Cấu trúc nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANGKHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC CỦA NHÓM LÊ THỊ MÀNG AN GIANG, 05 - 2021... TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANGKHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC CỦA NHÓM

LÊ THỊ MÀNG

AN GIANG, 05 - 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC CỦA NHÓM

LÊ THỊ MÀNG DTO170712

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: LÊ VĂN CHUA

AN GIANG, 05 - 2021

Khóa luận tốt nghiệp "Cấu trúc nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm" dosinh viên Lê Thị Màng thực hiện dưới sự hướng dẫn của ThS Lê Văn Chua.Tác giả đã báo cáo kết quả nghiên cứu và được Hội đồng Khoa học và Đào tạothông qua ngày / / .

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

THS LÊ VĂN CHUA

LỜI CẢM TẠ

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy (cô) của Bộ môn Toán, Khoa

sư phạm đã giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tạiTrường Đại học An Giang

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lê Văn Chua - giảng viên trựctiếp hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đã tận tình hướng dẫn, chỉbảo, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

Trong quá trình nghiên cứu, tuy tôi đã cố gắng nhưng vì năng lực còn hạnchế và đây là lần đầu tiên thực hiện nghiên cứu khoa học nên không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báucủa quý thầy (cô) để khóa luận được hoàn thiện hơn

Long Xuyên, ngày 17 tháng 05 năm 2021

Người thực hiện

Lê Thị Màng

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trongcông trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận mới về khoa học củacông trình nghiên cứu này chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Long Xuyên, ngày 17 tháng 05 năm 2021

Người thực hiện

Lê Thị Màng

MỤC LỤC

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Nhóm và nhóm con 1

1.2 Lớp ghép và chỉ số 4

1.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6

1.4 Đồng cấu nhóm 15

1.5 Nhóm con á chuẩn tắc 22

Chương 2 Cấu trúc nhóm con gần á chuẩn tắc 26

2.1 Nhóm con gần á chuẩn tắc 26

2.2 Liên hợp của nhóm con gần á chuẩn tắc 30

2.3 Nhóm con gần á chuẩn tắc hữu hạn sinh 33

Tài liệu tham khảo 37

DANH MỤC KÝ HIỆU

A ≤ G: A là nhóm con của nhóm G

A < G: A là nhóm con thực sự của nhóm G

|G|: Cấp của nhóm G

hSi: Nhóm con được sinh bởi tập S

[G : A]: Chỉ số của nhóm con A trong G

A C G: A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

xg: Phần tử liên hợp của x bởi g

Ax: Nhóm con liên hợp của A bởi x

CG(x): Tâm của x trong G

NG(A): Chuẩn hóa tử của nhóm con A trong G

CoreG(A): Lõi của nhóm con A trong G

AG: Bao đóng chuẩn tắc của nhóm con A trong G

G/A: Nhóm thương của nhóm G trên A

G ∼= H: G đẳng cấu với H

Kerϕ: Hạt nhân của đồng cấu ϕ

Imϕ: Ảnh của đồng cấu ϕ

A CC G: A là nhóm con á chuẩn tắc của nhóm G

A asn G: A là nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm G

[a, b]: Hoán tử của a và b

[X, Y ]: Nhóm con hoán tử của tập hợp X và Y

Sn: Nhóm đối xứng bậc n

ls(A, G): Chiều dài của nhóm con á chuẩn tắc A trong G

la(A, G): Chiều dài của nhóm con gần á chuẩn tắc A trong G

CHƯƠNG 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyếtnhóm: Nhóm và nhóm con, lớp ghép và chỉ số, nhóm con chuẩn tắc và nhómthương, đồng cấu nhóm, nhóm con á chuẩn tắc Những kiến thức này nhằm đểphục vụ cho chương sau

1.1 NHÓM VÀ NHÓM CON

Định nghĩa 1.1 Cho G là một tập hợp khác rỗng Ta nói rằng G là nhóm nếutồn tại phép toán hai ngôi ∗ : G × G → G thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) với mọi a, b, c ∈ G

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho e ∗ a = a = a ∗ e với mọi a ∈ G

(iii) Với mọi a ∈ G, có một phần tử a−1 ∈ G sao cho a ∗ a−1 = e = a−1∗ a

Một nhóm G được gọi là aben hay giao hoán nếu a ∗ b = b ∗ a với mọi a, b ∈ G.Phần tử e của nhóm G được gọi là đơn vị của nhóm G, phần tử a−1 ∈ G đượcgọi là nghịch đảo của a ∈ G Chú ý rằng phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảocủa một phần tử của nhóm G là duy nhất Phép toán ∗ trên G thường được kíhiệu là phép toán cộng + hoặc phép toán nhân · trên G Khi đó ta nói rằng G lànhóm đối với phép toán cộng hoặc G là nhóm đối với phép toán nhân Khi G lànhóm đối với phép toán cộng, ta gọi phần tử đơn vị là phần tử không và kí hiệu

là 0 và phần tử nghịch đảo a−1 ∈ G của a ∈ G được gọi là phần tử đối và kí hiệu

là −a Để thuận lợi cho việc trình bày, ta luôn kí hiệu phép toán ∗ là phép toánnhân · và viết a · b = ab là tích của hai phần tử a và b trong G Khi đó các điềukiện (i), (ii), (iii) của Định nghĩa 1.1 được viết lại như sau:

(i) (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c ∈ G

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho ea = a = ae với mọi a ∈ G

(iii) Với mọi a ∈ G, có một phần tử a−1 ∈ G sao cho aa−1 = e = a−1a

Định nghĩa 1.2 Cho G là nhóm Lực lượng hay số phần tử của G được gọi làcấp của G và được kí hiệu là |G| Ta nói rằng G là nhóm hữu hạn (vô hạn) nếu

|G| là hữu hạn (vô hạn)

Định nghĩa 1.3 Cho G là nhóm và A là một tập con của G Ta nói rằng A lànhóm con của G nếu A là nhóm đối với phép toán trên G và kí hiệu là A ≤ G

Một nhóm G luôn có hai nhóm con là chính G và nhóm con tầm thường {e}.Một nhóm con A của G được gọi là thực sự nếu A khác G Trong trường hợpnày, ta kí hiệu A < G.

Định lý 1.1 Cho G là nhóm và A là một tập con của G Khi đó A là nhóm concủa G nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) e ∈ A

(ii) ab ∈ A với mọi a, b ∈ A

(iii) a−1 ∈ A với mọi a ∈ A

Chứng minh: Giả sử A là nhóm con của G Ta chứng minh các điều kiện (i),(ii), (iii) được thỏa mãn Thật vậy, vì A là nhóm con của G nên tập A ổn địnhvới phép toán trên G, do đó ta có (ii) Gọi e0 là phần tử đơn vị của nhóm A.Khi đó, ta có e0e0 = e0 = ee0 suy ra e0 = e, do đó ta có (i) Gọi a0 là phần tửnghịch đảo trong nhóm A của phần tử a ∈ A Khi đó, ta có a0a = e = a−1a suy

ra a0 = a−1, do đó ta có (iii) Đảo lại, giả sử các điều kiện (i), (ii), (iii) đượcthỏa mãn Ta chứng minh A là nhóm con của G Thật vậy, điều kiện (ii) chứng

tỏ A là một tập hợp ổn định với phép toán trên G Do đó phép toán cảm sinhtrong A có tính kết hợp Với các điều kiện (i) và (iii), ta suy ra A là một nhóm

Hệ quả 1.1 Cho G là nhóm và A là một tập con của G Khi đó A là nhóm concủa G nếu và chỉ nếu e ∈ A và ab−1 ∈ A với mọi a, b ∈ A

Chứng minh: Giả sử A là nhóm con của G Ta chứng minh e ∈ A và ab−1 ∈ Avới mọi a, b ∈ A Thật vậy, theo Định lí 1.1 ta có e ∈ A Với mọi a, b ∈ A, ta

có b−1 ∈ A nên suy ra ab−1 ∈ A Đảo lại, giả sử e ∈ A và ab−1 ∈ A với mọi

a, b ∈ A Ta chứng minh A là nhóm con của G Thật vậy, ta có e ∈ A Mặt khác,với mọi a ∈ A, ta có a−1 = ea−1 ∈ A Với mọi a, b ∈ A ta có b−1 ∈ A nên suy ra

ab = a(b−1)−1 ∈ A Vậy A là nhóm con của G 

Định lý 1.2 Cho G là nhóm và {Ai | i ∈ I} là một họ các nhóm con của G.Khi đó A = T

Ai Với mọi a, b ∈ A suy ra a, b ∈ Ai với mọi i ∈ I Do đó ta có

ab−1 ∈ Ai với mọi i ∈ I, suy ra ab−1 ∈ A = T

Cho G là nhóm và S là một tập con của G Kí hiệu hSi là giao của tất cảcác nhóm con của G chứa S Theo Định lý 1.2, hSi là một nhóm con của G chứa

S Ta nhận thấy rằng hSi là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S Nhóm con hSiđược gọi là nhóm con được sinh bởi S Nếu S = {a1, a2, , an} thì ta kí hiệu

ha1, a2, , ani thay cho hSi Chú ý rằng, nếu S là nhóm thì hSi = S

Định lý 1.3 Cho G là nhóm và S là một tập con khác rỗng của G Khi đó

i a−ni

i = e ∈ A với ai ∈ S.Với mọi a, b ∈ A, khi đó a = an1

Hệ quả 1.2 Cho G là nhóm và a ∈ G Khi đó hai = {an| n ∈ Z}

Chứng minh: Hiển nhiên bởi Định lý 1.3 

Cho G là nhóm và A, B là các tập con của G Ta định nghĩa tích của A và Btrong G là tập hợp AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Ta cũng định nghĩa nghịch đảocủa A là tập hợp A−1 = {a−1 | a ∈ A} Rõ ràng, nếu A là tập con khác rỗng của

G thì A là nhóm con của G nếu và chỉ nếu AA = A và A−1= A

Mệnh đề 1.1 Cho G là nhóm Giả sử A và B là các nhóm con của G Khi đó

AB là nhóm con của G nếu và chỉ nếu AB = BA

Chứng minh: Giả sử AB là nhóm con của G Ta chứng minh AB = BA Thậtvậy, với mọi x ∈ AB thì x−1 ∈ AB, suy ra tồn tại a ∈ A và b ∈ B sao cho

x−1 = ab Do đó x = (x−1)−1 = b−1a−1 ∈ BA suy ra AB ⊆ BA Với mọi y ∈ BAsuy ra tồn tại c ∈ A và d ∈ B sao cho y = dc Do đó y−1 = c−1d−1 ∈ AB nên

y ∈ AB, suy ra BA ⊆ AB Vậy AB = BA Đảo lại, giả sử AB = BA Ta chứngminh AB là nhóm con của G Thật vậy, vì A, B là các nhóm con của G nên e ∈ A,

e ∈ B suy ra e = ee ∈ AB Với mọi x, y ∈ AB, ta có x = a1b1 với a1 ∈ A, b1 ∈ B

và y = a2b2 với a2 ∈ A, b2 ∈ B Suy ra xy−1 = (a1b1)(a2b2)−1 = a1(b1b−12 a−12 )

Ta có b1b−12 a−12 ∈ BA nên b1b−12 a−12 ∈ AB, suy ra tồn tại a3 ∈ A, b3 ∈ B sao cho

b1b−12 a−12 = a3b3 Suy ra xy−1 = a1(a3b3) = (a1a3)b3 ∈ AB Vậy AB là nhóm con

1.2 LỚP GHÉP VÀ CHỈ SỐ

Định nghĩa 1.4 Cho G là nhóm, A là một nhóm con của G và x ∈ G Tập con

xA = {xa | a ∈ A} của G được gọi là một lớp ghép trái của A trong G và tậpcon Ax = {ax | a ∈ A} của G được gọi là một lớp ghép phải của A trong G.Định lý 1.4 Cho G là nhóm và A là một nhóm con của G Khi đó

(i) G là hợp của tất cả các lớp ghép trái (phải) của A trong G

(ii) Hai lớp ghép trái (phải) của A trong G hoặc rời nhau hoặc bằng nhau.(iii) xA = yA nếu và chỉ nếu x−1y ∈ A với mọi x, y ∈ G

(iv) Ax = Ay nếu và chỉ nếu xy−1 ∈ A với mọi x, y ∈ G

(v) |xA| = |A| = |Ax| với mọi x ∈ G

(vi) Nếu L là tập hợp của các lớp ghép trái của A trong G và R là tập hợp củacác lớp ghép phải của A trong G thì |L| = |R|

Chứng minh: (i) Ta chứng minh G = S

x∈G

xA Hiển nhiên ta có S

x∈G

xA ⊆ G.Mặt khác, với mọi x ∈ G, ta có x = xe ∈ xA (vì e ∈ A) Suy ra G ⊆ S

x∈G

xA.Vậy G = S

ta có yb1 = ybb−1b1 = xab−1b1 ∈ xA Vậy xA = yA Tương tự, ta cũng cóvới mọi x, y ∈ G thì Ax ∩ Ay = ∅ hoặc Ax = Ay

(iii) Giả sử xA = yA Ta chứng minh x−1y ∈ A Thật vậy, vì xA = yA nên tồntại a ∈ A sao cho xe = ya hay x = ya Suy ra

là toàn ánh Vậy f là song ánh Do đó ta có |A| = |xA|.

y−1A ∈ L sao cho f (y−1A) = A(y−1)−1 = Ay Do đó f là toàn ánh Vậy f

và bj = brk Do đó bjA = brkA = brA và j = r Do đó các lớp ghép aibjA rờinhau từng đôi một Từ đó suy ra [G : A] = |I × J | = |I||J | = [G : B][B : A] 

Hệ quả 1.3 (Định lý Lagrange) Giả sử A là một nhóm con của nhóm G Khi

đó, |G| = [G : A]|A| Hơn nữa, nếu G là nhóm hữu hạn thì [G : A] = |G|/|A|

Chứng minh: Ta có {e} ≤ A ≤ G Khi đó, theo Định lý 1.5 ta có

[G : {e}] = [G : A][A : {e}]

Vì [G : {e}] = |G| và [A : {e}] = |A| nên suy ra |G| = [G : A]|A| Nếu G là nhómhữu hạn thì |G| < ∞ do đó [G : A] = |G|/|A| Mệnh đề 1.2 Giả sử A, B là các nhóm con của nhóm G Khi đó, nếu [G : A]

là hữu hạn và [G : B] là hữu hạn thì [G : A ∩ B] là hữu hạn Hơn nữa,

[G : A ∩ B] ≤ [G : A][G : B]

Chứng minh: Gọi L1, L2 và L3 lần lượt là tập hợp các lớp ghép trái của A ∩ Btrong G, tập hợp các lớp ghép trái của A trong G và tập hợp các lớp ghép tráicủa B trong G Xét tương ứng

f : L1 −→ L2× L3g(A ∩ B) 7−→ (gA, gB)

Ta chứng minh f là đơn ánh Thật vậy, giả sử với mọi g1(A ∩ B), g2(A ∩ B) ∈ L1sao cho g1(A ∩ B) = g2(A ∩ B) thì ta có g1−1g2 ∈ A ∩ B Suy ra g1−1g2 ∈ A và

1.3 NHÓM CON CHUẨN TẮC VÀ NHÓM THƯƠNG

Định nghĩa 1.6 Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Ta nói rằng A lànhóm con chuẩn tắc của G nếu xA = Ax với mọi x ∈ G và kí hiệu là AC G.Định lý 1.6 Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Khi đó A là nhóm conchuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu xax−1 ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi x ∈ G

Chứng minh: Giả sử A là nhóm con chuẩn tắc của G Với mọi a ∈ A và vớimọi x ∈ G, ta có xa ∈ xA = Ax Do đó tồn tại b ∈ A sao cho xa = bx Rõ ràngxax−1 = b ∈ A Đảo lại, giả sử xax−1 ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi x ∈ G, ta sẽchứng minh xA = Ax với mọi x ∈ G Lấy g ∈ xA Khi đó tồn tại b ∈ A sao cho

g = xb Ta có g = xb = (xbx−1)x Do xbx−1 ∈ A nên g ∈ Ax và do đó xA ⊆ Ax.Chứng minh tương tự, ta cũng có Ax ⊆ xA Vậy xA = Ax với mọi x ∈ G và do

đó A là nhóm con chuẩn tắc của G 

Định lý 1.7 Cho G là nhóm và A, B, C là các nhóm con của G Khi đó

(i) Nếu AC B thì A ∩ C C B ∩ C

(ii) Nếu A ≤ B và C C G thì AC ≤ BC

(iii) Nếu AC B và C C G thì AC C BC

(iv) Nếu B C G thì A ∩ B C A và B C AB

(v) Nếu B C G thì AB = hA, Bi = BA

Chứng minh: (i) Dễ thấy A ∩ C ≤ B ∩ C Với mọi a ∈ A ∩ C và với mọi

x ∈ B ∩ C, ta chứng minh xax−1 ∈ A ∩ C Thật vậy, vì x ∈ B ∩ C nên

x ∈ B và x ∈ C Tương tự ta cũng có a ∈ A và a ∈ C Vì A C B nênxax−1 ∈ A Mặt khác vì C ≤ G nên xax−1 ∈ C Do đó xax−1 ∈ A ∩ C Vậy

