Mot so ky thuat su dung bat dang thuc am gm va bat dang thuc bunyakovski

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG A.. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG

A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM

- GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

• Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta

có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn

• Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này

• Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính

xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

• Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị

thường đạt được tại vị trí biên

• Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến

trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến

đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu

“=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể

I MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM

1 Kỹ thuật tách ghép bộ số

1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

c a

b b

a ab

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=10 Tìm GTLN của:

5 3

+

a a

a

1

2 2 2

2

1 9 1

3 4

2 2

a

a a

A

a a A

) (

1    

−

b a b a

4

2     +

−

b b a a

=++

++

++

+

=++

a c c b b a c b a

a c c b b a c b a

2

22

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

c

ab b

ca a

c

a b

c a

b a

c c

b b

a

+ +

 + + 22 222

2

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc=1 CMR:

3 + + +



+ +

+ +

+

c b a c

b a b

a c a

c b

Bài 4: Cho

2,

,,

1 1 1 2 1 1

x x

x x x

+ +

Chứng minh bất đẳng thức trên :

Ta có với x1,x2, ,x n  0 thì

2 1 2

1 2

1 2

1

1

1

1 1

x x x n x x x n x x

x x x

n

n

n n

+ +

Với n=3 và x1,x2,x3  0 thì

( ) 1 1 1 9

3 2 1 3 2

+

x x x x x x

c

b a b

a c a

c b

Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

3

+

++

+

c a c

b c b a

(Bất đẳng thức Nesbit)

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

2 2

2

c b a a c

b c b

a b a

+

+ +

+ +

thức sau:

92

12

12

1

2 2

+

++

+

a

2 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn

Bài 1: Cho ABC,AB=c,BC =a,CA=b. CMR:

+

−+

+

−

c b

a c

b a

c b

a

(1)

Bài 3: Cho ABC,AB=c,BC =a,CA=b. CMR:

c b a c b a

c b a c

b a c b

a

+ +



− +

+

− +

+

− +

2 2

2

(1)

Bài 4: Cho

2,

,,

p b

p a

11

++

+

c a c

b c b

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

2 2

2

2 2

2

+

+ +

+

+ +

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu

“=” trong bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

• Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại

3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

a a

A= +

a

a a a

2.314

31.4

24

314

1

=+

+

++

=+

a

a a

a

a a a A

Dấu “=” xảy ra 1 hay 2

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt

GTNN khi a=2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số avà 1

a vì không thỏa quy tắc

dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1

1 1

4

34

1

++

=+

= và ta có lời giải như trên

a a

1 1

2 2

Sai lầm thường gặp là:

4

98

2.72.2

18

72

18

71.8

28

71

a

a a

a a

a

a

2 =

 a

Vậy GTNN của A là

49

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

12

Lời giải đúng:

4

98

2.64

38

61.8

.8.38

6188

3

2

2 +  +  + =+

+

a

a a a

a

a a A

Dấu “=” xảy ra  a =2

Vậy GTNN của A là

4

9

ab ab

a a

c b a c b a

1 1 1

+ +

abc ca

bc ab c

b a

9 3 2 6

9

2

1 2 24

18 3 2 24 18

3

3

=

 + +

=

 + +

ca

c a ca

c

a

ab

b a ab

b a

3

4 8 12

6

9 4 8 12 6

9

4

3 2 8

16 3 2 8 16

4

3

=

 + + +

=

 + +

abc

b c a abc

b c

a

bc

c b bc

c b

4

13 8 24

13 48

13 2 24

13 48

13 2 24

13 48

13

3

13 12 24

13 18

13 2 24

13 18

13 2 24

13 18

13

=



 +

=



 +

c b c

b

b a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

( )

