bài toán cực trị vật lý trung học phổ thông

Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Cực trị là bài toán rất.

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài:

Cực trị là bài toán rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và các câu khócủa kì thi THPT quốc gia Có rất nhiều dạng bài cực trị xuyên suốt từ phần cơ họclớp 10, đến phần nhiệt học, điện học ở lớp 11 và 12, quang học, mỗi dạng bài ta sẽphải sử dụng công cụ toán học riêng để giải quyết mà lại không có tài liệu thamkhảo nào viết riêng về vấn đề cực trị Do đó quá trình dạy và học phần kiến thứcnày gặp rất nhiều khó khăn

Toán học và vật lý là 2 môn học có quan hệ gắn bó khăng khít với nhau.Toán học là công cụ rất hữu ích để ta có thể giải được rất nhiều bài tập, đặc biệt bàitập cực trị vận dụng rất nhiều kiến thức của toán Tuy nhiên khi gặp bài toán cực trịphần lớn học không biết mình phải bắt đầu từ đâu, áp dụng công cụ toán học gì đểlàm Nhằm giúp học sinh giải đúng, giải nhanh được các bài toán dạng này tôi đãquyết định nghiên cứu sâu hơn về các dạng toán cực trị Qua đó, tôi đã đúc rút kinhnghiệm của bản thân, tham khảo nhiều tài liệu để tổng hợp nên các phương pháp sẽ

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Việc nghiên cứu bài toán cực trị giúp giảm bớt khó khăn cho học sinh và

giáo viên trong quá trình dạy học về những phần kiến thức liên quan đến cực trị làcác bài toán khó trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc Gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đối tượng nghiên cứu là học sinh ở trường THPT Ba Đình- Nga Sơn qua

+ Kiến thức toán học về bất đẳng thức Côsi, Bu-nhi-a-Cốp-xki, hàm lượng giáctrong toán học, phương pháp đạo hàm tìm cực trị và ứng dụng máy tính cầm tay FX

570 trong giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong sáng kiến này tôi sử dụng một số phương pháp như:

- Phương pháp chính là: tổng kết đúc rút kinh nghiệm từ thực tế dạy và học

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, trên mạng internet

- Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên bên bộ môn toán học

- Phương pháp điều tra cơ bản từ các đối tượng học sinh

1.5 Những điểm mới của SKKN.

- Sáng kiến có sử dụng phương pháp rất mới chưa có tài liệu nào viết đó là sửdụng máy tính cầm tay với chức năng table (mode 7) để tìm cực trị, cho kết quảnhanh và chính xác Phương pháp này do trong quá trình giảng dạy, tôi tổng kếtđược từ phía học sinh và tìm hiểu thêm từ các đồng nghiệp bên bộ môn toán Đặcbiệt học sinh sử dụng máy tính cầm tay khá thành thạo nên các em có khả năng ápdụng rất tốt phương pháp này

- Tuy nhiên, phương pháp sử dụng máy tính cầm tay chỉ hữu hiệu với nhữngbài có khoảng giới hạn xác định Thực tế ta còn gặp nhiều bài mà điều kiện bài toánkhông rõ ràng khi đó ta không thể dùng máy tính cầm thay được Vậy nên, khi gặpnhững bài này ta phải sử dụng phương pháp khác, do đó tôi cũng đã giới thiệu luônphương pháp làm, cách lựa chọn công cụ toán học nào sẽ hữu ích, đặc trị được loạitoán đó Từ đó, giúp học sinh hiểu được bản chất và biết cách vận dụng khi gặpnhững bài tương tự như thế Đồng thời là một tài liệu tham khảo bổ ích cho cácđồng nghiệp

2 NỘI DUNG.

2.1 Cơ sở lí luận.

Bài toán cực trị vật lý là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mộtđại lượng vật lí nào đó Nó liên hệ khá chặt chẽ với toán học Để giải được loại bàitập này ta phải khai thác triệt để các bất đẳng thức (BĐT) Cô-si, BĐT Bu-nhia-côp-xki, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm

số, sử dụng đạo hàm

Ngoài ra với kiểu hình thức thi trắc nghiệm, máy tính cầm tay được tích hợprất nhiều chức năng Trong đó có chức năng table có thể tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất trong một khoảng nghiệm nào đó từ a đến b nên ta cũng có thể sử dụng cáchnày trong toán học để làm các bài tập cực trị

2.1.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính cầm tay Casio FX 500.

