Khai thác phát triển một bài tập hình học 8

Sáng kiến kinh nghiệm khai thác một bài tập hình học lớp 8 rất hay. Bài hình học: Tam giác có ba đường cao là bài toán gốc để ra rất nhiều bài toán khác, không chỉ áp dụng cho lớp 8 mà còn là cơ sở để làm rất nhiều bài toán lớp 9, các bài toán thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10.

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán , trong đó giải toán

là công việc quan trọng Bởi giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá

ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận) Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi cách giải là một định hướng suy luận riêng nên khi đứng trước một bài toán học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu? phải làm như thế nào? Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nếu bắt đầu từ bài toán khó, rất khó dạy đối với thầy và khó học đối với trò Mặt khác chúng ta không thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các

em không thể làm hết các bài tập đó Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho học sinh giải một bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và khai thác bài toán gốc để xây dựng các bài toán mới liên quan Điều này giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, óc sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải hay Vì thế, đối với học sinh nhất

là học sinh khá giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ bài toán ở sách giáo khoa, nhưng thực ra đằng sau mỗi bài toán có bao nhiêu điều hấp dẫn, lý thú Quá trình này phải bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải toán của mình

Năm học 2022 - 2023 tôi được phân công BDHSG môn toán lớp 8 Tuy nhiên trong quá trình dạy học tôi nhận thấy các em thường xem nhẹ các bài toán trong sgk, sau khi làm xong một bài tập hình học thường các em không nghiên cứu, khai thác tiếp bài toán đó

Để góp phần khắc phục tình trạng trên và phát huy được tối đa năng lực tư duy của học sinh, tạo niềm say mê, yêu thích học toán, học một, dạy một

nhưng được nhiều Tôi xin được đưa ra đề tài: " Khai thác và phát triển một bài tập hình học lớp 8”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nhằm giúp HS hiểu hơn về cách khai thác một bài tập hình học Rèn luyện cho HS khả năng phân tích, mở rộng bài toán từ đó phát huy được tư duy linh hoạt, tạo sự say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin hơn khi học hình

3 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI.

- Hướng dẫn HS cách khai thác một bài tập hình học

- Giúp HS có kỹ năng thực hành giải bài tập hình học và mở rộng bài tập đó

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

5 PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình môn hình học 8

- Đối tượng nghiên cứu: Hs lớp 8A trường THCS nghi Thủy

6 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI.

- Đề tài đã đưa ra giải pháp có tính hệ thống, logic, khoa học để dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán

- Các giải pháp đề tài đưa ra đã được trải nghiệm qua thực tế phù hợp đối tượng học sinh

II NỘI DUNG:

1 Cơ sở lý luận:

Chúng ta đã biết rằng mỗi một sự việc, hiện tượng đều do một số nguyên nhân sinh ra Nên khi điều kiện trong nguyên nhân thay đổi thì kết quả sẽ thay đổi theo Và cũng có thể từ những nguyên nhân ấy cũng có thể tạo ra được kết quả mới Điều ấy trong toán học thì rất dễ xả ra Từ một số điều kiện(giả thiết - gt) hoặc những cái đã biết ta phải chỉ ra những kết quả thu được (kết luận - kl) Nhưng việc chỉ ra được kết quả chỉ là một vấn đề yêu cầu trước mắt của bài toán Mà rèn luyện cho học sinh thói quen suy xét thêm những gì sau khi giải được bài tập là hết sức quan trọng Chẳng hạn:

Giải xong bài tập đó em có thể chứng minh thêm được gì?

Hãy thay đổi một số điều kiện trong giả thiết thì thu được những bài toán mới nào?

Nếu đảo lại thì bài toán đó có gì thay đổi?

Cứ như vậy sau mỗi bài tập hãy rèn cho học sinh thói quen làm được một

số công việc ấy Tôi nghĩ đó là một phương pháp tự học cực kỳ quan trọng

2.Thực trạng:

2.1: Thuận lợi:

Trường THCS Nghi Thuỷ luôn có sự quan tâm của các cấp lãnh đạo Đảng và Nhà nước, Phòng Giáo dục và Đào tạo Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động của trường, luôn tạo mọi điều kiện để giáo viên làm tốt công tác

Nhà trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, thường xuyên trao đổi kinh nghiệm trong dạy học

Hầu hết học sinh đã có nhiều cố gắng trong học tập và thích học bộ môn toán

2.2: Khó khăn:

Đa số phụ huynh làm nghề biển, bố đi biển vài ngày có khi cả tháng mới về, mẹ đi chợ sớm nên chưa sát sao, quan tâm nhiều đến việc học của các em

Một số em khả năng nắm kiến thức còn chậm

Một số em không thích học môn toán

Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em còn hạn chế

3.Những biện pháp thực hiện:

3.1 Khai thác bài toán dựa vào tính tương tự:

Đối với đề tài này tôi đề cập đến tính tương tự là có những nét giống nhau

Từ một số tính chất giống nhau của hai đối tượng, ta dự đoán các tính chất giống nhau khác nhau của chúng

Ví dụ các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác có một số tính chất giống nhau Chẳng hạn trong tam giác cân, các đường trung tuyến ứng với cạnh bên thì bằng nhau Các đường phân giác, đường cao cũng có tính chất như vậy Nhờ so sánh các đối tượng có một số thuộc tính giống nhau

mà học sinh có thể đề ra giả thuyết tương tự rồi kiểm tra giả thuyết đó Từ

đó các em có thể đề xuất bài toán mới

Ví dụ: Bài toán: Ba đường cao AA 1 ; BB 1 ; CC 1 của tam giác có 3 góc nhọn cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

HA 1

AA 1+

HB 1

BB 1+

HC 1

CC 1=1 (1)

HS có thể đề xuất nếu thay ba đường cao bởi ba đường trung tuyến thì kết luận có thay đổi không?

3.2 Khai thác bài toán bằng cách tổng quát hoá bài toán:

Người ta thường tổng quát hoá bài toán bằng cách:

-Thay hằng bởi biến số, chẳng hạn thay góc 300 bởi góc α

- Thay các điều kiện trong bài toán bởi điều kiện "rộng hơn"

- Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kỳ của nó, chẳng hạn thay điểm H là giao điểm đường cao của tam giác bởi điểm O bất

kì nằm trong tam giác

- Bỏ bớt điều kiện của giả thiết, chẳng hạn thay tam giác nhọn bởi tam giác bất kỳ

Nếu bài toán tổng quát đúng thì các em sẽ có bài toán "mạnh hơn" bài toán ban đầu

3.3 Khai thác bài toán bằng cách mở rộng kết luận:

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A 1 , B 1 và C 1 Chứng minh rằng:

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1≥6

Gv gợi ý: Nếu

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1≥6 vậy

OA

OA 1.

OB

OB 1.

OC

OC 1 ? từ đó có thể đề

xuất bài toán mới

3.4 Khai thác bài toán bằng cách lập bài toán đảo

- Có nhiều cách lập bài toán đảo bằng cách đổi chỗ giả thiết và kết luận cho

nhau, hoặc giữ lại một phần giả thiết của bài toán

Ví dụ:

* Nếu có A thì có B, đảo lại: Nếu có B thì có A

* Nếu có A và có B thì có C, có thể lập bài toán đảo:

- Nếu có C thì có A và có B ( đổi chỗ giả thiết và kết luận)

- Nếu có A và có C thì có B.

- Nếu có B và có C thì có A

Ví dụ: : Ba đường cao AA1; BB1; CC1 của tam giác có 3 góc nhọn cắt nhau

tại H Chứng minh rằng: H cách đều ba cạnh của tam giác A1B1C1 Vậy ngược lại còn đúng không?

Đề xuất bài toán đảo

Cho tam giác ABC điểm H nằm trong tam giác AH, BH, CH theo thứ

tự cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Biết rằng H cách đều ba cạnh của tam giác

A1B1C1 Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

3.3 Bài toán cụ thể, hướng dẫn HS khai thác và phát triển bài toán:

3.3.1 Khai thác bài toán dựa vào tính tương tự:

Trong sách giáo khoa Toán 8 có nhiều bài tập có thể khai thác được, tuy nhiên ở đề tài này tôi xin bắt đầu từ bài 8 trang 48 sgk hình học 8.

Bài 1:(Bài 8 trang 48 sgk hình học 8)

Ba đường cao AA 1 ; BB 1 ; CC 1 của tam giác có 3 góc nhọn cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

HA 1

AA 1+

HB 1

BB 1+

HC 1

CC 1=1 (1) HD:

H

C1

B1

C B

A

SHBC=

HA 1 .BC

2 ; SABC=

AA 1 BC

2

⇒S HBC

S ABC=

HA 1 BC

AA 1 BC=

HA 1

AA 1

Tương tự:

S HAC

S ABC=

HB 1

BB 1 ;

S HAB

S ABC=

HC 1

CC 1

⇒S HBC

S ABC+

S HAC

S ABC+

S HAB

S ABC=

HA 1

AA 1+

HB 1

BB 1+

HC 1

CC 1=

S ABC

S ABC=1

Nhận xét:

Ở bài toán trên giao điểm của ba đường cao có tính chất (1), vấn đề

đặt ra là giao điểm 3 đường trung tuyến trong tam giác nhọn có tính chất đó không?

Bài 1.1:

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường trung tuyến AA 1 , BB 1 , CC 1 cắt nhau tại G Chứng minh rằng:

GA 1

AA 1+

GB 1

BB 1+

GC 1

CC 1=1

HD:

A1

G

C B

A

Nhận xét:

GV “Ta đã chứng minh được giao điểm của ba đường trung tuyến, giao điểm của ba đường cao trong tam giác nhọn có tính chất (1) Vậy giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác nhọn có tính chất đó không?”

từ đó có thể đề xuất bài toán mới:

Bài 1.2:

Ba đường trung trực của tam giác ABC có ba góc nhọn cắt nhau tại T Các tia AT, BT, CT kéo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A 1 , B 1 ,

C 1 Chứng minh rằng:

C1

B1 T

K A1

B

A

Kẻ TK ¿ BC(K ¿ BC); AH ¿ BC(T ¿ BC)

STBC=

TK BC

2

SABC=

AH BC

2

⇒

S TBC

S ABC=

TK

AH=

TA 1

AA 1

Tương tự:

S TAC

S ABC=

TB 1

BB 1 ;

S TAB

S ABC=

TC 1

CC 1

⇒ TA 1

AA 1+

TB 1

BB 1+

TC 1

CC 1=

S TBC

S ABC+

S TAC

S ABC+

S TAB

S ABC=

S ABC

S ABC=1

Nhận xét:

Với tư duy tương tự như vậy học sinh có thể đặt tiếp câu hỏi: vậy giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác nhọn có thể có tính chất (1) không? từ đó HS có thể đề xuất tiếp bài toán :

Bài 1.3:

Ba đường phân giác AA 1 , BB 1 , CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại

I Chứng minh rằng:

IA 1

AA 1+

IB 1

BB 1+

IC 1

CC 1=1

HS: Làm tương tự

3.3.2 Khai thác bài toán bằng cách tổng quát hoá bài toán:

GV tiếp tục hướng dẫn HS: Với H là điểm bất kì trong tam giác ABC, khi đó tính chất (1) còn đúng không? Với câu hỏi đó học sinh có thể đề xuất bài toán tổng quát sau: (Gv thay điểm H bởi điểm O bất kỳ)

Bài 1.4:

Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A 1 , B 1 và C 1 Chứng minh rằng:

OA 1

AA 1+

OB 1

BB 1+

OC 1

CC 1=1

HS: Làm tương tự bài 1.2.

3.3.3 Khai thác bài toán bằng cách mở rộng kết luận.

O

A1

C1

B1

C B

A

Ở bài toán 1.4 ta đã chứng minh được

OA 1

AA 1+

OB 1

BB 1+

OC 1

CC 1=1

mà OA1 = AA1 - OA; OB1 = BB1 - OB; OC1 = CC1 - OC

Khi đó :

OA 1

AA 1+

OB 1

BB 1+

OC 1

CC 1=1

⇒

AA 1−OA

AA 1 +

BB 1−OB 1

BB 1 +

CC 1−OC 1

CC 1 =1

⇒

1−OA

AA 1+1−

OB

BB 1+1−

OC

CC 1=1

3− OA

AA 1−

OB

BB 1−

OC

CC 1=1

⇒

OA

AA 1+

OB

BB 1+

OC

CC 1=2

Từ đó HS có thể đề xuất bài toán mới.

Bài 1.5:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, O là một điểm bất kì trong tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A 1 , B 1 ,

C 1

Chứng minh rằng:

OA

AA 1+

OB

BB 1+

OC

CC 1=2

Nhận xét:

O

A1

C1

B1

C B

A

Từ

OA

AA 1+

OB

BB 1+

OC

CC 1=2

HS có thể đặt tiếp câu hỏi vậy

AA 1

OA +

BB 1

OB +

CC 1

OC =?

Gv có thể gợi ý để HS áp dụng BĐT (a+b+c)(

1

a+

1

b+

1

c)≥9 (với a,b,c là các số dương) từ đó có thể đề xuất tiếp câu hỏi cho bài 1.5:

b)

AA 1

OA +

BB 1

OB +

CC 1

OC ≥

9 2

HD:

Áp dụng BĐT (a+b+c)(

1

a+

1

b+

1

c)≥9 , ta có:

( OA

AA 1+

OB

BB 1+

OC

CC 1) (

AA 1

OA +

BB 1

OB +

CC 1

OC )≥9

⇒

AA 1

OA +

BB 1

OB +

CC 1

OC≥

9

2 (vì

OA

AA 1+

OB

BB 1+

OC

CC 1=2 )

Tương tự như vậy HS có thể đề xuất tiếp câu hỏi cho bài 1.5

c)

AA 1

OA 1+

BB 1

OB 1+

CC 1

OC 1≥9

Nhận xét:

Gv tiếp tục gợi ý để HS phân tích với chìa khóa của vấn đề là:

AA1 = OA + OA1; BB1 = OB + OB1; CC1 = OC + OC1

khi đó :

AA 1

OA 1+

BB 1

OB 1+

CC 1

OC 1≥9

⇒

OA+OA 1

OA 1 +

OB+OB 1

OB 1 +

OC +OC 1

OC 1 ≥9

⇒

OA

OA 1+1+

OB

OB 1+1+

OC

OC 1+1≥9

⇒

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1≥6

Từ đó HS tiếp tục đề xuất thêm câu hỏi cho bài 1.5

d)

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1≥6

HD: (ngoài cách chứng minh dựa vào câu c) Hs có thể c/m trực tiếp)

K H

O

A1

C1

B1

C B

A

Gọi S, S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác ABC, OBC, OAC, OAB

Vẽ AH ¿ BC, OK ¿ BC (H,K ¿ BC)

⇒ AA 1

A1O=

AH

OK=

S

S1

⇒AO

OA 1=

AA 1−A1O

OA 1 =

S−S1

S1 =

S2+S3

S1

⇒AO

OA 1=

S2

S1+

S3

S1

Tương tự:

BO

OB 1=

S1

S2+

S3

S 2

CO

OC 1=

S1

S3+

S2

S3

Ta có:

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1=(

S2

S1+

S1

S2)+(

S2

S3+

S3

S2)+(

S3

S1+

S1

S3)≥2+2+2=6

Nhận xét:

Đến đây HS sẽ hứng thú với việc khai thác bài toán, HS có thể đặt câu hỏi vậy

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC có kết quả như thế nào? Hs có thể dựa

vào kết quả của câu d) và dựa vào bất đẳng thức:

Áp dụng BĐT (a+b+c)(

1

a+

1

b+

1

c)≥9 để suy ra

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC ≥

3 2

Ngoài ra GV có thể gợi ý cho HS một cách khác:

Áp dụng bất đẳng thức

a b+c+

b

c +a+

c a+b≥

3

2 (với

a, b, c >0)

Ta có:

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC ≥

3 2

Từ đó bổ sung vào bài 1.5 câu e) chứng minh:

e)

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC ≥

3 2

Nhận xét:

Gv tiếp tục dành thời gian để HS tiếp tục suy nghĩ dựa trên mạch kiến thức đã làm ở các câu trên.

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC =

S1

S2+S3+

S2

S1+S3+

S3

S !+S2

Ở câu c, d chúng ta đã làm việc với

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1 ;

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC vậy tích

OA

OA 1.

OB

OB 1.

OC

OC 1 ;

OA 1

OA .

OB 1

OB .

OC 1 OC

có kết quả như thế nào? Gv tiếp tục hướng dẫn Hs khai thác bài toán:

OA

OA 1.

OB

OB 1.

OC

OC 1 =

S2+S3

S1 .

S3+S1

S2 .

S1+S2

S3 ≥

2√S2S3

S1 ⋅

2√S3S1

S2 ⋅

2√S1S2

S3 =8

Từ đó HS tiếp tục đề xuất câu hỏi tiếp theo bài 1.5

f)

OA

OA 1.

OB

OB 1.

OC

OC 1 ¿ 8

g)

OA 1

OA .

OB 1

OB .

OC 1

OC ¿

1 8

h) √OA OA 1+√OB OB 1+√OC OC 1≥3√2

Giáo viên có thể yêu cầu HS phát biểu bài toán 1.5 dưới dạng khác: Cho tam giác ABC nhọn, O là điểm thuộc miền trong của tam giác đó.

AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A 1 , B 1 , C 1 Xác định vị trí điểm O để:

a)

AA 1

OA 1+

BB 1

OB 1+

CC 1

OC 1 đạt GTNN

b)

OA

OA 1+

OB

OB 1+

OC

OC 1 đạt GTNN

c)

OA 1

OA +

OB 1

OB +

OC 1

OC đạt GTNN

d)

OA

OA 1.

OB

OB 1.

OC

OC 1 đạt GTNN e)

OA 1

OA .

OB 1

OB .

OC 1

OC đạt GTLN

f) √ OA

OA 1+√OB

OB 1+√OC

OC 1 đạt GTNN

g)

AA 1

OA +

BB 1

OB +

CC 1

OC đạt GTNN

Nhận xét:

Ngoài cách khai thác bài 1 theo hướng trên Gv có thể hướng dẫn

HS khai thác bài toán 1 theo hướng sau:

Gv yêu cầu HS dự đoán C1A1 có quan hệ như thế nào với góc B1C1A1, Hs có thể dự đoán bằng trực quan hoặc bằng đo đạc từ đó HS có thể rút ra C1A1 là phân giác của góc B1C1A1 Từ đó Hs có thể đề xuất thêm câu hỏi cho bài 1

Bài 1.6:

Ba đường cao AA 1 ; BB 1 ; CC 1 của tam giác có 3 góc nhọn cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

a) Chứng minh: C 1 A 1 là phân giác của góc B 1 C 1 A 1

Tương tự HS có thể chứng minh được B1B, C1C lần lượt là phân giác của

∠ C1B1A1, ∠ C1A1B1 Từ đó Gv hướng dẫn HS có thể đề xuất thêm câu hỏi

b) Chứng minh H cách đều ba cạnh của tam giác A 1 B 1 C 1

HD:

H

C1

B1

C B

A

Chứng minh được Δ AC1B1 ∞ Δ ACB

⇒ ∠ AC1B1 = ∠ ACB (1)

Chứng minh được Δ BC1A1 ∞ Δ BCA

⇒ ∠ BC1 A1 = ∠ BCA (2)

từ (1) và (2)

⇒ ∠ AC1B1 = ∠ BC1A1

Mà ∠ AC1B1 + ∠ B1C1C = 900

∠ BC1B1 + ∠ CC1A1 = 900

⇒ ∠ B1C1C = ∠ CC1A1

hay C1C là phân giác của ∠ B1C1A1

Tương tự chứng minh được B1B, A1A lần lượt là phân giác của ∠ C1B1A1,

∠ C1A1B1

⇒ H là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác A1B1C1

⇒ H cách đều ba cạnh của tam giác A1B1C1

Gv tiếp tục yêu cầu HS chứng minh:

c) Chứng minh: Δ BA1H ∞ Δ BB1C; Δ CA1H ∞ Δ CC1B

d) Chứng minh: BH.BB 1 + CH.CC 1 = BC 2

HD:

Dễ dàng c/m được Δ BA1H ∞ Δ BB1C(g.g)

⇒

BA 1

BB 1=

BH BC

⇒ BB1.BH = BA1.BC (3)

Tương tự chứng minh được:

CH.CC1 = CA1.BC (4)

Từ (3) và (4)

BH.BB1 + CH.CC1 = BC2 (*)

e) Từ câu e) Gv hướng dẫn HS đề xuất thêm câu f) như sau.

f) Chứng minh: AH.AA 1 + BH.BB 1 + CH.CC 1 =

AB 2+BC 2+CA 2

2

HD: Tương tự câu b) Hs sẽ chứng minh được:

CH.CC1 + AH.AA1 = AC2 (**)

AH.AA1 + BH.BB1 = AB2 (***)

Cộng vế theo vế (*);(**);(***) ta có:

⇒ AH.AA 1 + BH.BB 1 + CH.CC 1 =

AB 2+BC 2+CA 2

2

3.3.4 Khai thác bài toán bằng cách lập bài toán đảo

Ở bài 1.6 c) với H là trực tâm của tam giác ABC thì ta chứng minh được H cách đều ba cạnh của tam giác A 1 B 1 C 1 Vậy ngược lại còn đúng không? Tiếp tục đề xuất bài toán đảo.

Bài 1.7:

Cho tam giác ABC điểm H nằm trong tam giác AH, BH, CH theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A 1 , B 1 , C 1 Biết rằng H cách đều ba cạnh của tam giác A 1 B 1 C 1 Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC HD.