Hsg t7 cđ12 chứng minh tam giác bằng nhau và các bài toán liên quan

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau... * Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác

HSG T7-CĐ 12-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1 Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc

A A B B C C ABC A B C

2 Hai tam giác bằng nhau trường hợp: cạnh - cạnh – cạnh.

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

*) Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của

tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

5 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

* Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – góc nhọn; hai cạnh góc vuông; trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

c) Chứng minh ΔMAB=ΔMDC;ABC =ΔMDC; ΔMAB=ΔMDC;DCB;

d) Trên các đoạn thẳng AB CD, lần lượt lấy các điểm E F, sao cho AE DF . Chứng minh

ba điểm E M F, , thẳng hàng

Hướng dẫn giải

b) Vì MABMDC (c - g - c)  MAB MDC ( hai góc tương ứng)

Mặt khác hai góc này ở vị trí so le trong nên  AB CD // .

c) Vì AB CD//  ABCDCB ( hai góc so le trong)

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A có B 55. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa , B

vẽ tia Cx vuông góc với AC Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CDAB

Vậy ABCCDA (c-g-c). ACB CAD 

Mặt khác hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra AD BC // .

ABC CDA ( hai góc tương ứng)

Vậy AHB CKD (cạnh huyền - góc nhọn)  BHDK ( hai cạnh tương ứng)

Ta có AH CK//  HAI KCI (Hai góc so le trong)

Vì I là trung điểm của AC  IA IC

Vậy IAHICK (c-g-c) AIH CIK (hai cạnh tương ứng)

 AIHAIK CIK AIK  180

 ba điểm H I K, , thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm , M trên tia đối của tia CB

lấy điểm N sao cho BM CN

a) Chứng minh tam giác AMN cân;

b) Kẻ BHAM H( AM), kẻ CKAN K( AN). Chứng minh BHMCKN;c) Các đường thẳng HB và KC cắt nhau tại O Tam giác OBC là tam giác gì? Tại sao?

d) Khi BAC   60 và BM CN BC, tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định

dạng của tam giác OBC;

e) Kẻ ADBC D BC(  ), biết rằng AB10 cm,BC16 cm. Tính độ dài AD

Hướng dẫn giải

a) Xét ABM và CAN có



BM CN GT

Ta có tam giác ABC cân tại A GT   ABCACB ABM ACN

Ta có tam giác ABC cân tại A GT   AB AC

Vậy ABM CAN (c-g-c) AM AN ( hai cạnh tương ứng)

Suy ra AMN cân tại đỉnh A

Mà HBM OBC KCN OCB (hai góc đối đỉnh) ; 

Suy ra OBC OCB nên tam giác OBC cân tại O

Bài 4 Cho xOy bằng 100 , tia Oz là tia phân giác góc xOy Lấy điểm H thuộc tia Oz đường ,

thẳng vuông góc với OH tại H cắt các tia Ox Oy lần lượt tại , , A B

a) Chứng minh HAHB OA OB,  ;

b) Tính số đo các góc của tam giác OAB;

c) Trên tia Oz lấy điểm C sao cho HBC  60 Chứng minh tam giác ABC đều;

d) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE BO Chứng minh AB OE ;

e) Cho AH 1 cm Tính độ dài HC

Hướng dẫn giải

a) Xét OHA và OHB có

Ta có ABOH GT   OHA OHB  900

OH là cạnh chung

Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy  AOHBOH

Vậy OHAOHB (g-c-g)  HA HB OA OB ;  ( hai cạnh tương ứng)

c) Xét OAC và OBC có

OA OB cmt  

Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy  AOCBOC

OC là cạnh chung

Vậy OACOBC c g c     CA CB ( hai cạnh tương ứng).

 ABC cân tại C

Mà HBC60  ABC là tam giác đều

Nên ACBM (hai cạnh tương ứng)

Và ACD MBD (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nênAC//BM

Vậy ABMMCA (c - g - c).

d) Xét BKM vuông tại K và CHA vuông tại H có

 

Ta có AC//BM  ACH MBK (hai góc so le trong)

Vậy BKMC HA (cạnh huyền - góc nhọn)  BK CH ( hai cạnh tương ứng)

Bài 6 Cho ABC Gọi D là trung điểm của AB E là trung điểm của , BC Trên tia đối của tia

DE lấy điểm K sao cho DKDE

a) Chứng minh BDEADK và AK BC// ;

b) Chứng minh AKEECA;

c) Cho A65 , C 55  Tính số đo các góc của BDE;

d) Gọi I là trung điểm của AE Chứng minh I là trung điểm của CK

BDE ADK (đối đỉnh)

VậyBDEADK (c-g-c).

 DAKDBE (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AK//BC.

b) Vì BDEADK (cmt) nên AK BE (hai cạnh tương ứng)

Vậy AKEECA (g-c-g).

c) Vì AKEECA (cmt) KEA EAC (hai góc tương ứng) 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE//AC dhnb( ).

Khi đó BED C   55(hai góc đồng vị, DE//AC)

   0     0 0 0  

  65

Vậy DBE60 , BDE 65 , BED 55 

KAI IEC ( so le trong, AK//BC)

Vậy AIKEIC (c-g-c)

 IKIC ( hai cạnh tương ứng) (1)

 AIKEIC (hai góc tương ứng)

Mà EIC AIC 180(hai góc kề bù)

Khi đó AIK AIC 180 nên ba điểm , ,K I C thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2)  I là trung điểm của CK

Bài 7 Cho tam giác ABC cân tại A Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại M

a) Chứng minh AMBAMC;

b) Kẻ MEAB E AB MF(  ), AC F( AC). Chứng minh tam giác AEF cân;

Vậy AMBAMC (c-g-c)

b) Xét AME vuông tại E và AMF vuông tại F có

 AEF cân tại A

c) Ta cóAEF cân tại A AEFAFE

Mà AEF AFE EAF  1800 (tổng ba góc của tam giác)

 180

2

BAC AEF

(1)Lại có ABC ACB CAB  1800 (tổng ba góc của tam giác)

Mà BCA ABC (ABCcân tại A)

Từ (3), (4)  AMEF (từ vuông góc đến song song).

d) IBMFCM (so le trong, // BI AC )

Mà FCM EBM (ABCcân tại A)

 EBMIBM

Mặt khác, BIM CFM 900 (so le trong, BI AC )//

Xét BEM vuông tại E và BIM vuông tại I có

BM cạnh chung

Vậy BEMBIM cạnh huyền - góc nhọn)

b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM Chứng minh tam giác MEC cân;

c) Chứng minh tam giác BEC đều;

d) Kẻ AHEM H EM(  ). Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N Chứng minh

AME KMC (hai góc đối đỉnh)

Vậy MAE MKC(cạnh góc vuông - góc nhọn)

 (  )

 BE BC

Lại có EBC    60 tam giác BEC đều.

d) Xét BMKvuông tại K và CMKvuông tại Kcó

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh tam giác KBC cân;

c) Chứng minh AK là tia phân giác góc ;A

d) Kéo dài AK cắt BC tại H Cho AB5 cm,BC6 cm. Tính độ dài AH

Hướng dẫn giải

a) Xét AEB và ADC có

BAC chung



AB AC ( ABC cân tại A )

Vậy AEBADC (c-g-c) BE CD .

a) Chứng minh tam giác ABD đều;

b) Gọi H là trung điểm của BD Chứng minh AHBD;

c) Tính độ dài cạnh AC;

d) Tam giác ABC có là tam giác vuông không? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Do B 60 , BA BD nên tam giác ABD đều

b) ta có ABD đều nên ABD cân tại A

mà AH là đường trung tuyến (BABD.)

 AH là đường cao Nên AHBD;

c) ta có ABD đều nên BDAB2cm suy ra HB HD 1 cm

 ABC không phải là tam giác vuông

Bài 11: Cho ABC có AB AC Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho

AD AE Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng:

b) ABEACD c g c   

(câu a)

 ABE BCA (hai góc tương ứng)

AEB ADC (hai góc tương ứng)

Bài 12: Cho tam giác ABC có AB AC Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng

vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F a) Chứng minh rằng: AEAF

Vì AEAF nên tam giác AEF cân tại A  E AFE 

Mà AFEKFC (đối đỉnh) và ^E= ^K (sole trong)

MB và MC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho MB MD và NCNE

b) Vì MADMCB (chứng minh trên) nên MADMCB

Hai góc này ở vị trí so le trong nên AD//BC

Chứng minh tương tự ta cũng có AE//BC

Qua điểm A có hai đường thẳng AD và AE cùng song song với BC Theo tiên đề Ơcơlit thì hai đường thẳng này trùng nhau Hay ba điểm A E D, , thẳng hàng.

Bài 15 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox Oy, lấy tương ứng hai điểm A và B sao cho OA OB

Vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm,

M N nằm trong góc xOy Chứng minh rằng :

a) OMA OMB và ONA ONB;

Suy ra OMA OMB c c c  

Xét ONA và ONB có :

OA OB GT

ON chung

NA NB GT

VậyONA ONB c c c   

b) Theo câu a): OMA OMB (c.c.c) nên MAO MOB , do đó : OM là tia phân giác

của AOB hay OM là tia phân giác của xOy.

Vì ONA ONB c c c   

nên NAO MBO (hai góc tương ứng)

Do đó ON là tia phân giác của xOy (2)

Do đó MN là tia phân giác của góc AMB

Bài 16 Cho ABC cân tại A Trên tia đối của các tia BC và CB lấy thứ tự hai điểm D và E sao

cho BD CE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng :

a) ADE cân ;

b) AM là tia phân giác của góc DAE ;

c) BH CK , H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B C, đến AD và AE

d) Ba đường thẳng AM BH, và CK cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải

a) ABC cân tại A (gt) nên AB AC và ABCACB

c) ADE cân ở A (theo câu a), nênADE AED 

Xét BHD vuông tại A và CKE vuông tại K có

 (  )

ADBACE(ABDACE)

Vậy BHD CKE (cạnh huyền- góc nhọn ),

BH CK

  ( hai cạnh tương ứng)

d) Gọi giao điểm của BH và CK là O , ta có :

Xét AHO vuông tại H và AKO vuông tại K có

Vậy AHO  AKO (cạnh huyền- cạnh góc vuông )

Do đó OAK OAH nên AO là tia phân giác của góc KAH

hay AO là tia phân giác của góc DAE

Mặt khác theo câu b, AM là tia phân giác của góc DAE,

vì thế AOAM

Từ đây suy ra ba đường thẳng AM BH CK, , cắt nhau tại O

Bài 17 Cho ABC có AB AC , Và đường phân giác AD ,Trên AC lấy E sao cho AEAB

a) Chứng minh: BD DE

b) Gọi K là giao điểm của AB và ED , Chứng minh rằng: DBK DEC

c) ABC cần có thêm điều kiện gì để D cách đều 3 cạnh của AKC

1 2

2

2

1 1

2 1

c) Để D cách đều 3 cạnh của AKC

Thì D là giao 3 tia phân giác AKC

Vậy nếu ABC có thêm điều kiện ABC3ACB thì gì để D cách đều 3 cạnh của AKC

Bài 18: Cho  ABC vuông tại A , K là trung điểm của BC , trên tia đối của tia KA lấy D sao

B

D

H

O O

BAC ABC BCA BAC

Bài 19: Cho ABC có B90 ,0 B 2.C , kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E

sao cho BE BH , đường thẳng HE cắt AC tại D

a) Chứng minh rằng: BEH ACB

b) Chứng minh rằng: DH DC DA

2 1

  cân tại D, nên DC DH 1 

XétDHA có DAH 900 C 900 H 2 DHA

Nên DAH cân tại D

góc C cắt AB ở N Chứng minh rằng BN CM BC.

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của BM và CN

Ta có A ˆ 600 suy ra ABC ACB 180O  60O 120O

Do đó B1C1 0 0

120 : 2 60

Vì vậy I1 B1C1600, I2 B1C1600

Kẻ tia phân giác của góc BIC cắt BC ở D

Tam giác BIC có BIC B 1C11800mà B1C1600nên BIC 1200

suy ra CM CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BN CM BD CD BC 

Bài 21: Cho ABC cân tại A , trên cạnh AB lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy điểm E

sao cho BD CE , kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc

đường thẳng BC )

a) Chứng minh: BDH CEK , từ đó suy ra BC HK

b) DE cắt BC tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của DE

c) So sánh BC và DE

d) Chứng minh chu vi của ABCnhỏ hơn chu vi ADE

DIB EIK (đối đỉnh)

 DHI EKI ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

c) Chu vi của ABC là: AB AC BC  2AB BC

Chu vi của ADE là : AD AE DE  ADAC CE DE

MàBC  DE 2AB BC 2AB+ DE

Suy ra chu vi của ABCnhỏ hơn chu vi ADE.

Bài 22: Cho ABC có BAC nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tạiA và

Gọi I là giao của CD với AB M là giao của , BE với CD

Từ ABEADC cmt   ADI IBM

Suy ra IBM BIM ADIAID900

    và DAE PCA   PCA BAC  1800

Mà BAC PCA là hai góc trong cùng phía nên //  , AB PC

b) Gọi I là giao của CM với AB G là giao của MC với BN,

Từ ABNAMC cmt   AMIIBG

Ta có AIM BIG (Hai góc đối đỉnh)

Ta có IBG BIG AMI AIM   900

   

c) Vì Dlà trung điểm của BM E, là trung điểm của BC

Nên DE là đường trung bình của BMC  

12

và DE MC //

Tương tự:

12

Từ (1) và (2) suy ra DEF vuông cân tại E.

Bài 24: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C , dựng đoạn thẳng AD vuông góc

với AB và ADAB , trên nửa mp bờ AC không chứa B , dựngAE vuông góc AC và

AEAC , vẽAH vuông góc với BC , đường thẳng HA cắt DEở K Chứng minh rằng:

K là trung điểm của DE.

 AB H E ' (hai cạnh tương ứng); H EA BAC '  (hai góccạnh tương ứng); ,

Mà : BAC DAE  1800  H EA DAE '  1800 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía

Bài 25 : Cho ABC có A 900, vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và

bằng

AB, AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm củaDE CMR: MA vuông gócvới BC

Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm củaAM và BC

Trên AM lấy điểm F sao choMAMF

và AEM MDF (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

//

DF AE

  FDA DAE  1800(hai góc trong cùng phía)

Mà: DAE BAC  1800  FDA BAC 

Mà A A1 2 900 A B 2 1900

Lại có trong ABH có AHB A B 2 1 1800

 AHB900

 AHB vuông tại H.

Bài 26: Cho ABC có ba góc nhọn, đường caoAH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giácvuông

cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM FN, cùng vuông góc với

H

A

B C

F

E

Bài 27: Cho ABC có A 1200, Dựng bên ngoài các tam giác đều ABD ACE,

a) Gọi M là giao điểm của BE và CD , Tính BMC

I M

A

N

E D

Bài 28: Cho  ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM , trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là

đường thẳng AB, vẽ AE vuông góc với AB và AEAB , trên nửa mặt phẳng bờ AC

chứa điểm B vẽ AD vuông góc với AC và AD AC

a, Chứng minh rằng: BD CE

b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA,

Chứng minh rằng: ADE =ΔMDC; CAN

Vậy CMN BMA c g c     CN AB(hai cạnh tương ứng)và ABC NCM ,

Ta có: DAE DAC BAE BAC     900900 BAC 1800 BAC (1)

Và ACN ACM MCN ACB ABC 1800 BAC (2)

Từ (1) và (2) ta có: DAE ACN

 ADECAN c g c   

c, ADECAN cmt  ADE CAN

(hai góc tương ứng)

mà DAN CAN  900  DAN ADE  900 Hay DAI ADI 900  AI DE

Áp dụng định lý py-ta-go cho AID và AIE có:

Bài 29: Cho ABC cân tại A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho

BM MN NC, Gọi H là trung điểm của BC

a, Chứng minh rằng: AM AN và AH vuông góc với BC

BM NC GT

ABM ACN ( ABC cân tại A)

Vậy ABM ACN c g c(   )

Mà AMH kề bù với AMB

ANH kề bù với ANC

Hay AH vuông góc với BC

b) Áp dụng định lý Pytago cho ABH có AHB 900nên ABH vuông tại H: