TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANGKHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MINH HỌA MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHẦN MỀM MAPLE HUỲNH THỊ BẢO NGUYÊN AN GIANG, 05 - 2021.
Mục tiêu của đề tài
1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.
Sử dụng phần mềm Maple để minh họa các thuật toán tính gần đúng nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính là một phương pháp hiệu quả Qua một số bài toán ứng dụng thực tiễn, người dùng có thể thấy rõ cách mà phần mềm này hỗ trợ trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp Việc áp dụng Maple không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao độ chính xác trong các phép tính.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này áp dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết khoa học cơ bản trong lĩnh vực Toán học, bao gồm việc tìm đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa các tài liệu liên quan Mục tiêu là xây dựng thuật toán và viết mã code để tìm nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Maple.
Đóng góp của khóa luận
Khóa luận giới thiệu các phương pháp tìm nghiệm chính xác và gần đúng cho hệ phương trình tuyến tính Bên cạnh đó, khóa luận cũng cung cấp mã code chạy trên phần mềm Maple để giải quyết một số bài toán thực tế.
Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm bốn chương: Chương 1: Tổng quan về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng
Chương 2 trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, trong khi Chương 3 khám phá ứng dụng của phần mềm Maple trong việc giải quyết các hệ phương trình tuyến tính thông qua các bài toán thực tế.
Chương 4: Kết luận và kiến nghị
Tổng quan về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng
Tổng quan về hệ phương trình tuyến tính
Trong hệ phương trình tuyến tính tổng quát, số lượng phương trình không nhất thiết phải bằng số ẩn, và ma trận hệ số A không cần phải là ma trận vuông Tuy nhiên, trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xem xét các hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số A là ma trận vuông.
Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm n phương trình của n ẩn số có dạng
với∀n∈R Ma trậnA, x, b được gọi lần lượt là ma trận hệ số, ma trận ẩn số và ma trận hệ số tự do của hệ phương trình tuyến tính (1.1).
Khi đó hệ phương trình tuyến tính được viết dưới dạng:
Một nghiệm của hệ phương trình (1.1) là tập hợp các giá trị \( x_1 = \alpha_1, x_2 = \alpha_2, \ldots, x_n = \alpha_n \) hay \( \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n \) mà khi thay vào hệ phương trình, ta nhận được các đẳng thức đúng Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình (1.1) được gọi là tập nghiệm hay nghiệm tổng quát của hệ Việc giải hệ phương trình là quá trình tìm kiếm tất cả các nghiệm của hệ đó.
A b i được gọi là ma trận bổ sung hay ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (1.1).
∗ Các trường hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:
Dựa vào hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận bổ sung, ta có định lý Kronecker - Capelli về điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình.
Hệ phương trình tuyến tính (1.1) có nghiệm nếu và chỉ nếu rank(A) = rank(A). Định lý 1.2 Nếu A=h
A b i là dạng ma trận hóa của hệ phương trình tuyến tính thì rank(A) =rank(A) hoặc rank(A) = rank(A) + 1 Hơn nữa,
(i) Nếu rank(A) =rank(A) + 1 thì hệ vô nghiệm.
(ii) Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu rank(A) = rank(A) < n, thì hệ phương trình có vô số nghiệm với bậc tự do là n − rank(A) Trong trường hợp có nghiệm duy nhất, hệ phương trình (1.1) được gọi là hệ Cramer, được định nghĩa cho một hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và n ẩn, trong đó a_{ij}, b_i, với 1 ≤ i, j ≤ n là các số thực.
Hệ trên được gọi là hệ phương trình tuyến tính Cramer nếu định thức của ma trận hệ số
: : : a n1 a n2 a nn của hệ phương trình đã cho khác 0.
Như vậy, hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính Cramer khi và chỉ khi ma trận
A= (a ij )n×n các hệ số của hệ (1.1) là ma trận không suy biến cấpn.
Ví dụ 1.1 Hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không?
Ma trận bổ sung của hệ phương trình đã cho là
Do rank(A) = rank(A) = 2 nên hệ đã cho có nghiệm Hơn nữa, hệ có vô số nghiệm vì rank(A)< n = 3 Số ẩn tự do của hệ là n−rank(A) = 3−2 = 1 ẩn tự do.
Ví dụ 1.2 Hệ phương trình tuyến tính sau đây có nghiệm hay không?
