các tiếp

điểm là ,A B biết đường thẳng AB đi qua N2; 1  

Thay toạ độ N2; 1  vào  1 ta tìm được a 1

Vậy M   1; 1 thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2.5 Cho đường tròn   C : x 12  y22  và đường thẳng9

d x y m  Biết m và 1 m là các giá trị của m để trên d có duy nhất một2

điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA PB đến ,  C (các tiếp điểm là

,

A B ) sao cho tam giác PAB đều Tính giá trị T m1m2

A 20 B 60 C 60 D 22

Lời giải

Đường tròn  C có tâm I1; 2  và R  Do PAB3.  đều nên IP2IA2R6.

Suy ra P thuộc đường tròn  C tâm ' I1; 2  bán kính bằng ' 6.R 

Như vậy P chính là giao của d và  C '

Để có duy nhất điểm P khi chỉ khi d tiếp xúc với  C '

Tức là d I d ,   6 m19; m41 Vậy T   19  41 22

 Như vậy chúng ta đã phần nào hiểu được tính ứng dụng của bài toán gốc, và

cụ thể hơn đó là cách suy ra phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến được kẻ từ một điểm ở ngoài đường tròn Do vậy theo tôi bản chất của vấn đề là rất quan trọng, chỉ cần nắm được bản chất bài toán gốc thì việc quy lạ về quen hay sáng tạo bài tập trở nên rất thú vị

Ví dụ 2.6 Cho đường tròn  C x: 2 y2  2x4y 20 0 và hai đường thẳng

d x y  d x y   Đường thẳng  không song song với trục Oy tiếp

xúc với đường tròn  C tại A và cắt d d lần lượt tại C và B sao cho B là trung1, 2

điểm của đoạn AC  đi qua điểm nào sau đây?.

Với A6; 2  thì tiếp tuyến là: x   không thỏa mãn giả thiết.6 0

Với A4;2 thì tiếp tuyến là : 3 x4y 20 0 thỏa mãn giả thiết

Trong các điểm đã cho có P0;5 thuộc đường thẳng 

 Bài toán sẽ rất khó nếu như không phát hiện ra d d Để giúp học sinh1// 2

hình thành tư duy giải bài toán này, giáo viên cần hướng dẫn để học sinh trả lời các câu hỏi:

- Bài toán đã cho mấy giả thiết ?

- Quan hệ gì giữa các giả thiết 1 và giả thiết 2, giả thiết 2 và giả thiết 3, giả thiết 3 và giả thiết 1,…?

- Từ các cặp giả thiết đó chúng ta tìm thêm được yếu tố nào mới không ?

Có như vậy mới tập cho các em cách tiếp cận vấn đề, cách tư duy, và hơn hết

là các em biết phải bắt đầu từ đâu.

Bài tập tương tự:

Bài 1.1 Cho đường tròn  C x: 2  y2  6x   Tìm toạ độ điểm M thuộc trục5 0

tung sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến  C và góc giữa hai tiếp tuyến

đó bằng 60

Bài 1.2 Cho đường tròn  C x: 2 y2  4x 2y  và đường thẳng :0 d x y  2 0.

Gọi I là tâm của đường tròn  C M là một điểm thuộc , d Qua M kẻ các tiếp tuyến

,

MA MB đến  C (các tiếp điểm là , A B ) Tìm toạ độ của điểm M biết tứ giác MAIB

có diện tích bằng 10

Bài 1.3 Cho đường thẳng : x y  đường tròn 0,  C có bán kính R  10 cắt 

tại hai điểm A và B sao cho AB 4 2. Tiếp tuyến của  C tại A và B cắt nhau tại

một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn .  C

Bài 1.4 Cho hai đường thẳng d1: 4x 3y14 0, : 3 d2 x4y13 0 và điểm

 2;2

M  Viết phương trình đường tròn  C đi qua M tiếp xúc d và cắt 1 d theo2

dây cung AB có độ dài bằng 8.

 Dạng 3: Trường hợp  cắt  C tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 3.1 Cho đường tròn   C : x 12  y 22  và điểm 5 M6;2  Đường

thẳng qua M và cắt  C tại hai điểm , A B sao cho AB  10. Hai đường thẳngthỏa mãn cắt nhau tại điểm nào sau đây

A M12;4. B N0;4. C P3;1. D Q9;1.

Lời giải

Phân tích: Đây là một bài toán không quá khó, kiểm tra kiến thức của học sinh về

mối liên hệ giữa dây cung và bán kính của đường tròn Học sinh cần vận dụng linh hoạt công thức liên hệ IA2 IH2 HA2 và bài toán viết phương trình đường thẳng.Đường tròn  C có tâm I1;2 và bán kính R  5.

Gọi H là trung điểm của AB Suy ra.

.2

Vậy, có hai đường thẳng thoả mãn là: 1:x3y 12 0 và 2:x 3y0

Hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm M12;4.

Ví dụ 3.2 Cho đường tròn  C x: 2  y2  2x4y 1 0 và điểm M2; 2  Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt  C tại hai điểm A và B sao cho M là

trung điểm của đoạn AB.

Lời giải

Đường tròn  C có tâm I1; 1  và R  5

Nhận thấy M nằm trong đường tròn nên  qua M luôn cắt  C tại hai điểm phân

biệtA và B.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên IM AB hay IM  .

Suy ra  là đường thẳng qua M2; 2  nhận VTPT n IM  1; 1 

Bài 2.1 Cho đường tròn   C : x12 y 22 9 và điểm M2;3 Viết phương

trình đường thẳng  qua M cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

2 2 18

MA MB 

Bài 2.2 Cho đường tròn   C : x12  y12 25 và điểm M7;3 Viết phương

trình đường thẳng  qua M cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

MA MB

Bài 2.3 Cho đường tròn  C x: 2  y2  2x4y 1 0 có tâm là I và điểm M2; 2 

Viết phương trình đường thẳng  qua M thoả mãn:

1) Cắt  C theo một dây cung lớn nhất.

2) Cắt  C theo một dây cung nhỏ nhất.

3) Cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn

nhất

Bài 2.4 Cho đường tròn  C x: 2  y2 4x4y 6 0 và đường thẳng

     với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn  C Tìm m

để  cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn

nhất

3 Bài tập ứng dụng

Ví dụ 3.1 Cho tam giác ABC vuông ở A, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

là I0;9 , đường cao AH x y:   1 0 và diện tích tam giác ABC bằng 30 Biết