toán tài chính tổng hợp

Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại hợp lý của thương phiếu, thường được ký hiệu là Er.. Một thương phiếu được gọi là tươn

Trường đại học Kinh doanh và công nghệ hà nội

********

Phan đức châu

Toán tài chính

Hà nội -2009

Lời nói đầu

Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng Toán Tài chính xây dựng một cách có

hệ thống các công thức, phương trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, tư bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu, Toán tài chính cũng còn được áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án

đầu tư, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh toán các khoản

nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt được áp dụng trên thị trường chứng khoán Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng, Quản trị kinh doanh…

Cuốn sách này bước đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính Có một

số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn chưa được áp dụng trong các ngân hàng ở Việt Nam, nhưng trong tương lai không xa, sẽ được dùng phổ biến theo tập quán của các ngân hàng trên thế giới

Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị trường chứng khoán chưa được đề cập đến Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này Cuốn sách này được dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và sinh viên trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội Hy vọng cuốn sách đáp ứng

được yêu cầu đào tạo của Nhà trường

Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính Đó là các bảng cho sẵn các giá trị với 6 hoặc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thường dùng trong Toán tài chính, giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn

Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được sự

đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc

Người biên soạn

Mục lục

Chương I Lãi đơn 9

Đ1 Đại cương 9

1 Định nghĩa 9

2 Lãi đơn 9

3 Giá trị thu được 10

4 Lãi suất trung bình 10

5 Lãi suất hiệu dụng 11

Đ2 Phương pháp thực hành tính lãi đơn 11

1 Phương pháp số và ước số cố định 11

2 Trường hợp năm dân sự 12

Chương II Chiết khấu theo lãi đơn 14

Đ1 Chiết khấu 14

1 Thương phiếu 14

2 Chiết khấu 14

3 Chiết khấu thương mại theo lãi đơn 14

4 Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15

5 Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý 16

Đ2 Thực hành chiết khấu 17

1 Chi phí chiết khấu (agio) 17

2 Giá trị ròng của thương phiếu 18

3 Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18

Đ3 Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơn 20

1 Các định nghĩa 20

2 Định lý về sự tương đương 21

Đ4 Một số bài toán ứng dụng 23

1 Bài toán về thời hạn trả chung 23

2 Bài toán về thời hạn trả trung bình 23

Chương III Lãi gộp 25

Đ1 Đại cương 25

Đ2 Công thức tính lãi gộp 25

1 Giá trị thu được 25

2 áp dụng 25

3 Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26

4 Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương 29

Đ3 Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30

1 Hiện tại hoá 30

2 Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30

3 Chiết khấu theo lãi gộp 31

Đ4 Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 32

1 Định nghĩa 32

2 Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu 33

3 Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34

4 Các ví dụ áp dụng 34

Đ5 So sánh các loại chiết khấu 37

1 Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp 37

2 So sánh Ec và Er 37

3 So sánh Ec và e 37

4 So sánh Er và e 38

5 Tóm tắt 38

Đ 6 Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38

1 Tư bản hoá liên tục 38

2 Hiện tại hoá liên tục 39

Chương IV Dãy niên kim 40

Đ1 Đại cương 40

1 Định nghĩa 40

2 Các loại dãy niên kim 40

Đ2 Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40

1 Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40

2 Các ví dụ áp dụng 41

3 Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44

Đ3 Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45

1 Số tiền thu được 45

2 Giá trị hiện tại 45

Đ4 Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46

1 Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46

2 Thời hạn trả trung bình 47

3 Sự tương đương của các dãy niên kim 48

Đ5 Dãy niên kim bất kỳ 48

1 Tổng quát 48

2 Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49

3 Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49

Đ6 áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 51

1 Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR 51

2 Ví dụ 53

Chương V Thanh toán nợ thông thường 55

Đ1 Đại cương 55

1 Phương thức vay vốn 55

2 Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường 55

3 Bảng thanh toán nợ 56

Đ2 Thanh toán nợ thông thường 56

