Ứng dụng lý thuyết tập mờ trong khai phá dữ liệu thông tin sinh viên của trường đại học quốc tế hồng bàng luận văn thạc sĩ ngành công nghệ thông tin

Trên thực tế lý thuyết tập mờ và logic mờ là công cụ hữu hiệu giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán, trong đó có bài toán khai phá luật kết hợp mờ [14].. Từ nguồn dữ liệu này nếu chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Ứng dụng lý thuyết tập mờ trong khai phá dữ liệu thông tin sinh viên của trường Đại học Quốc tế Hồng Bàng” là công trình

nghiên cứu của chính tôi

Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS Phạm Thanh Hà Các nội dung nghiên cứu, kết quả được trình bày trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây Những tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực về tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về sự trung thực của luận văn và với mọi sao chép không hợp lệ, hay gian trá

Vũ Ngọc Linh

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô của Khoa Công nghệ thông tin, quý Thầy Cô của Phòng Đào tạo Sau đại học đã tận tình giảng dạy cũng như tạo mọi điều kiện cho em học tập và nghiên cứu trong thời gian vừa qua

Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS Phạm Thanh Hà, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ em thực hiện luận văn ngay từ những bước đầu tiên đến khi hoàn thành

Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này

Do thời gian có hạn và vốn kiến thức còn hạn chế, chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

TP Hồ Chí Minh, ngày … tháng 06 năm 2019

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU vii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ 3

1.1 Lý thuyết tập mờ 3

1.1.1 Tập mờ 3

1.1.1.1 Khái niệm tập rõ 3

1.1.1.2 Khái niệm tập mờ 3

1.1.1.3 Một số khái niệm cơ bản liên quan 10

1.1.2 Các phép toán trên tập mờ 11

1.1.2.1 Các phép toán chuẩn trên tập mờ 11

1.1.2.1 Các phép toán mở rộng trên tập mờ 13

1.1.3 Quan hệ mờ và nguyên lý mở rộng 18

1.1.3.1 Quan hệ mờ 18

1.1.3.2 Hợp thành của các quan hệ mờ 19

1.1.3.3 Nguyên lý mở rộng 21

1.2 Logic mờ 23

1.2.1 Biến ngôn ngữ 23

1.2.2 Mệnh đề mờ 24

1.2.3 Các mệnh đề hợp thành 26

1.2.4 Kéo theo mờ (Luật if – then mờ) 27

1.2.5 Phương pháp lập luận xấp xỉ 31

CHƯƠNG 2 KHAI PHÁ LUẬT KẾT HỢP MỜ 35

2.1 Tổng quan về khai phá dữ liệu 35

2.1.1 Khái niệm: 35

2.1.2 Quá trình khám phá tri thức trong CSDL 35

2.1.3 Kiến trúc của hệ thống khai phá dữ liệu 37

2.1.4 Quá trình khai phá dữ liệu 38

2.1.5 Nhiệm vụ chính trong khai phá dữ liệu 39

2.1.6 Các phương pháp chính trong khai phá dữ liệu 41

2.1.6.1 Phương pháp phát hiện luật kết hợp 41

2.1.6.2 Phương pháp sử dụng cây quyết định và luật 42

2.1.6.3 Phương pháp ứng dụng K-láng giềng gần 42

2.1.6.4 Các phương pháp dựa trên mẫu 43

2.1.7 Các ứng dụng của khai phá dữ liệu 43

2.2 Khai phá luật kết hợp 44

2.2.1 Luật kết hợp 44

2.2.2 Bài toán khai phá luật kết hợp 45

2.2.3 Một số tính chất của tập mục phổ biến và luật kết hợp 48

2.2.3.1 Một số tính chất của tập mục phổ biến 48

2.2.3.2 Một số tính chất của luật kết hợp 48

2.2.4 Các loại luật kết hợp 49

2.3 Khai phá luật kết hợp mờ 51

2.3.1 Bài toán khai phá luật kết hợp mờ 51

2.3.2 Thuật toán khai phá luật kết hợp mờ 52

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG KHAI PHÁ LUẬT KẾT HỢP MỜ TỪ DỮ LIỆU SINH VIÊN ĐẠI HỌC QUỐC TẾ HỒNG BÀNG 57

3.1 Dữ liệu sinh viên Đại học Quốc tế Hồng Bàng 57

3.2 Ứng dụng khai phá luật kết hợp dựa trên dữ liệu sinh viên 68

3.3 Kết quả khai phá dữ liệu tại Đại học Quốc tế Hồng Bàng 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT Bảng từ viết tắt:

Từ hoặc cụm từ Từ viết tắt Tiếng Anh

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Các hàm thuộc khác nhau số tập mờ số gần 2 6

Hình 1.2 Các tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung bình”, “tốc độ nhanh” 6

Hình 1.3 Các tập mờ ở dạng hình tam giác 7

Hình 1.4 Các tập mờ ở dạng hình thang 8

Hình 1.5 Các tập mờ ở dạng hình chuông 9

Hình 1.6 Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ 10

Hình 1.7 Hàm thuộc của tập mờ “nhiệt độ cao” 24

Hình 1.8 Các tập mờ “Chậm”, “Nhanh”, Trung bình” 24

Hình 1.9 Tập mờ “tuổi trẻ” 26

Hình 2.1 Quá trình khàm phá tri thức 36

Hình 2.2 Kiến trúc của hệ thống khai phá dữ liệu 37

Hình 2.3 Quá trình khai phá dữ liệu 39

Hình 2.4 Mẫu kết quả với phương pháp cây quyết định 42

Hình 2.6 Đồ thị các hàm thuộc của các tập mờ ứng với biến ngôn ngữ tuổi 53 Hình 2.7 Đồ thị các hàm thuộc của các tập mờ ứng với biến ngôn ngữ Cholesterol 54

Hình 3.1 Tập mờ đăng ký rất ít 69

Hình 3.2 Tập mờ đăng ký ít 69

Hình 3.3 Tập mờ đăng ký tương đối đủ 70

Hình 3.4 Tập mờ đăng ký đủ 70

Hình 3.5 Tập mờ đăng ký nhiều 71

Hình 3.6 Tập mờ kết quả học tập kém 72

Hình 3.7 Tập mờ kết quả học tập trung bình 72

Hình 3.8 Tập mờ kết quả học tập khá 73

Hình 3.9 Tập mờ kết quả học tập giỏi 73

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Mức độ thuộc của các điểm thi vào mỗi tập mờ 4

Bảng 1.2 Các tập mờ đƣợc xác định từ tập mờ có dạng hình tam giac 7

Bảng 1.3 Các tập mờ đƣợc xác định từ tập mờ dạng hình thang 8

Bảng 1.4 Các tập mờ đƣợc xác định từ tập mờ dạng hình chuông 9

Bảng 2.1 Ví dụ một CSDL giao dịch 45

Bảng 2.2 Các tập mục phổ biến của CSDL với minsup = 50% 46

Bảng 2.3 Các luật kết hợp đƣợc sinh từ tập mục phổ biến ACW 47

Bảng 2.4 CSDL về khám và chẩn đoán bệnh tim của 13 bệnh nhân 52

Bảng 2.5 Bảng dữ liệu sau khi đƣợc mờ hoá 54

Bảng 2.6 Tập các tập phổ biến có lực lƣợng bằng 1 55

Bảng 2.7 Tập tất cả các tập phổ biến có lực lƣợng bằng 2 55

Bảng 2.8 Tập luật sau khi khai phá bảng dữ liệu 55

Bảng 3.1 Thông tin sinh viên 57

Bảng 3.2 Thông tin về kết quả học tập và điểm rèn luyện 60

Bảng 3.3 Thông tin sinh viên đƣợc sử dụng trong luận văn 63

Bảng 3.4 Danh sách sinh viên thử nghiệm sau khi chuẩn hóa 68

Bảng 3.5 Kết quả mờ hóa thuộc tính số tín chỉ đăng ký 71

Bảng 3.6 Kết quả mờ hóa các thuộc tính còn lại 74

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Trong một vài thập niên gần đây, khai phá dữ liệu (KPDL) đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu chính trong lĩnh vực khoa học máy tính và công nghệ tri thức Trong quá trình phát triển đó với hàng loạt nghiên cứu, đề xuất được thử nghiệm và ứng dụng thành công vào đời sống, đã chứng tỏ rằng KPDL là một lĩnh vực nghiên cứu ổn định, có nền tảng lý thuyết vững chắc

KPDL bao hàm rất nhiều hướng tiếp cận Các kỹ thuật chính được áp dụng trong lĩnh vực này phần lớn được thừa kế từ lĩnh vực cơ sở dữ liệu (CSDL), học máy, trí tuệ nhân tạo, lý thuyết thông tin, xác xuất thống kê và tính toán hiệu năng cao (hight performance computing) Các bài toán chủ yếu trong KPDL là khai phá luật kết hợp (Association rules mining), phân lớp/dự đoán (classification/ prediction), phân cụm (clustering), khai phá chuỗi (Sequence mining), … Lĩnh vực này là điểm hội tụ và giao thoa của nhiều lĩnh vực khác nhau KPDL đã và đang được ứng dụng thành công trong thương mại, tài chính và thị trường chứng khoán, sinh học, y học, giáo dục, viễn thông, … [4-13]

Lý thuyết tập mờ và logic mờ là cơ sở toán học cho việc nghiên cứu, phát triển các phương pháp lập luận khác nhau, được gọi là phương pháp lập luận xấp xỉ (approximate reasoning method), để mô phỏng cách thức con người lập luận Trên thực tế lý thuyết tập mờ và logic mờ là công cụ hữu hiệu giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán, trong đó có bài toán khai phá luật kết hợp mờ [14]

Hiện nay trường Đại học Quốc tế Hồng Bàng đang có quy mô đào tạo lên tới hơn 10000 sinh viên, thuộc 32 ngành đào tạo Qua nhiều năm trường đã có một cơ

sở dữ liệu lớn về thông tin sinh viên và kết quả học tập của sinh viên với hàng triệu bản ghi

Từ nguồn dữ liệu này nếu chúng ta ứng dụng được các kỹ thuật khai phá dữ liệu thì có thể tìm ra những thông tin, những quy luật có giá trị hỗ trợ việc ra quyết định, dự báo, … trong lĩnh vực đào tạo và nghiên cứu khoa học của trường

Và đó cũng là lý do để em chọn đề tài: “Ứng dụng lý thuyết tập mờ trong

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các khái niệm cơ bản liên quan đến lý thuyết tập mờ, logic mờ

- Các khái niệm cơ bản liên quan đến khai phá dữ liệu

- Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết tập mờ trong khai phá luật kết hợp

- Khai phá luật kết hợp mờ từ cơ sở dữ liệu thông tin sinh viên của trường Đại học Quốc tế Hồng Bàng

3 Hướng nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu lý thuyết tập mờ, logic mờ

- Nghiên cứu khai phá luật kết hợp mờ

- Ứng dụng khai phá luật kết hợp dựa trên dữ liệu thông tin sinh viên

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với cài đặt thực nghiệm

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Hệ thống các kiến thức về tập mờ, logic mờ

Nghiên cứu các phương pháp về khai phá luật kết hợp, khai phá luật kết hợp mờ Ứng dụng một số phương pháp khai phá luật kết hợp mờ trên cơ sở dữ liệu thông tin sinh viên

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ

1.1 Lý thuyết tập mờ

1.1.1 Tập mờ

1.1.1.1 Khái niệm tập rõ

Một tập rõ A trong một tập vũ trụ nào đó có thể xác định bằng cách liệt kê ra tất

cả các phần tử của nó, chẳng hạn với tập vũ trụ U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ta có tập rõ A = {3, 5, 6, 9} Trong trường hợp không thể liệt kê ra hết được các phần tử của tập A, chúng ta có thể chỉ ra các tính chất chính xác mà các phần tử của tập A

thoả mãn, chẳng hạn A = {x | x là số nguyên tố}

Một tập rõ có thể được xác định bởi hàm đặc trưng, hay còn gọi là hàm thuộc của nó Hàm thuộc của tập rõ A, được ký hiệu là A , đó là hàm 2 trị (0,1), nó nhận

giá trị 1 trên các đối tượng x thuộc tập A và giá trị 0 trên các đối tượng x không

thuộc A Ký hiệu A(x)/x được hiểu là độ thuộc của x vào tập A là A(x)

Đối với tập rõ có một ranh giới rõ ràng giữa các phần tử thuộc và không thuộc

Đối với tập rõ được xác định bởi các tính chất chính xác cho phép ta biết một đối tượng là thuộc hay không thuộc tập đã cho, các tập mờ được xác định bởi các tính chất không chính xác, không rõ ràng, chẳng hạn các tính chất người trẻ người

Các tập mờ được xác định bởi hàm thuộc mà các giá trị của nó là các số thực từ

0 đến 1 Chẳng hạn tập mờ những người thoả mãn tính chất người trẻ (chúng ta sẽ gọi là tập mờ người trẻ) được xác định bởi hàm thuộc nhận giá trị 1 trên tất cả những người dưới 30 tuổi, nhận giá trị 0 trên tất cả những người trên 60 tuổi và nhận giá trị giảm dần từ 1 tới 0 trên các tuổi từ 30 đến 60

Nguoitre ={1/0, 1/10, 1/20, 1/30, 0.75/40, 0.5/50, 0.25/60, 0/70, 0/80, 0/90, 0/100}

Tập mờ A trong vũ trụ U được biểu diễn bằng tập tất cả các cặp phần tử và mức

độ thuộc của nó [14]

A = {(x, A (x)) | x  U}

Ví dụ: Giả sử các điểm thi được cho từ 0 đến 10, U = {0, 1, 2, …, 10} Chúng ta xác định ba tập mờ A = “điểm khá”, B = “điểm trung bình”, C = “điểm kém” bằng

cách cho mức độ thuộc của các điểm vào mỗi tập mờ như sau:

Bảng 1.1 Mức độ thuộc của các điểm thi vào mỗi tập mờ

Sau đây là các ký hiệu truyền thống biểu diễn tập mờ Nếu vũ trụ U là rời rạc và hữu hạn thì tập mờ A trong vũ trụ U đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

25

1 2

5

251

1

y

y A

Đó là một cách biểu diễn của tập mờ có hàm thuộc là:

5

251

250

1)

(

1 2

y y

y y

Trong đó, dấu tích phân (cũng nhƣ dấu tổng ở trên) không có nghĩa là tích phân

mà để chỉ tập hợp tất cả các phần tử x đƣợc gắn với mức độ thuộc của nó

Ví dụ: Tập mờ A = “số gần 2” có thể đƣợc xác định bởi hàm thuộc nhƣ sau:

2 ) 2 (

)(   x

3

21

21

1

10

)

(

x

x x

x

x x

Các tập mờ được sử dụng rộng rãi nhất trong các ứng dụng là các tập mờ trên

đường thẳng thực R và các tập mờ trong không gian Ơclit n chiều R n (n  2)

Ví dụ: Giả sử tốc độ của một chuyển động có thể lấy giá trị từ 0 với max = 150 (km/h) Chúng ta có thể xác định 3 tập mờ “tốc độ chậm”, “tốc độ trung bình” và

Hình 1.5 Các tập mờ ở dạng hình chuông

Hình 1.5 là các tập mờ có dạng hình chuông, từ các tập mờ dạng hình chông trên ta xác định đƣợc các tập mờ A, B, C nhƣ sau:

Khái niệm tập mờ là một khái niệm toán học hoàn toàn chính xác Một tập mờ

trong vũ trụ U là một hàm xác định trên U và nhận giá trị trong đoạn [0,1] Các tập

rõ là tập mờ, hàm thuộc của tập rõ chỉ nhận giá trị 0, 1 Khái niệm tập mờ là sử tổng quát hoá khái niệm tập rõ

Một tính chất mờ có thể mô tả các tập mờ khác nhau, trong các ứng dụng ta cần xác định các tập mờ biểu diễn các tính chất mờ sao cho phù hợp với thực tế, với các

số liệu thực nghiệm

1.1.1.3 Một số khái niệm cơ bản liên quan

Giả sử A là một tập mờ trên vũ trụ U Giá đỡ của tập mờ A, ký hiệu là supp(A)

là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U có mức độ thuộc vào tập mờ A lớn

hơn 0, tức là:

supp(A) = {x  A | A (x)  0}

Hình 1.6 Giá đỡ, nhân và biên của tập mờ

Nhân của tập mờ A là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x  U sao cho

A (x) = 1 Còn biên của tập mờ A sẽ gồm tất cả các x  U sao cho 0 A (x)  1 Hình 1.6 minh hoạ giá đỡ, nhân và biên của một tập mờ

Độ cao của một tập mờ A, ký hiệu là height(A), đƣợc xác định là cận trên đúng

của các A (x) với x chạy trên vũ trụ U, tức là:

) ( sup )

U x

A height A





Các tập mờ có độ cao bằng 1 đƣợc gọi là các tập mờ chuẩn tắc (normal fuzzy

set) Chẳng hạn, các tập mờ A, B, C trong các ví dụ trên đều là tập mờ chuẩn tắc

Lát cắt  ( - cut) của tập mờ A, ký hiệu Alà một tập rõ bao gồm tất cả các

phần tử của vũ trụ U có mức độ thuộc vào A lớn hơn hoặc bằng  Tức là

A = {x  U | A (x) }

Ví dụ: Giả sử U = {a, b, c, d, e, m, n} và A là tập mờ đƣợc xác định nhƣ sau:

n m e d c b a

1.1.2.1 Các phép toán chuẩn trên tập mờ

Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U Ta nói

Tập mờ A bằng tập mờ B, ký hiệu A = B nếu với mọi x  U ta có A (x) = B (x) Tập mờ A đƣợc gọi là tập con của tập mờ B, ký hiệu A  B nếu với mọi x  U

A (x) B (x)

a Phần bù: Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc xác định nhƣ sau:

)(1)

A 0,30,701 0,5

e d c b a

B 0,10,90,61 0,5

Khi đó chúng ta có các tập mờ nhƣ sau

e d c b a

A  0,70,310 0,5

e d c b a B

A  0,30,90,61 0,5

e d c b a B

A  0,30,701 0,5

d Tích đề các: Giả sử A 1 , A 2 , …, A n là các tập mờ trên các vũ trụ U 1 , U 2 , …, U n tương ứng Tích đề các của A 1 , A 2 , …, A n là tập mờ A = A 1 A 2 … A n trên không

gian U = U 1 U 2 … U n với hàm thuộc được xác định như sau:

n n n

n A A

A n

1

2 2

x x

U x

k

i i

U1 2 

f Mở rộng hình trụ:

Giả sử A 1 là tập mờ trên vũ trụ U 1 Mở rộng hình trụ của A 1 trên không gian tích

U 1 U 2 là tập mờ A trên vũ trụ U 1  U 2 với hàm thuộc được xác định bởi:

Đương nhiên ta có thể mở rộng một tập mờ trong không gian U i U i  U i k

2 1

thành một tập mờ hình trụ trong không gian U1 U2 … Un trong đó (i1, ,i k)là các

dãy con của dãy (1, 2, …, n)

Ví dụ: Giả sử U 1 = {a, b, c} và U 2 = {d, e}

Giả sử A 1 , A 2 là các tập mờ trên U 1 , U 2 tương ứng:

c b a

A1  1 00,5

e d

A2  0,30,7

Khi đó ta có

),(

5,0),(

3,0),(

0),(

0),(

7,0),(

3,0

2 1

e c d c e b d b e a d a A

Nếu chiếu tập mờ này lên U 1, ta nhận đƣợc tập mờ sau:

c b a

5,007

,

Mở rộng hình trụ của tập mờ A 1 trên không gian U 1 U 2 là tập mờ sau:

),(

5,0),(

5,0),(

0),(

0),(

1)

,

(

1

e c d c e b d b e a d

Còn có những cách khác để xác định các phép toán phần bù, hợp, giao trên các

tập mờ Chẳng hạn, ta có thể xác định hợp của A và B là tập bất kỳ chứa cả A và B

Sau đây chúng ta sẽ đƣa vào các phép toán mà chúng là tổng quát hoá của các phép toán chuẩn đƣợc xác định bởi (1.1), (1.2) và (1.3) [14]

a Phần bù mờ

Giả sử chúng ta xác định hàm C: [0, 1]  [0,1] bởi công thức C(a) = 1 - a, a

[0,1] Khi đó từ công thức (1.1) xác định phần bù chuẩn, ta có

Điều này gợi ý rằng, nếu chúng ta có một hàm C thoả mãn một số điều kiện nào

đó thì chúng ta có thể xác định phần bù A của tậo mờ A bởi công thức (1.7) Tổng quát hoá các tính chất của hàm C, C(a) = 1- a, chúng ta có định nghĩa:

Phần bù của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc đƣợc xác định trong (1.7), trong đó C là hàm thoả mãn các điều kiện sau:

- Tiên đề C 1 (điều kiện biên) C(0) = 1, C(1) = 0

- Tiên đề C 2 (đơn điệu không tăng) Nếu a  b thì C(a)  C(b) với mọi a,

b[0,1]

Hàm C thoả mãn các điều kiện C 1 , C 2 sẽ đƣợc gọi là hàm phần bù Chẳng hạn,

hàm C(a) = 1- a thoả mãn cả 2 điều kiện trên Sau đây là một số lớp phần bù mờ

quan trọng

Ví dụ: Các phần bù mờ lớp Sugeno đƣợc xác định bởi hàm C nhƣ sau:

a

a a

C

1

) 1 ( )

Trong đó w là tham số, w  0, ứng với mối giá trị của tham số w chúng ta sẽ có một phần bù và với w = 1 phần bù Yager trở thành phần bù chuẩn (1.1)

b Hợp mờ - các phép toán S – norm

Phép toán hợp chuẩn đƣợc xác định bởi (1.2), tức là nó đƣợc xác định nhờ hàm

max(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] Từ các tính chất của hàm max này, chúng ta đƣa

ra một lớp các hàm đƣợc gọi là S – norm [14]

Một hàm S: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] đƣợc gọi là S – norm nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

- Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(1, 1) = 1; S(0, a) = S(a, 0) = a

- Tiên đề S2 (tính giao hoán): S(a, b) = S(b, a)

- Tiên đề S3 (tính kết hợp): S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))

- Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì S(a, b)  S(a’, b’)

Ứng với mỗi S – norm, chúng ta xác định một phép hợp mờ như sau: Hợp của A

và B là tập mờ A  B với hàm thuộc được xác định bởi biểu thức

))(),(()

B

Các phép hợp được xác định bởi (1.8) được gọi là các phép toán S – norm

Chẳng hạn, hàm max(a, b) thoả mã các điều kiện (S1) đến (S4), do đó hợp chuẩn

(1.2) là phép toán S – norm Người ta thường ký hiệu max(a, b) = a  b Sau đây là

một số phép toán S – norm quan trong khác

00

b a if

a if

b

b if

a b

,1min

Trong đó w là tham số, w  0, ứng với mỗi giá trị của w chúng ta có một S– norm cụ thể, khi w = 1, hợp Yager trở thành tổng chặn Có thể thấy rằng:

),max(

),(limS a b a b

w

 0

),(lim

Như vậy khi w  , giao Yager trở thành hợp chuẩn

c Giao mờ - các phép toán T – norm

Chúng ta đã xác định giao chuẩn bởi hàm min(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] Tổng quát hoá từ các tính chất của hàm min này, chúng ta đưa ra một lớp các hàm được gọi là T – norm [14]

Một hàm T: [0, 1]  [0, 1]  [0, 1] đƣợc gọi là T – norm nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

- Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(0, 0) = 0; T(1, a) = T(a, 1) = a

- Tiên đề T2 (tính giao hoán): T(a, b) = T(b, a)

- Tiên đề T3 (tính kết hợp): T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))

- Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a  a’, b  b’ thì T(a, b)  T(a’, b’)

Ứng với mỗi T – norm, chúng ta xác định một phép giao mờ nhƣ sau: Giao của

A và B là tập mờ A  B với hàm thuộc đƣợc xác định bởi biểu thức

))(),(()

B

Trong đó T là một T – norm Các phép giao mờ đƣợc xác định bởi công thức

1.9 đƣợc gọi là các phép toán T – norm Chẳng hạn, hàm min(a, b) là T – norm Chúng ta sẽ ký hiệu min(a, b) = a  b Sau đây là một số T – norm quan trọng

11

b a if

a if b

b if a b a

,1min1

Trong đó w là tham số, w  0 Khi w = 1, giao Yager trở thành tích chặn Có thể

chỉ ra rằng:

),min(

),(limT a b a b

w

 0

),(lim

Khi w , giao Yager trở thành giao chuẩn

Mối quan hệ giữa các S – norm và T – norm được phát biểu như sau: Giả sử T

là một T – norm và S là một S – norm Khi đó chúng ta có các bất đẳng thức

a  b  T(a, b)  min(a, b)

max(a, b)  S(a, b)  a  b

Trong đó a  b là tổng Drastic còn a  b là tích Drastic

Chúng ta thấy rằng, các phép toán min và max là cận trên và cận dưới của các phép toán T- norm và S – norm tương ứng Như vậy các phép toán hợp và giao không thể nhận giá trị trong khoảng giữa min và max

Người ta đưa vào các phép toán V(a, b): [0, 1]  [0, 1]  [0, 1], mà các giá trị

của nó nằm giữa min và max: min(a, b)  V(a, b)  max(a, b) Các phép toán này

được gọi là phép toán lấy trung bình (averaging operators) Sau đây là một số phép toán lấy trung bình:

Tích đề các của các tập mờ A 1 , …, A n trên các vũ trụ U 1 , …, U n tương ứng là các

tập mờ A = A 1 … A n trên U = U 1 … U n với hàm thuộc được xác định như sau:

)(

)()

, ,

A n

1.1.3 Quan hệ mờ và nguyên lý mở rộng

1.1.3.1 Quan hệ mờ

Quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong logic mờ và lập luận xấp xỉ Khái niệm quan hệ mờ là sự tổng quát hoá trực tiếp của khái niệm quan hệ (quan hệ rõ) Trước hết ta nhắc lại khái niệm quan hệ

Giả sử U và V là 2 tập Một quan hệ R từ U đến V (sẽ được gọi là quan hệ 2 ngôi) là một tập con của tích đề các U  V Trong trường hợp U = V, ta nói rằng R là quan hệ trên U Chẳng hạn, tập R bao gồm tất cả các cặp người (a, b) trong đó a là chồng của b, xác định quan hệ “vợ - chồng” trên một tập người nào đó

Tổng quát, chúng ta xác định một quan hệ n – ngôi R trên các tập U 1 , …, U n là

một tập con của tích đề các U 1 … U n

Khi U và V là các tập hữu hạn, chúng ta sẽ biểu diễn quan hệ R từ U đến V bởi

ma trận, trong đó các dòng được đánh dấu bởi các phần tử x  U và các cột đợc đánh dấu bởi phần tử y  V Phần tử của ma trận nằm ở dòng x cột y là R (x,y)

R y x if

if y

x

R

),(

),(0

1),

(



Ví dụ: Giả sử U = {x, y, z}, V = {a, b, c, d} và quan hệ R từ U đến V như sau:

R = {(x, a), (x, d), (y, a), (y, b), (z, c), (z, d)}

Chúng ta có thể biểu diễn quan hệ R bởi ma trận:

0011

1001

z

y

x

d c b a R

Bây giờ chúng ta xét quan hệ “anh em họ gần” trên một tập người U nào đó Quan hệ này không thể đặc trưng bởi một tập con rõ của tích đề các U  U

Một cách hợp lý nhất là xác định quan hệ này bởi một tập mờ R trên U  U

Chẳng hạn R (a, b) = 1 nếu a là anh em ruột của b, R (a, b) = 0,9 nếu a là anh em con chú con bác của b, R (a, b) = 0,75 nếu a là anh em cháu cô cháu cậu của b,

Một quan hệ mờ từ U đến V là một tập mờ trên tích đề các U  V Tổng quát, một quan hệ mờ giữa các tập U 1 , …, U n là một tập mờ trên tích đề các U 1 … U n Tương tự như trong trường hợp quan hệ rõ, khi cả U và V là các tập hữu hạn, chúng ta sẽ biểu diễn quan hệ mờ R bởi ma trận, trong đó phần tử nằm ở dòng x 

U cột y  V là mức độ thuộc của (x, y) vào tập mờ R, tức là R (x, y)

Ví dụ: Giả sử U = {x, y, z}, V = {a, b, c} và R là quan hệ mờ từ U đến V như

sau:

),(

42,0),(

0),(

9,0),(

8,0),(

75,0),(

3,0),(

0),(

1)

8,075,03,0

015,0

z

y

x

c b a R

1.1.3.2 Hợp thành của các quan hệ mờ

Đối với quan hệ rõ, hợp thành của quan hệ R từ U đến V với quan hệ S từ V đến

W là quan hệ R  S từ U đến W bao gồm tất cả các cặp (u,w)  U  W sao cho có ít nhất một v  V mà (u,v)  R và (v,w)  S

Từ định nghĩa trên chúng ta suy ra rằng, nếu xác định R, S và R  S bởi các hàm

đặc trưng R, S và RS tương ứng thì hàm đặc trưng RS được xác định bởi công thức

)]

,(),,(min[

max)

,

V v S

110

2

1

3 2 1

u

u

v v v

0 0 1

1 0 0

3 2 1

3 2 1

v v v

w w w S

2 1

3 2 1

u u

w w w R

Bây giờ, giả sử rằng R là quan hệ mờ từ U đến V và S là quan hệ mờ từ V đến

W Tổng quát hoá các biểu thức (1.10) và (1.11) cho các quan hệ mờ ta có định

nghĩa sau:

Hợp thành của quan hệ mờ R và quan hệ mờ S là quan hệ mờ R  S từ U đến W

với hàm thuộc đƣợc xác định nhƣ sau:

)]

,(),,(min[

max)

,

V v S

)]

,(),,([max)

,

V v S

Ví dụ: Giả sử R và S là hai quan hệ mờ nhƣ sau:

0 1 1 , 0 7 , 0

5 , 0 0 1 3 , 0

3 2 1

4 3 2 1

u

u

u

v v v v R

0 3 , 0 4 , 0

5 , 0 1 0

1 0 6 , 0

4 3 2 1

3 2 1

v v v v

w w w

S

Khi đó hợp thành max – min của chúng là quan hệ mờ

7 , 0 3 , 0 6 , 0

5 , 0 1 5 , 0

3 2 1

3 2 1

u u u

w w w S

7 , 0 3 , 0 42 , 0

5 , 0 1 5 , 0

3 2 1

3 2 1

u u u

w w w S

Giả sử f: X  Y là một hàm từ không gian X vào không gian Y và A là một tập

mờ trên X Vấn đề đặt ra là chúng ta muốn xác định ảnh của tập mờ A qua hàm f Nguyên lý mở rộng (extention principle) nói rằng, ảnh của tập mờ A qua hàm f

là tập mờ B trên Y, ký hiệu B = f(A) với hàm thuộc nhƣ sau:

) ( )

( max )

(

1

1 )

(

1

y f if

y f if x x

)

(

x if x

x if x x

f

Giả sử A là tập mờ trên U

10

09

08

07

06

1,05

5,04

7,03

9,02

11

7,07

06

9,05

04

13

02

11

00

1)

B

Ví dụ 2 : Xét tập X các mầu tóc và tập Y các giống người

X = {nâu, nâu xẫm, đỏ hoe, vàng hoe, trắng}

Y = {miền bắc, miền nam, miền khác}

Giả sử ta biết kết hợp một hay nhiều giống người với một mày tóc bằng ánh xạ

đa trị f xác đinh trên X, lấy giá trị trong Y sao cho

f(nâu) = miền nam

f(nâu xẫm) = miền khác

f(đỏ hoe) = f(vàng hoe) = miền bắc

f(trắng) = {miền bắc, miền nam, miền khác}

Xét một đặc trưng màu tóc gần với nâu nhưng ít nâu xẫm, được biểu diễn bởi

tập mờ sau

A = 0.9/nâu+0.2/nâu xẫm+0/đỏ hoe+0/vàng hoe+0/trắng

Hãy xác định đặc trưng của giống người có đặc trưng màu tóc như trên

Ở ví dụ này tác phải xác định B=f(A)

Ta có :

f-1(miền nam) = {x | f(x)=miền nam} = {nâu, trắng}

f-1(miền khác) = {x | f(x)=miền khác} = {nâu xẫm, trắng}

f-1(miền bắc = {x | f(x)=miền bắc} = {đỏ hoe, vàng hoe, trắng}

f(miền nam) = max {0.9, 0}=0.9

f(miền khác) = max {0.2, 0}=0.2

f(miền bắc) = max {0, 0,0}=0

như vây B = 0.9/miền nam+0.2/miền khác+0/miền bắc

Có nghĩa là giống người gần giống miền nam, ít có thể là người miền khác và không thể là người miền bắc

1.2 Logic mờ

1.2.1 Biến ngôn ngữ

Xét một biến nhận giá trị trong một miền giá trị nào đó, chẳng hạn “nhiệt độ”

có thể nhận giá trị số là 1C, 2C, … là các giá trị chính xác Khi đó với một giá trị

cụ thể gán vào biến sẽ giúp chúng ta xác định được tính chất, quy mô của biến

Ngoài ra chúng ta còn biết được những thông tin khác liên quan đến biến đó

Ví dụ chúng ta hiểu là không nên chạm tay trần vào vật có “nhiệt độ” là 80C trở lên Nhưng trong thực tế thì chúng ta thường nói “không nên chạm vào vật có nhiệt

độ cao” chứ ít khi nói “không nên chạm vào vật có nhiệt độ là 80

C trở lên”

Thực tế là lời khuyên đầu thì có ích hơn bởi vì nếu nhận được lời khuyên sau thì ta dễ bị ngộ nhận là có thể chạm tay vào vật có nhiệt độ là 79C trong khi đó vật

có nhiệt độ 80C trở lên thì không

Nhưng vấn đề đặt ra là nếu nghe theo lời khuyên đầu thì ta có thể xác định rõ

là nhiệt độ bằng bao nhiêu thì có thể chạm tay vào? Câu trả lời là tuỳ vào ý kiến của từng người Với nhiệt độ là 60C thì có người cho là cao trong khi người khác thì

không

Tuy các ý kiến là khác nhau nhưng có một điều chắc chắn là khi giá trị của biến nhiệt độ càng tăng thì càng dễ dàng được chấp nhận là “cao” Như vậy nếu xét hàm cao nhận biến nhiệt độ và trả về tỷ lệ ý kiến đồng ý là “cao” thì cao sẽ là

hàm thuộc của tập mờ “nhiệt độ cao” trên vũ trụ “nhiệt độ”

Biến nhiệt độ có thể nhận giá trị “cao” là một giá trị của ngôn ngữ tự nhiên nên

nó đƣợc gọi là một biến ngôn ngữ (linguistic variable)

Hình 1.7 Hàm thuộc của tập mờ “nhiệt độ cao”

Khái niệm biến ngôn ngữ đã đƣợc Zadeh đƣa ra năm 1973 nhƣ sau:

Một biến ngôn ngữ đƣợc xác định bởi bộ (x, T, U, M) trong đó: x là tên biến,

T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận, U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận, M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ

trong đó x là ký hiệu một đối tượng nằm trong một tập các đối tượng nào đó (hay nói cách khác, x là một giá trị trên miền U), còn P là một tính chất nào đó của các đối tượng trong miền U Chẳng hạn, các mệnh đề

Một mệnh đề mờ phân tử cũng có dạng tương tự như (2.1), chỉ có điều ở đây P

không phải là một tính chất chính xác, mà là một tính chất không rõ ràng, mờ Chẳng hạn, các mệnh đề “tốc độ là nhanh”, “áp suất là cao” “nhiệt độ là thấp”,…là các mệnh đề mờ Chúng ta có định nghĩa sau

Một mệnh đề mờ phân tử có dạng : x là t (2.3)

Trong đó, x là biến ngôn ngữ, còn t là một giá trị ngôn ngữ của x

Theo định nghĩa biến ngôn ngữ, từ t trong (2.3) được xác định bởi một tập mờ

A trên vũ trụ U Do đó, chúng ta còn có thể định nghĩa mệnh đề mờ phân tử là phát

Ví dụ: Giả sử P(x) là mệnh đề mờ “tuổi là trẻ” Giả sử tập mờ A = “tuổi trẻ” được cho trong hình 4.2 và A(45) = 0,73 Khi đó mệnh đề mờ “tuổi 45 là trẻ” có giá trị chân lý là 0,73

Hình 1.9 Tập mờ “tuổi trẻ”

1.2.3 Các mệnh đề hợp thành

Cũng như trong logic kinh điển, từ các mệnh đề mờ phân tử, bằng cách sử dụng các kết nối logic:  (and),  (or),  (not) chúng ta sẽ tạo ra các mệnh đề mờ hợp thành

Giả sử mệnh đề rõ P(x) được minh hoạ như tập con rõ A trong vũ trụ U, (cần lưu ý rằng, điều đó có nghĩa là Truth(P(x)) = 1  x  A), và mệnh đề rõ Q(y) được minh hoạ như tập con rõ B trong V Từ bảng chân lý của các phép toán  (and), 

(or),  (not) trong logic cổ điển chúng ta suy ra:

+ Mệnh đề P(x) được minh hoạ như tập rõ A

+ Mệnh đề P(x)Q(y) được minh hoạ như quan hệ rõ A  B trên U  V

+ Mệnh đề P(x)Q(y) được minh hoạ như quan hệ rõ (A  V)(U  B)

Chuyển sang logic mờ, giả sử rằng P(x) là mệnh đề mờ được minh hoạ như tập

mờ A trên U và Q(y) là mệnh đề được minh hoạ như tập mờ B trên V Tổng quát hoá

từ các mệnh đề rõ, chúng ta xác định như sau:

+ Mệnh đề mờ P(x) được minh hoạ như phủ định mờ A của tập mờ A:

))(()

+ Mệnh đề P(x)  Q(y) được minh hoạ như quan hệ mờ A  B, trong đó A  B được xác định là tích đề các mờ của A và B Từ định nghĩa tích đề các mờ, ta có:

))(),((),

),

1.2.4 Kéo theo mờ (Luật if – then mờ)

Trước hết, chúng ta xét phép kéo theo trong logic cổ điển Giả sử P(x) và Q(y)

là các mệnh đề được minh hoạ như các tập rõ A và B trên U và V tương ứng

Từ bảng chân lý của phép kéo theo trong logic cổ điển, chúng ta suy ra rằng,

mệnh đề P(x)  Q(y) được minh hoạ như quan hệ rõ trên U  V:

)()

if “nhiệt độ cao” then “áp suất lớn”

if “tốc độ nhanh” then “ma sát lớn”

Một vấn đề đặt ra là chúng ta cần hiểu ngữ nghĩa của (2.14) như thế nào? Xét một kéo theo mờ sau đây

P(x)  Q(y) (2.16)

Trong đó, P(x) là mệnh đề mờ đƣợc minh hoạ nhƣ tập mờ A trên U và Q(y) là mệnh đề mờ đƣợc minh hoạ nhƣ tập mờ B trên V

Tổng quát hoá từ (2.12) và (2.13), chúng ta có thể hiểu đƣợc kéo theo mờ (2.16)

nhƣ là một quan hệ mờ R trên U  V đƣợc xác dịnh bởi (2.12) hoặc (2.13) nhƣng

các phép toán đó là các phép toán trên tập mờ

Từ (2.12) và (2.13) và định nghĩa của các phép toán lấy phần bù mờ, tích đề các

mờ và hợp mờ, chúng ta có:

R (x, y) = S(C(A (x)), B (y)) hoặc (2.17)

R (x, y) = S(C(A (x)), T(A (x), B (y))) (2.18)

Với C là hàm phần bù, S là toán tử S – norm, T là toán tử T – norm

Kéo theo mờ (2.16) đƣợc minh hoạ nhƣ quan hệ mờ R với hàm thuộc xác định bởi (2.17) hoặc (2.18), ứng với mỗi cách lựa chọn các hàm C, S, T chúng ta nhận đƣợc một quan hệ mờ R minh hoạ cho kéo theo mờ (2.16)

Rõ ràng kéo theo mờ (2.16) đƣợc minh hoạ bởi rất nhiều các quan hệ mờ khác nhau, sau đây là một số kéo theo mờ quan trọng:

Kéo theo Dienes – Rescher

Trong (2.17), nếu thay S bởi phép toán lấy max và C bởi hàm phần bù chuẩn, chúng ta nhận đƣợc quan hệ mờ R với hàm thuộc:

R(x, y) = max(1-A(x), B(y)) (2.19)

Ví dụ : Xét luật if – then mờ sau: if “x là A” then “y là B” trong đó, A và B là các tập mờ sau:

l n m

A 1 0,7 0,1;

d c b a

B 0 0,31 1

Quan hệ Dienes – Rescher đƣợc xác định nhƣ sau:

113,00

l n m

d c b a R

Kéo theo Lukasiewicz

Nếu sử dụng phép hợp Yager với w = 1 thay cho S và C là phần bù chuẩn thì từ

(2.17) chúng nao nhận đƣợc quan hệ mờ R với hàm thuộc:

R(x, y) = min(1, 1 - A(x) + B(y)) (2.20)

Ví dụ : Xét luật if – then mờ sau: if “x là A” then “y là B” trong đó, A và B là các tập mờ sau:

l n m

A 1 0,7 0,1;

d c b a

116,03,0

113,00

l n m

d c b a R

Kéo theo Zadeh

Trong (2.18), nếu sử dụng S là max, T là min và C là hàm phần bù chuẩn, chúng ta nhận đƣợc quan hệ mờ R với hàm thuộc

R(x, y) = max(1-A(x), min(A(x), B(y))) (2.21)

Ví dụ : Xét luật if – then mờ sau: if “x là A” then “y là B” trong đó, A và B là các tập mờ sau:

l n m

A 1 0,70,1;

d c b a

113,00

n

m

d c b a R

Trên đây chúng ta hiểu kéo theo mờ P(x)  Q(y) nhƣ quan hệ mờ R đƣợc xác

định bởi (2.17), (2.18) Cách hiểu nhƣ thế là sự tổng quát hoá trực tiếp ngữ nghĩa của kéo theo cổ điển

Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể hiểu: Kéo theo mờ P(x)  Q(y) chỉ có giá trị chân lý lớn khi cả P(x) và Q(y) đều có giá trị chân lý lớn, tức là chúng ta có thể minh hoạ kéo theo mờ (2.16) nhƣ là quan hệ mờ R đƣợc xác định là tích đề các mờ của A và B

Từ (2.22) chúng ta xác định đƣợc hàm thuộc của quan hệ mờ R

R (x, y)=T(A (x), B (y)) (2.23)

với T là toán tử T – norm

Kéo theo Mamdani

Trong (2.23), nếu sử dụng T là phép toán lấy min hoặc tích đại số, ta có:

R (x, y)=min(A (x), B (y)) (2.24)

hoặc R (x, y)=A (x)B (y) (2.25)

Ví dụ : Xét luật if – then mờ sau: if “x là A” then “y là B” trong đó, A và B là

các tập mờ sau:

l n m

A 1 0,7 0,1;

d c b a

7,07,03,00

113,00

l

n

m

d c b a R

Quan hệ Mamdani theo nguyên tắc lấy tích

7,07,021,00

113,00

l

n

m

d c b a R

Kéo theo mờ (2.16) được hiểu như một quan hệ mờ R với hàm thuộc được xác định bởi (2.24) hoặc (2.25) được gọi là kéo theo Mamdani Kéo theo Mamdani được sử dụng rộng rãi nhất trong các hệ mờ

1.2.5 Phương pháp lập luận xấp xỉ

Thuật ngữ lập luận xấp xỉ được L.A Zadeh sử dụng lần đầu tiên, ông xuất phát

từ ví dụ sau về phương pháp lập luận của con người:

Tiền đề 1: Nếu vỏ của quả cà chua là đỏ thì quả cà chua là chín

Tiền đề 2: Vỏ của quả cà chua c là rất đỏ (a)

Kết luận: quả cà chua c là rất chín

Tiền đề thứ nhất thể hiện tri thức, sự hiểu biết của chúng ta, tiền đề thứ hai là dữ kiện hay sự kiện và kết luận được rút ra từ hai Tiền đề 1 và 2 Và (a) được gọi là một lược đồ lập luận xấp xỉ đơn điều kiện, vì chỉ có một tiền đề có dạng luật nếu-thì

Chúng ta thường hay gặp kiểu lập luận xấp xỉ như vậy trong suy luận của chúng

ta bằng ngôn ngữ tự nhiên Câu hỏi đặt ra là liệu chúng ta có thể có một cách tiếp cận tính toán để mô phỏng phương pháp lập luận nêu trên?

Một cách tổng quát, lược đồ lập luận (a) được biểu thị như sau với A, A’, B và B’ là các tập mờ tương ứng trên các không gian tham chiếu U của X và V của Y, Tiền đề 1: Nếu X là A thì Y là B

Tiền đề 2: X là A’ (b)

Kết luận: Y là B’

Tiền đề 1 biểu thị mối quan hệ giữa hai đại lượng X và Y, với X nhận giá trị trong U và Y nhận giá trị trong V Lược đồ lập luận (b) được gọi là luật modus

ponens tổng quát (generalized modus ponens) Nó khác quy luật modus ponens kinh

điển ở chỗ sự kiện “X là A’” trong Tiền đề 2 không trùng với sự kiện trong phần

“nếu” hay tiền tố của Tiền đề 1

Chúng ta thiết lập quy tắc suy luận hợp thành để áp dụng vào lược đồ lập luận (b) dựa trên quan sát các trường hợp sau

- Nếu ta có sự kiện X là u’ thì ta suy ra v’ = f(u’), nhờ tri thức X xác định hàm Y

- Nếu ta có sự kiện X là A’, trong đó A’ là tập mờ của U, thì ta suy ra đƣợc tập B’ =f(A’) theo nguyên lý mở rộng

Ví dụ : Xét lƣợc đồ (b) trong đó tiên đề 1 Nếu X là A thì Y là B có quan hệ hàm

)(

x if x

x if x x

08

07

1.06

3,05

5,04

7,03

9,02

7.01

4.00

) ( )

( max )

(

1

1 )

(

1

y f if

y f if x x