Chức năng table của máy Casio FX 570 có thể giúp chúng ta giải nhanh cácbài toán cực trị bằng máy tính, rất hiệu quả khi sử dụng với các bài toán có khoảnggiới hạn xác định

- Ban đầu ta có 1 hàm số f(x) với x là các số nguyên dương nằm trongkhoảng a≤x≤b Khi thay x vào hàm số f (x), ứng với mỗi giá trị của x ta sẽ có 1hàm f(x) tương ứng

- Các thao tác với máy tính

+ Bấm mode 7 để mở chức năng table Màn hình sẽ hiển thị f (x)=

+ Nhập hàm f(x) tương ứng với đại lượng trong vật lý cần tìm giá trị min, max + Bấm = màn hình hiển thị start ? Ta nhập giá trị đầu a là giới hạn của biến số x + Bấm = màn hình hiển thị end ? Ta nhập giá trị cuối b của biến số x bấm = + Màn hình hiển thị Step ( bước nhảy ) ta nhập = (b - a)/19 màn hình sẽ hiển thị 1

bảng các giá thị tương ứng của x và f(x)

+ Dùng phím di chuyển lên xuống để dò kết quả min hoặc max của hàm f(x)

a

b c

( a, b, c….là những số dương).

Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau

2.1.3 Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki (Bunyakovsky)

Nội dung: Cho a1, a2, b1, b2 bất kì thì

Dấu bằng xảy ra khi a1/a2=b1/b2

2.1.4 Tam thức bậc hai:

Xét tam thức bậc hai

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol

+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol

2.1.5 Định lí hàm số sin trong tam giác.

Xét tam giác ABC có các cạnh tương ứng là a,b,c

Định lý hàm số sin trong tam giác:

- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu

2.2 Thực trạng việc giải bài toán cực trị hiện nay.

- Các bài toán cực trị lâu nay vẫn là các bài toán khó trong vật lý, bởi khôngđơn thuần bản chất vật lý mà còn phải vận dụng toán học để giải quyết Bằng kiếnthức vật lý các em cần thiết lập được biểu thức của đại lượng cực trị mà đề yêu cầusau đó vận dụng kĩ năng toán học để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đại lượng đó.Thực tế với rất nhiều học sinh, việc kết hợp được cả kiến thức vật lý lẫn toán học làrất khó khăn Đa số các em thường không làm được, một ít số làm dc nhưng chưađến kết quả cuối cùng

- Từ thực tế như vậy, tôi đã phân tích các dấu hiệu của bài toán để học sinhđịnh hướng được cần phải dùng công cụ toán học để làm hiệu quả Ví dụ đối với

x

9cm O1 O2

bài toán điện thường hay dùng bất đẳng cô si, còn các bài toán về khoảng cáchtrong chuyển động cơ thường hay dùng tam thức bậc hai, hoặc với bài có khoảnggiới hạn xác định nên dùng chức năng table trong máy tính cầm tay cho kết quảnhanh và chính xác…

2.3 Sử dụng toán học để giải các bài toán cực trị.

2.3.1 Sử dụng chức năng table trong máy tính FX 570 để tìm cực trị.

Phạm vi sử dụng: Thường áp dụng cho các bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý nào mà biến số xác định trong một khoảng giới hạn nào đó.

Ví dụ 1 (Chuyên sư phạm hà nội lần 3 năm 2019):

Cho hai con lắc lò xo nằm ngang ( k1, m) và

(k2, m) như hình vẽ Trục dao động M và N cách nhau

9cm Lò xo k1 có độ cứng 100N/m, chiều dài tự nhiên

l1= 35 cm Lò xo k2 có độ cứng 25 N/m chiều dài tự

nhiên l2= 26 cm Hai vật có khối lượng cùng bằng m

Thời điểm ban đầu t=0, giữ lò xo k1 dãn 1 đoạn 3cm,

lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa Bỏqua mọi ma sát Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động bằngbao nhiêu?

Giải:

Phân tích bài toán:

Hàm dao động điều hòa sin và cosin xác định trong khoảng giới hạn (−1→1) nên có thể sử dụng được chức năng table sau khi lập được phương trình của khoảng cách giữa hai vật.

Do −1≤cos x≤1 nên ta thao tác bằng

Nguy n Th Ngoan ễ ị - THPT Ba Đình Page 5

máy tính như sau:

+ Dùng phím di chuyển lên xuống tìm

giá trị f (x) nhỏ nhất ta thấy Λxmin=4 ,504(cm )

- 0,684 4,7036-0,578 4,5373

-0,473 4,5041

-0,368 4,6038

Ví dụ 2 ( Thi THPT quốc gia 2017).

Trong thí nghiệm Yâng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh

sáng trắng có bước sóng từ 0,38 μm đến 0, 76μm Tại vị trí vân sáng bậc 4 của ánhsáng đơn sắc có bước sóng 0,76μm còn có bao nhiêu vân sáng nữa của các ánhsáng đơn sắc khác nhau? Bức xạ nào có bước sóng lớn nhất?

Giải:

Phân tích bài toán:

Bước sóng của ánh sáng trắng có giới hạn xác định trong khoảng từ 0,38 μm đến 0,76 μm nên ta có thể sử dụng chức năng table để tìm cực trị sau khi lập được biểu thức của bước sóng λ2.

Xuất phát từ điều kiện hai vân sáng trùng nhau: k1λ1=k2λ2

q2 B

2a

h O

+ end 10 =

+ Step 1= ( vì k là các số nguyên nên

bước nhảy ở đây là 1)

+ Nhìn 4 giá trị ta nhận thấy giá trị lớn nhất với X= 5 và f(x)= λ2=0 ,608 μm

Hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại A và B trong không khí Biết AB = 2a

a Xác định cường độ điện trường tại điểm M trên đường trung trực của

AB và cách AB đoạn h

b Xác định h để EM cực đại Tính giá trị cực đại này

Giải:

Phân tích bài toán:

Biểu thức của cường độ điện trường tại M do hệ 2 điện tích gây ta chứa các

số hạng dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức cô si.

a Xác định :

Nguy n Th Ngoan ễ ị - THPT Ba Đình Page 7

E, r

R

Độ lớn:

b Trong biểu thức EM các số hạng đều dương, nên áp dụng BĐT Cô-si ta được:

Nên EM đạt giá trị cực đại khi:

Phân tích bài toán:

Sau khi lập được biểu thức công suất thì mẫu số có dạng

tổng các số hạng dương, mà tích của chúng không đổi nên có

thể áp dụng BĐT Cô si cho mẫu số để tìm giá trị nhỏ nhất.

R3

Ví dụ 3: (phần Điện học, Vật lí 11)

Một nguồn điện có: E = 15 V; r = 1 , được nối với mạch

ngoài gồm R1 = 2  v R2 mắc song song với nhau Tìm R2 để

công suất tiêu thụ trên nó là cực đại Tính giá trị cực đại đó

Giải : Phân tích bài toán:

+ Biết giá trị điện trở là không âm nên ta có thể chuyển hàm P 2 = f(R 2 ) về dạng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị.

2R

2 R  =

2 2

U

2 2 2 2

4

2 +3 R R

4 A

E

=

2 6

Phân tích bài toán :

+ Mạch đã cho là kín nên ta có thể áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch Ta lập được biểu thức của công suất phụ thuộc vào R 3 Biết giá trị của các điện trở là không âm hàm P 3 = f(R 3 ) về dạng bất đẳng thức Côsi để lập luận.

Giải :

Sơ đồ mạch ngoài: (R2 nt R3) // R1

Nguy n Th Ngoan ễ ị - THPT Ba Đình Page 9

C L,r R

U

2

10 + 3R E

⇒P3 = I32R3 = 

2 3 2 3

4

10 + 3 R R

4 A

E

= 4,8 W

Ví dụ 5: (phần Dòng điện xoay chiều, Vật lí 12)

Cho mạch điện như hình vẽ Cho biết:

đổi Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50

Giải:

Phân tích bài toán :

+ Để biện luận được giá trị cực đại của công suất thì ta viết được biểu thức của

công suất P= Do các giá trị của R và

đỉnh một cái nêm cao H = 80cm và văng ra theo

phương ngang rồi rơi xuống mặt bàn (xem hình vẽ)

Hỏi h bằng bao nhiêu thì vật rơi xuống mặt bàn ở xa

nêm nhất Biết rằng khối lượng nêm rất lớn so với

khối lượng của vật

Giải:

Phân tích bài toán :

+ Chuyển động của vật khi rời khỏi nêm là chuyển động ném ngang Để vật rơi xa nhất tức là tầm bay xa đạt giá trị lớn nhất ta phải lập phương trình quỹ đạo của vật theo h là L=2√h(H−h) Dựa vào biểu thức ta thấy tổng của 2 số h và H-h

luôn không đổi nên có thể áp dụng bật đẳng thức cô si.

Để khảo sát chuyển động của vật khi rời nêm ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Gốc thời gian là lúc vật rời nêm

m1 = 0,1kg, m2 = 0,3kg nối với nhau bằng sợi

dây và có thể trượt không ma sát dọc theo hai

cạnh của khung dây Khi hai vật ở vị trí cân

bằng, lực căng của dây nối và góc β bằng bao

nhiêu? Cân bằng là bền hay không bền?

Giải:

Phân tích bài toán:

+ Để hệ cân bằng bền thì tọa độ trọng tâm càng thấp càng tốt Bài toán chuyển về tìm điều kiện để tọa độ trọng tâm thấp nhất Ta phải thiết lập được biểu

Biểu thức này chứa sin α và cos α mà sin2α+cos2α=1

nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp-xki

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật:

Khi hệ cân bằng:

=>T1 = ≈ 2,65(N)Chiếu (1) lên phương của thanh: P1sinα = T1cosβ =>cosβ= => β ≈ 79,10

Gọi khoảng cách từ m1 đến O là a, chiều dài sợi dây là L Cân bằng của hệ hai vật

là bền nếu tọa độ trọng tâm trên trục y là thấp nhất

Trên Oy, Vật m1 : y1 = - a.sinα Vật m2 : y2 = - cosα

Tọa độ trọng tâm hệ vật: yG=

-Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-côp-ski, ta có

Dấu bằng xảy ra <=> = <=> a =

=> yG min khi a= <=> cosβ = => β=79,10

Ví dụ 2: Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.Hệ số ma sát

giữa M và m là k1.Tác dụng một lực lên M theo phương hợp với phương ngangmột góc Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M Tính góc tương ứng?

Giải:

Phân tích bài toán:

+ Ta tìm biểu thức của F để m thoát khỏi M là:

F≥(k1+k2)Mg+(k1+k2)mg

cos α+k2sin α

Trên tử số là hằng số để F nhỏ nhất thì mẫu lớn nhất Ta có thể áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki vì (cos α+k2sin α )2 ≤(1+k22)(sin 2α+cos2α )≤1+k22

Chiếu lên Oy:

Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh

một khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k.

Giải:

Phân tích bài toán: Ta tìm biểu thức của F để m thoát khỏi M là:

F= cos α+k sin α kmg

Trên tử số là hằng số để F nhỏ nhất thì mẫu lớn nhất Ta có thể áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki như ví dụ 2

Các lực tác dụng được biểu trên hình Do khối trụ không chuyển động tịnhtiến nên tổng hình chiếu các lực trên phương Ox, Oy bằng 0 Tức là:

Trong đó : Fms =k.N

Từ hệ phương trình trên ta có:

O B

Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với Khi

khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách từ vật một đến O là

Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O

Giải.

Phân tích bài toán:

+ Sau quá trình lập luận tút ra biểu thức tính khoảng cách từ vật 2 đến O ta

O xy

Ví dụ 1: Hai xe môtô chạy theo hai con đường vuông góc với nhau, cùng tiến về

phía ngã tư (giao điểm của hai con đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướngTây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với vận tốc 30km/h Lúc 8 giờ sáng, A và B cùng cách ngã tư lần lượt 4,4 km và 4 km Tìm thờiđiểm mà khoảng cách hai xe nhỏ nhất Tính khoảng cách này

Giải:

Phân tích bài toán:

- Chuyển động của hai xe là chuyển động thẳng đều nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc nhất theo thời gian t Hai xe chạy theo hai hướng vuông góc với nhau nên khoảng cách giữa hai xe sẽ được xác định theo định lí pitago của tọa độ hai xe Nghĩa là, khoảng cách L giữa hai xe sẽ được biểu diễn thông qua hàm bậc hai của thời gian t.

- Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với

+ trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây;

+ trục Oy theo hướng từ Bắc về Nam;

+ gốc tọa độ O tại ngã tư

- Chọn mốc thời gian là lúc 8 giờ sáng

- Phương trình chuyển động của mỗi xe lần lượt là

- Khoảng cách giữa hai xe: L = x2  =y2 3400t2  680t 35,36 (km)

Biểu thức: L2=3400t2−680t+35,36 là tam thức bậc hai có hệ số a>0 nên đạt cực

tiểu tại x=− b 2a ⇒t=6802.3400=0,1h và ⇒Lmin = 1166 m

Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ nhất là 1166 m

Ví dụ 2: Một cầu thủ ghi bàn thắng bằng một quả phạt đền 11 m; bóng bay vô giữa

và chạm vào mép dưới của xà ngang rồi bay vô gôn Biết xà ngang cao 2,5 m; khốilượng của quả bóng là 0,5 kg Hỏi góc bay của bóng so với mặt sân cỏ phải bằngbao nhiêu để năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng là nhỏ nhất Bỏ qua sức cảncủa không khí Lấy g = 10 m/s2

Giải:

Phân tích bài toán: Phương trình quĩ đạo của bóng có dạng ném xiên y = f(x) sẽ

được biểu diễn theo hàm bậc hai của tan , với  là góc tạo bởi vận tốc ban đầu

của bóng so với mặt sân cỏ Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m và

x = L=11 m;

Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với:

+ trục Ox nằm ngang hướng về phía gôn;

+ trục Oy thẳng đứng hướng lên;

+ Gốc tọa độ tại vị trí phạt 11 m

Chọn mốc thời gian là lúc quả bóng bắt đầu bay

Phương trình chuyển động của bóng theo hai trục tọa độ lần lượt là:

+ theo phương Ox: x = x0 + v0x.t = (v0cos)t;

+ theo phương Oy: y = y0 + v0y.t + ½ ay.t2 = (v0sin)t – ½ gt2

Phương trình quĩ đạo của bóng có dạng: y = f(x) = (tan)x –

2

2 2 0

gx2v cos αHay: y = (tan)x - 20

g2v (1 + tan2)x2Khi bóng chạm xà ngang rồi bay vô gôn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m

Nguy n Th Ngoan ễ ị - THPT Ba Đình Page 17