1 Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56

2 Các quy tắc cơ bản 58

3 Ví dụ 60

4 Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (ak = a = const) 61

5 Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (mk = m = const) 63

Đ3 Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 64

1 Vay nợ với tiền lãi trả trước 64

2 Thanh toán nợ gốc một lần 66

Chương VI Thanh toán nợ trái phiếu 67

Đ1 Đại cương 67

Đ2 Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67

1 Cơ sở dữ liệu 67

2 Các công thức 68

3 Một số trường hợp thanh toán đặc biệt 70

4 Bảng thanh toán nợ 71

5 Tình hình thanh toán trái phiếu 73

Đ3 Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 74

1 Median của trái phiếu 74

2 Thời hạn trung bình của trái phiếu 75

Đ4 Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 76

1 Khái niệm 76

2 Trường hợp niên kim cố định 77

3 Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77

4 Ví dụ 78

5 Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu 79

Chương VII Định giá các khoản nợ 81

Đ1 Định giá khoản nợ thông thường 81

1 Định giá 81

2 Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81

3 Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82

4 Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82

5 Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt 84

Đ2 Định giá khoản nợ trái phiếu 87

1 Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87

2 Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89

3 Các ví dụ 89

Bài tập 92

Chương I

Lãi đơn

Đ1 Đại cương

1 Định nghĩa

Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm cho người cho vay, sau một khoảng thời

gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu

Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g

đang xét và số tiền đi vay Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một

đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thường

được tính bằng %

Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị được xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt

đầu tính lãi

Giá trị thu được (Số tiền thu được) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá

trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm

đang xét (thời hạn cho vay)

2 Lãi đơn

Lãi đơn là tiền lãi được tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất

cố định Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay

Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi suất một năm Khi đó

I = C.i.a Thông thường, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9) Khi đó

100

C.t.a

I  (1) Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có

1200

C.t.m

I  (2) Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có

36000C.t.n

I  (3)

ICC'    (4a)

4 Lãi suất trung bình

Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác

nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi Giả sử có p khoản vốn Ci cho vay với là lãi suất ti và thời hạn cho vay ni tương ứng Gọi

T là lãi suất trung bình, ta có:

i i i p

1 i

i i

36000

.n.tC36000

.T.nC

p

1 i

i i i

nC

ntC

Ví dụ:

Một người cho vay 3 khoản vốn như sau

Vốn Lãi suất Thời hạn cho vay

Lãi suất trung bình là 8,04%

5 Lãi suất hiệu dụng

Trường hợp người cho vay được trả lãi trước, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng

sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận

Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu được một khoản lãi I Do I được trả trước, nên thực tế vào thời điểm 0, người đó chỉ cho vay khoản tiền là (C-I) Số vốn (C-I) ban

đầu đã tạo nên số tiền lãi I Gọi t’ là lãi suất hiệu dụng, khi đó:

36000

C.t.nI

36000

I).t'.n(C

Ct'

x 300020000

20000



Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58%

Đ2 Phương pháp thực hành tính lãi đơn

1 Phương pháp số và ước số cố định

Trong công thức

I =36000Ctn

ta chia cả tử và mẫu cho t và được

I =

t36000Cn

Kí hiệu N = Cn và D =

t

36000, ta sẽ có

I = D

N (7)

Đại lượng N được gọi là số Đại lượng D được gọi là ước số cố định Giá trị D sẽ ổn định

khi lãi suất chưa thay đổi và được dùng chung cho các trường hợp vốn và thời hạn khác nhau

euro97,216x213)50052625x183(5500x52

4000

1

)nCnCn(CD

1)NN(ND

1I

Ví dụ:

Sự chênh lệch giữa lãi thương mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu tư với lãi suất 9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng Tìm nguồn vốn C

Giải:

36500

Cx9,5x7236000

36000x3650

36000)36500

 triệu đồng

Thông thường, thương phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu

Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một người (người ký phát) gửi cho một

người khác (người bị ký phát) để yêu cầu người này phải trả, vào một ngày xác định, số tiền ghi trên hối phiếu cho chính người ký phát hoặc cho một người xác định (người

được hưởng)

Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một người lập và ký tên, gửi cho một

người khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản tiền cho người đó hoặc cho người được hưởng

Số tiền ghi trên thương phiếu được gọi là mệnh giá của thương phiếu

Ngày mà người bị ký phát phải trả tiền được gọi là ngày đáo hạn của thương phiếu

Một thương phiếu có thể được chuyển nhượng dễ dàng

2 Chiết khấu

Khi chưa đến ngày đáo hạn, người được hưởng đem thương phiếu đến ngân hàng yêu

cầu chiết khấu Chiết khấu thương phiếu là một nghiệp vụ tài chính thực hiện bằng việc

bán lại thương phiếu chưa đến hạn cho ngân hàng: ngân hàng trả một số tiền ghi trên thương phiếu sau khi đã trừ bớt một khoản tiền

Khoản tiền bị trừ bớt được gọi là tiền chiết khấu

Giá trị hiện tại của thương phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu

Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có

3 Chiết khấu thương mại theo lãi đơn

Số tiền chiết khấu thương mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thương phiếu,

thường được kí hiệu là Ec

Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu được gọi là ngày thỏa thuận Gọi t là lãi suất chiết

khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn Số tiền chiết khấu thương mại Ec được tính như công thức lãi đơn:

D

Cn36000

Ctn

Khi đó giá trị hiện tại thương mại sẽ là

Vc = C - Ec Vậy

36000

tn)C(3600036000

CtnC

hay

D

n)C(DD

CnC

Vc     (3’)

Ví dụ:

Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 của một thương phiếu chiết khấu với lãi suất 9% là 7.868 USD Nếu thương phiếu này được chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8 Tìm mệnh giá và ngày đáo hạn của thương phiếu

36000

9x30)C(36000

suy ra

C = 8.000 (USD) Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có

36000

8000x9xn7868

8000  hay n = 66 (ngày) Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8 Đó là ngày 30/10

4 Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn

Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu,

thường được ký hiệu là Er Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu Vr

Vậy

Er = D

nVVE

V

r r r

D

 (4) Mặt khác

Er = C - Vr = C -

nD

Cnn

NnD

 số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý,

 giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu

45

x 1260n

Giá trị hiện tại hợp lý: Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro)

5 Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý

Nn n

D

N D

N E - E r c

nnD

nEnD

nD

Ta tính

D

nD

nDNDNE

nN

DN

nDE

1E

1

c r

1E

1

c r



 (9)

Đ2 Thực hành chiết khấu

1 Chi phí chiết khấu (agio)

Khi một thương phiếu được đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết

khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các

hoạt động tài chính Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio)

Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau:

 Tiền chiết khấu

 Các loại hoa hồng

 Thuế đánh vào các hoạt động tài chính

Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng Chúng được phân thành các loại sau:

 Tiền hoa hồng được tính tỉ lệ thuận theo thời hạn Công thức tính các loại

hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhượng) tương tự như tính chiết khấu nhưng với lãi suất khác,

 Tiền hoa hồng được tính không phụ thuộc vào thời hạn,

 Tiền hoa hồng cố định Đó là các lệ phí tính theo từng thương phiếu như lệ

phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấp thuận chiết khấu,…

2 Giá trị ròng của thương phiếu

Giá trị ròng của thương phiếu là số tiền mà người được hưởng thực sự nhận được sau khi

đã khấu trừ agio Vậy:

Giá trị ròng = Mệnh giá - agio Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu

3 Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu

Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tăng lãi suất mà người được hưởng phải gánh chịu

Lãi suất chiết khấu t thoả thuận được rút ra từ công thức:

Ec = Ctn

36000 Vậy

t = E 36000c

CnTrên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải Ec), vì vậy lãi suất thực tế

chiết khấu T sẽ được tính bởi công thức:

Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng

Ví dụ 1:

Một thương phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu ngày 1/10 Người được hưởng chấp nhận các điều kiện sau:

Lãi suất chiết khấu: 8,60%

Lãi suất hoa hồng chuyển nhượng: 0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn)

Lệ phí phục vụ: 1 euro/1 thương phiếu

Lệ phí báo có: 2,5 euro/1 thương phiếu

Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60%

Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu

36000  0,666 Hoa hồng cố định: 1+2,5 = 3,500

T’ = 19,12 x 36000 11, 71980,88 x 60  (%)

Ví dụ 2:

Ngày 1/10 một doanh nghiệp đưa đến Ngân hàng một thương phiếu để chiết khấu Ngày

đáo hạn của thương phiếu là 31/12 Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suất giá thành chiết khấu

1T

nT

1T'







Vậy

91

x 9,636000

9,6

x 36000T.n

36000

a) Sự tương đương của hai thương phiếu

Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu

đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu cùng lãi suất

và cùng phương thức

Ngày mà hai thương phiếu tương đương được gọi là thời điểm tương đương Thời điểm

này phải xẩy ra trước ngày đáo hạn của hai thương phiếu

Gọi C1, C2 là mệnh giá của hai thương phiếu, V1, V2 là giá trị hiện tại của hai thương phiếu Tại thời điểm tương đương, ta có

V1 = V2

C1 - E1 = C2 - E2Thông thường trong tính toán tương đương của các thương phiếu, ta dùng chiết khấu thương mại

Gọi n1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu Ta có sơ đồ sau:

nC

2 1 1

hay

D

)n-(DCD

)n(D

1

nD

nDC

C





Chú thích:

n1 < n2  C1 < C2Hai thương phiếu cùng mệnh giá nhưng thời hạn khác nhau, không thể tương đương nhau (tương tự, khi chúng khác mệnh giá nhưng cùng thời hạn thì cũng không thể tương

đương nhau)

b) Sự tương đương của một thương phiếu với nhóm nhiều thương phiếu khác

Một thương phiếu được gọi là tương đương với một nhóm nhiều thương phiếu khác vào

một ngày nào đó, nếu giá trị hiện tại của thương phiếu bằng tổng các giá trị hiện tại của cả nhóm thương phiếu vào ngày đó, khi chúng được đem chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức

Gọi C là mệnh giá của thương phiếu đang xét và {Ck, k=1, ,p} là các mệnh giá của nhóm các thương phiếu Gọi thời hạn tương ứng của chúng là n và {nk, k=1, ,p} Tại thời điểm tương đương, ta có

k k

D

.nC(CD

Cn-

c) Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu

Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương nhau vào một ngày nào đó, nếu tổng

các giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được

đem chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức

k k

D

.nC

j j

D

.mB

1

nD

nDC

Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trước ngày đáo hạn của cả hai thương phiếu

Tại thời điểm tương đương thứ 2, gọi n’1 và n’2 là thời hạn của hai thương phiếu

Khi đó n’1 = n1 - p , n’2 = n2 - p và

p)(nD

p)-(n-Dn'D

n'DC

C

1 2 1

2 2

)n(D

p)n-(D

1 2 1

Đó là điều phải chứng minh

Định lý 2

Thời điểm tương đương của một thương phiếu với một nhóm các thương phiếu khác là duy nhất, trừ trường hợp mệnh giá của thương phiếu đó bằng tổng các mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm Trong trường hợp này, nếu sự tương

đương đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tương đương luôn luôn xẩy ra tại mọi thời điểm (trước tất cả các ngày đáo hạn của mọi thương phiếu)

k k

D

.nC

s)C(n

k k k

D

s)(nCC

D

CD

Cn-

k p

1 k

+ 

 p

1 k

CD

sD

C s

0s C-C

p

1 k

 thì (**) được thoả mãn với mọi s

Đó là điều phải chứng minh

Cthì không phải lúc nào cũng có (*)

Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tương đương đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào

đó rồi

Đ4 Một số bài toán ứng dụng

1 Bài toán về thời hạn trả chung

Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy

nhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung

Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán sau:

 Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung)

601200006000

301

Từ đó tính được

C = 59697,98 euro

2 Bài toán về thời hạn trả trung bình

Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất có

mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời

hạn trả trung bình

Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình

Vào ngày thay thế, phương trình tương đương là

D

nCC

p

1 k k k

CD

CnC

knC

1 k k

p

1 k k k

C

nC

a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = Ck, k = 1, ,18)

Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD

1200

Vx10x2V

1200

Vx10x1V

26520

26520 = 18V - 1 2 18

1200

V10

Ta tìm được

V = 1600 USD b) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏa thuận

5,918

x 1600

18)

x (1600

2)

x (16001)

x

(1600

Chương III

Lãi gộp

Đ1 Đại cương

Một khoản vốn được gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số

tiền lãi thu được sẽ được gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốn mới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục như vậy cho

đến hết thời kỳ cuối cùng

Quá trình tính giá trị tương lai của một khoản vốn theo phương thức tính lãi gộp được

gọi là quá trình lãi được vốn hóa hay tư bản hoá

 Dãy các giá trị thu được  Cn tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i)

 Tiền lãi In thu được sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa Cn và C0 hay In = Cn - Co Vậy

In = Co[(1+i)n -1] (2)

4, khi đã cho biết 3 đại lượng

Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính Đó là bảng cho sẵn các giá trị của 5 hàm số sau:

Hàm số (1+i)n (1+i) -n

n

(1+i) - 1i

đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thường dùng

Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%

3 Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên

Xét trường hợp n = k+

v

u , trong đó k  và 0 <

n = k+

v

u

Ta gọi đó là giá trị thu được thương mại, ký hiệu Cnc Vậy

Cnc = C0(1+i) v

u

k 

Vì n không nguyên, nên khi tính (3), ta không thể dùng bảng để trực tiếp tìm (1+i)n

được, mà phải sử dụng phương pháp nội suy

AM  CM =

AN

AM

x BN

Vậy

CM =

1

0,63,138428)x-

Khi sử dụng máy tính thì (1+i)12,6 3,32313384

Do đó việc dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng

u) Vậy

Cnr = C0(1+i)k(1+

v

ui) (4)

So sánh Cnc và Cnr đưa về so sánh hai đại lượng (1+i)v

u

và (1+i

v

u)

Kí hiệu f(x) = (1+i)x và g(x) = 1+ix với i > 0

v

u) hay (1+i )v

u

< 1+ivu

Từ đó

Cnc < CnrGiá trị thu được thương mại luôn luôn nhỏ hơn giá trị thu được hợp lý

Trong các ngân hàng, người ta thường dùng công thức tính giá trị thu được thương mại

4 Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương

u 

u

i = v

j (5)

Chẳng hạn những lãi suất sau tỉ lệ: lãi suất một năm là i, lãi suất 6 tháng là

2

i, lãi suất

Hai lãi suất được gọi là tương đương, nếu trong cùng một thời gian tính theo lãi gộp, ta

đều có cùng một giá trị thu được

Giả sử i là lãi suất năm, trong một năm chia làm k thời kỳ tư bản hóa và ik là lãi suất một thời kỳ Giả sử hai lãi suất đó tương đương

Với một đơn vị tiền tệ, theo hai lãi suất trên, sau một năm thu được

c) So sánh lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương

áp dụng công thức khai triển Newton

(1+x)k = k j

0 j

j

kxC

ik2 +….+ ikk1+i > 1 + kik

Vậy i > kik hay j = ik

k

i



j và i là hai lãi suất tỉ lệ, ik và i là hai lãi suất tương đương

Do đó trong lãi gộp, lãi suất tỉ lệ luôn luôn cao hơn lãi suất tương đương

Đ3 Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp

1 Hiện tại hoá

Hiện tại hoá là một nghiệp vụ tài chính tính giá trị hiện tại của một số tiền được trả

trong tương lai Giá trị hiện tại đó bằng số tiền trả trong tương lai trừ đi phần lãi gộp phát sinh Như thế, hiện tại hoá là nghiệp vụ đảo của nghiệp vụ tư bản hóa

Từ công thức

Cn = C0(1i)n (1)

ta có công thức tính giá trị hiện tại C0 của một số tiền Cn được trả sau n thời kỳ:

n n

2 Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý

Giả sử Co là giá trị của một khoản vốn tại thời điểm gốc, ta cần tính các giá trị của khoản vốn đó vào các thời điểm (-m) và n

Khi sử dụng công thức (1), ta có

n 0

C   và C0= C-m(1i)m Như thế

n m m

3 Chiết khấu theo lãi gộp

Gọi C là mênh giá của một thương phiếu, V’ là giá trị hiện tại ở ngày thoả thuận chiết khấu, n là thời hạn của thương phiếu

Theo công thức tính lãi gộp thì

Vậy số tiền chiết khấu theo lãi gộp là

e = C - V’ = C[1 - (1+i)-n] (9)

Ta xem cách chiết khấu như trên được thực hiện theo phương thức nào

Trong lãi đơn với phương thức chiết khấu thương mại, người sở hữu thương phiếu nhận

được một số tiền Vc = C

D

n-D Sau n thời kỳ, số tiền Vc sản sinh tiền lãi đơn

nDCD

nDD

nDCD

nDVD

nV

2 2 c

c

c         

Với phương thức chiết khấu hợp lý, người sở hữu thương phiếu nhận được một số tiền

CD

ND.nD

DCD

nDVD

nV

Vậy vào ngày đáo hạn, số tiền sẽ là

V’ + I = V’+ V’(1+i)n - V’= V’(1+i)n = C(1+i)-n (1+i)n = C

Do đó cách chiết khấu theo lãi gộp như trên chính là phương thức hợp lý

Đ4 Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp

1 Định nghĩa

a) Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương

phiếu đều có cùng giá trị hiện tại vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất

Giả sử 2 thương phiếu có mệnh giá C và D và thời hạn tương ứng là n và m thời kỳ Vào thời điểm tương đương, ký hiệu thời điểm 0, các giá trị hiện tại là

n '

V    ; ' m

V   Vậy ta có phương trình tương đương

C(1+i)-n = D(1+i)-m (10)

b) Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương vào một ngày nào đó, nếu tổng các

giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu vào ngày đó đều bằng nhau, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất

Xét 2 nhóm thương phiếu {Ck, nk, k = 1, , s} và {Bj, mj, j = 1, , q}

Vào thời điểm tương đương, ta có phương trình

j k

q s

m n

Với lãi gộp, nếu sự tương đương đã xẩy ra vào một ngày nào đó, thì sự tương

đương xẩy ra tại mọi thời điểm bất kỳ (trước ngày đáo hạn của các thương phiếu

C(1+i)-n(1+i)p = D(1+i)-m(1+i)p

Vế trái (**) là giá trị của C tính tại thời điểm p, về phải (**) là giá trị của D tính tại thời

điểm p Phương trình (**) chính là phương trình tương đương tại thời điểm p bất kỳ b)Trường hợp 2 nhóm thương phiếu tương đương

Vào thời điểm 0, ta có phương trình tương đương

q s

(m p) (n p)

Chú thích 1:

Khác với trường hợp lãi đơn (sự tương đương chỉ xẩy ra vào một thời điểm duy nhất), khi tính sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp, ta có thể lựa chọn thời điểm tương đương thuận lợi trong các tính toán

Chú thích 2:

Các bài toán về sự tương đương của các thương phiếu cũng được áp dụng cho các bài toán về sự thay thế tương đương các khoản nợ

