Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường

có trong các đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ Chính vì vậy việc đi sâu nghiên cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh các kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương trình Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình

II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1/ Cơ sở lý luận

Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư duy Hàm số có ứng dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà một trong các ứng dụng đó là việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa thông qua khái niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn Một mặt nó tác dụng củng cố thêm các kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài toán về phương trình và bất phương trình

2/ Thực trạng của vấn đề:

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về hàm số một phần do kiến thức về phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của hàm số cũng chưa được coi trọng đúng mức Trong một số bài toán về phương trình, bất phương trình nếu dùng các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có thể không giải được trong khi đó nếu sử dụng phương pháp hàm số thì cách giải trở nên rất đơn giản

3/ Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình mà các em đã được học nhằm giúp các em nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, sâu sắc từ đó các em có thể vận dụng được linh hoạt vào giải quyết các bài toán về giải, biện luận phương trình hay bất phương trình

Giải pháp và tổ chức thực hiện là:

- Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập)

- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi nghiên cứu chuyên đề

- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong chuyên đề để có hướng vận dụng chuyên đề cho các khóa học sinh tiếp theo

4/ Nội dung của chuyên đề:

4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương trình:

a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình

* Kiến thức cơ bản

Định nghĩa:

Giả sử K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:

x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) > f(x2) Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến:

ĐL1: Cho hàm số xác định trên

ĐL2: Giả sử các hàm số và là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên

trên

ĐL3: Gỉa sử và là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên

Đồng biến (Nghịch biến) trên

ĐL4: Nếu là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên và

biến) trên

ĐL5: Hàm số Đồng biến, hàm số Đồng biến thì hàm số hợp

Đồng biến

- Các hướng khai thác

thì x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

trình

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình

Bài giải: phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 2 : Giải phương trình

Bài giải: (1)

trình

Ví dụ 3: Giải phương trình

(Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001) Bài giải:

Thì Phương trình đã cho tương đương với :

Hàm số tương ứng ở hai vế là:

(*) có

Ví dụ 4: Giải phương trình:

(Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001) Bài giải: viết phương trình về dạng :

là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một hằng số không đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:

Ta có bảng biến thiên

- 0 +

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa 2 lần phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm

Ví dụ 5: Giải phương trình:

với:

Ví dụ 6: Giải phương trình

(1) Bài giải: Chia hai vế phương trình cho ta được:

Ta thấy

Nên vế trái của phương trình (2) là hàm số nghịch biến ( vì là tổng của

nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 7: Giải phương trình

(1) Bài giải: Tập xác định:

(1)

(2)

hay

(3)

Với

b Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình

Các hướng khai thác

nghiệm của bất phương trình

Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải thông qua bước đặt ẩn phụ

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

(1) Bài giải: bất phương trình (1)

là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

(1)

với

Ví dụ 3: Giải bất phương trình

(1) Bài giải: Tập xác định:

Đặt

Ta có bảng biến thiên:

2

+ 0 -

2

0 0

1

Qua bảng biến thiên ta có Mặt khác: Nên do đó bất phương trình (2)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Ví dụ 4: Giải bất phương trình Bài giải: Tập xác định Xét hàm số Ta có

- 0 + +

Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là Ví dụ 5: Giải bất phương trình Bài giải: Xét hàm số có tập xác định: Hàm số đồng biến trên

Ta thấy Vậy

Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1

2

3

4

5

4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình.

a Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại

nghiệm của một phương trình.

Bài giải: Cách 1

Ta thấy liên tục trên R

Mặt khác

Cách 2: Ta có

* thì (1)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình:

có nghiệm duy nhất

Bài giải: Viết phương trình về dạng

Xét hàm số

liên tục trên R

Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:

dương Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

mãn điều kiện

b Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại

nghiệm của phương trình, bất phương trình.

Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên

Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng:

Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình thỏa mãn với

nên

nên (vì )

Giới thiệu một số bài tập áp dụng:

1 Chứng minh rằng nếu phương trình:

có nghiệm dương x1 thì phương trình:

cũng có nghiệm dương

3 Chứng minh:

c Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của phương trình hay bất phương trình.

* Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:

(1) Có nghiêm

Ta có bảng biến thiên:

+

Do đó Khi đó phương trình (1) trở thành: (2) phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm xét hàm số: ta có bảng biến thiên: 1 3 3

+ 0

3

Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị của hàm số là: nên

Đặt: phương trình trở thành (2)

Xét hàm số: trên Ta có bảng biến thiên: -1 1

- 0 +

2 0

Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm khi Hay phương trình (1) có nghiệm khi * Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình ( hoặc ) có nghiệm ta tìm miền giá trị của hàm số và từ đó có kết luận về m Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình: (1) có nghiệm Bài giải: Đặt Phương trình (1) trở thành: (2) Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình 2 có nghiệm có ít nhất một điểm của đồ thị với không ở phía dưới đường thẳng Xét hàm số có

Ta có bảng biến thiên: 0

0 + + 0

0

Qua bảng biến thiên suy ra với thì bất phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m sao cho bất phương trình: thỏa mãn với

Bài giải: bất phương trình đã cho:

khi Xét hàm số khi Ta có bảng biến thiên: 2 1

- 0 + +

Suy ra bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Ví dụ 3: Tìm m sao cho mọi đều là nghiệm của bất phương trình: (*) Bài giải: Ta có (*)

là nghiệm của bất phương trình (*) đồng thời là nghiệm của (1) và (2) Xét hàm số Thì

Ta có bảng biến thiên:

Giới thiệu một số bài tập áp dụng:

d Sử dụng phương pháp max, min trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của phương trình, bất phương trình.

Để áp dụng được phương pháp này chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:

Mệnh đề1: phương trình có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:

Mệnh đề 2: bất phương trình có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:

Mệnh đề 3: bất phương trình có nghiệm với mọi

Mệnh đề 4: bất phương trình có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:

Mệnh đề 5: bất phương trình có nghiệm với mọi

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và thì phương trình:

vô nghiệm

Bài giải: Xét hàm số

với

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

Bất phương trình (1) có nghiệm khi bất phương trình (2) có nghiệm

Ta có bảng biến thiên:

0 2 3

10 7 6

4.3 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận số nghiệm của một phương trình hay bất phương trình

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

(1)

Giải: Đặt (t 0) Phương trình (1) trở thành Xét hàm số

Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đường thẳng với đồ thị Ta có bảng biến thiên: 1

+

19

Suy ra: : Phương trình vô nghiệm :Phương trình có 1 nghiệm :Phương trình có 2 nghiệm Để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m chúng ta thường đưa phương trình về một trong các dạng sau: (1): hay (2): (k là hằng số) (3): ( là hằng số) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng hoặc hoặc Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình:

Bài giải: Viết phương trình đã cho về dạng: trong đó Khảo sát hàm số trên (0;+∞)

0 1 2

+ 0 - + 0

4 0 Phương trình e = x (x>0) có nghiệm duy nhất với mỗi giá trị x>0 suy ra:

m<0 : Phương trình có 2 nghiệm

m=0 : Phương trình có 1 nghiệm kép

0<m<4 : Phương trình vô nghiệm

m>4 : Phương trình có 1 nghiệm đơn

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị (C) của hàm số :

Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình:

(1) Bài giải:

(1)

(2) Ta có 2 tiếp tuyến:

Suy ra: Phương trình có 1 nghiệm đơn

Ví dụ 4: Vè đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

Đưa phương trình về dạng:

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng có phương trình:

quay xung quanh điểm

Từ đó có kết quả:

: Phương trình có nghiệm bội

: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

4.4 Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phường

trình, bất phương trình.

Ví dụ1: Giải và biện luận phương trình(ĐH Ngoại Thương 2001)

Bài giải: Đặt

(2)

nên ta có kết quả

: Phương trình vô nghiệm

: Phương trình có nghiệm

: Phương trình có nghiệm

: Phương trình có nghiệm

Giới thiệu một số bài toán áp dụng:

2 Xác định k để phương trình:

có 4 nghiệm phân biệt

5 Kiểm nghiệm đề tài:

Để đánh giá kết quả của việc thực hiện chuyên đề tôi đã tiến hành nhiều cuộc điều tra Sau đây tôi xin trình bày 1 số kết quả kiểm tra

Đề bài:

1 Với giá trị nào của m thì phương trình

2 Giải phương trình

3 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với

Với đề bài trên tôi tiến hành kiểm tra trong thời gian 45phút với mỗi lần kiểm tra là 30 em học sinh Với học lực trung bình trở lên

Cách tiến hành kiểm tra:

Lần 1: Kiểm tra trên đối tượng học sinh chưa được nghiên cứu chuyên đề

Kết quả như sau:

Nhóm 1:(Lớp 10B7)

Loại

Kết

Nhóm 2:(Lớp 10B10)

Loại

Kết

Nhóm 3:(Lớp 10B11)

Loại

Kết

Lần thứ 2: Kiểm tra trên đối tượng học sinh đã được nghiên cứu chuyên đề

Nhóm 1:(Lơp 10B7)

Loại

Kết

Nhóm 2:(Lớp 10B10)

Loại

Kết

Nhóm 3:(Lớp 10B11)

Loại

Kết

III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:

- Kết quả việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu chuyên đề một cách phấn khởi, biết vận dụng thành thạo vào giải các bài tập tương tự

- Thông qua chuyên đề đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lô gic và khả năng sáng tạo của học sinh

- Góp phần tạo nên một phong cách học tập sáng tạo, một phong cách của người khoa học cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập cho học sinh

- Đề tài có tác dụng tốt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi ĐH,CĐ cho học sinh

các đồng nghiệp góp ý

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2012

Người viết SKKN:

Trần Quang Quý