Giải bài toán căn thức lớp 9

Đi tìm lời giải cho các bài toán căn thức lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Các bạn học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm căn thức ở chương trình toán lớp 9 Bên trong dấu căn có thể là biểu thức chứa số hoặc là chứa chữ hoặc có mặt cả số lẫn chữ Các biểu thức này gọi chung là căn thức và chúng thường xuất hiện trong nhiều dạng bài tập về bất đẳng thức, giải phương trình - bất phương trình, giải hệ phương trình - hệ bất phương trình, rút gọn căn thức…Chính vì sự phong phú đó nên chúng thường được chọn làm đề thi trong các kì thi tuyển sinh quan trọng

Trong tài liệu nhỏ này tôi đã tổng hợp các bài tập căn thức từ các đề ôn luyện tuyển sinh lớp 10 của nhiều trung tâm luyện thi có uy tín và tổng hợp

từ các trang web toán học nổi tiếng tại Việt Nam kết hợp với chút ít kinh nghiệm giải toán của bản thân để mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc bài viết

“ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ” Nội dung

chính của bài viết được chia thành ba phần như sau:

PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI

PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA

PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC

Trong từng đề toán của bài viết, ngoài việc xoáy sâu vào lời giải chi tiết, tôi còn cố gắng trình bày con đường tìm đến những lời giải đó, những lời giải khiến bạn phải trăn trở nhiều đêm suy nghĩ!

Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Phan Văn Xạ, anh Nguyễn Anh Duy đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu Mặc dù đã dùng rất nhiều thời gian và công sức để biên soạn tài liệu nhưng sai sót là điều không thể nào tránh khỏi Vì thế mọi ý kiến đóng góp và thắc mắc xin bạn đọc liên hệ qua địa chỉ mail: tranthanhtan9190@yahoo.com.vn để bài viết ngày càng hoàn thiện về nội dung

MỤC LỤC

TÀI LIỆU TAM KHẢO

PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI 1

A BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG A2 B 2

I.Các biểu thức có dạng A2 B đưa về bình phương một tổng 2

II.Khôi phục biểu thức về dạng A2 B để đưa về bình phương một tổng 2

III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng A2 B 2

IV.Kết luận 3

V.Một số bài toán điển hình 3

B BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƯỚI CĂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG MỘT TỔNG BA SỐ HẠNG 13

I.Công thức bình phương một tổng ba số hạng 13

II.Rút gọn biểu thức dưới căn đưa được về bình phương một tổng ba số hạng 13

C MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI 18

PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA 34

A NHẮC LẠI MỘT SỐ HĐT LŨY THỪA BẬC BA 35

B BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG 3 3 & A B C A BC D 35

C MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA 45

PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC 48

LỜI KẾT

PHẦN 1

CÁC BÀI TOÁN

A BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CÓ DẠNG A2 B

I.Các biểu thức có dạng A2 B đưa về bình phương một tổng

II.Khôi phục biểu thức về dạng A2 B để đưa về bình phương một tổng

III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng A2 B

Áp dụng công thức căn phức tạp rút gọn biểu thức:

Công thức căn phức tạp thật tiện bạn nhỉ!!!Những biểu thức trong căn có thể đưa về dạng bình phương một tổng để rút gọn đều có thể dùng công thức căn phức tạp Ta chỉ nên sử dụng công thức trên để kiểm tra kết quả Nếu áp dụng trong bài thi thì phải chứng minh lại Thật vậy, vì hai vế của công thức căn phức tạp đều dương nên sau khi bình phương ta có:

Thường phương trình có nghiệm đẹp nhưng do cặp (m,n) dễ tìm nên ta hay nhẩm nghiệm

V.Một số bài toán điển hình:

 Thu gọn các biểu thức sau:

u v v

8/ H  4 3 6 3 15  32,5

Bài toán trên có dáng dấp của biểu thức H và ta hãy lưu ý mối liên hệ giữa các biểu thức trong căn thức đầu tiên 6 3 15  3(2 3 5) mà 3 (2 3     5) 8 2 3  2(4  3)kết hợp với 2, 5 5

2

 .Từ đó, nhân H với 2sẽ làm xuất hiện hằng đẳng thức

 2    2 2.H  8 2 3   2 3(2 3  5)  2 3   5 5 2 3   2 5 2 3 3   3  5 2 3 

5 2 3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 2 3 3

3 6

t t

-Nếu t 2có thể biểu thức 27 2 38 sẽ phân tích được thành tích hai số có tổng bằng 1

nhưng các hướng biến đổi khá phức tạp

-Nếu t9 2 hoàn toàn không dẫn đến kết quả mong muốn, chỉ còn t3 2

a/ Trong hai biểu thức I và J thì biệt số  phải là một bình phương đủ nếu không bài toán

sẽ rất khó khăn trong quá trình tìm lời giải

b/ Nếu các bạn tinh ý sẽ thấy các biểu thức mà chúng ta vất vả tìm kiếm với rất nhiều phép toán lại xuất hiện ngay trong đầu bài, cụ thể:

+ Trong ví dụ 9, đề bài xuất hiện biểu thức 5  2

+ Trong ví dụ 10, đề bài xuất hiện đồng thởi 2 biểu thức 5 3 2 và 3 24

c/ Nắm bắt được ý đồ ra đề của tác giả, ta sẽ giải nhanh các bài toán có dạng như vậy

Thật đơn giản và nhẹ nhàng phải không các bạn! Trong ba ví dụ trên các bước mò mẫm,

dự đoán chúng ta chỉ cần hiểu và thực hiện trên nháp Khi làm bài ta trình bày như sau:

Trên đây là 11 ví dụ điển hình về các bài toán văn thức bậc hai đưa được về bình phương

đủ của nhị thức Phần tiếp theo chúng ta sẽ xét đến các bài toán căn thức bậc hai đưa được

về bình phương đủ của tam thức

B BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƯỚI CĂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG MỘT TỔNG BA SỐ HẠNG

II.Rút gọn biểu thức dưới căn đưa được về dạng bình phương một tổng ba số hạng

Cũng tương tự như rút gọn căn thức dạng A2 B , một vài bài toán đôi khi ta phải nhân

và chia 2 để làm xuất hiện dấu hiệu tách bình phương đủ một tổng của ba số hạng

5/ E = 2

1 11

Để rút gọn được biểu thức E chúng ta có rất nhiều cách ngắn gọn, các bạn có thể tìm thấy

ở những đầu sách tham khảo khác nhưng theo tôi ý tưởng cách làm trên là tự nhiên nhất

C MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI:

Ngoài cách đưa về dạng bình phương đủ ta còn có một số phương pháp khác để rút gọn căn thức như: trục căn thức, đặt ẩn phụ, sử dụng HĐT 2 2

A B hoặc là phối hợp nhiều phương pháp với nhau Tùy thuộc vào hình thức mỗi bài toán mà ta lựa chọn cách làm sao cho càng giảm nhẹ được khối lượng tính toán càng tốt Hãy để bài tập thể hiện rõ phương pháp trong phần này của bài viết!

 Thu gọn các biểu thức sau: (từ bài 1 đến bài 22)

Trong bài toán trên, cách làm đầu tiên là đưa toàn bộ biểu thức về căn bậc sáu (căn bậc chẵn) nên phải chú ý đến dấu của  2

Ví dụ trên thoạt nhìn thật phức tạp nhưng nếu các bạn làm nhiều bài tập về dạng rút gọn căn thức sẽ nghĩ ngay đến các biểu thức liên hợp với các biểu thức 3 1  và 5 1  Thật may mắn là tích số ( 15 1)(7 2 3    5) lại chứa đựng điều mà ta cần tìm Vì vậy có thể trả lời nhanh kết quả các dạng toán như trên

Mấu chốt trong ba bài toán trên chính là tử thức có thể lược giản cho mẫu thức sau khi nhận lượng liên hợp Vì vậy bài toán trở nên đơn giản và không còn dạng phân thức

Do cấu trúc đặc biệt của biểu thức O nên ta có thể tính O 2 rồi suy ra O (lưu ý O dương)

2 cos cos sin

đã dùng nhiều kiến thức vượt ngoài SKG Toán lớp 9

Nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lí thì bài toán trở nên dễ nhìn hơn rất nhiều! Trong ví dụ trên

có liên quan đến bài toán căn bản tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp, sau đây tôi xin trình bày một cách chứng minh bài toán ấy bằng suy luận Nhắc lại đề bài:

Nếu kết thúc dãy số là một số chẵn thì VT có n/2 cặp, mỗi cặp có giá trị là tổng của số đầu

và số cuối (tức là n+1)mà giá trị của n/2 cặp đều bằng nhau(bằng n+1) Từ đó suy ra:

U 1 U 1 7 1 7

Bài toán trên sẽ nhẹ nhàng hơn nếu chúng ta biết chia tử số cho mẫu số rồi sau đó dùng phương pháp ẩn phụ đưa biểu thức về dạng số mũ chẵn giảm dần để áp dụng HĐT A 2 -B 2

01

8 5 2 3 6 4 3 (8 5 2 3 6 4 3)(3 2 2) 6 2 4

8 8(3 2 2) 8(3 2 2)(3 2 2)

Bài toán trên được chuyển thành bài toán sau:

Chứng minh rằng với abc1 ta luôn có 1

Đẳng thức trên rất quen thuộc với chúng ta, các bạn có thể tìm thấy chúng trong các đầu

sách tham khảo khác Vậy thì từ một đẳng thức quen thuộc ta có thể sáng tạo ra nhiều bài

toán mới khó hơn bài toán cũ về cả hình thức và nội dung

PHẦN 2

CÁC BÀI TOÁN

A NHẮC LẠI MỘT SỐ HĐT LŨY THỪA BẬC BA:

Từ đẳng thức thứ hai của hệ cho b3 5 2 dẫn đến loại b5 2 b 2

Thay b 2vào đẳng thức hai của hệ 2 1 5 2 2

7 5 2  1 2

9 3

11 2

a b

a b

26 5

22 7

a b

Tùy vào hình thức mỗi bài toán mà ta lựa chọn cách làm cho nhẹ nhàng nhất khi tính toán!

C MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA:

 Thu gọn các biểu thức sau: (từ bài 1 đến bài 4)

Do cấu trúc đặc biệt của tử thức nên ta còn cách tính sau:

Bài toán được giải quyết nếu chứng minh được3 3 1 3 3 2

PHẦN 3

TRAO ĐỔI CÙNG

BẠN ĐỌC

Trong quá trình tìm lời giải các bài toán căn thức đưa được về bình phương đủ một tổng ba

số hạng, tôi rất chú ý đến việc phân tích các biểu thức ở đầu bài thành nhân tử Chính vì thế tôi mong muốn tìm một cách làm khác cho các bài toán thuộc dạng trên

Xin bắt đầu ý tưởng từ bài toán đơn giản sau:

Kết quả của hai cách làm trên là trùng khớp! Ta tính biểu thức A thông qua biểu thức phụ

là B, rồi dựa vào các phép toán giữa A và B để đưa về hệ phương trình có chứa chúng, sau

đó từ hệ trên ta có thể tính trực tiếp A và B Xét tiếp các ví dụ sau:

Ngoài ra khi sử dụng cách làm này bạn có thể tránh được rắc rối ở bước phân tích căn thức! Tuy nhiên đôi khi mọi việc lại nằm ngoài suy nghĩ của chúng ta, xét ví dụ sau:

Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ bạn đọc trong phần này của bài viết Tôi hi vọng sẽ đọc được những cách mới lạ cho các bài toán thuộc dạng trên!

[1] Phương pháp giải các dạng toán căn thức – Trần Văn Hạnh

[2] Các phép biến đổi Đại số – Vũ Hoàng Lâm

[3] Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại Số 9 – Trần Thị Vân Anh

[4] Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 – Đặng Đức Trọng, Nguyễn Đức Tấn

và nhóm giáo viên Thăng long

[5] Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn toán của trung tâm BDVH 218 Lý

Tự Trọng (phần Đại số) – Nguyễn Thời Sáng

[6] Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 – Hoàng Chúng, Phan Thanh Quang, Trần Đức Huyên, Nguyễn Văn Vĩnh

[7] Bài giảng & lời giải chi tiết toán 9 (tập 1) – Lê Hồng Đức, Đào Thị Ngọc

Hà, Lê Bích Ngọc

[8] Phương pháp lượng giác hóa các bài toán – Vũ Thế Hựu

[9] Một số bài viết từ internet

CHÚ THÍCH MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG BÀI VIẾT

: suy ra, kéo theo

Xin thưa cùng bạn đọc!

Xuyên suốt hơn 50 trang tài liệu với nhiều dạng bài tập phong phú ắt hẳn các bạn cũng thấy được sức hấp dẫn của các bài toán căn thức chứa số Với các bạn trẻ có lòng say mê toán học cùng với những thầy cô nhận trọng trách bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán thì theo tôi đây là một tài liệu không có gì mới lạ và hấp dẫn Chắc chắn rằng nếu các bạn và các thầy cô đi trên con đường “tìm tòi lời giải các bài toán căn thức chứa số” như tôi cũng sẽ thu nhận được những điều tương tự như tôi và thậm chí là còn hơn cả tôi! Vì thế, tôi xin mạn phép trình bày trước mọi người những suy nghĩ của riêng mình trong bài viết về chủ đề này Tôi hi vọng tài liệu sẽ bổ sung thêm một ít

“hành trang” giải toán cho các bạn thí sinh tham dự kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới!

Lời cuối, xin chúc bạn đọc luôn “chân cứng đá mềm”, vượt mọi khó khăn và

thử thách của cuộc sống để vươn đến một tầm cao mình mơ ước

Thân chào!