12

121 8

1 1 1

+ +

abc ca

bc ab c

b

3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b1 Tìm GTNN của

b a b a

c b a c b a

c b a c b a

A= 2 + 2 + 2 +1+1+1

b a

ab ab

b a A

++

a c a

c b b a

c a c

b c b

a

+

++

+++

++

++

=

ab b

a

A

2

11

2

2 ++

=

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b1 Tìm GTNN của

ab b

a

A

2

11

1

2

2 +++

=

ab ab b a

A 21 2 + 1 +4+

=

2 2

3 3

111

ab b a b a

z y x z y x z y x

P

2

1 2

1 2

1

+ +

+ + +

+ + +

=

Đề thi Đại học khối A năm 2005

4 Kỹ thuật nhân thêm hệ số

27

8 2

1 3

2 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

a.a a

a A

-Dấu “=” xảy ra

3

22

3 6 3

1 3 6 3

3

b a

Tìm GTLN của

1 3 2 3 12 2 6 6

3231226

b

a b

a b a

c b

a

Tìm GTLN của:

abc

c ab b

ca a

bc A

4 3

12 6

4 4 4 12 64 4

4 4 12 64

12

9 3 3

3 3 6 9 3 3 6 9

6

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

4 4

4 4 4

3 3

3 3 3

abc abc

c ab c

ab c

ab

abc b

ca b

ca b

ca

abc a

bc a

bc a

bc

=

= + + +

93

128

528

193

122

1126

ca a

412

36

22

c b a c

b a

Vậy GTLN của A là 3

9 3

1 2

8 5 +

Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=1 Tìm GTLN của:

a c c b b a

= +

= +

3 1

a c

c b

b a c

b a

2

3

2

23

2

3

2

23

2

3

2

2

33

2.2

3

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=+

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

62

3

2.32

.2

+++++

A

Dấu “=” xảy ra

3 1

3 2 3 2 3 2

= +

= +

a c

c b

b a

Vậy GTLN của A là 6

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn

điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp

Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng:

3 3

3 3

3 3 2 2

2 + + + +  + b b c c a a

=+

32

32

a c

c b

b a c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

(3) (2)

(1)

9

3

2 6

2

9

3

2 6

2

9 3

2 6

3

3 3 2 9

1 3 3 2 9

1 2

3 3

3 3

3 3

3 3 3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

a

+ +

 +

+ +

 +

+ +

= + + +

 +

= +

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 3

3 3

3 3 9

3

3 18 2 2

34

34

2 2 2

c b

a c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

( ) ( )

(3) (2)

(1)

3 2

7 4

3 2

7 4

3 2

7 2

3 4

3

1 3 4 3

1 4

2 2

2 2

2 2

2 2

c c

b b

a a

a a

214

44

2 2 2 2

2

c b



−+

−+

2 2

2 2

2 2 2 2

c b a c b a

c b a c

b

a

+ +

 + +



+ + +

+

 + +

nên

3 3 3

2 3

21 4

4 4

2 2

2

+ +

−



− +

− +

−

c b a c

A= + +

c b

a + + và a+b+c

gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM để hạ bậc 2 2 2

c b

a + + Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các

biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng

3

29

1.29

2 +  = (1) Dấu “=” xảy ra

3

19

3

29

3

29

23

23

2 2

lớn nhất của biểu thức A= a+ b

bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức AM - GM lần lượt cho 3

a và

3

b cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a và b

Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất

2

1.62

1 62

1.5

6 5 6

5 3

2

1 2

1  =

=

Tương tự:

b b

2

1.62

1 62

1.5

6 5 6

5 3

3

22

1.6512

1.6

a b

3 3 3

3 3 3

 + + +



+ +

 + + +

c b a

ca bc ab c

b a

3 3 3

51.152

3a +  a = a (1)

Tương tự:

3 5

5 2

3b +  b (2) ; 5 3

5 2

5 5 5

3 3 3 5

5 5

 + + +



+ +

 + + +

c b a

c b a c

b a

3 5 5

5 + + 

a b c (đpcm)

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a3b3 +b3c3 +c3a3 = 3 CMR:

3 7 7

7 21 21 7

7

71.713

3a + b +  a b = a b (1)

Tương tự:

3 3 7

7

7 1 3

3b + c +  b c (2) ; 7 7 3 3

7 1 3

3c + a +  c a (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

6

7 3 6

7 7 7

3 3 3 3 3 3 7

7 7

 + + +



+ +

 + + +

c b a

a c c b b a c

b a

3 7 7

a2 +42 2.4 =4 (1); b2 + 4  4b (2) ; a2 +b2  2ab (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

ab b a b

2 2 + 2 +  + +

ab b a b

a3+ 3 + 3  2 + 2 + 2

Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c, m, n CMR:

n m n m n m n m n m n m

a c c b b a c

m n

m

b a n m b

a n m nb

(1)

Tương tự:

