124. [Tailieulop9.Com] Tổng Hợp Kiến Thức Hình Học Ôn Thi Vào Lớp 10.Pdf

Ôn thi vào lớp 10 ¤n h×nh THCS 1 Quan hÖ gi÷a c¸c gãc Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800 Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900 Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung[.]

ễn thi vào lớp 10

Ôn hình THCS

1 Quan hệ giữa các góc:

- Hai góc bù nhau: là hai góc có tổng số đo bằng 1800

- Hai góc phụ nhau: là hai góc có tổng số đo bằng 900

- Hai góc kề nhau: là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại

xOy và yOz kề nhau

- Hai góc kề bù: là hai góc vừa kề vừa bù

VD: xOy và yOz kề bù

- Hai góc đối đỉnh: là hai góc có cạnh này là tia đối một cạnh của góc

kia

T/c: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

VD: QPS và RPT đối đỉnh

=> QPS = RPT

QPR và SPT đối đỉnh

=> QPR = SPT

2 Từ vuông góc đến song song:

- Quan hệ giữa vuông góc và song song:

a // b, ac => bc

ab, ac => b // c

VD:

Nếu AB // CD, ABEF => CDEF Nếu ABEF, CDEF => AB // CD

O

y

z x

y

O

P

Q

T

a b c

ễn thi vào lớp 10

- Ba đ-ờng thẳng song song

a//b; a//c => b//c

VD: a//b; a//c => b//c

3 Các tr-ờng hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:

cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Hai cạnh và góc xen giữa 2 cạnh bằng nhau

VD: Xét ABC và FEDcó:

AB = EF

BC = ED

ABCFED

=> ABC = FED (c.g.c)

cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa 2 cạnh bằng nhau

VD: Xét ABC và DEF:

DE  EF

ABCFED

=> ABC ∽ FED (c.g.c)

góc – cạnh – góc (g.c.g)

Hai góc và cạnh kề bằng nhau

VD: Xét ABC và FEDcó:

AB = EF

BACEFD ABCFED

=> ABC = FED (g.c.g)

góc – góc (g.g)

Hai góc bằng nhau

VD: Xét ABC và DEF:

ABCFED

BACEFD

=> ABC ∽ FED (g.g)

cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

Ba cạnh t-ơng ứng bằng nhau

VD: Xét ABC và FEDcó:

cạnh – cạnh – cạnh

(c.c.c)

Ba cạnh t-ơng ứng tỉ lệ

VD: Xét ABC và DEF

a

b c

A

F

A

D

A

F

A

D

A

D

ễn thi vào lớp 10

AB = EF

BC = ED

AC = FD

=> ABC = FED (c.c.c)

có:

DE  EF  DF

=> ABC ∽ FED (c.c.c)

Chú ý: Khi xét các tam giác phải ghi đỉnh theo đúng thứ tự

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng

- Nếu hai tam giác cùng đồng dạng với tam giác thứ 3 thì chúng đồng dạng với nhau

- Nếu hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì:

+ Hai đ-ờng cao cũng tỉ lệ theo tỉ số k

+ Hai đ-ờng phân giác cũng tỉ lệ theo tỉ số k

+ Hai đ-ờng trung tuyến cũng tỉ lệ theo tỉ số k

+ Hai chu vi cũng tỉ lệ theo tỉ số k

+ Hai diện tích tỉ lệ theo tỉ số k2

4 Các tr-ờng hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác vuông:

cạnh huyền - góc nhọn

Cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA có:

0 90

BCDEFA

BD = EA

CBDFEA

=> vuông BCD = vuông EFA (cạnh huyền - góc nhọn)

Góc nhọn

Một góc nhọn bằng nhau

A

F

B

C

F

E

E

F B

A

ễn thi vào lớp 10

Cạnh góc vuông - góc nhọn kề

Cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh

ấy bằng nhau

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA:

0

90

BCDEFA

BC = EF

CBDFEA

=> vuông BCD = vuông EFA (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFAcó:

0 90

BCDEFA

CBDFEA

=> vuông BCD∽ vuông EFA (góc nhọn)

Hai cạnh góc vuông

Hai cạnh góc vuông bằng nhau

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA có:

0 90

BCDEFA

BC = EF

CD = FA

=> vuông BCD = vuông EFA (hai cạnh góc vuông)

Hai cạnh góc vuông

Hai cạnh góc vuông tỉ lệ

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA có:

0

90

BCDEFA

EF  FA

=> vuông BCD ∽  vuông EFA (hai cạnh góc vuông)

Cạnh huyền - cạnh góc vuông

Cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau

VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA có:

0

90

BCDEFA

BC = EF

BD = EA

=> vuông BCD = vuông EFA (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

Cạnh huyền - cạnh góc vuông

Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ VD: Xét vuông BCD và  vuông EFA có:

0

90

BCDEFA

BC BD

EF  EA

=> vuông BCD ∽  vuông EFA (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Chú ý: Khi xét các tam giác phải ghi đỉnh theo đúng thứ tự, phải chỉ rõ góc vuông

5 Định lý Pi ta go:

B

C

F

E

B

C

F E

B

C

F E

E

F B

A

E

F B

A

ễn thi vào lớp 10

Thuận: Trong tam giác vuông:

=> (cạnh huyền)2 = (cạnh góc vuông)2 + (cạnh góc vuông)2

VD: GHI vuông tại H có:

GI2 = GH2 + IH2

Đảo: Trong tam giác nếu

(cạnh 1)2 = (cạnh 2)2 + (cạnh 3)2

=> Tam giác vuông

VD: GHI có:

GI2 = GH2 + IH2

thì GHI vuông tại H

6 Các đ-ờng trong tam giác:

Hình vẽ

Giao của các

đ-ờng

3 đ-ờng đồng qui tại một

điểm là trọng tâm (G)

3 đ-ờng đồng qui tại một

điểm là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam

giác (I)

3 đ-ờng đồng qui tại một

điểm là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp

tam giác (O)

3 đ-ờng đồng qui tại một

điểm là trực tâm (H)

Tính chất

giao của các

đ-ờng

G chia đ-ờng trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1

I cách đều 3 cạnh của tam

giác (Khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác là bằng

O cách đều 3 đỉnh của tam

giác

OA = OB = OC

G R

A

I

V T

U A

B

A1

B1

C1

A

H

A1

B1

C1

A

G

G

ễn thi vào lớp 10

2 3

Định lý liên

quan

Tam giác vuông

trung tuyến ứng với cạnh dài nhất thì bằng nửa cạnh

đó

Một điểm thuộc tia phân giác của góc

điểm

đó cách đều 2 cạnh của góc

Một điểm thuộc

đ-ờng trung trực của đoạn thẳngđiểm

đó cách đều 2

đầu mút của

đoạn thẳng

A

B

C A

D

F E

I

J

K

ễn thi vào lớp 10

7 Các tam giác đặc biệt:

Các tam giác đặc biệt



Tên Hình vẽ

Tính chất Trục đối

xứng, tâm đối xứng

Dấu hiệu nhận biết D.TÍCH (S) Cạnh Góc Đ-ờng

Tam giác

cân

Hai cạnh bên bằng nhau

AB = AC

Hai góc kề 1

đáy bằng nhau

ABC ACB

AH vừa là

đ-ờng cao,

đ-ờng trung tuyến, đ-ờng trung trực,

đ-ờng phân giác

Trục đối xứng là

AH

- Tam giác có 2 cạnh bằng nhau

- Tam giác có 2 góc bằng nhau

- Tam giác có 1 đ-ờng (đ-ờng trung tuyến, đ-ờng cao, đ-ờng trung trực, đ-ờng phân giác) đồng thời là 1 trong 3 đ-ờng còn lại

2

AH BC

S 

Tam giác

đều

3 cạnh bằng nhau

3 góc bằng nhau bằng

60 0

AH, BF, CE vừa là đ-ờng cao, đ-ờng trung tuyến,

đ-ờng trung trực, đ-ờng phân giác

- 3 Trục

đối xứng

là AH, BF,

CE

- Tâm đối xứng O là giao các

đ-ờng

- Tam giác có 3 cạnh bằng nhau

- Tam giác có 3 góc bằng nhau =

60 0

- Tam giác cân có 1 góc bằng 60 0

2 2 2

AH BC S

BF AC

CE AB







Tam giác

vuông

Cạnh huyền 2

= cạnh góc vuông 2

+ cạnh góc vuông 2

IJ 2 =IH 2 +HJ 2

- 1 góc = 90 0

- Tổng 2 góc nhọn = 90 0

2 đ-ờng cao

là 2 cạnh góc vuông

- Tam giác có 1 góc vuông

2

IH HJ

S

Tam giác

vuông cân

- Cạnh huyền 2

= cạnh góc vuông 2 + cạnh góc vuông 2

IJ 2 =IH 2 +HJ 2

- 2 cạnh góc vuông bằng

- 1 góc = 90 0

- 2 góc nhọn

= 45 0

0

45

HIJ HJI



- 2 đ-ờng cao

là 2 cạnh góc vuông

- HK vừa là

đ-ờng trung tuyến, trung trực, phân

Trục đối xứng là

HK

- Tam giác vừa vuông vừa cân

- Tam giác có 2 góc = 45 0

- Tam giác vuông có 1 góc = 45 0 2

2

IH

S 

H

A

O

H

A

I

K I

ễn thi vào lớp 10

nhau IH = HJ giác



Tên Hình vẽ

Tính chất

Trục đối xứng, tâm đối xứng

Dấu hiệu nhận biết D.TÍCH (S) Cạnh Góc Đ-ờng

chéo

Hình

thang

 Hai đáy //

AB // CD

 Các góc kề 1 cạnh bên bù nhau

A + B = 180 0

C + D = 180 0

 Tứ giác có hai cạnh song song

 .

2

AB CD AH



Hình

thang

cân

 Hai đáy song song

AB // CD

 Hai cạnh bên = nhau

AD = BC

 Các góc kề 1 cạnh bên bù nhau

A + B = 180 0

C + D = 180 0

 Các góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau

A = B

C = D

 bằng nhau

AC = BD

 Đi qua trung

điểm hai đáy

 H.thang có 2 góc kề 1 cạnh đáy = nhau

 H.thang có 2 đ-ờng chéo = nhau

 .

2

AB CD AH



Hình

bình

hành

 Các cạnh

đối song song

AB //

CD,

AD // BC

 Các cạnh

đối bằng

 Các góc kề 1 cạnh bù nhau

A + B = 180 0

B + C = 180 0

C + D = 180 0

D + A = 180 0

 Các góc đối bằng

 cắt nhau tại trung

điểm mỗi

đ-ờng

OA = OB,

OC = OD

 Giao của hai

đ-ờng chéo

là tâm đối xứng

 Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song

 Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau

 Tứ giác có 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

 Tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau

S = a.h

ễn thi vào lớp 10

nhau

AB =

CD,

AD = BC

nhau

A = C ,

B = D

 Tứ giác có hai đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đ-ờng

Hình

chữ

nhật

 Các cạnh

đối song song

AB //

CD,

AD // BC

 Các cạnh

đối bằng nhau

AB = CD,

AD = BC

 Các góc đều bằng 90 0

A = B = 90 0

C = D = 90 0

 cắt nhau tại trung

điểm mỗi

đ-ờng

OA = OB,

OC = OD

 bằng nhau

AC = BD

 Giao của hai

đ-ờng chéo

là tâm đối xứng

 Hai trục đối xứng đi qua tâm đối xứng

và vuông góc với các cạnh

 Tứ giác có 3 góc vuông

 Hình thang cân có 1 góc vuông

 Hình bình hành có 1 góc vuông

 Hình bình hành có hai đ-ờng chéo bằng nhau

S = a.b

Hình

thoi

 Các cạnh

đối song song

AB //

CD,

AD // BC

 Các cạnh bằng nhau

AB = CD

= AD = BC

 Các góc kề 1 cạnh bù nhau

A + B = 180 0

B + C = 180 0

C + D = 180 0

D + A = 180 0

 Các góc đối bằng nhau

A = C ,

B = D

 cắt nhau tại trung

điểm mỗi

đ-ờng

OA = OB,

OC = OD

 vuông góc

AC  BD

 là đ-ờng phân giác của các góc

 Giao của hai

đ-ờng chéo

là tâm đối xứng

 2 đ-ờng chéo

là 2 trục đối xứng

 Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

 Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau

 Hình bình hành có 2 đ-ờng chéo vuông góc

 Hình bình hành có 1 đ-ờng chéo là phân giác của một góc

S = .

