Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

Tiểu luận Lý thuyết nhóm: Nhóm điểm đối xứng C4v

NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C4v

1 Các yếu tố đối xứng

Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4-1 của nhóm C4 và các phép phản xạ gương , , qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là , , , trong đó trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay , trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay ,

và là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng và (Hình 1)

Hình 1

2 Các phép đối xứng

v

x

v

 

v

 

o

y

v

Nhóm là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy

là một hình vuông Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao tuyến của các mặt phẳng gương , , , với mặt phẳng đáy Ta chọn trục Oz trùng với trục quay , mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn đi

qua trục Ox và đi qua Oy Như vậy các yếu tố đối xứng là trục quay C 4 và

bốn mặt phẳng gương chứa trục quay , , ,

Hình 2

Biểu diễn 3 chiều của nhóm:

Chọn trục quay trùng với trục Oz

(1)

Ma trận biến đổi của phép quay là:

x

y

z

o

v

 

v

 

v

 

v



=

 Trong phép quay = :

























1 0 0

0 1 0

0 0 1

(2)

Ma trận biến đổi của phép quay là:

=

 Trong phép quay = :

(3)

Ma trận biến đổi của phép quay = là:

=

 Trong phép quay :

(4)

Ma trận biến đổi của phép quay =E là:

=

 Phép phản xạ gương :

: nên =

(5)

Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:

=

 Các phép phản xạ gương :

(6)

Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:

=

 Phép phản xạ gương :

(7)

Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:

=

 Phép phản xạ gương :

(8)

Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:

=

Trong đó mặt phẳng gương là mặt phẳng xOz và là mặt phẳng yOz còn và là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2)

3 Bảng nhân nhóm

Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) và (8) ta có:

Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng nhân nhóm C4v như sau:

Bảng1: Bảng nhân nhóm

C4-1 C4-1 E C4 C2

4 Sự phân lớp

Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta

có thể nghiệm lại rằng nhóm có 8 yếu tố đối xứng {E, C4, C2, , , , ,

và } chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau:

Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố

đã cho

Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C4v thì tất cả các yếu tố gag-1 với mọi yếu tố g của C4v tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a

Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag-1 đều trùng với E Vậy chính yếu tố đơn vị E là một lớp

Lấy a là C4 Các yếu tố liên hợp với nó là:

= ; ( )-1 = ; ( )-1 = ( )-1 = ( )-1 = ( )-1 = = tương tự

Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp Nếu lấy a là :

( )-1= ( )-1 =

( )-1 = ( )-1=

( )-1 = ( )-1 = = tương tự

Như vậy, là một lớp

Nếu chọn a là Các yếu tố liên hợp với nó là

( )-1= =

( )-1 = ( )-1=

( )-1 = E( )-1 =

Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp Nếu chọn a là Các yếu tố liên hợp với nó là

( )-1= ( )-1 =

( )-1 = ( )-1=

( )-1 = ( )-1 =

=E =

Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp.

Vậy có năm lớp các yếu tố liên hợp là:

C1 = {E}, C2 = {C4, C4-1}, C3 = {C2}, C4 = { , } và C5 ={ , }

Nhóm với thí dụ là phân tử IF5

5 Bảng đặc biểu

Trong biểu diễn hai chiều ta tìm được:

= 2; = -2

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v thể hiện trên bảng 2

Bảng 2

C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }

Ta có hệ thức chuẩn hóa của đặc biểu

= 1 + a1 +2 b1 + 2c1 + 2d1 = 0 = 1 + + 2 +2 +2 = 8

a1 = b1 =1; c1 = d1 = -1

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 3

Bảng 3

C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }

Tương tự

= 1 + a2 +2 b2 + 2c2 + 2d2 = 0 = 1 + a2 +2 b2 - 2c2 - 2d2 = 0

= 1 + + 2 +2 +2 = 8

a2 = c2 =1; b2 = d2 = -1

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 4

Bảng 4

C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }

= 1 + a3 + 2b3 + 2c3 + 2d3 = 0 = 1 + a3 + 2b3 - 2c3 -2d3 = 0

= 1 + a3 - 2 b3 + 2c3 - 2d3 = 0

= 1 + + 2 +2 +2 = 8

a3 = d3 =1; b3 = c3 =-1

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 5

Bảng 5

C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }

Ta viết lại bảng đặc biểu của nhóm C4v hoàn chỉnh như sau

Bảng 6: Bảng đặc biểu của nhóm C4v

Biểu

diễn

C1= {E}

C2 = {C2}

C3= {C4,C4-1}

C4 = { , }

C5 = { , }

Hàm cơ bản

6 Biểu diễn hạ cảm

Từ bảng đặc biểu của nhóm Oh (Bảng 7) ta thấy rằng nhóm Oh có 10 lớp {E, 3C42, 6 , 6 , 8C3, I, 3IC42, 6I , 6I , 8IC3}

Vậy khi hạ cảm các lớp của nhóm Oh và nhóm C4v sẽ tương ứng như sau:

Bảng 7

Oh E 3C42 6 6 8C3 I 3IC42 6I 6I 8IC3

Mặc dù T là biểu diễn tối giản của G, biểu diễn hạ cảm , nói chung

là biểu diễn khả quy Do đó, bài toán đặt ra là tìm biểu thức khai triễn biểu diễn

hạ cảm thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản của nhóm C4v

Số lần biểu diễn tối giản chứa trong T của nhóm G được tính bằng công thức:

hoặc

Bảng 8 Bảng đặc biểu của nhóm O h được viết tương ứng vơi C 4v

bảng đặc biểu của C4v

(E

3C42

3C2

6 6

3IC42

3

6I

6 )

Bảng 9

C4v C1={E} C2={C2} C3={C4,C41} C4={ , } C5={ , }

 A1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0

m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0

Vậy A1g = A1

 A2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0

m5 = = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0

Vậy A2g = A3

 A1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0

Vậy A1u = A2

 A2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0

m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1

m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0

Vậy A2u = A4

 Eg = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2 + 2.1.0] = 1

m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).2 + 2.(-1).0] = 0

m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.2 + 2.(-1).0] = 1

m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).2 + 2.1.0] = 0

m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0

Vậy Eg = A1 + A3

 Eu = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.(-2) + 2.1.0] = 0

m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).(-2) + 2.(-1).0] = 1

m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.(-2) + 2.(-1).0] = 0

m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).(-2) + 2.1.0] = 1

m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0

Vậy Eu = A2 + A4

 T1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

Vậy T1g = A2 + A5

 T2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

Vậy T2g = A4 + A5

 T1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

Vậy T1u = A4 + A5

 T2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:

m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0

m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0

m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1

m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0

m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1

Vậy: T2u = A3 + A5

Tóm lại biểu diễn hạ cảm như sau:

Bảng 10

A1g = A1 T1u = A4 + A5

A2g = A3 T2u = A3 + A5

Eg = A1 + A3 Eu = A2 + A4

T = A + A A = A

T2g = A4 + A5 A2u = A4

7 Biểu diễn tích

Bảng 11 Bảng đặc biểu của biểu diễn tích trực tiếp

 A1 A2 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

mi đựơc tính từ công thức:

khi đó:

m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1

m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0

m4 == [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0

m5 = [1.1.2 + 1 1(-2)] = 0

Vậy A1 A2 = A2

Tương tự

 A1 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m1 = m2 = m4= m5 = 0; m3 = 1

Vậy A1 A3 = A3

 A2 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m = m = m = m = 0; m = 1

Vậy A2 A3 = A4

 A3 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m4 = m2 = m3 = m5 = 0; m1 = 1

Vậy A3 A3 = A1

 A3 A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m1 = m3 = m4 = m5 = 0; m2 = 1

Vậy A3 A4 = A2

 A4 A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m2 = m3 = m4 = m5 = 0; m1 = 1

Vậy A4 A4 = A1

 A4 A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m2 = m3 = m4 = m1 = 0; m5 = 1

Vậy A4 A5 = A5

 A5 A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

m2 = m3 = m4 = m1 = 1; m5 = 0

Vậy A5 A5 = A1 + A2 +A3 + A4

Tóm lại biểu diễn tích trực tiếp thể hiện trên bảng 12

Bảng 12

A1 A2 = A2 A3 A4 = A2

A1 A3 = A3 A4 A4 = A1

A2 A3 = A4 A4 A5 = A5

A3 A3 = A1 A5 A5 = A1 + A2 +A3 + A4