3 Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình

Tương tự như trong trường hợp lãi đơn, việc thay thế một nhóm các thương phiếu bằng

một thương phiếu duy nhất cho ta bài toán về thời hạn trả chung

Nếu mệnh giá của thương phiếu thay thế duy nhất bằng tổng các mênh giá của các

thương phiếu trong nhóm, ta sẽ có bài toán về thời hạn trả trung bình

bằng một khoản nợ duy nhất trả sau 5 năm

Giả sử lãi suất là 6% năm, tính số tiền thay thế phải trả

Ví dụ 2:

Hãy xác định thời hạn trả của khoản nợ duy nhất thay thế cho 3 khoản nợ sau:

10.000 USD trả sau 6 tháng, 18.000 USD trả sau 18 tháng, 20.000 USD trả sau 30 tháng

Biết lãi suất 6 tháng là 2,5%, và khoản nợ duy nhất là 50.000 USD

Giải:

Mỗi thời kỳ có độ dài 6 tháng ta viết phương trình tương đương vào thời điểm 0 và gọi x

là thời hạn của khoản nợ 50.000USD thay thế

a) lãi suất hàng năm

b) lãi suất 6 tháng tỉ lệ, lãi suất 6 tháng tương đương

Vậy (1+i)4 = 1,192522 từ đó tìm được lãi suất hàng năm là

Một xí nghiệp dự tính mua một cỗ máy có thời hạn sử dụng 3 năm Sau 3 năm, cỗ máy

đã được khấu hao hết Khi đưa vào sử dụng, riêng cỗ máy này đem lại các khoản thu sau: 30.000.000 đồng vào cuối năm thứ 1, 24.000.000 đồng vào cuối năm thứ 2 và 20.000.000 đồng vào cuối năm thứ 3

Ngay vào đầu năm thứ 1, xí nghiệp phải trả ngay tiền mua cỗ máy đó Giả sử lãi suất đầu tư

là 10% năm, tính số tiền tối đa cần thiết mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy

Giải:

Ta có sơ đồ sau:

0 1 2 3

30.000.000 24.000.000 20.000.000

Ta tính tổng các giá trị hiện tại các khoản thu được vào thời điểm 0 (thời điểm trả tiền mua máy):

C = 30.000.000x(1,1)-1 + 24.000.000x(1,1)-2 + 20.000.000x(1,1)-3

= 62.133.734

Vậy số tiền tối đa mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy là 62.133.734 đồng với lãi suất đầu tư giả định là 10%0

Đ5 So sánh các loại chiết khấu

1 Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp

Gọi: C : mệnh giá của thương phiếu,

n : thời hạn của thương phiếu,

i : lãi suất chiết khấu,

Ec : số tiền chiết khấu thương mại theo lãi đơn,

Er : số tiền chiết khấu hợp lý theo lãi đơn,

e : số tiền chiết khấu (hợp lý) theo lãi gộp,

Vc : giá trị hiện tại thương mại theo lãi đơn,

Vr : giá trị hiện tại hợp lý theo lãi đơn,

V’ : giá trị hiện tại chiết khấu theo lãi gộp

Ta có các công thức sau:

Ec = Cin; Vc = C(1-in)

Er = C

in1

in

in1

Để so sánh Vc và V’ ta so sánh hai đại lượng (1-in) và (1+i)-n

Khi đặt f(x) = (1+i)x và g(x) = 1 + ix thì (1+i)-n = f(-n) và 1-in = g(-n)

Vì f(x) > g(x) với x < 0, nên

f(-n) > g(-n) hay (1+i)-n > (1-in)

Do đó

Vc < V’ hay Ec > e

4 So sánh Er và e

Tương tự ta so sánh Vr và V’ hay so sánh

in1

1

Với n > 1 : ( 1 + i)n > 1 + in, nên V’ < Vr hay e > Er

Với n = 1 : ( 1 + i)n = 1 + in, nên V’ = Vr hay e = Er

Với 0 < n < 1: ( 1 + i)n < 1 + in, nên V’ > Vr hay e < Er

5 Tóm tắt

0 < n < 1 : e < Er < Ec

n = 1 : e = Er < Ec

n >1 : Er < e < Ec

Đ6 Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục

1 Tư bản hoá liên tục

Khi nghiên cứu các bài toán kinh tế, vấn đề tư bản hoá liên tục tương ứng với tình huống

lý tưởng là số vốn hoạt động liên tục: số tiền lãi sinh ra được nhập ngay tức khắc để tạo thành nguồn vốn mới và nguồn vốn mới này lại tiếp tục sinh ra tiền lãi, Giả sử i là lãi suất năm và trong một năm có k lần tư bản hoá Khi đó lãi suất tỉ lệ là

k

i Gọi Cn là số tiền thu được sau n năm, ta có:

Cn = C0(1 +

k

i)kn Cho k  +  , ta có tình huống tư bản hoá liên tục

)i

k(

11

Một người gửi 1 đơn vị tiền tệ với lãi suất 10 % năm Quá trình tư bản hoá liên tục Tìm

số tiền mà người đó có được sau 1 ngày ( Một năm có 365 ngày)

Giải:

Sau một ngày, một đơn vị tiền tệ trở thành 365

1

x 0,1

e = 1,000274 đơn vị

2 Hiện tại hoá liên tục

Từ công thức (12) nếu gọi C là giá trị của 1 khoản tiền trả sau n năm, và Vlt là giá trị hiện tại (liên tục) thì

 Tư bản hoá liên tục

Hãy so sánh các kết quả nhận được và nêu nhận xét về lãi suất

Giải:

Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá hàng năm:

V1 = C(1 + i)-n = 10.000x1,05-4 = 8227,02 euro Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá liên tục:

V2 = Ce-in = 10.000 x e-0,05x4 = 8187,31 euro Gọi j là lãi suất hàng năm sao cho trong quá trình tư bản hoá hàng năm, số tiền C có giá trị hiện tại là V2:

C = V2(1 + j)4  (1+j)4 =

2

V

C  j =

4 1

 Thanh toán một khoản nợ

2 Các loại dãy niên kim

Người ta phân loại các dãy niên kim theo các tiêu chí sau:

 Các niên kim được đóng vào đầu hay vào cuối kỳ

 Các niên kim bằng nhau (niên kim cố định) hay khác nhau

 Số lượng các niên kim là hữu hạn hay vô hạn Trường hợp số niên kim hữu

hạn, có thể số lượng niên kim đã được xác định từ trước, hay chưa rõ (chẳng hạn số lượng niên kim phụ thuộc vào tuổi thọ của một người)

Đ2 Dãy niên kim cố định cuối kỳ

Xét một dãy có n niên kim, mỗi niên kim đều được trả vào cuối kỳ Người ta quy định

thời điểm gốc (thời điểm 0) của dãy niên kim này là thời điểm xẩy ra đúng một thời kỳ

trước niên kim đầu tiên được thực hiện

Cần chú ý xác định đúng thời điểm gốc trong các phép tính về dãy niên kim

1 Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ

Số tiền (giá trị) thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ, ký hiệu Vn, là tổng các số

tiền thu được của các niên kim tính ở thời điểm thứ n Gọi a là niên kim cố định

a(1+i)n-1 Vậy

Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 +….+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1

Đó là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = a và công bội q = 1+i Ta có

1i)(1

1i)(1a1q

1quV

n n

1 n

i

1i)(1aV

n n

được cho trong Bảng tài chính III

Chú thích 2:

Trong công thức (1) có 4 đại lượng, các bài toán xoay quanh việc cho 3 đại lượng, cần tìm đại lượng thứ 4 Khi biết a, n, Vn, cần tìm i, ta không thể dùng các cách tính khác ngoài việc sử dụng Bảng tra tài chính III

2 Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: (Tính giá trị thu được V n )

Sử dụng Bảng tài chính III và phương pháp nội suy, tìm giá trị thu được của một dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim là 100.000.000 đồng, với lãi suất 6,20%

Giải:

Tra bảng III với n = 10, i = 6,25% ta có giá trị 13,336572

i = 6,00% ta có giá trị 13,180795