2

AC BD

Hình

vuông

 Các cạnh

đối song song

AB //

CD,

AD // BC

 Các cạnh bằng nhau

 Các góc đều bằng 90 0

 A = B = 90 0

C = D = 90 0

 cắt nhau tại trung

điểm mỗi

đ-ờng

OA = OB,

OC = OD

 vuông góc

AC  BD

 là đ-ờng

 Giao của hai

đ-ờng chéo

là tâm đối xứng

 4 trục đối xứng: 2 trục

đối xứng đi qua tâm đối xứng và

 Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

 Hình chữ nhật có 2 đ-ờng chéo vuông góc

 Hình chữ nhật có 1 đ-ờng chéo là phân giác của góc

 Hình thoi có 1 góc vuông

 Hình thoi có 2 đ-ờng chéo bằng nhau

2

S AB

ễn thi vào lớp 10

AB = CD

= AD = BC

phân giác của các góc

 bằng nhau

Ac = BD

vuông góc với các cạnh,

2 trục đối xứng là

đ-ờng chéo

9 Đ-ờng trung bình:

Hình vẽ

Định lý

MN // BC

M là trung điểm AB

=> N là trung điểm AC

MN // AB (// CD)

M là trung điểm AC

=> N là trung điểm BD

Định nghĩa Là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh Là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh bên

Tính chất

Song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy

MN // BC; 1

2

MN  BC

Song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

MN // AB // CD; 1( )

2

MN  AB CD

10 Định lý Ta - let:

Hình vẽ

Nội

dung MN//BC

AB  AC ;BM CN

MB  NC (hoặcAM AN

AB  AC ;BM CN

AB  AC )

=> MN//BC

11 Tính chất đ-ờng phân giác trong tam giác:

N M

A

N M

N A

A

M

N A

M

A M

B N

C

Ôn thi vào lớp 10

a) Ph©n gi¸c gãc trong:

XÐt ABC cã AD lµ ph©n gi¸c => AB DB

AC  DC (tÝnh chÊt ®-êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c) b) Ph©n gi¸c gãc ngoµi:

XÐt ABC cã AE lµ ph©n gi¸c => AB EB

AC  EC (tÝnh chÊt ®-êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c)

12 HÖ thøc l-îng - tØ sè l-îng gi¸c:

a) HÖ thøc l-îng:

HÖ thøc l-îng

1) §Þnh lý Pitago: (c¹nh huyÒn)2 = (c¹nh gãc vu«ng)2 + (c¹nh gãc vu«ng)2 BC 2 = AB 2 + AC 2

2) C¹nh huyÒn ®-êng cao = c¹nh gãc vu«ng c¹nh gãc vu«ng BC AH = AB AC

AC 2 = HC BC

®­êng cao c¹nh gãc vu«ng c¹nh gãc vu«ng

b) TØ sè l-îng gi¸c

sin huyÒn sin B = BC

AC

cos

huyÒn cos B = BC

AB

B

A

B

A

A

B

C

ễn thi vào lớp 10

đối

tan

AC

 kề

cot

AB

Nhận xột:

+ Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn luụn dương

+ 0 < sin < 1 và 0 < cos < 1

Tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau:

Nếu  +  = 90 0 thỡ

sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan

Một số tớnh chất của tỉ số lượng giỏc:

1)







cos

sin

tan  2)





 sin

cos cot  3) sin2  cos   1 4) tan  cot   1

4 hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng:

1) cgv = ch sin(gúc đối) 1) AC = BC sinB

AB = BC sinC 2) cgv = ch cos(gúc kề) 2) AC = BC cosC

AB = BC cos B

3) cgv = cgv tan(gúc đối) 3) AC = AB tanB

AB = AC tanC 4) cgv = cgv cot(gúc kề) 4) AB = AC cotB

AC = AB cotC

13 Đ-ờng tròn:

a) Đ-ờng kính - Cung - Dây cung:

ễn thi vào lớp 10

- Trong một đ-ờng tròn, đ-ờng kinh vuông góc với dây thì đi qua

trung điểm của dây đó

CDAB tại M

=> M là trung điểm AB

- Trong một đ-ờng tròn, đ-ờng kinh đi qua trung điểm của một dây

không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

CD cắt AB tại M

M là trung điểm AB

=> CDAB tại M

- Trong một đ-ờng tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm Xét (O):

AB = CD

=> OM = ON

- Trong một đ-ờng tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Xét (O):

OM = ON

=> AB = CD

M

D

C B

M

D

C B

N

B

D

N

B

D

Ôn thi vào lớp 10

O

M

d

- Trong mét ®-êng trßn, d©y nµo gÇn t©m h¬n th× dµi h¬n XÐt (O):

OM > ON

=> AB < CD

- Trong mét ®-êng trßn, d©y nµo dµi h¬n th× gÇn t©m h¬n XÐt (O):

AB < CD

=> OM > ON

b) TiÕp tuyÕn:

- §Þnh nghÜa: ®-êng th¼ng d vµ (O) cã duy nhÊt 1 ®iÓm chung th× d lµ tiÕp tuyÕn cña (O)

- TÝnh chÊt: tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i tiÕp ®iÓm

d OM t¹i M

- DÊu hiÖu nhËn biÕt:

®-êng th¼ng vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i 1 ®iÓm trªn ®-êng trßn

* TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau:

NÕu cã hai tiÕp tuyÕn AM vµ AN th×:

+) AM = AN +) AO lµ ph©n gi¸c MAN

+) OA lµ ph©n gi¸c MON

N

A

O B

D

N

A

O B

D

A

O

M

N

Ôn thi vào lớp 10

ễn thi vào lớp 10

14 Góc với đ-ờng tròn:

Góc ở tâm Góc nội tiếp Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây

cung

Góc có đỉnh bên trong

đ-ờng tròn

Góc có đỉnh bên ngoài

đ-ờng tròn

Hình

vẽ

BAC là góc ở tâm

BC là cung bị chắn

BAC là góc ở nội tiếp

BC là cung bị chắn

ABC là góc tạo bởi tiếp tuyến AB

và dây BC

BC là cung bị chắn

BAC là góc có đỉnh bên

trong đ-ờng tròn

BC và DE là cung bị chắn

BAC là góc có đỉnh bên

ngoài đ-ờng tròn

BC và DE là cung bị chắn

Khái

niệm

Là góc có đỉnh trùng với

tâm đ-ờng tròn

Là góc có đỉnh nằm trên

đ-ờng tròn, hai cạnh chứa hai dây cung

Là góc có 1 cạnh chứa dây cung, cạnh kia chứa tiếp tuyến tại đầu mút của dây

Là góc có đỉnh nằm bên trong đ-ờng tròn

Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đ-ờng tròn, hai cạnh của góc cắt đ-ờng tròn

Định

lí

= số đo cung bị chắn

BAC sd BC

= nửa số đo cung bị chắn

1 2

BAC sd BC

= nửa số đo cung bị chắn

1 2

ABC sd BC

= nửa tổng số đo hai cung

bị chắn

1 2

BAC  sd BCsd DE

= nửa hiệu số đo hai cung

bị chắn

1 2

BAC sd BCsd DE

Hệ

quả

Trong cùng 1 đ-ờng tròn

hoặc trong 2 đ-ờng tròn

bằng nhau:

Cung  nhau  dây 

nhau

Cung  nhau  dây 

nhau

Trong 1 đ-ờng tròn:

+ Góc nội tiếp = nhau

 cung bị chắn = nhau + Góc nội tiếp cùng chắn

1 cung thì = nhau + Góc nội tiếp = 1

2 góc ở

tâm + Góc nội tiếp chắn nửa

Trong 1 đ-ờng tròn:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì = nhau

A

B

C

B C

A

O

B

A

O

B

E

C

O

B

E

C

D

ễn thi vào lớp 10

đ-ờng tròn = 90 0

15 Tứ giác nội tiếp:

1) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

180

A C 

=> tứ giác ABCD nội tiếp

2) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện d-ới 1 góc không đổi VD: DACDBC

=> A, B cùng nhìn cạnh CD d-ới một góc không đổi

=> tứ giác ABCD nội tiếp

3) Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1 điểm VD:

ABD

 có OB là trung tuyến => OA = OB = OD => A, B, D (O)

ACD

 có OC là trung tuyến => OA = OC = OD => A, C, D (O)

=> A, B, C, D (O)

=> tứ giác ABCD nội tiếp

O

B

A

D

C

O

B

A

D

C

O

B

C