Ma trận bổ sung của hệ phương trình đã cho là
Do rank(A) = 2< rank(A) = 3 nên hệ đã cho vô nghiệm.
∗ Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác
Hệ phương trình tuyến tính có dạng tam giác nếu số phương trình bằng với số ẩn của hệ và có dạng
. an−1n−1xn−1 + an−1nx n = bn−1 a nn x n = b n trong đó các hệ sốa 11 , a 22 , , an−1n−1, a nn đều khác 0.
∗ Hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang và rút gọn hàng
Hệ phương trình tuyến tính dạng có dạng bậc thang nếu hệ đó có dạng
Trong hệ phương trình, các ẩn chính bao gồm \$x_1, x_{j_2}, \ldots, x_{j_r}\$, trong khi các ẩn còn lại được gọi là ẩn tự do Hệ số \$a_{11}, a_{2j_2}, \ldots, a_{rj_r}\$ đều khác 0, và điều kiện \$1 < j_2 < \ldots < j_r\$ cùng với \$r \leq n\$ được đảm bảo.
∗ Hệ phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương
Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số giống nhau được coi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Điều này có nghĩa là mỗi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại, hoặc cả hai hệ đều không có nghiệm Phép biến đổi để chuyển một hệ phương trình thành một hệ mới tương đương được gọi là phép biến đổi tương đương.
Các phép biến đổi sau đây đối với mỗi hệ phương trình tuyến tính được gọi là phép biến đổi sơ cấp:
1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ.
2 Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0.
3 Cộng một phương trình này với một phương trình khác của hệ.
Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong một số lĩnh vực
Toán học đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như khoa học, kỹ thuật, kinh tế và môi trường, thường dẫn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính Nhiều bài toán thực tiễn có vô số nghiệm, và khóa luận này trình bày một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính, bao gồm điều khiển lưu lượng trong hệ thống, ứng dụng trong mạng lưới điện, cân bằng phương trình phản ứng hóa học và mô hình cân bằng thị trường.
1.2.1 Ứng dụng điều khiển lưu lượng trong hệ thống
Có nhiều loại vấn đề liên quan đến các hệ thống mà chúng ta có thể quan sát lưu lượng, chẳng hạn như hệ thống thủy lợi và đường phố Trong các hệ thống này, có những điểm mà lưu lượng đi vào hoặc ra khỏi hệ thống Nguyên tắc cơ bản trong phân tích các hệ thống là tổng lưu lượng vào phải bằng tổng lưu lượng ra, và nguyên tắc này được áp dụng tại mỗi điểm giao nhau trong hệ thống.
Quy tắc giao nhau: Tại mỗi điểm giao nhau trong hệ thống, tổng lưu lượng vào chỗ giao nhau phải bằng tổng lưu lượng ra.
Ví dụ 1.3 Cho hệ thống đường một chiều được thể hiện trong hình 1.1.
Tại giao điểm A, có 500 xe ô tô vào mỗi giờ, trong khi giao điểm B có 400 xe ra mỗi giờ và giao điểm C có 100 xe rời khỏi Để xác định lưu lượng xe dọc theo mỗi con đường, ta cần phân tích số lượng xe ra khỏi các giao điểm này.
Hình 1.1: Hệ thống đường một chiều
Giả sử số lượng xe hơi di chuyển trên các con đường lần lượt là f1, f2, f3, f4, f5 và f6 xe mỗi giờ, theo các hướng được thể hiện trong sơ đồ.
Do tổng số xe vào phải bằng tổng số xe ra ở mỗi giao điểm nên ta được:
Khi đó chúng ta có được một hệ phương trình tuyến tính gồm bốn phương trình và sáu ẩn như sau:
Ma trận bổ sung tương ứng là
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
Hệ này có vô số nghiệm phụ thuộc vào ba tham số.
Vậy tất cả các lưu lượng xe có thể có tương ứng với nghiệm của hệ phương trình làf ∗ = (400ưuưw, u+v,100ưv+w, u, v, w).
1.2.2 Ứng dụng vào mạng lưới điện
Trong mạng lưới điện, cường độ dòng điện được đo bằng ampere (A) và thường bị ảnh hưởng bởi các điện trở có đơn vị là Ohm (Ω) Dòng điện có thể được tăng lên bởi các nguồn điện áp, như pin, với điện áp đo bằng volt (V) Giả sử các nguồn điện áp không có điện trở, dòng điện sẽ tuân theo các nguyên tắc cơ bản Định luật Ôm mô tả mối quan hệ giữa cường độ dòng điện I và điện áp V qua một điện trở R với công thức \$V = RI\$ Ngoài ra, định luật Kirchhoff cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích mạng lưới điện.