A ∩ C C B ∩ C

(ii) Ta chứng minh AC ≤ G Thật vậy, vì A ≤ G và C ≤ G nên e = ee ∈ AC.Với mọi x, y ∈ AC, khi đó x = a1c1, y = a2c2 với a1, a2 ∈ A và c1, c2 ∈ C Ta

có xy−1 = (a1c1)(a2c2)−1 = a1c1c−12 a−12 = (a1a−12 )(a2c1c−12 a−12 ) Vì C C Gnên xy−1 ∈ AC Vậy AC ≤ G Tương tự ta cũng có BC ≤ G Mặt khác dễthấy AC ⊆ BC nên AC ≤ BC

(iii) Dễ thấy AC ≤ BC Ta chứng minh AC C BC Thật vậy, với mọi x ∈ AC

và y ∈ BC, khi đó x = ac và y = bd với a ∈ A, b ∈ B và c, d ∈ C Khi đó ta

có yxy−1 = (bd)(ac)(bd)−1 = bdacd−1b−1 = (bdb−1)(bab−1)(bcd−1b−1)

(iv) Vì BC G nên suy ra A ∩ B C A ∩ G Mặt khác, vì A ≤ G nên A ∩ B C A

Dễ thấy B ≤ AB ≤ G Mặt khác vì B C G nên B C AB

(v) Dễ thấy A ⊆ AB và B ⊆ AB nên suy ra A ∪ B ⊆ AB Do đó hA, Bi ⊆ AB.Mặt khác AB ⊆ hA, Bi Do đó AB = hA, Bi Vậy AB = hA, Bi = BA 

Định lý 1.8 Cho G là nhóm, AC G và B C G Khi đó

(i) A ∩ BC G

(ii) AB C G

(iii) Nếu A ∩ B = {e} thì ab = ba với mọi a ∈ A, b ∈ B.

Chứng minh: (i) Dễ thấy A∩B ≤ G Mặt khác, với mọi g ∈ G và x ∈ A∩B, vì

A C G và B C G nên ta có gxg−1 ∈ A và gxg−1 ∈ B Suy ra gxg−1 ∈ A ∩ B.Vậy A ∩ BC G

(ii) Dễ thấy AB ≤ G Mặt khác, với mọi g ∈ G và x ∈ AB, suy ra tồn tại a ∈ A

và b ∈ B sao cho x = ab Vì A C G và B C G nên ta có gag−1 ∈ A vàgbg−1 ∈ B Suy ra gxg−1 = gabg−1= (gag−1)(gbg−1) ∈ AB Vậy AB C G.(iii) Với mọi a ∈ A và b ∈ B, vì AC G nên bab−1 ∈ A, suy ra tồn tại a1 ∈ A saocho bab−1 = a1 Ta có a1a−1 = bab−1a−1 Vì B C G nên ab−1a−1 ∈ B Suy

ra a1a−1 ∈ B Mặt khác, vì a1a−1 ∈ A nên a1a−1 = e, suy ra a1 = a Do đóbab−1 = a hay ab = ba 

Bổ đề 1.1 Cho G là nhóm và A, B, C là các nhóm con của G Khi đó

(i) Nếu A ≤ B và [B : A] là hữu hạn thì [B ∩ C : A ∩ C] là hữu hạn

(ii) Nếu A ≤ B, C C G và [B : A] là hữu hạn thì [BC : AC] là hữu hạn

Chứng minh: (i) Gọi L1 và L2 lần lượt là tập hợp các lớp ghép trái của A ∩ Ctrong B ∩ C và tập hợp các lớp ghép trái của A trong B Xét tương ứng

f : L1 −→ L2k(A ∩ C) 7−→ kA

Giả sử với mọi k1(A∩C), k2(A∩C) ∈ L1 sao cho k1(A∩C) = k2(A∩C) thì ta

có k1−1k2 ∈ A ∩ C Suy ra k−11 k2 ∈ A nên k1A = k2A Do đó f là ánh xạ Mặtkhác, với mọi k1(A∩C), k2(A∩C) ∈ L1 sao cho f (k1(A∩C)) = f (k2(A∩C))hay k1A = k2A thì ta có k1−1k2 ∈ A Mặt khác vì k−11 k2 ∈ B ∩ C nên

k−11 k2 ∈ C Do đó k1−1k2 ∈ A ∩ C Suy ra k1(A ∩ C) = k2(A ∩ C) Vậy f làđơn ánh Do đó ta có |L1| ≤ |L2| Suy ra [B ∩ C : A ∩ C] ≤ [B : A] Do đó,nếu [B : A] là hữu hạn thì [B ∩ C : A ∩ C] là hữu hạn

(ii) Vì [B : A] là hữu hạn nên tồn tại các bi ∈ B, i = 1, n sao cho B =

Cho G là nhóm và x ∈ G Phần tử xg = gxg−1 được gọi là liên hợp của xbởi g ∈ G Hai phần tử x, y ∈ G được gọi là liên hợp nếu tồn tại g ∈ G sao cho

y = xg Rõ ràng quan hệ liên hợp của các phần tử trong G là một quan hệ tươngđương trên G Tập hợp [x] = {xg | g ∈ G} được gọi là lớp liên hợp của x Đặt

CG(x) = {g ∈ G | gx = xg} Ta gọi CG(x) là tâm của x trong G Giả sử A là mộtnhóm con của G Đặt Ax = {ax | a ∈ A} = xAx−1 Dễ dàng kiểm tra được Axcũng là một nhóm con của G Ta gọi Ax là nhóm con liên hợp của A bởi x Hainhóm con A và B của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại x ∈ G sao cho B = Ax

Dễ dàng kiểm tra được quan hệ liên hợp của các nhóm con trong G là một quan

hệ tương đương trên các nhóm con của G Đặt NG(A) = {x ∈ G | Ax = A} Rõràng NG(A) là một nhóm con của G chứa A Ta gọi NG(A) là chuẩn hóa tử của

A trong G Chú ý rằng NG(A) = {x ∈ G | xA = Ax}

Định lý 1.9 Cho G là nhóm, A là một nhóm con của G và x ∈ G Khi đó

(i) [G : CG(x)] là số các phần tử của G liên hợp với x

(ii) [G : NG(A)] là số các nhóm con của G liên hợp với A

(iii) [G : A] = [G : Ax]

(iv) Mọi nhóm con A của G đều là nhóm con chuẩn tắc của NG(A)

(v) Nếu AC H ≤ G thì H ⊆ NG(A)

(vi) A là nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu NG(A) = G

Chứng minh: (i) Với mọi g, h ∈ G, ta có

xg = xh ⇔ xh−1g = x ⇔ h−1g ∈ CG(x) ⇔ hCG(x) = gCG(x)

Do đó [G : CG(x)] là số các phần tử của G liên hợp với x

(ii) Với mọi x, y ∈ G, ta có

Ax = Ay ⇔ Ay−1x = A ⇔ y−1x ∈ NG(A) ⇔ yNG(A) = xNG(A)

Do đó [G : NG(A)] là số các nhóm con của G liên hợp với A

(iv) Với mọi a ∈ A, x ∈ NG(A) ta có xax−1 = ax ∈ Ax = A Vậy A C NG(A)

(v) Với mọi a ∈ A, h ∈ H, vì A C H nên ah = hah−1 ∈ A Suy ra Ah ⊆ A.Mặt khác A = (Ah−1)h ⊆ Ah Suy ra Ah = A Do đó h ∈ NG(A) Vậy

H ⊆ NG(A)

(vi) Giả sử A C G Khi đó ta có G ⊆ NG(A) bởi (v) Do đó G = NG(A) Đảolại, giả sử NG(A) = G thì A C NG(A) = G Vậy A C G nếu và chỉ nếu

Bổ đề 1.2 Cho G là nhóm, g ∈ G và A, B là các nhóm con của G Khi đó

(i) A là nhóm con của B nếu và chỉ nếu Ag là nhóm con của Bg

(ii) A là nhóm con chuẩn tắc của B nếu và chỉ nếu Ag là nhóm con chuẩn tắccủa Bg

(iii) Nếu A là nhóm con của B thì [B : A] = [Bg : Ag]

Chứng minh: (i) Giả sử A ≤ B Ta chứng minh Ag ≤ Bg Thật vậy, vì A ≤ G

và B ≤ G nên Ag ≤ G, Bg ≤ G Mặt khác vì A ⊆ B nên Ag ⊆ Bg Do

đó Ag ≤ Bg Đảo lại, giả sử Ag ≤ Bg Ta chứng minh A ≤ B Thật vậy, vì

Ag ⊆ Bg hay gAg−1 ⊆ gBg−1 nên ta có g−1gAg−1g ⊆ g−1gBg−1g Suy ra

(iii) Với mọi g ∈ G, gọi L và Lg lần lượt là tập hợp các lớp ghép trái của A trong

B và tập hợp các lớp ghép trái của Ag trong Bg Khi đó ta có |L| = [B : A]

Cho G là nhóm và A là một tập con của G Đặt AG giao của tất cả các nhómcon chuẩn tắc của G chứa A Chú ý rằng AG là một nhóm con chuẩn tắc của Gchứa A Ta gọi AGlà bao đóng chuẩn tắc của A trong G Rõ ràng AGlà một nhómcon chuẩn tắc nhỏ nhất của G chứa A, nghĩa là nếu H là một nhóm con chuẩntắc của G chứa A thì H chứa AG Dễ dàng kiểm tra được AG = hAx | x ∈ Gi Ta

sẽ mở rộng định nghĩa này cho mọi tập con A và B của nhóm G như sau:

AB = hAb | b ∈ Bi

Định lý 1.10 Giả sử A và B là các nhóm con của một nhóm G Khi đó

(i) AB là nhóm con chuẩn tắc của ABB

(ii) hA, Bi = ABB

(iii) Nếu AB = A thì A là nhóm con chuẩn tắc của hA, Bi = AB

(iv) Nếu C là một nhóm con của G thì CAB = (CB)A

Chứng minh: (i) Dễ thấy AB là nhóm con của G Ta chứng minh ABB lànhóm con của G Thật vậy, với mọi b ∈ B, x ∈ AB thì tồn tại ai ∈ A,

Dễ thấy AB ⊆ ABB suy ra AB ≤ ABB Ta chứng minh AB C ABB

Thật vậy, với mọi x ∈ AB, y ∈ ABB thì tồn tại ai, aj ∈ A và bi, bj, b ∈ Bvới i =1, n và j = 1, m sao cho x =

(iii) Vì AB = A nên theo (i) ta có A là nhóm con chuẩn tắc của AB Mặt khác,theo (ii) thì ta có hA, Bi = ABB = AB Do đó ta có A là nhóm con chuẩntắc của hA, Bi = AB.

(iv) Với mọi x ∈ CAB thì tồn tại các ai ∈ A, bi ∈ B và ci ∈ C với i = 1, n sao cho

G0 Giả sử X và Y là các tập hợp con của G Hoán tử của X và Y là nhóm con[X, Y ] =

Định lý 1.11 Cho A và B là các nhóm con của G Khi đó

(i) [A, B] = [B, A]

(ii) [A, B]A= [A, B]

(ii) Dễ thấy [A, B] ⊆ [A, B]A Mặt khác, với mọi x ∈ [A, B]A thì tồn tại các

ai, a0i ∈ A và bi ∈ B với i = 1, n sao cho

(iii) Ta chứng minh A[A, B] ≤ G Thật vậy, với mọi a ∈ A và x ∈ [A, B] tồn tạicác ai ∈ A và bi ∈ B với i = 1, n sao cho x =

Suy ra A[A, B] = [A, B]A Do đó A[A, B] ≤ G

Ta chứng minh AB = A[A, B] Thật vậy, với mọi x ∈ A[A, B] thì tồn tại

a, ai ∈ A và bi ∈ B với i = 1, n sao cho x = a

ai(a−1i )bi] ∈ AB Do đó ta có A[A, B] ⊆ AB Mặt khác, với mọi

y ∈ AB thì tồn tại các cj ∈ A và dj ∈ B với j = 1, m sao cho y = Qm

j=1

cdj

j Suy ra y =

Suy ra [A, B]C A[A, B] Mà A[A, B] = AB nên [A, B]C AB 

Định lý 1.12 Cho G là nhóm và A một nhóm con chuẩn tắc của G Giả sửG/A là tập hợp của các lớp ghép trái của A trong G Khi đó G/A là một nhómđối với phép toán được xác định bởi (xA)(yA) = xyA Hơn nữa,

(i) |G/A| = [G : A]

(ii) G/A là aben nếu G là aben

(iii) G/A là aben nếu và chỉ nếu xyx−1y−1 ∈ A với mọi x, y ∈ G

Chứng minh: Ta chứng minh G/A là một nhóm đối với phép toán được xácđịnh bởi (xA)(yA) = xyA Thật vậy, với mọi xA, yA, zA ∈ G/A, ta có

[(xA)(yA)](zA) = (xyA)(zA) = (xy)zA = x(yz)A = (xA)[(yA)(zA)]

Xét eA ∈ G/A với e là phần tử đơn vị của A Khi đó với mọi xA ∈ G/A, ta có(eA)(xA) = exA = xA = xeA = (xA)(eA) Mặt khác, với mọi xA ∈ G/A thì tồntại x−1A ∈ G/A thỏa (xA)(x−1A) = xx−1A = eA = x−1xA = (x−1A)(xA) Do

đó (xA)−1 = x−1A Vậy G/A là một nhóm

(i) Hiển nhiên theo định nghĩa của chỉ số

(ii) Với mọi xA, yA ∈ G/A, vì G là aben nên

(xA)(yA) = xyA = yxA = (yA)(xA)

Do đó G/A là aben

(iii) Giả sử G/A là aben Ta chứng minh xyx−1y−1 ∈ A với mọi x, y ∈ G.Thật vậy, với mọi x, y ∈ G, ta có (y−1A)(x−1A) = (x−1A)(y−1A) Suy ra

y−1x−1A = x−1y−1A Do đó, ta có (y−1x−1)−1(x−1y−1) = xyx−1y−1 ∈ A.Đảo lại, giả sử xyx−1y−1 ∈ A với mọi x, y ∈ G Ta chứng minh G/A là aben.Thật vậy, với mọi xA, yA ∈ G/A, vì y−1, x−1 ∈ G nên

y−1x−1(y−1)−1(x−1)−1 = y−1x−1yx = (xy)−1(yx) ∈ A

Do đó xyA = yxA hay (xA)(yA) = (yA)(xA) Vậy G/A là aben 

Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Theo Định lý 1.12,G/A là một nhóm Nhóm G/A được gọi là nhóm thương của G trên A

Mệnh đề 1.3 Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G thì mọinhóm con của nhóm thương G/A đều có dạng H/A, trong đó H là nhóm con của

G chứa A Hơn nữa, H/A là nhóm con chuẩn tắc của G/A nếu và chỉ nếu H lànhóm con chuẩn tắc của G

Chứng minh: Giả sử H là nhóm con của G chứa A Khi đó, vì A C G nên

A C H Suy ra H/A là nhóm con của G/A Giả sử X là một nhóm con của G/A

Rõ ràng X phải có dạng K/A Khi đó K là nhóm con của G chứa A Vậy mọinhóm con của nhóm thương G/A đều có dạng H/A, trong đó H là nhóm con của

G chứa A

Ta chứng minh H/AC G/A nếu và chỉ nếu H C G

Giả sử H/A C G/A Ta chứng minh H C G Thật vậy, với mọi h ∈ H và

g ∈ G, vì H/A C G/A nên ta có

(gA)(hA)(gA)−1 = (gA)(hA)(g−1A) = (ghg−1)A ∈ H/A

Suy ra ghg−1 ∈ H Do đó H C G

Đảo lại, giả sử H C G Ta chứng minh H/A C G/A Thật vậy, với mọi

hA ∈ H/A và gA ∈ G/A, ta có

(gA)(hA)(gA)−1 = (gA)(hA)(g−1A) = (ghg−1)A

Vì H C G nên ghg−1 ∈ H Do đó (gA)(hA)(gA)−1 = (ghg−1)A ∈ H/A Vậy

Hệ quả 1.4 Cho G là một nhóm và A, B, C là các nhóm con của G Giả sử

A ≤ B ≤ C và A C C Khi đó B C C nếu và chỉ nếu B/A C C/A

Chứng minh: Vì A C C và B là nhóm con của C chứa A nên B/A là nhóm concủa C/A Theo Mệnh đề 1.3 thì B C C nếu và chỉ nếu B/A C C/A 

Định lý 1.13 Cho G là nhóm và A, B, C là các nhóm con của G Khi đó, nếu

A ≤ B ≤ C và A C C thì [C : B] = [C/A : B/A]

Chứng minh: Gọi L3 và L4 lần lượt là tập hợp các lớp ghép trái của B trong

C và tập hợp các lớp ghép trái của B/A trong C/A Xét ánh xạ ϕ : L3 −→ L4

xác định bởi ϕ(cB) = cA(B/A) Ta chứng minh ϕ là song ánh Thật vậy, giả sử

c1B, c2B ∈ L3 sao cho c1B 6= c2B, suy ra c−11 c2 ∈ B Do đó/

Giả sử ϕ : G → H và ψ : H → K là các đồng cấu Khi đó dễ dàng thấy rằnghợp thành ψϕ : G → K cũng là một đồng cấu Hơn nữa, hợp thành của hai đơncấu (toàn cấu, đẳng cấu) cũng là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nếu eG là phần

tử đơn vị của nhóm G, eH là phần tử đơn vị của nhóm H và ϕ : G → H là mộtđồng cấu thì ϕ(eG) = eH và ϕ(a−1) = (ϕ(a))−1