( ) m n n

m n

m

c b n m nc

mb + + +  +

(2)

m n m n ( ) m n

a c n m na

mc + + +  +

(3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

( ) ( m n m n m n) ( ) ( m n m n m n)

a c c b b a n m c

b a n

n m n m n m n m n m n

m

a c c b b a c

b

(đpcm)

Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng trong chứng minh

các bài toán sau này

sau:

11

11

11

1

3 3 3

3 3

++

+++

++

1 1

1

2 2 2

2 3

3

2 2 3 3

3 2 2 2 2 2 3 3 3

= +

+

= + +

= + +

 + +



+

 +



+ +

= + +

 + +

abc c

b a

c abc

a b b a

abc a

b b a b

a

a b b a b a

a a b b a a a a b b a a b

a

Tương tự:

c b a

a c

b a

11

11

1

3 3 3

3 3

++

++

++

+++

++

c b a a

c c

b b

c

2.8228

2 2 2

2 +  =

bc

c b

c

2.8228

2 2 2

2 +  =

ab b

a b

2 2 + 2  2 2 =

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

( ) 4 1 4 4

2 2 2 8

2 8

2 2

2 2

2 2

c

b a

b a

c b

c a

Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại tách được 10=8+2 Nếu tách cách khác, chẳng hạn

46

10= + liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách 10=8+2 cũng không phải là sự may mắn Bây giờ ta

sẽ tìm lí do việc tách 10=8+2 ở bài toán trên

Với   Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

c a

c

2.22

2 2 2

2 +  =

bc

c b

c

2.22

2 2 2

2 +  =

(10 −)a2 +(10 −)b2  2 (10 −) (a2 10 −)b2 =(20 − 2)ab

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

(ac bc) ( )ab c

−

 +

8 0

200 41

2 4

80 400 2

2 20

Khi đó ta có lời giải bài toán như trên

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=5 CMR: :

10 3

c

2.2222

2 2 2

2 +  =

bc

c b

c

2.2222

2 2 2

2 +  =

ab b

a b

a2 + 2 2 2 2 =2

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

( ) 2 5 10 2

1 4

1

4 : 3

=

3

3 2 3 3

1 2 1

3 3

a

3

3 33

3

19

1.9

1 39

19

1

=

+

b b

3 3

3

4 9

8 9

3

3 3 2 3

4

4 3

1 2

 + +

 +



+

 + +

b a b

a

b a b

a

Dấu “=” xảy ra khi

9 8 9 1

3 3

3 3

b

a b

a

Vậy GTLN của A là 3

3 3

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 Tìm GTNN của

2 2 2

3 6

a  2 4  2 4

b b

b  2 6  2 6

6 2 +  2 =

c c

c  2 3  2 3

3 2 +  2 =

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

c b

a c

3 6 4 3

3 6 4

3

2 2

2

= + +

c b a

c b a

c b a

Chọn ,, sao cho 4 = 6 = 3

Ta có hệ phương trình:

3 6 4

3 3 6 4

3163

84

33

23

12

13

3.3

46.6

443

464

3364

b b

3

6.823

8

c c

3

16.323

6 4

24 8

3

16 3

8 4 3 6 4

2 2 2

2 2 2

 + +



= + +

 + + + + +

c b a

c b a c

b a



3 4 3 2 1

3

16 3

3

8 6

4 4

3

2 2 2

c b a

c b a

c b a

Vậy GTNN của A là 12

6 Kỹ thuật cộng thêm

c b a a

c c

b b

2 2

2 + +  + +

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

b a b

a a

b

.2

1

2

2 +  = (1) ;

c b c

2 +  (2);

a c a

2 +  (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

c b a c b a a

c c

b b

2 2

2 + + + + +  + +

c b a a

c c

b b

2 2

2 + +  + +

3 2

2 2

2 2

2

c b a b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +

2.2

29

22

2 2

a c b c b

a c

b c b

+



++

3

2 9

2 2

2

b a c a c

2 9

2 2

2

c b a b a

3 2

2 2

2 2

2

c b a c

b a b a

c a c

b c

b

+

+ +

+ +

3 2

2 2

2 2

2

c b a b a

c a c

b c b

 +

+ +

+ +

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật

chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp

Ví dụ:

• Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự

đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó 2 2 1

a a

a b

a = = , ta chọn 1

a

• Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự

đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c Khi đó

3 2

2

2 2

a a a

a c b

+

=

c b ab

b

3 3 3 3 3 3

Giải:

Ta có:

c

a a

c b

c c

b a

b b

a ca

a c bc

c b ab

b

a3 + 3 + 3+ 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

a b b

a b

b

a

2.2

2 2

c b

c b

c c

b a

b b

a

c b a c b a c

a a

c b

c c

b a

b

b

a

+ +

 + + + + +



+ +

 + + + + + + + +

2

4 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(a b c)

ca

a c bc

c b ab

b a

+ +



+ +

+ +

+

3 3 3 3 3 3

(đpcm)

c b a a

c c

b b

3 2 3 2 3

2

+ +

 + +

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

a 1 1 33 a 1.1 3

2 2

=

++ (1) ; b2 +1+1  3 (2); c2 +1+1  3 (3)

c b a c

b a a

c c

b

b

31112

3 2 3 2 3

2

c b a a

c c

b b

3 2 3 2 3

2

+ +

 + +

2 2 2 3 3 3

c b a a

c c

b b

a

+ +

 + +

3 3

3

b

a b

a b

2 2 3 3

3b c c

b

c

b

 + + (2) ; 2 2

3 3

3c a a

c a

c

 + + (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:

3 3 3

3

a

c c

b b

2 2 2 3 3 3

c b a a

c c

b b

11

11

1

3 3

3

++

+++

++

c a

c

b c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

c b

a c

b c

b

a

4

3 8

1 8

1 1 1

3 8

1 8

1 1

1

3

3 3

= + + + +



+ +

+ + +

a c

b

4

38

18

11

1

3



++

+++

( a)( b) a b c

c

4

38

18

11

1

3



++

+++

32

34

32

11

11

11

1

4

34

34

11

11

11

1

3 3

3 3

3 3

++

+++

+++



++

++++++

+++

+++

abc c

b a b

a

c a

c

b c

b a

c b a c

b a b

a

c a

c

b c

c ca

b bc

a

+ +

 + + 42 422

c b bc

a

4

44 2 4 2

4

=

++

4

 + +

4

 + + + (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(a b c) (a b c)

ab

c ca

b bc

a

+ +

 + + + +

4 2 4 2

4

c b a ab

c ca

b bc

++

+

ca c

b a

bc b

a c

2

1

2 2

2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

( ) ( ) ab c

b a b a c

ab ab

b a b a

c

4 2

( ) bc a

c b c b

b a

bc b

a c

ab

c b a ca

a c bc

c b ab

b a a c b

ca c

b a

bc b

a

c

ab

1 1 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4 1

1 1 1 4

4 4

2 2

2

2 2

2

+ +

 + + + + + + +

+ +

+ +



+ +



+ +

+ +

+ + +

+ +

+ +

++

++



c b a a

c b

ca c

b a

bc b

a c

2

1

2 2

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a2+b2 +c2 = 3 Chứng minh rằng:

2

3 3 3

3

 +

+ +

+

c a c

b c b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

3 3

4.2

c b a c b

a c

b a c

( ) 2 3

a c b a

c

( ) 2 3

b a c b a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

) (1'

2

2 2 2 3

3 3

c b a ca bc ab b a

c a c

b c

b

+

+ +

+

+

Mặt khác ta có: m n m n m n m n m n m n

a c c b b a c

2

2

2 2 2

2 2 2

ca bc ab c b a

ca bc ab c b

a

+ +

 + +



+ +

 + +

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

2 2

2

2 2 2 2 2 2 3

3 3

ca bc ab c b a c b a ca bc ab b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +



2

3 2

2 2 2 3

3 3

= + +

 +

+ +

+ +

b a

c a c

b c b

a

(đpcm)

3 3 3 2 5 2 5 2

5

c b a a

c c

b b

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

3 2 2

5 2

2

5

2

b

a ab

b

3 2 2

5

2b bc

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 3 3 32

2 2 2 5 2 5 2

5

c b a ca

bc ab a

c c

2 2 2 3 3 3

ca bc ab c b

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

3 3 3 2 2 2 2 5 2 5 2

5

2a b c ab bc ca c

b a ca bc ab a

c c

b

b

3 3 3 2 5 2 5 2

5

c b a a

c c

b b

3

3

1 2 2

c c b

b b a

+

+ +

+ +

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: