SÁNG KIẾN VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ HÌNH HỌC THCS

Toán hình là môn học mà đại đa số học sinh đều cho đây là môn học khó. Vì đây là môn học không chỉ nhằm rèn luyện tư duy, trí thông minh, sáng tạo cho mỗi học sinh mà nó còn là một môn khoa học cơ bản tạo tiền đề vững chắc cho các môn học khác, tạo vốn sống cho học sinh trong tương lai. Làm thế nào để học sinh thích thú học toán, nhất là môn hình học, đây là vấn đề mà mỗi giáo viên dạy toán cần phải suy nghĩ và quan tâm? Từ những yêu cầu trên, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta chỉ dạy hình học bằng cách cung cấp cho học sinh những kiến thức trong sách giáo khoa thì việc học toán sẽ trở nên nhạc nhẽo, chưa thật đạt yêu cầu. Việc cung cấp kiến thức SGK rồi giải bài tập không phải là việc khó, nhưng thật ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Muốn vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản của môn hình học mà còn phải cung cấp cho học sinh những phương pháp để giải các dạng bài tập khác nhau. Từ đó, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú khi học bộ môn mà người ta hay gọi là “môn học khô khan” này. Không, toán học không khô khan mà đằng sau nó có bao nhiêu điều thú vị, mà đặc biệt là đối với bộ môn hình học một môn học trừu tượng. Trong thực tế khi giải các bài tập hình học ta thấy trừ một số bài dễ ( ở dạng vận dụng trực tiếp các kiến thức vừa học) thì phần nhiều ta phải vẽ thêm đường phụ thì mới có thể tìm được lời giải cho bài toán. Tuy nhiên việc vẽ thêm đường phụ như thế nào để bài toán có được lời giải ngắn gọn và hay lại là một vấn đề khiến cho không ít giáo viên lúng túng không xác định được phương hướng, đôi khi cách giải chỉ mang tính mò mẫn, thiếu logic không giúp học sinh xác định được phương pháp giải cụ thể, do đó gây mất hứng thú đối với bộ môn của cả người dạy và người học. Với nội dung nghiên cứu “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học phẳng THCS” tôi đã xác định một số kĩ thuật cơ bản: Kĩ thuật 1: Điểm Kĩ thuật 2: Đường thẳng + Vẽ thêm đường vuông góc + Vẽ thêm đường song song + Vẽ thêm tia phân giác của một góc + Vẽ thêm đường kính của đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn + Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau Kĩ thuật 3: Tam giác vuông, tam giác đều, hình bình hành, đường tròn + Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều + Vẽ thêm hình bình hành + Vẽ thêm đường tròn Kĩ thuật 4: Hình duy nhất

Trang 1

là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lựcrất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáoviên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáokhoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm ra những biện pháp dạyhọc có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh làcông việc cần phải làm thường xuyên.

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản,dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng làhình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúpcác em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo,hoàn thiện nhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảngdạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyênphải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hìnhthức chủ yếu của việc học toán

Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đángtiếc Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rấtnhiều lời giải sai lầm Nhà sư phạm toán nổi tiếng G Polya đã nói : “Con ngườiphải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” A.A Stoliar cònnhấn mạnh: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầmcủa học sinh”

Khi chứng minh hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ thêmđường phụ mới chứng minh được Vì đường phụ có nhiều loại và tùy thuộc vàotừng bài toán nên không có một phương pháp vẽ cố định, đó là việc khó trong

Trang 2

“Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học phẳng THCS”

lúc chứng minh Do vậy khi gặp bài toán phải vẽ đường phụ, nhiều học sinhkhông biết vẽ hoặc vẽ không hợp lí dẫn đến không giải quyết được bài toán Làm thế nào để định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ một cách hợp

lí để giúp ích trong việc chứng minh hình học là điều hết sức quan trọng, có ýnghĩa thiết thực trong dạy và học học môn hình học nhằm nâng cao hiệu quảgiảng dạy và tạo nguồn học sinh khá giỏi

2/ cơ sở thực tiễn:

Bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khóđối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêucầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹnăng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra được một đườngphụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giảthiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tưduy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cáchkhác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ Kẻ thêmđường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ởmức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một địnhnghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen ở đó khoảng cách từ lạđến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toánhình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triểnnăng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiềucác thao tác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hìnhhọc thuật phát triển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minhđịnh lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cậpđến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạngnày Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này

và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bàitoán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải córất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi cáccách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với

đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụcũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viếtriêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinhcòn gặp nhiều khó khăn

Trang 3

Xuất phát từ những lí do nêu trên, qua quá trình trực tiếp giảng dạy,nghiên cứu, tích lũy cũng như tham khảo, trao đổi với đồng nghiệp, bản thân tôinhận thấy cần có một giải pháp thiết thực và xin đề xuất quan điểm của bản thân

về việc chọn đề tài “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học phẳng

THCS”.

II/ XÁC ĐỊNH MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của họcsinh, tìm ra những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt Đặc biệt làtránh nhưng sai sót và ngộ nhận khi giải các bài toán

- Đưa ra một số sai lầm học sinh thường gặp khi giải bài hình học

- Sơ lược một số kỹ thuật thường dùng trong giải toán vẽ thêm yếu tố phụtrong hình học phẳng, phù hợp với đối tượng học sinh THCS

Từ đó, kích thích lòng say mê học Toán; thúc đẩy ý thức tự học, tự nghiêncứu, là cơ sở tiền đề giúp cho học sinh tiếp tục phát triển tư duy trong các lớphọc bậc học tiếp theo Giáo viên có thể áp dụng vào giảng dạy nhằm nâng caohiệu quả dạy và học môn Toán (phân môn hình học); phát hiện, bồi dưỡng họcsinh khá giỏi

III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Nội dung đề tài được nghiên cứu trong phạm vi dạy học bộ môn Toán bậcTrung học cơ sở, trên nền tảng cơ sở các bài tập hình học có thêm yếu tố phụ,phù hợp với điều kiện thực tế trường THCS Mỹ Cát Cụ thể là các khối lớp 6, 7,

8, 9 và đặc biệt là những học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi của trườngtrong các năm qua

IV/ ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM:

Học sinh tại trường THCS Mỹ Cát, các lớp 6, 7, 8, 9 từ năm học 2015 –

2016 đến năm học 2017 – 2018

V/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Nghiên cứu tài liệu:

Giáo trình về phương pháp dạy học Toán

Các tài liệu liên quan đến giải toán hình học có thêm yếu tố phụ

- Sưu tầm các bài toán hình học trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện,cấp tỉnh của Bình Định và qua mạng có liên quan đến yếu tố phụ

- Các tiết dạy học trên lớp mà bản thân tôi trực tiếp giảng dạy

- Qua các tiết thao giảng ở trường và ngành tổ chức

- Qua công tác dự giờ đồng nghiệp trong nhà trường

- Qua quá trình học của học sinh

Trang 4

VI/ PHẠM VI VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:

1/ Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu các bài tập hình học có liên quan đến yếu tốphụ trong hình học phẳng THCS

2/ Thời gian nghiên cứu:

- Định hướng khái quát để nghiên cứu đề tài từ đầu năm học 2015 – 2016

và khảo sát thực nghiệm

- Năm học 2016 – 2017:

+ Áp dụng thực nghiệm các tiết dạy ở chương trình hình học

+ Đánh giá, rút kinh nghiệm kết quả học tập của học sinh qua việc kiểmtra thường xuyên, kiểm tra định kì, kiểm tra học kì

+ Hoàn chỉnh chuyên đề cùng giáo viên trong tổ thảo luận góp ý rút kinhnghiệm

- Năm học 2017 – 2018 hoàn chỉnh thành đề tài: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu

tố phụ trong hình học phẳng THCS”.

Trang 5

B NỘI DUNG

I/ NHỮNG NỘI DUNG LÝ LUẬN CÓ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Toán hình là môn học mà đại đa số học sinh đều cho đây là môn học khó

Vì đây là môn học không chỉ nhằm rèn luyện tư duy, trí thông minh, sáng tạocho mỗi học sinh mà nó còn là một môn khoa học cơ bản tạo tiền đề vững chắccho các môn học khác, tạo vốn sống cho học sinh trong tương lai

Làm thế nào để học sinh thích thú học toán, nhất là môn hình học, đây làvấn đề mà mỗi giáo viên dạy toán cần phải suy nghĩ và quan tâm?