Tại mỗi nút trong mạch điện, tổng cường độ dòng điện vào nút phải bằng tổng cường độ dòng điện ra khỏi nút.
Trong một mạch điện kín, định luật vòng kín khẳng định rằng tổng điện áp tăng trong vòng lặp bằng tổng điện áp giảm trong cùng một vòng lặp.
Khi áp dụng quy tắc Kirchhoff 2, cần chọn một hướng quanh mạch kín, có thể là cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ Tất cả các điện áp và cường độ dòng điện sẽ được coi là dương khi đi theo hướng đã chọn và âm khi đi ngược lại Điều này giải thích cho thuật ngữ "tổng đại số" trong quy tắc thứ hai.
Ví dụ 1.4 Tìm các cường độ dòng điện khác nhau có trong mạch điện sau:
Giải Áp dụng quy tắc nút ở các nút A, B, C và D ta được:
Chú ý rằng các phương trình trên không độc lập.
Định luật vòng kín khẳng định rằng tổng điện áp tăng do các nguồn cung cấp trong mạch kín phải bằng tổng điện áp giảm do các điện trở Theo định luật Ohm, điện áp mất mát qua điện trở R được tính bằng công thức RI Khi đi ngược chiều kim đồng hồ xung quanh ba mạch kín, chúng ta có thể áp dụng quy tắc này để phân tích điện áp trong mạch.
Khi đó, bỏ qua phương trình dư thừa thu được ở nút C thì chúng ta sẽ có một hệ gồm sáu phương trình với sáu ẩn I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 :
Khi đó nghiệm của hệ phương trình trên là:
Ta thấy rằng I 2 âm có nghĩa là dòng điện có chiều ngược lại với độ lớn là 1 amperes 20
1.2.3 Ứng dụng trong cân bằng phản ứng hóa học
Khi xảy ra phản ứng hóa học, các phân tử kết hợp để tạo ra những phân tử mới Ví dụ, khi Hidro (H₂) và Oxy (O₂) kết hợp, nước (H₂O) được hình thành Phản ứng này có thể được biểu diễn như sau:
Theo định luật bảo toàn khối lượng, số nguyên tử Oxy và Hidro tham gia phản ứng phải bằng số nguyên tử thoát ra dưới dạng nước, do đó phản ứng được coi là "cân bằng" Mỗi phân tử Hidro và Oxy đều gồm hai nguyên tử, trong khi phân tử nước chỉ có hai nguyên tử Hidro và một nguyên tử Oxy Do đó, số nguyên tử Hidro tham gia phản ứng cần gấp đôi số nguyên tử Oxy.
Bây giờ phản ứng đã được cân bằng với mỗi bên đều có bốn nguyên tử Hidro và hai nguyên tử Oxy.
Ví dụ 1.5 Hãy cân bằng phản ứng đốt cháy Octan C 8 H 18 trong Oxy O 2 bên dưới:
Chúng ta phải tìm các số nguyên dương x, y, z, w thỏa mãn: xC 8 H 18 +yO 2 −→zCO 2 +wH 2 O
Dựa vào số nguyên tử Cacbon, Oxy, Hidro ở mỗi bên, ta có 8x = z,18x 2w,2y= 2z+w Khi đó chúng ta có được hệ phương trình sau đây:
Hệ phương trình có thể được giải bằng phương pháp Gauss, tuy nhiên, đối với các hệ đơn giản, việc giải trực tiếp sẽ dễ dàng hơn Đặt \( w = t \), từ đó ta có \( x = t \).
18. Nhưng x, y, z, w phải là số nguyên dương, vì vậy giá trị nhỏ nhất của t để khử được phân số đó là t= 18.
Do đó, x= 2, y = 25, z = 16, w = 18, và phương trình cân bằng là:
2C 8 H 18 + 25O 2 −→16CO 2 + 18H 2 O 1.2.4 Mô hình cân bằng thị trường
Giả sử có n sản phẩm đang lưu thông trên thị trường.
Sản phẩm thứ i có lượng cung, cầu và giá bán lần lượt là: Q S i , Q D i , p i
Giả định rằng các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung, hàm cầu sản phẩm thứ i là:
QD i =bi0+bi1p1 +bi2p2+ +binpn;∀i= 1, n
Thị trường cân bằng khi: Q S i =Q D i , i= 1, n
Ta đưa điều kiện cân bằng thị trường về dạng : AX =B a 10 +a 11 p 1 +a 12 p 2 + +a 1n p n =b 10 +b 11 p 1 +b 12 p 2 + +b 1n p n a 20 +a 21 p 1 +a 22 p 2 + +a 2n p n =b 20 +b 21 p 1 +b 22 p 2 + +b 2n p n
Thực hiện các phép biến đổi đưa về dạng hệ phương trình tuyến tính theo n phương trình n ẩn số có dạng
Hệ này có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau
Ví dụ 1.6 Thị trường có ba sản phẩm trong đó lượng cung, cầu và giá của các sản phẩm được cho bởi mối quan hệ như sau:
Qd 3 = 2p2−8p3+ 79 a) Tìm điểm cân bằng thị trường b) Trong một đơn vị thời gian, thị trường xuất 37 đơn vị sản phẩm thứ nhất, 15 đơn vị sản phẩm thứ ba và nhập về 3 đơn vị sản phẩm thứ hai Tìm điểm cân bằng mới trên thị trường.
Giải a) Điểm cân bằng thị trường khi lượng cung bằng với nhu cầu:
Vậy thị trường cân bằng khi giá trị của ba loại sản phẩm theo thứ tự là 10,
5 và 7 (Đơn vị tiền tệ). b) Ta có:
Vậy thị trường mới sẽ cân bằng khi giá trị của ba loại sản phẩm theo thứ tự là 12, 5 và 8 (Đơn vị tiền tệ).
Hệ (1.1) có thể giải được hoàn toàn nhờ lý thuyết ma trận và định thức Tuy nhiên, khi ma trận không suy biến, việc sử dụng phương pháp Cramer sẽ yêu cầu một lượng lớn phép tính, khoảng n!n^2 phép tính nhân chia Để khắc phục vấn đề này, chương tiếp theo sẽ trình bày một số phương pháp giải thực tế cho hệ phương trình (1.1) với mục tiêu giảm thiểu khối lượng tính toán.
Trong các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, có hai nhóm chính: phương pháp trực tiếp và phương pháp gián tiếp Phương pháp trực tiếp cho kết quả sau một số hữu hạn phép tính, thường được sử dụng cho các bài toán nhỏ với dữ liệu chính xác Tuy nhiên, do yêu cầu tính toán lớn, phương pháp này có nguy cơ tích lũy sai số, đặc biệt khi dữ liệu ban đầu không chính xác Ngược lại, phương pháp gián tiếp, hay còn gọi là phương pháp lặp, thường được áp dụng cho các bài toán có khối lượng tính toán lớn và dữ liệu ban đầu có thể chứa sai số.
Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Nhóm phương pháp giải trực tiếp
2.1.1 Phương pháp Cramer Đối với hệ Cramer thì phương pháp giải sẽ dựa trên công thức Cramer xác định bởi định lý 2.1 Định lý 2.1 Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức x j = Dj
D, j = 1, n trong đó D là định thức của ma trận hệ số của hệ, D j là định thức nhận được từ
D bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do với j = 1, n.
Công thức tìm nghiệm bằng phương pháp Cramer rất gọn gàng và dễ nhớ, nhưng khi số lượng phương trình n tăng lên, số phép tính cần thực hiện sẽ trở nên lớn Việc tính toán các định thức trong trường hợp này có thể gặp nhiều khó khăn Nếu ký hiệu N_c(n) là số lượng phép tính cần thực hiện cho hệ phương trình có n phương trình, thì điều này càng làm tăng độ phức tạp của quá trình giải.
Với n= 15 ta có N c (15) = 3.10 14 Vì thế phương pháp Cramer chỉ dùng khi ma trận hệ số là không suy biến và số lượng phương trình trong hệ là nhỏ.
Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
Suy ra hệ phương trình đã cho là hệ Cramer.
10 = 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x 1 , x 2 , x 3 ) = (1,3,2)
Phương pháp khử Gauss nhằm chuyển đổi hệ phương trình (1.2) thành dạng tam giác trên, từ đó cho phép tìm nghiệm thông qua phương pháp thế ngược, bắt đầu từ phương trình cuối và tiến dần lên phương trình đầu.
Quá trình đưa hệ (1.2) về một hệ tương đương dạng tam giác được gọi là quá trình khử, được thực hiện bởi các bước biến đổi sau đây:
Bước 1: Nếu ma trận đã có dạng ma trận bậc thang rút gọn hàng thì dừng lại.
Một ma trận chữ nhật ở dạng bậc thang (hoặc ở dạng bậc thang hàng) nếu nó có ba đặc tính sau đây:
1 Tất cả các hàng khác không đều nằm bên trên bất cứ hàng nào chứa các phần tử bằng không.
2 Mỗi phần tử dẫn đầu của mỗi hàng thì nằm trong một cột phía bên phải của phần tử dẫn đầu của hàng nằm bên trên nó.
3 Tất cả các phần tử trong một cột nằm bên dưới một phần tử dẫn đầu đều bằng không.
Nếu một ma trận ở dạng bậc thang thỏa mãn các điều kiện phụ sau đây thì nó ở dạng bậc thang rút gọn (hoặc dạng bậc thang rút gọn hàng):
(i) Phần tử dẫn đầu trong một hàng khác không là bằng 1.
(ii) Mỗi phần tử dẫn đầu 1 là một phần tử khác không duy nhất trong cột của nó.
Tìm cột đầu tiên từ bên trái có chứa phần tử khác không (gọi là phần tử a) và di chuyển hàng chứa phần tử đó lên trên cùng.
Bước 3: Bây giờ nhân cho hàng mới trên cùng với 1 a để tạo phần tử dẫn đầu là 1.
Bước 4: Trừ đi hàng đã nhân với các hàng phía dưới, để biến mỗi phần tử liền kề dưới phần tử dẫn đầu thành số không.
Bước 5: Lặp lại các bước từ 1-4 trên ma trận ở các hàng còn lại.
Quá trình dừng lại khi không còn hàng nào ở bước 5 hoặc các hàng còn lại bao gồm toàn những số không.
Sau một số hữu hạn bước, ta đưa được hệ (1.2) về dạng sau đây:
Khi đó nghiệm x ∗ = (x ∗ 1 , , x ∗ n )∈ R n tìm được nhờ phép thế ngược lần lượt từ phương trình cuối vào các phương trình nằm trên nó.
Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
Ta có ma trận bổ sung
Như vậy hệ đã cho tương đương với hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x ∗ = (3,2,1)
2.1.3 Phương pháp khử Gauss-Jordan
Phương pháp khử Gauss-Jordan thực hiện các bước tương tự như phương pháp khử Gauss, với mục tiêu khử dần các ẩn Tuy nhiên, hệ phương trình được chuyển đổi về dạng ma trận đường chéo, cho phép giải quyết mà không cần tính toán bất kỳ định thức nào.
Ma trận bổ sung ban đầu sau khi khử có dạng:
Nếu tại các bước i ta chia cho hệ số c ii thì ma trận hệ số được đưa về dạng đơn vị I n
Khi đó nghiệm của hệ phương trình là:
Tức là ta đã có các nghiệm nhưng không cần tính toán thêm.
Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss-Jordan:
Ta có ma trận bổ sung
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
x 1 = −1 x 2 = 0 x 3 = 1 x 4 = 2Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x= (−1,0,1,2)
Nhóm phương pháp giải gián tiếp
2.2.1 Kiến thức chuẩn bị a) Giới hạn của dãy vectơ
Cho n dãy số x (k) 1 , x (k) 2 , , x (k) n với k ∈ N và x (k) i là số hạng thứ k của dãy số thứ i.
Khi k → ∞, nếu mỗi thành phần thứ icủa v (k) có giới hạn là α i , thì v = (α 1 , α 2 , , α n )được gọi là giới hạn của dãy v (k)
, và ta cũng nói v (k) hội tụ tới v.
Ví dụ 2.4 Xét ba dãy
Với mỗi k, đặt v k 1 k, k 2k+ 1; 1 k 2 thì ta được một dãy vectơ hội tụ đến v
. b) Chuẩn của vectơ và chuẩn của ma trận Định nghĩa 2.1 Với v = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n , gọi max{|x 1 |, ,|x n |} là chuẩn vô hạn của vectơ v, và ký hiệu
Chuẩn vô hạn thỏa mãn ba tính chất sau:
(i)||v|| ≥0 với dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi v = 0.
(ii) ||cv||=|c|||v|| đối với vô hướng cbất kỳ.
(iii) ||v+w|| ≤ ||v||+||w||(bất đẳng thức tam giác)
Nhờ khái niệm chuẩn vô hạn, ta có định lý về tiêu chuẩn hội tụ. Định lý 2.2 v (k) hội tụ với v nếu và chỉ nếu ||v (k) −v||∞→0 khi k →0.
Trong việc xác định sự hội tụ của một dãy vectơ đến nghiệm đúng và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ, khái niệm chuẩn của ma trận là rất quan trọng Chuẩn vô hạn của ma trận thực B = (b_{ij})_{n \times n}, được ký hiệu là ||B||_{\infty}, được định nghĩa là số thực lớn nhất trong dãy các phần tử của ma trận.
||B||∞= max{0.05,0.06,0.05}= 0.06 Người ta thường dùng ba chuẩn ma trận sau: kBk 1 = maxP i
2.2.2 Phương pháp lặp đơn a) Nội dung phương pháp
Hệ phương trình tuyến tính Ax = b với n phương trình và n ẩn có thể được chuyển đổi thành dạng tương đương x = Bx + g, trong đó B là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện ||B|| < 1 và g là vectơ cột.
Cụ thể, tách ma trận A=S−T, trong đóS là ma trận khả nghịch, khi đó
Ax=b ⇔Sx=T x+b Đặt B =S −1 T, g=S −1 b, ta có hệ x=Bx+g (2.1)
Xây dựng dãy vectơ v (k) , như sau: Cho trước v (0) rồi tínhv (k) theo công thức v (k+1) =Bv (k) +g (k= 0,1, ) (2.2)
(2.2) là công thức lặp, k≥1 là số lần lặp.
Phương pháp tính v (k) thế này là phương pháp lặp đơn.
Nếu v (k) hội tụ thì ta nói phương pháp lặp đơn hội tụ.
→v Lấy giới hạn ở hai vế của v (k+1) =Bv k +g
⇒v là nghiệm của x=Bx+g,tức cũng là nghiệm của Ax=b.
Với ε >0 cho trước, nếu k đủ lớn ta luôn có kv (k) −vk∞⩽ε.
Khi đó ta nói v (k) là nghiệm xấp xỉ của nghiệm đúng v với độ chính xác ε.
Trong thực hành, chúng ta cần dừng lại ở bước thứ k và coi v(k) là nghiệm gần đúng Sự hội tụ của phương pháp và độ sai số của nghiệm xấp xỉ là những yếu tố quan trọng cần xem xét.
Phương pháp lặp đơn cho phương trình x=Bx+g với ma trận B = (b ij )n×n được áp dụng khi điều kiện kBk < 1 được thỏa mãn Theo Định lý 2.3, với mọi v(0) ∈ R n, dãy v(k) được xác định bởi v(k+1) = Bv(k) + g sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất v của phương trình Hơn nữa, sai số giữa v(k) và v được đánh giá bằng kv(k) − vk∞ ≤ ||B|| k ∞.
1) Với điều kiện của định lý 2.3 và với v (0) và ε >0 chọn trước, số lần lặp k để nghiệm xấp xỉ đạt độ chính xácε(tức là ||v (k) −v||< ε), xác định từ bất phương trình
2) Sai số trong quá trình tính toán không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng
(Phương pháp lặp đơn có khả năng tự sửa sai)
Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình:
Hệ trên tương đương x=Bx+g với:
Với v (k+1) = (x (k+1) 1 , x (k+1) 2 , x (k+1) 3 ), v (k) = (x (k) 1 , x (k) 2 , x (k) 3 ) ta xây dựng công thức tính lặp v (k+1) =Bv (k) +g, tức là: x (k+1) 1 =−0.2x (k) 2 −0.1x (k) 3 + 1 x (k+1) 2 =−0.1x (k) 1 −0.2x (k) 3 + 1.2 x (k+1) 3 =−0.1x (k) 1 −0.1x (k) 2 + 0.8 Xấp xỉ với x (0) = (0,0,0)ta thu được kết quả, thể hiện ở bảng sau: k x 1 x 2 x 3
Có thể thấy nghiệm đúng của hệ này là x (∗) 704
, do đó nghiệm x (7) tương đối chính xác.
Ta có ||B||∞= 0.3