Từ những yêu cầu trên, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta chỉ dạy hình họcbằng cách cung cấp cho học sinh những kiến thức trong sách giáo khoa thì việchọc toán sẽ trở nên nhạc nhẽo, chưa thật đạt yêu cầu Việc cung cấp kiến thứcSGK rồi giải bài tập không phải là việc khó, nhưng thật ra sau mỗi bài toán cóbiết bao điều lí thú Muốn vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinhnhững kiến thức cơ bản của môn hình học mà còn phải cung cấp cho học sinhnhững phương pháp để giải các dạng bài tập khác nhau Từ đó, tạo cho học sinhniềm say mê, hứng thú khi học bộ môn mà người ta hay gọi là “môn học khôkhan” này Không, toán học không khô khan mà đằng sau nó có bao nhiêu điềuthú vị, mà đặc biệt là đối với bộ môn hình học - một môn học trừu tượng

Trong thực tế khi giải các bài tập hình học ta thấy trừ một số bài dễ ( ởdạng vận dụng trực tiếp các kiến thức vừa học) thì phần nhiều ta phải vẽ thêmđường phụ thì mới có thể tìm được lời giải cho bài toán

Tuy nhiên việc vẽ thêm đường phụ như thế nào để bài toán có được lờigiải ngắn gọn và hay lại là một vấn đề khiến cho không ít giáo viên lúng túngkhông xác định được phương hướng, đôi khi cách giải chỉ mang tính mò mẫn,thiếu logic không giúp học sinh xác định được phương pháp giải cụ thể, do đógây mất hứng thú đối với bộ môn của cả người dạy và người học

II/ THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán hình học, tôi thấy học sinhthường gặp một số khó khăn sau đây:

- Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ

- Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ

- Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn choviệc giải bài toán

Trang 6

- Sau khi đã vẽ được đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìmlời giải của bài toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đườngphụ như vậy

Như đã nêu ở trên, với thực trạng học sinh ở trường THCS Mỹ Cát hiệnnay, các em rất yếu ở khả năng suy luận, tìm tòi, phát hiện vấn đề, nhất là đốivới phân môn hình học của bộ môn Toán và đặc biệt là với những bài toán cần

vẽ thêm đường phụ Việc vẽ đường phụ như thế nào là tùy thuộc vào từng bàitoán mà học sinh suy xét để tìm ra nên các em thường gặp khó khăn Hơn nữađây là vấn đề mà giáo viên thường ít chú ý rèn luyện cho học sinh một cách có

Vậy:  1  

( ) 2

 

Nhận định sai lầm:

Qua lời giải, giả thiết cho AB < AC không có sử dụng Như vậy không lẽ

đề bài cho thừa dữ liệu?

Thực ra lời giải trên chỉ đúng trong trường hợp Bnhư hình vẽ

DAH CAH CAD CAH

Lời giải bổ sung: (Khắc phục được các trường hợp đối với góc B)

Vì AB < AC nên BC C nhọn của tam giác AHC vuông tại H

D

A

H

Trang 7

Ta có:

A  A   

=> C CAD    90 0 (D luôn nằm giữa B và

C)

=> D nằm giữa H và C hay tia AD nằm

giữa tia AH và tia AC

và CD phân biệt Có nhận xét gì về hai đường thẳng AB và CD?

Lời giải sai lầm:

Kết luận: Hai đường thẳng AB và CD song song hoặc vuông góc vớinhau

VÍ DỤ 3:

Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I Biếtrằng ID = IE, hãy tìm mỗi liên hệ số đo ABC và ACB

N M

F

E

D C

B A

D

C

B A

O M

N

Trang 8

Kẽ IH AB IK, AC(H A B K, ; A C, )

Gọi I là giao điểm của BD và CE

=> AI cũng là đường phân giác của A

Điều này chỉ đúng khi H thuộc đoạn AE và K thuộc đoạn AD

Lời giải bổ sung:

(Phần đầu chứng minh như trên cho tới IH = IK và IEH  IDK)

* Khi H E k, D, ta có cá trường hợp sau:

(1): H, K tương ứng thuộc đoạn thẳng AE,

AD: C/m như lời giải trên

(2): H, K tương ứng thuộc đoạn thẳng BE, CD:

ABC ACB ABC ACB

A

Trang 9

Vậy nếu ABC có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I sao cho

ID = IE thì ABC ACBhoặc  ABC ACB   120 0

VÍ DỤ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Biết

BC  Hỏi số đo ABC bằng bao nhiêu?

Kẽ AM là trung tuyến của ABC

Mà HAM vuông tại

=> HAM là nửa tam giác đều

=> AMH  60 0hay AMB  60 0

Đồng thời tam giác MAB cân tại M (do 1

2

MA MB  BC ) và AMB 60 0Nên MAB đều

Do đó: ABC 60 0

Lời giải trên chỉ xét trong trường hợp AB < AC

Trang 10

Nên không xảy ra trường hợp AB = AC

Kết luận: với giải thiết bài toán đã cho thì ABC 60 0hoặc ABC 30 0

VÍ DỤ 5 : Cho tam giác ABC với H là trực tâm và 3 đường cao AA 1,

Ta có: SHBC + SHAC + SHAB = SABC

11

HBC HAC HAB ABC ABC ABC ABC ABC

A

C

C1

B1

*Khi ABCnhọn, trình bày lời giải như trên

*Khi ABCvuông, giả sử vuông tại A thì H  A B1 C1

*Khi ABC là tam giác tù, ta có:

Nếu A là góc tù thì SHBC – SHAC – SHAB = SABC

Trang 11

VÍ DỤ 6: Cho tứ giác ABCD có các tia AB và CD cắt nhau tại O Gọi M,

N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Hãy tính SOMN theo SABCD

M nằm trong tam giác ABD

N

M A

B

C

Ta có:

SOMN = SOAD – SOAM – SMAD – SMND – SOND

=> 2SOMN = 2SOAD – 2SOAM – 2SMAD – 2SMND – 2SOND

Do M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD

=> 2SOMN = 2SOAD – SOAC – SCAD – SMBD – SOBD

= 2SOAD – (SOAC + SCAD) – SMBD – SOBD

dù kết quả bài toán vẫn đúng

Khi điểm M nằm ngoài ABD

SOMN = SOAD – SOAM – SAMN – SNAD – SOND

=> 2SOMN = 2SOAD – 2SOAM – 2SAMN – 2SNAD – 2SOND

Trang 12

Do M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD

=> 2SOMN = 2SOAD – SOAC – SANC – SABD – SOBD

= 2SOAD – SOAC – SANC – (SABD + SOBD)

= 2SOAD – SOAC – SANC – SOAD

= SOAD – SOAC – SANC = SACD – SANC

VÍ DỤ 7: Cho tam giác ABC cân tại A, nội

tiếp đường tròn (O; R), có AB = AC = a và đường

cao AH = h Tính R theo a và h

Theo giả thiết, ta có: AH cũng là đường trung

trực của BC => O AH

Ta có: OA = OB = R và OH = h – R

Xét ABHvuông tại H, ta có: HB2 = AB2 – AH2 = a2 – h2

Xét OBH vuông tại H, ta có: OB2 = OH2 + HB2

=> R2 = (h – R)2 + (a2 – h2)

=> R2 = h2 – 2hR + R2 + a2 – h2 => 2hR = a2 => R = 2

2

a h

Ta có: OH = h – R chỉ đúng với trường hợp A nhọn hoặc A 90 0 Do hình

vẽ chỉ vẽ A 90 0 nên cần bổ sung thêm trường hợp A tù

Bổ sung trường hợp A là góc tù

Khi đó: OH = R - h

Các phần khác giữ nguyên, kết quả cuối cúng vẫn đúng

a

h O

Trang 13

* Ở lời giải trên, có thể thay hệ thức OH = h – R bằng hệ thức OH cho cảcác trường hợp thì cũng đưa đến lời giải đú ng và hoàn chỉnh.

* Hoặc có thể trình bày bài giải ngắn gọn và đầy đủ khác như sau: AH làđường cao ABC cân tại A (gt)

=> AH cũng là đường trung trực của BC

=> A, H, O thẳng hàng

Gọi D là giao điểm của tia AH với đường tròn (O)

=> AD là đường kính đường tròn (O; R)



VÍ DỤ 8: Cho tam giác ABC cân tại A Qua A kẻ đường thẳng d song

song với BC Trên đó lấy điểm D khác A Chứng minh

rằng chu vi tam giác DBC lớn hơn chu vi tam giác ABC

Dựng điểm E đối xứng với C qua đường thẳng d

(Bổ sung cho lời giải là chứng minh B, A, E thẳng hàng, các phần khácgiữ nguyên)

Vì AD là đường trung trực của CE nên EAD CAD  

D

Trang 14

BAC CAD EAD BAC ACB ABC

=> B, A, E thẳng hàng

VÍ DỤ 9 : Chứng minh rằng: Nếu 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì

các điểm A’, B’, C’ lần lượt đối xứng với A, B, C qua một điểm O bất kỳ cũngkhông thẳng hàng

=> AC = AB + BC mâu thuẫn với việc A, B, C không thẳng hàng

Nên phải có: AB + BC > AC

Vậy: A’, B’, C’ không thẳng hàng

VÍ DỤ 10: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Kẻ hai tia Ax, By

cùng vuông góc với AB và nằm về hai phía của đường thẳng AB Trên Ax, Bylần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN Chứng minh O là trung điểm

MN

Theo giả thiết, ta có:

Trang 15

AO = BO, MAO NBO    90 0, AM = BN

Có nhiều cách giải bài toán này Dưới đây là một vài cách

=> O cũng là trung điểm của MN

VÍ DỤ 11: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O; R) đường kính AB (M

khác A, B) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O; R) cắt các tiếp tuyến tại A và Bcủa đường tròn (O; R) tại C và D Gọi E là giao điểm của OC và AM, F là điểm

OD và BM Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp Xác định giá trị nhỏ nhất củabán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD

Ta có: CAO CMO    90 0 (AC, CM là các

Trang 16

Từ (1), (2), (3) suy ra: OFE OCM  

=> CEFD nội tiếp đường tròn

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD

Do CD là dây cung của đường tròn (K; KC)

Nên khi đó OM AB và M là điểm chính giữa AB

Vậy: KC nhỏ nhất bằng R khi M là điểm chính giữa AB

Bài giải thực hiện suôn sẻ cho tới khi xác định KC = R (?!)

Điều cơ bản là KC không thể bằng R!

Vì: Nếu KC = R thì CD = AB và M K

CD là đường kính đường trò n ngoại tiếp CEFD

=> CED  90 0 CEM (vô lý)

(Thực hiện cho tới khi chứng minh CEFD nội tiếp)

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD, I là trung điểm CD, N

là trung điểm EF

=> KI CD KN, EF

=> K là giao điểm của KI và KN

Ta có:

Trang 17

Dấu “=” xảy ra khi CD = AB

<=> M là điểm chính giữa AB

VÍ DỤ 12 : Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB (MA MB ) Dựng vềcùng một phía của AB hai hình vuông AMCD và BMEF Gọi N là giao điểmthứ hai của các đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và BMEF Chứngminh A, E, N thẳng hàng

Lời giải sai lầm 1:

M A

F

B

Trang 18

Lời giải sai lầm 3:

AMCD và BMEF là cá hình vuông

Giả sử AM > BM thì N nằm trên nửa

=> IAN EBN cùng nhìn cạnh đối diện IN

=> ABNI nội tiếp đường tròn

=> ANB AIB 90 0 AN BC

Mặt khác: EN NB ENB(   90 ) 0

Nên A, N, E thẳng hàng

VÍ DỤ 13 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Từ một

điểm M chạy trên cung nhỏ BC, dựng MH AB(H AB), MK   AC(K AC)  Tìm

vị trí điểm M để đoạn thẳng HK có độ dài lớn nhất

N E

C D

F

B I

Trang 19

=> HAK  90 0 AK = 900 trái với giả thiết ABC nhọn

Sau khi chứng minh AHMK nội tiếp đường tròn đường kính AM

VÍ DỤ 14: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, có tiếp tuyến

chung ngoài MM’ và tiếp tuyến chung trong NN’ ( M N , (O) còn M N ' , ' (O ) ' ).Gọi giao điểm MN và M’N’ là Q Chứng minh rằng O, Q, O’ thẳng hàng

Gọi giao điểm MM’ và NN’ là P; PO cắt MN tại I và PO’ cắt M’N’ tại I’

Ta có:

PO, PO’ lần lượt là tia phân giác của MPN M P N ,  ' ' '

PM = PN; PM’ = PN’ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà MPN M P N   ' ' '  180 0 và OM = ON, OM’ = ON’

O

O'

Trang 20

  ' ; '  '

Sau khi chứng minh PIQI’ là hình chữ nhật => PI = QI’

MÔ TẢ CÁC GIẢI PHÁP MỚI:

Qua thực trang như trên, tôi thấy đa số khi giải bài toán hình ít nhiều điềuliên quan đến yếu tố phụ Do đó tôi mạnh dạn nghiên cứu và đưa ra những bàitoán về yếu tố phụ

Khi vẽ thêm các yếu tố phụ ta cần nắm một số yêu cầu:

 Vẽ thêm yếu tố phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho

được việc chứng minh bài toán Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tíchtổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kếtđược mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kếtluận phải tìm Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện (cho dù làmày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì

nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì

Trang 21

vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạtđược mục đích mình muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ ngay.

 Yếu tố phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

 Lựa chọn cách dựng thích hợp yếu tố phụ:

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đườngphụ là rất quan trọng Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cáchdựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

Trong quá trình thực hiện tôi giới thiệu một số kĩ thuật cơ bản để vẽ thêmyếu tố phụ giúp học sinh thích thú hơn trong việc học phân môn hình học:

Gọi D là giao điểm của BC và Ax

Ta có: ABC xAB ADB ABC  (  là góc ngoài của tam giác ABD)

Mà ABC xAB BCy  (gt)

Trang 22

Định hướng: Từ ADC 90 0, M là trung điểm của BC cho ta nghĩ đến giaođiểm E của AM và CD

Cho tam giác ABC, BD là đường trung

tuyến Các đường trung tuyến AM, BN của tam

giác ABD cắt nhau ở I CMR 1

3

Định hướng: Chắc hẳn các bạn cũng nhận ra giao điểm E của DI và AB

sẽ giúp ta có lời giải cảu bài toán

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của DI và AB

ABD

 có AM và BN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I (gt)

=> I là trọng tâm của tam giác ABD

=> DE là đường trung tuyến của tam giác ABD và 2

D M

E

Trang 23

Xét tam giác ABD có DM, AO là

hai đường cao cắt nhau tại E

=> E là trực tâm của tam giác

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H M là

điểm trên cung BC Gọi D là điểm đối xứng của M

qua AB CMR A, H, B, D cùng thuộc một đường

tròn

Định hướng: Giao điểm E của AH và BC,

Giao Điểm F của BH và AC là các điểm phụ cần

phải vẽ thêm

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AH và BC, F là giao điểm của BH và AC

Vì H là trực tâm của tam giác ABC

Do đó AEBC,BF AC

Tứ giác HFCE có HEC HFC   90 0

Do đó tứ giác HFCE nội tiếp => AHF  ACB

Mà ACB AMB  (nội tiếp cùng chắn cung AB)

Và ADB AMB  (tính chất đối xứng trục)

Do đó: AHF  ADB

Suy ra tứ giác AHBD nội tiếp

Vậy A, H, B, D cùng thuộc một đường tròn

2/ KĨ THUẬT 2: ĐƯỜNG THẲNG

a/ VẼ THÊM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:

O E

F E

Trang 24

- PHƯƠNG PHÁP: Vẽ thêm đường vuông góc nhằm làm xuất hiện tamgiác vuông, tam giác vuông cân, hai tâm giác vuông bằng nhau, đồng dạng

- BÀI TOÁN MINH HỌA:

A z

Định hướng: Từ A kẽ AH  Ox, AK  Oy(H Ox,K Oy)   , từ đó ta chứngminh được OH = OK và BH = CK Suy ra điều cần chứng minh

Cho tam giác ABC, phía ngoài tam giác vẽ tam giác ABD vuông cân tại

B, tam giác ACE vuông cân tại C Gọi M là giao diểm của BE và CD CMR:

AM BC

Trang 25

Định hướng: Vẽ AK BCtại K Qua B vẽ đường thẳng vuông góc CD cắt

AK ở N Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt AK ở P Tìm cách chứngminh N trùng với P

Lời giải:

Vẽ AK BCtại K Qua B vẽ đường thẳng vuông góc CD cắt AK ở N Qua

C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt AK ở P

Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N, P, Q

lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho

A

C D

E N

K

I

C D

M

Q

Trang 26

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vẽ BH, DK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC và DAC

Định hướng: Rõ ràng ta phải sử dụng định lý Pi-ta-go để có lời giải phù

hợp Nên ta phải vẽ thêm OH CD tại H và IK CD tại K

Lời giải:

Vẽ OH CDtại H và IKCD tại K

=> H, K lần lượt là trung điểm của CA và AD

Xét  HAO( AHO 90 ) 0 và KIA IKA(   90 ) 0 có:

OA = OI (=R)

 

Do đó: HAOKIA (Cạnh huyền-góc nhọn)

O

H K

D

A

B

C

Trang 27

Định hướng: Vẽ OH CD tại H, CD R 3, OC = OD =R Do đó ta tínhđược OH theo R Từ đó lập luận tính được SH, SC, SD.

2

R HS

 

Do đó:

3( 5 1) R 2 3( 5 1) R 2

b/ VẼ THÊM ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG:

- PHƯƠNG PHÁP: Vẽ thêm đường thẳng song song làm xuất hiện haigóc bằng nhau, hai góc bù nhau, tứ giác đặc biệt, tam giác có đường thẳng songsong với một cạnh…

Trang 28

Trên hình vẽ bên cho biết yBC ACB xAC  CMR: Ax//By

Qua B kẽ đường thẳng song

song với CE cắt DE tại F

Mặt khác ADE có đường cao

AH và là tia phân giác của góc DAE

Do đó ADE cân tại A => BDF AED

Mà BF/ /CEBFD AED  

Nên: BDF BFD  BDFcân tại B

C B

A

H D

M

E

F

Trang 29

=> BF = BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE

BÀI TOÁN 14 (lớp 8):

Cho tam giác ABC có AB <

AC, D và E là các điểm lần lượt trên

2 1

B

A

C E

Trang 30

Mà    0

1 1

1

60 2

Mặt khác: ABC có DE // AB, nên: DE CE

AB AC (hệ quả của định lý Ta-let)

Định hướng: Từ tính chất hai tiếp tuyến

cắt nhau, cho ta AC + BD = CD Như vậy để

chứng minh AC BD AB  Tứ giác ABDC là

hình thang vuông cho ta đường phụ AE sao

cho AE // CD Từ đó chứng minh được bài

Ax AB (Ax tiếp tuyến nửa đường tròn)

By AB(By tiếp tuyến nửa đường tròn)

B A

C

D

Trang 31

c/ VẼ THÊM TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC:

- PHƯƠNG PHÁP: Các bài toán liên quan đến góc nhiều khi vẽ thêm tiaphân giác của một góc giúp tạo thêm được mối liên hệ về góc, cạnh để đến đượclời giải của bài toán đễ dàng hơn

BÀI TOÁN 18 (lớp 7):

F N M

E

A

B D

C K

Trang 32

Cho tam giác ABC có A 60 0 BD và CE là hai đường phân giác của tamgiác ABC Gọi I là giao điểm của BD và CE CMR: ID = IE

Định hướng: Ta đề thấy được BIC 120 0 Đường phân giác IM của tamgiác IBC giúp chúng ta chứng minh được ID = IE

Lời giải:

Kẽ đường phân giác IM của tam giác IBC

Ta có:

 1  2

IBC ABC (BI là đường phân giác)

 1  2

ICB ACB(CI là đường phân giác)Nên:

 



0 0

180 (180 ) 120

2

ABC ACB BAC

Định hướng: từ bài toán 18 còn cho ta BE = BM, CD = CM Do vậy BE

+ CD = BC Từ đó ta suy ra việc vẽ thêm phân giác IM của tam giác IBC (I làgiao điểm của BD và CE)

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của BD và CE

Kẽ đường phân giác IM của tam giác IBC

Ta có:

 1  2

IBC ABC (BI là đường phân giác)

A

60 0 I

Tiêu đề	Sáng Kiến Vẽ Thêm Yếu Tố Phụ Hình Học THCS
Trường học	Trường Trung Học Cơ Sở Mỹ Cát
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	2,34 MB
File đính kèm	skkn.zip (1 MB)